考点解析-河南省长葛市中考数学真题分类（勾股定理）汇编专题攻克试题（含详细解析）

河南省长葛市中考数学真题分类（勾股定理）汇编专题攻克考试时间：90分钟；命题人：教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题14分）一、单选题（7小题，每小题2分，共计14分）1、如图，在△ABC中，∠BAC=90°，BC=5，以AB，AC为边作正方形，这两个正方形的面积和为（

）A．5 B．9 C．16 D．252、如图，在7×7的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，画一条线段AB=，使点A，B在小正方形的顶点上，设AB与网格线相交所成的锐角为α，则不同角度的α有（

）A．1种 B．2种 C．3种 D．4种3、如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为（

）A．12 B．8 C．10 D．134、两只小鼹鼠在地下打洞，一只朝正北方向挖，每分钟挖8cm，另一只朝正东方向挖，每分钟挖6cm，10分钟之后两只小鼹鼠相距（

）A．50cm B．120cm C．140cm D．100cm5、我图古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深几何？（注：丈、尺是长度单位，1丈=10尺）意思为：如图，有一个边长为1丈的正方形水池，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的岸边，它的顶端恰好碰到池边的水面．则这根芦苇的长度是（

）A．5尺 B．10尺 C．12尺 D．13尺6、如图，正方形的边长为10，，，连接，则线段的长为（

）A． B． C． D．7、如图，三角形纸片ABC，AB=AC，∠BAC=90°，点E为AB中点，沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，折痕现交于点F，已知EF=，则BC的长是（）A． B．3 C．3 D．3第Ⅱ卷（非选择题86分）二、填空题（8小题，每小题2分，共计16分）1、（2011贵州安顺，16，4分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6cm，AC=8cm，按图中所示方法将△BCD沿BD折叠，使点C落在AB边的C′点，那么△ADC′的面积是．2、在继承和发扬红色学校光荣传统，与时俱进，把育英学校建成一所文明的、受社会尊敬的学校升旗仪式上，如图所示，一根旗杆的升旗的绳垂直落地后还剩余1米，若将绳子拉直，则绳端离旗杆底端的距离有5米．则旗杆的高度______．3、把一根长12厘米的木棒，从一端起顺次截下3厘米和5厘米的两段，用得到的三根木棒首尾依次相接，摆成的三角形形状是______．4、《九章算术》中有“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：有一根竹子原来高1丈（1丈=10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？如图，设折断处距离地面x尺，根据题意，可列方程为______．5、已知a、b、c是一个三角形的三边长，如果满足，则这个三角形的形状是_______．6、有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度为_____尺．7、在△ABC中，AD是BC边上的中线，AD⊥AB，如果AC=5，AD=2，那么AB的长是________．8、某小区两面直立的墙壁之间为安全通道，一架梯子斜靠在左墙DE时，梯子A到左墙的距离AE为0.7m，梯子顶端D到地面的是样子离DE为2.4m，若梯子底端A保持不动，将梯子斜塞在右墙BC上，梯子顶端C到地面的距离CB为1.5m，则这两面直立墙壁之间的安全道的宽BE为__________m．三、解答题（7小题，每小题10分，共计70分）1、阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：∠MBN＝30°，点A为射线BM上一点，且AB＝4，点C为射线BN上动点，连接AC，以AC为边在AC右侧作等边三角形ACD，连接BD．