2026届安徽省合肥一中、安庆一中等六校教育研究会高三数学第一学期期末考试模拟试题

2026届安徽省合肥一中、安庆一中等六校教育研究会高三数学第一学期期末考试模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知是虚数单位，若，则（）A． B．2 C． D．102．设复数，则=（）A．1 B． C． D．3．在关于的不等式中，“”是“恒成立”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．若集合，，则下列结论正确的是（）A． B． C． D．5．已知△ABC中，．点P为BC边上的动点，则的最小值为（）A．2 B． C． D．6．设函数，则，的大致图象大致是的()A． B．C． D．7．已知正方体的棱长为2，点为棱的中点，则平面截该正方体的内切球所得截面面积为（）A． B． C． D．8．已知函数满足，设，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件9．已知集合，，若，则（）A．4 B．－4 C．8 D．－810．已知函数，.若存在，使得成立，则的最大值为（）A． B．C． D．11．已知函数，则在上不单调的一个充分不必要条件可以是（）A． B． C．或 D．12．已知三棱柱()A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在中，，，，则________，的面积为________．14．已知函数在定义域R上的导函数为,若函数没有零点,且,当在上与在R上的单调性相同时,则实数k的取值范围是______.15．在数列中，，则数列的通项公式_____.16．设为椭圆在第一象限上的点，则的最小值为________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，三棱柱的所有棱长均相等，在底面上的投影在棱上，且∥平面（Ⅰ）证明：平面平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的余弦值.18．（12分）在平面直角坐标系中，曲线：（为参数，），曲线：（为参数）.若曲线和相切.（1）在以为极点，轴非负半轴为极轴的极坐标系中，求曲线的普通方程；（2）若点，为曲线上两动点，且满足，求面积的最大值.19．（12分）己知的内角的对边分别为.设（1）求的值；（2）若，且，求的值.20．（12分）为提供市民的健身素质，某市把四个篮球馆全部转为免费民用（1）在一次全民健身活动中，四个篮球馆的使用场数如图，用分层抽样的方法从四场馆的使用场数中依次抽取共25场，在中随机取两数，求这两数和的分布列和数学期望；（2）设四个篮球馆一个月内各馆使用次数之和为，其相应维修费用为元，根据统计，得到如下表的数据：x10152025303540y100001176113010139801477115440160202.993.494.054.504.995.495.99①用最小二乘法求与的回归直线方程；②叫做篮球馆月惠值，根据①的结论，试估计这四个篮球馆月惠值最大时的值参考数据和公式：，21．（12分）为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月(30天)的快递件数记录结果中随机抽取10天的数据，整理如下：甲公司员工：410，390，330，360，320，400，330，340，370，350乙公司员工：360，420，370，360，420，340，440，370，360，420每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下：甲公司规定每件0.65元，乙公司规定每天350件以内(含350件)的部分每件0.6元，超出350件的部分每件0.9元.（1）根据题中数据写出甲公司员工在这10天投递的快件个数的平均数和众数；（2）为了解乙公司员工每天所得劳务费的情况，从这10天中随机抽取1天，他所得的劳务费记为(单位：元)，求的分布列和数学期望；（3）根据题中数据估算两公司被抽取员工在该月所得的劳务费.22．（10分）在中，设、、分别为角、、的对边，记的面积为，且．（1）求角的大小；（2）若，，求的值．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．C【解析】

根据复数模的性质计算即可.【详解】因为，所以，，故选：C本题主要考查了复数模的定义及复数模的性质，属于容易题.2．A【解析】

根据复数的除法运算，代入化简即可求解.【详解】复数，则故选：A.本题考查了复数的除法运算与化简求值，属于基础题.3．C【解析】

讨论当时，是否恒成立；讨论当恒成立时，是否成立，即可选出正确答案.【详解】解：当时，，由开口向上，则恒成立；当恒成立时，若，则不恒成立，不符合题意，若时，要使得恒成立，则，即.所以“”是“恒成立”的充要条件.故选:C.本题考查了命题的关系，考查了不等式恒成立问题.对于探究两个命题的关系时，一般分成两步，若，则推出是的充分条件；若，则推出是的必要条件.4．D【解析】

