2026届高考数学总复习精练册课件：8 1　直线和圆

8.1直线和圆五年高考考点1直线和圆的方程考点2直线与圆、圆与圆的位置关系目录三年模拟基础强化练能力拔高练创新风向练高考新风向·创新知识交汇

思维引导回归本质(2024全国甲理,12,5分,难)已知b是a,c的等差中项,直线ax+by+c=0与圆x2+y2+4y-1=0交于

A,B两点,则|AB|的最小值为

(

)A.1

B.2

C.4

D.2

创新知识交汇

本题将等差中项与直线和圆的知识有机结合,强调知识之间的融合,在

一定程度上增强题目的综合性,加强了数学分析能力和综合应用能力的考查.

C解析

由题知b=

,∴ax+

y+c=0,∴a

+

(y+2)=0,令

解得

∴直线ax+by+c=0过定点(1,-2),将x2+y2+4y-1=0化为标准方程为x2+(y+2)2=5.圆心(0,-2)到定点(1,-2)的距离为1.当直线ax+by+c=0的斜率不存在,即b=0时,圆心到直线的距离d=1,当直线斜率存在,即b≠0时,d<1.综上所述,d≤1.|AB|=2

≥2

=4.∴|AB|的最小值为4.故选C.五年高考考点1直线和圆的方程1.(2020北京,5,4分,易)已知半径为1的圆经过点(3,4),则其圆心到原点的距离的最小值

为

()A.4

B.5

C.6

D.7A解析

设圆心为A(x,y),由已知得(x-3)2+(y-4)2=1,即A在以(3,4)为圆心,1为半径的圆上,所以圆心

A到原点的距离的最小值为

-1=5-1=4.故选A.2.(2020课标Ⅲ文,8,5分,中)点(0,-1)到直线y=k(x+1)距离的最大值为

()A.1

B.

C.

D.2B解析

易知直线过定点P(-1,0).设A(0,-1),当AP与直线y=k(x+1)垂直时,点A(0,-1)到直线y=k(x+

1)的距离最大,最大值为|AP|=

=

.故选B.3.(2022全国甲文,14,5分,易)设点M在直线2x+y-1=0上,点(3,0)和(0,1)均在☉M上,则☉M

的方程为

.(x-1)2+(y+1)2=5解析

设☉M的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),则

解得

所以☉M的方程为(x-1)2+(y+1)2=5.4.(2022全国乙,文15,理14,5分,中)过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程

为

.(x-2)2+(y-3)2=13或(x-2)2+(y-1)2=5或

+

=

或

+(y-1)2=

(写出一个即可)解析

若圆过(0,0)(4,0)(-1,1),根据圆的几何性质知圆心在弦的中垂线上,设A(0,0),B(4,0),C(-1,1),易得AB的中垂线方程为x=2,AC的中垂线方程为y=x+1.联立

解得圆心坐标为(2,3).此时圆的半径r=

=

.所以圆的方程为(x-2)2+(y-3)2=13.同理,其他三种情况下圆的方程分别为(x-2)2+(y-1)2=5,

+

=

,

+(y-1)2=

.考点2直线与圆、圆与圆的位置关系1.(2020课标Ⅱ理,5,5分,易)若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切,则圆心到直线2x-y-3=0

的距离为

()A.

B.

C.

D.

B解析

设圆心为P(x0,y0),半径为r,∵圆与x轴,y轴都相切,∴|x0|=|y0|=r,又圆经过点(2,1),∴x0=y0=r

且(2-x0)2+(1-y0)2=r2,∴(r-2)2+(r-1)2=r2,解得r=1或r=5.①r=1时,圆心P(1,1),则圆心到直线2x-y-3=0的距离d=

=

;②r=5时,圆心P(5,5),则圆心到直线2x-y-3=0的距离d=

=

.故选B.2.(2023新课标Ⅰ,6,5分,易)过点(0,-2)与圆x2+y2-4x-1=0相切的两条直线的夹角为α,则sinα=

()A.1

B.

C.

D.

B解析

设圆心为C.圆的方程x2+y2-4x-1=0可化为(x-2)2+y2=5,则圆心为C(2,0),半径r=

,设点P(0,-2),切点分别为A,B,如图所示.