当AC⊥BN时，求BD的长．小明发现：以AB为边在左侧作等边三角形ABE，连接CE，能得到一对全等的三角形，再利用∠EBC＝90°，从而将问题解决（如图1）．请回答：(1)在图1中，小明得到的全等三角形是△≌△；BD的长为．(2)动点C在射线BN上运动，当运动到AC时，求BD的长；(3)动点C在射线BN上运动，求△ABD周长最小值．2、如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠C＝60°，AD＝1，BC＝2，求AB、CD的长．3、勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，在《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，汉代数学家赵爽为证明勾股定理创制的“赵爽弦图”也流传至今．迄今为止已有多种证明勾股定理的方法．下面是数学课上创新小组验证过程的一部分．请认真阅读并根据他们的思路将后续的过程补充完整：将两张全等的直角三角形纸片按图所示摆放，其中，点在线段上，点在边两侧，试证明：．4、如图，CE⊥AB于点E，BD⊥AC于点D，AB＝AC．(1)求证：△ABD≌△ACE．(2)连接BC，若AD＝6，CD＝4，求△ABC的面积．5、如图，某商家想在商场大楼上悬挂一块广告牌，广告牌高．根据商场规定广告牌最高点不得高于地面20m，经测量，测角仪支架高，在F处测得广告牌底部点B的仰角为30°，在E处测得标语牌顶部点A的仰角为45°，，请计算说明，商家这样放广告牌是否符合规定？（图中点A，B，C，D，E，F，G，H在同一平面内）6、若的三边，，满足条件，试判断的形状.7、数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这种思想叫“算两次”．“算两次”也称作富比尼原理，是一种重要的数学思想，由它可以推导出很多重要的公式．（1）如图1，是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图2的方式拼成一个正方形．①用“算两次”的方法计算图2中阴影部分的面积：第一次列式为，第二次列式为，因为两次所列算式表示的是同一个图形的面积，所以可以得出等式；②在①中，如果，，请直接用①题中的等式，求阴影部分的面积；（2）如图3，两个边长分别为，，的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成一个梯形，用“算两次”的方法，探究，，之间的数量关系．-参考答案-一、单选题1、D【解析】【分析】设，根据勾股定理可得，即可求解．【详解】解：设，根据勾股定理可得，即两个正方形的面积和为25故选：D【考点】本题考查了勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．2、C【解析】【详解】如图，（1）当AB=时，AB与网格线相交所成的两个锐角：∠=45°；（2）当AB=时，AB与网格线相交所成的锐角∠有2个不同的角度；综上所述，AB与网格线相交所成的锐角的不同角度有3个.故选C.3、D【解析】【分析】设BE为x，则AE为25-x，在由勾股定理有，即可求得BE=13．【详解】设BE为x，则DE为x，AE为25-x∵四边形为长方形∴∠EAB=90°∴在中由勾股定理有即化简得解得故选：D．【考点】本题考查了折叠问题求折痕或其他边长，主要可根据折叠前后两图形的全等条件，把某个直角三角形的三边都用同一未知量表示出来，并根据勾股定理建立方程，进而可以求解．4、D【解析】【分析】画出图形，利用勾股定理即可求解．【详解】解：如图，cm，cm，∴在中，cm，故选：D【考点】本题考查了勾股定理的应用，理解题意，画出图形是解题的关键．5、D【解析】【分析】依题意，芦苇的长度为直角三角形的斜边，水深为一直角边，另一直角边为5尺，由勾股定理即可列出方程，进而得到答案．【详解】解：设水深x尺，则芦苇的长度为（x+1）尺，依题意，由勾股定理，得：，解得，所以芦苇的长度为13尺．故选D．【考点】本题考查勾股定理的应用，将题目描述问题转化成直角三角形求边长的问题是解题的关键．6、B【解析】【分析】延长DH交AG于点E，利用SSS证出△AGB≌△CHD，然后利用ASA证出△ADE≌△DCH，根据全等三角形的性质求出EG、HE和∠HEG，最后利用勾股定理即可求出HG．