由题意，分析即得解【详解】由题意，故，故选：D本题考查了元素和集合，集合和集合之间的关系，考查了学生概念理解，数学运算能力，属于基础题.5．D【解析】

以BC的中点为坐标原点，建立直角坐标系，可得，设，运用向量的坐标表示，求得点A的轨迹，进而得到关于a的二次函数，可得最小值．【详解】以BC的中点为坐标原点，建立如图的直角坐标系，可得，设，由，可得，即，则，当时，的最小值为．故选D．本题考查向量数量积的坐标表示，考查转化思想和二次函数的值域解法，考查运算能力，属于中档题．6．B【解析】

采用排除法：通过判断函数的奇偶性排除选项A；通过判断特殊点的函数值符号排除选项D和选项C即可求解.【详解】对于选项A:由题意知,函数的定义域为，其关于原点对称，因为,所以函数为奇函数,其图象关于原点对称，故选A排除；对于选项D:因为,故选项D排除;对于选项C:因为,故选项C排除;故选:B本题考查利用函数的奇偶性和特殊点函数值符号判断函数图象;考查运算求解能力和逻辑推理能力;选取合适的特殊点并判断其函数值符号是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.7．A【解析】

根据球的特点可知截面是一个圆，根据等体积法计算出球心到平面的距离，由此求解出截面圆的半径，从而截面面积可求.【详解】如图所示：设内切球球心为，到平面的距离为，截面圆的半径为，因为内切球的半径等于正方体棱长的一半，所以球的半径为，又因为，所以，又因为，所以，所以，所以截面圆的半径，所以截面圆的面积为.故选：A.本题考查正方体的内切球的特点以及球的截面面积的计算，难度一般.任何一个平面去截球，得到的截面一定是圆面，截面圆的半径可通过球的半径以及球心到截面的距离去计算.8．B【解析】

结合函数的对应性，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：若，则，即成立，若，则由，得，则“”是“”的必要不充分条件，故选：B．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合函数的对应性是解决本题的关键，属于基础题．9．B【解析】

根据交集的定义，，可知，代入计算即可求出.【详解】由，可知，又因为，所以时，，解得.故选：B.本题考查交集的概念，属于基础题.10．C【解析】

由题意可知，，由可得出，，利用导数可得出函数在区间上单调递增，函数在区间上单调递增，进而可得出，由此可得出，可得出，构造函数，利用导数求出函数在上的最大值即可得解.【详解】，，由于，则，同理可知，，函数的定义域为，对恒成立，所以，函数在区间上单调递增，同理可知，函数在区间上单调递增，，则，，则，构造函数，其中，则.当时，，此时函数单调递增；当时，，此时函数单调递减.所以，.故选：C.本题考查代数式最值的计算，涉及指对同构思想的应用，考查化归与转化思想的应用，有一定的难度.11．D【解析】

先求函数在上不单调的充要条件，即在上有解，即可得出结论.【详解】，若在上不单调，令，则函数对称轴方程为在区间上有零点（可以用二分法求得）.当时，显然不成立；当时，只需或，解得或.故选:D.本题考查含参数的函数的单调性及充分不必要条件，要注意二次函数零点的求法，属于中档题.12．C【解析】因为直三棱柱中，AB＝3，AC＝4，AA1＝12，AB⊥AC，所以BC＝5，且BC为过底面ABC的截面圆的直径．取BC中点D，则OD⊥底面ABC，则O在侧面BCC1B1内，矩形BCC1B1的对角线长即为球直径，所以2R＝＝13，即R＝二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．【解析】

利用余弦定理可求得的值，进而可得出的值，最后利用三角形的面积公式可得出的面积.【详解】由余弦定理得，则，因此，的面积为.故答案为：；.本题考查利用余弦定理解三角形，同时也考查了三角形面积的计算，考查计算能力，属于基础题.14．【解析】

由题意可知：为上的单调函数，则为定值，由指数函数的性质可知为上的增函数，则在，单调递增，求导，则恒成立，则，根据函数的正弦函数的性质即可求得的取值范围．【详解】若方程无解，则或恒成立，所以为上的单调函数，都有，则为定值，设，则，易知为上的增函数，，，又与的单调性相同，在上单调递增，则当，，恒成立，当，时，，，，，，此时，故答案为：本题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调性，正弦函数的性质，辅助角公式，考查计算能力，属于中档题．15．【解析】

由题意可得，又，数列的奇数项为首项为1，公差为2的等差数列，对分奇数和偶数两种情况，分别求出，从而得到数列的通项公式.【详解】解：∵，∴①，②，①﹣②得：，又∵，∴数列的奇数项为首项为1，公差为2的等差数列，∴当为奇数时，，当为偶数时，则为奇数，∴，∴数列的通项公式，故答案为：.本题考查求数列的通项公式，解题关键是由已知递推关系得出，从而确定数列的奇数项成等差数列，求出通项公式后再由已知求出偶数项，要注意结果是分段函数形式．16．【解析】

利用椭圆的参数方程，将所求代数式的最值问题转化为求三角函数最值问题，利用两角和的正弦公式和三角函数的性质，以及求导数、单调性和极值，即可得到所求最小值．【详解】解：设点，，其中，，由，，，可设，导数为，由，可得，可得或，由，，可得，即，可得，由可得函数递减；由，可得函数递增，可得时，函数取得最小值，且为，则的最小值为1．故答案为：1．本题考查椭圆参数方程的应用，利用三角函数的恒等变换和导数法求函数最值的方法，考查化简变形能力和运算能力，属于难题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（Ⅰ）见解析（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）连接交于点，连接，由于平面，得出，根据线线位置关系得出，利用线面垂直的判定和性质得出，结合条件以及面面垂直的判定，即可证出平面平面；（Ⅱ）根据题意，建立空间直角坐标系，利用空间向量法分别求出和平面的法向量，利用空间向量线面角公式，即可求出直线与平面所成角的余弦值.【详解】解：（Ⅰ）证明：连接交于点，连接，则平面平面，平面，，为的中点，为的中点，平面，，平面，平面，平面平面（Ⅱ）建立如图所示空间直角坐标系，设则，，，，，设平面的法向量为，则，取得，设直线与平面所成角为，直线与平面所成角的余弦值为.本题考查面面垂直的判定以及利用空间向量法求线面角的余弦值，考查空间想象能力和推理能力.18．（1）；（2）【解析】

（1）消去参数，将圆的参数方程，转化为普通方程，再由圆心到直线的距离等于半径，可求得圆的普通方程，最后利用求得圆的极坐标方程.（2）利用圆的参数方程以及辅助角公式，由此求得的面积的表达式，再由三角函数最值的求法，求得三角形面积的最大值.【详解】（1）由题意得：，：因为曲线和相切，所以，即：；（2）设，所以所以当时，面积最大值为本小题主要考查参数方程转化为普通方程，考查直角坐标方程转化为极坐标方程，考查利用参数的方法求三角形面积的最值，属于中档题.19．（1）（2）【解析】

（1）由正弦定理将，转化，即，由余弦定理求得，再由平方关系得再求解.（2）由，得，结合再求解.【详解】（1）由正弦定理，得，即，则，而，又，解得，故.（2）因为，则，因为，故，故，解得，故，则.本题考查正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式，考查运算求解能力以及化归与转化思想，属于中档题.20．（1）见解析，12.5（2）①②20【解析】

(1)运用分层抽样，结合总场次为100，可求得的值，再运用古典概型的概率计算公式可求解果;(2)①由公式可计算的值，进而可求与的回归直线方程；②求出，再对函数求导，结合单调性，可估计这四个篮球馆月惠值最大时的值.【详解】解：（1）抽样比为，所以分别是，6，7，8，5所以两数之和所有可能取值是：10，12，13，15，，，所以分布列为期望为（2）因为所以，，；②，设，所以当递增，当递减所以约惠值最大值时的值为20本题考查直方图的实际应用，涉及求概率，平均数、拟合直线和导数等问题，关键是要读懂题意，属于中档题.21．（1）平均数为360，众数为330；（2）见详解；（3）甲公司：7020（元），乙公司：