【详解】解：延长DH交AG于点E∵四边形ABCD为正方形∴AD=DC=BA=10，∠ADC=∠BAD=90°在△AGB和△CHD中∴△AGB≌△CHD∴∠BAG=∠DCH∵∠BAG＋∠DAE=90°∴∠DCH＋∠DAE=90°∴CH2＋DH2=82＋62=100=DC2∴△CHD为直角三角形，∠CHD=90°∴∠DCH＋∠CDH=90°∴∠DAE=∠CDH，∵∠CDH＋∠ADE=90°∴∠ADE=∠DCH在△ADE和△DCH中∴△ADE≌△DCH∴AE=DH=6，DE=CH=8，∠AED=∠DHC=90°∴EG=AG－AE=2，HE=DE－DH=2，∠GEH=180°－∠AED=90°在Rt△GEH中，GH=故选B．【考点】此题考查是正方形的性质、全等三角形的判定及性质和勾股定理，掌握正方形的性质、全等三角形的判定及性质和利用勾股定理解直角三角形是解决此题的关键．7、B【解析】【分析】折叠的性质主要有：1.重叠部分全等；2.折痕是对称轴,对称点的连线被对称轴垂直平分.由折叠的性质可知,所以可求出∠AFB=90°，再直角三角形的性质可知,所以,的长可求，再利用勾股定理即可求出BC的长．【详解】解：AB＝AC，,故选B.【考点】本题考查了折叠的性质、等腰直角三角形的判断和性质以及勾股定理的运用，求出∠AFB=90°是解题的关键．二、填空题1、6cm2【解析】【分析】先根据勾股定理得到AB=10cm，再根据折叠的性质得到DC=DC′，BC=BC′=6cm，则AC′=4cm，设DC=xcm，在Rt△ADC′中根据勾股定理列方程求得x的值，然后根据三角形的面积公式计算即可．【详解】∵∠C=90°，BC=6cm，AC=8cm，∴AB=10cm，∵将△BCD沿BD折叠，使点C落在AB边的C′点，∴△BCD≌△BC′D，∴∠C=∠BC′D=90°，DC=DC′，BC=BC′=6cm，∴AC′=AB-BC′=4cm，设DC=xcm，则AD=（8-x）cm，在Rt△ADC′中，AD2=AC′2+C′D2，即（8-x）2=x2+42，解得x=3，∵∠AC′D=90°，∴△ADC′的面积═×AC′×C′D=×4×3=6（cm2）．考点：折叠的性质，勾股定理点评：折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等，对应点的连线段被折痕垂直平分．2、12米【解析】【分析】设旗杆的高度是x米，绳子长为（x+1）米，旗杆，拉直的绳子和BC构成直角三角形，根据勾股定理可求出x的值，从而求出旗杆的高度．【详解】解：设旗杆的高度为米，根据题意可得：，解得：，答：旗杆的高度为12米．故答案为：12米．【考点】本题考查勾股定理的应用，关键看到旗杆，拉直的绳子和BC构成直角三角形，根据勾股定理可求解．3、直角三角形【解析】【分析】首先计算出第三条铁丝的长度，再利用勾股定理的逆定理可证明摆成的三角形是直角三角形．【详解】解：12-3-5=4（cm），∵32+42=52，∴这三条铁丝摆成的三角形是直角三角形，故答案为：直角三角形．【考点】此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．4、【解析】【分析】根据勾股定理即可得出结论．【详解】解：设未折断的竹干长为尺，根据题意可列方程为：．故答案为：．【考点】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．5、直角三角形【解析】【分析】根据绝对值、完全平方数和算数平方根的非负性，可求解出a、b、c的值，再根据勾股定理的逆定理判断即可．【详解】解：由题意得：，解得：，∵，∴三角形为直角三角形．故答案为直角三角形．【考点】本题主要考查了非负数的性质和勾股定理的逆定理，运用非负数的性质求出a、b、c的值是解题的关键．6、13【解析】【分析】找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答．【详解】解：设水深为尺，则芦苇长为尺，根据勾股定理得：，解得：，芦苇的长度（尺，答：芦苇长13尺．故答案为：13．【考点】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．7、3【解析】【分析】过点C作CE∥AB交AD延长线于E，先证△ABD≌△ECD（AAS），求出AE=2AD=4，在Rt△AEC中，即可．【详解】解：过点C作CE∥AB交AD延长线于E，∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD，∵AD⊥AB，CE∥AB，∴AD⊥CE，∠ABD=∠ECD，∴∠E=90°，在△ABD和△ECD中，∴△ABD≌△ECD（AAS），∴AB=EC，AD=ED=2，∴AE=2AD=4，在Rt△AEC中，，∴AB=CE=3．故答案为：3．【考点】本题考查中线性质，平行线性质，三角形全等判定与性质，勾股定理，掌握中线性质，平行线性质，三角形全等判定与性质，勾股定理，关键是利用辅助线构造三角形全等．8、2.7【解析】【分析】先根据勾股定理求出AD的长，同理可得出AB的长，进而可得出结论．【详解】在Rt△ACB中，∵∠ACB=90°，AE=0.7米，DE=2.4米，∴AD2=0.72+2.42=6.25．在Rt△A′BD中，∵∠ABC=90°，BC=1.5米，AB2+BC2=AC2，∴AB2+1.52=6.25，∴AB2=4．∵AB＞0，∴AB=2米．∴BE=AE+AB=0.7+2=2.7米．故答案为2.7．【考点】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时，勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．三、解答题1、(1)ABD，ACE，；(2)BD的长为；(3)＋4．【解析】【分析】（1）根据SAS可证△ABD≌△ACE，得出BD＝CE，利用勾股定理求出CE即可得出BD的长度；（2）作AH⊥BC于点H，以AB为边在左侧作等边△ABE，连接CE，求出BH，HC即BC的长度，再利用勾股定理即可求出CE的长度，由（1）知BD＝CE，据此得解；（3）作AH⊥BC于点H，以AB为边在左侧作等边△ABE，延长EB至F，使BF＝EB，连接AF交BN于C'，连接EC'，此时BD＋AC'有最小值即为AF，此时△ABD周长＝AF＋AB最小，求出AF即可．(1)解：∵△ACD和△ABE是等边三角形，∴∠EAB＝∠DAC＝60°，AD＝AC，∴∠EAB＋∠BAC＝∠DAC＋∠BAC，即∠EAC＝∠BAD，在△ABD和△AEC中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE，∵AB＝4，∠MBN＝30°，∴AC＝2，∴BC＝，∴BD＝CE＝，故答案为：ABD，ACE，；(2)解：如下图，作AH⊥BC于点H，以AB为边在左侧作等边△ABE，连接CE，∵AB＝4，∠MAN＝30°，∴AH＝2，BH＝，∵AC＝，∴HC＝，∴BC＝BH＋HC＝＋＝，∴CE＝，由（1）可知BD＝CE，∴此时BD的长为；(3)解：如图，以AB为边在左侧作等边△ABE，延长EB至F，使BF＝EB，连接AF交BN于C'，连接EC'，∵EC'＝FC'＝BD，∴此时BD＋AC'有最小值即为AF，∴此时△ABD周长＝AD＋BD+AB＝AF＋AB最小，作AG⊥BE于G，∴AG∥BN，∴∠BAG＝30°，∴BG＝AB＝2，AG＝，∴GF＝BG＋BF＝2＋4＝6，由勾股定理得AF＝，∴此时△ABD周长为：＋4．【考点】本题主要考查全等三角形的判定和性质，勾股定理等，作出合适的辅助线，构造出全等三角形是解题的关键．2、AB＝2－2，CD＝4－.【解析】【分析】此题为几何题，看题目只是一个四边形，要求两条未知边，那肯定要添辅助线.过点D作DH⊥BA延长线于H，作DM⊥BC于M.构建矩形HBMD.利用矩形的性质和解直角三角形来求AB、CD的长度.【详解】如图，过点D作DH⊥BA延长线于H，作DM⊥BC于点M.∵∠B＝90°，∴四边形HBMD是矩形.∴HD＝BM，BH＝MD，∠ABM＝∠ADC＝90°，又∵∠C＝60°，∴∠ADH＝∠MDC＝30°，∴在Rt△AHD中，AD＝1，∠ADH＝30°，则AH＝AD＝，DH＝.∴MC＝BC－BM＝BC－DH＝2－＝.∴在Rt△CMD中，CD＝2MC＝4－，DM＝CD＝.∴AB＝BH－AH＝DM－AH＝－＝【考点】本题考查了勾股定理和矩形的判定与性质.此题的关键是根据题意作出辅助线，构建矩形.3、见解析．【解析】【分析】首先连结，作延长线于，则，根据，易证，再根据，，两者相等，整理即可得证．【详解】证明：连结，作延长线于，则即，∴∴即有：∴【考