易得|CA|=

,|PC|=2

,|AP|=

,∴cos

=

,sin

=

(α是∠APB的补角),∴sinα=2sin

cos

=

,故选B.3.(2021北京,9,4分,中)已知直线y=kx+m(m为常数)与圆x2+y2=4交于点M,N.当k变化时,若|MN|的最小值为2,则m=

()A.±1

B.±

C.±

D.±2C解析

设圆x2+y2=4的圆心C到直线y=kx+m的距离为d,则d=

,当弦长最小时,d最大,此时k=0,d=|m|,由题意知m2+1=4,所以m=±

,故选C.4.(2020课标Ⅰ理,11,5分,中)已知☉M:x2+y2-2x-2y-2=0,直线l:2x+y+2=0,P为l上的动点.过

点P作☉M的切线PA,PB,切点为A,B,当|PM|·|AB|最小时,直线AB的方程为()A.2x-y-1=0

B.2x+y-1=0C.2x-y+1=0

D.2x+y+1=0D解析

(x-1)2+(y-1)2=4,r=2,M(1,1),如图,由题可知,AB⊥PM,

|PM|·|AB|=2S四边形APBM=2(S△PAM+S△PBM)=2(|PA|+|PB|),∵|PA|=|PB|,∴|PM|·|AB|=4|PA|=4

=4

,当|PM|最小时,|PM|·|AB|最小,易知|PM|min=

=

,此时|PA|=1,AB∥l,设直线AB的方程为y=-2x+b(b≠-2),圆心M到直线AB的距离为d=

,|AB|=

=

,∴d2+

=|MA|2,即

+

=4,解得b=-1或b=7(舍).∴直线AB的方程为y=-2x-1,即2x+y+1=0,故选D.5.(2023全国乙文,11,5分,中)已知实数x,y满足x2+y2-4x-2y-4=0,则x-y的最大值是

()A.1+

B.4

C.1+3

D.7C解析

由x2+y2-4x-2y-4=0,得(x-2)2+(y-1)2=9,此方程表示以(2,1)为圆心,3为半径的圆.设t=x-y,则x-y-t=0,设圆心(2,1)到直线x-y-t=0的距离为d,则d=

=

,依题意知,直线x-y-t=0与圆(x-2)2+(y-1)2=9有公共点,∴d=

≤3,即|1-t|≤3

,∴-3

≤t-1≤3

,即1-3

≤t≤1+3

,∴t的最大值为1+3

,即x-y的最大值为1+3

,故选C.一题多解由x2+y2-4x-2y-4=0,得(x-2)2+(y-1)2=9.设x=2+3cosθ,y=1+3sinθ,θ∈[0,2π),∴x-y=2+3cosθ-1-3sinθ=1+3(cosθ-sinθ)=1+3

cos

,∵θ+

∈

,∴cos

∈[-1,1],∴(x-y)max=1+3

,故选C.6.(2023全国乙理,12,5分,难)已知☉O的半径为1,直线PA与☉O相切于点A,直线PB与☉O交于B,C两点,D为BC的中点.若|PO|=

,则

·

的最大值为

()A.

+

B.

+

C.1+

D.2+

A解析

由D为BC的中点可知OD与PD垂直,即点D的轨迹是以OP为直径的圆周在☉O内部的部

分.取OP的中点M,有|DM|=

=

,并且

=

+

,因为|PA|=

=1,

·

=

·

=

|

|·|

|·cos∠APO=

|

|2=

,同时

·

≤|PA|·|MD|=

,所以

·

=

·(

+

)=

·

+

·

≤

+

,当

与

同向平行时取到最大值,故选A.7.(多选)(2021新高考Ⅱ,11,5分,中)已知直线l:ax+by-r2=0与圆C:x2+y2=r2,点A(a,b),则下列

说法正确的是

()A.若点A在圆C上,则直线l与圆C相切B.若点A在圆C内,则直线l与圆C相离C.若点A在圆C外,则直线l与圆C相离D.若点A在直线l上,则直线l与圆C相切ABD解析

圆心C(0,0)到直线l的距离d=

,若点A(a,b)在圆C上,则a2+b2=r2,所以d=

=|r|,所以直线l与圆C相切,故A正确.若点A(a,b)在圆C内,则a2+b2<r2,所以d=

>|r|,所以直线l与圆C相离,故B正确.若点A(a,b)在圆C外,则a2+b2>r2,所以d=

<|r|,所以直线l与圆C相交,故C错误.若点A(a,b)在直线l上,则a2+b2-r2=0,即a2+b2=r2,所以d=

=|r|,所以直线l与圆C相切,故D正确.故选ABD.8.(多选)(2021新高考Ⅰ,11,5分,中)已知点P在圆(x-5)2+(y-5)2=16上,点A(4,0),B(0,2),则

()A.点P到直线AB的距离小于10B.点P到直线AB的距离大于2C.当∠PBA最小时,|PB|=3

D.当∠PBA最大时,|PB|=3

ACD解析

由题意可知直线AB的方程为

+

=1,即x+2y-4=0,则圆心(5,5)到直线AB的距离d=

=

>4,∴直线AB与圆(x-5)2+(y-5)2=16相离,∴点P到直线AB的距离的取值范围为

,∵

-4∈(0,1),

+4∈(8,9),∴A正确,B错误.

过点B作圆的两条切线,切点分别为P1,P2,如图,当点P在切点P1的位置时,∠PBA最小,当

点P在切点P2的位置时,∠PBA最大,易知|P1B|=|P2B|,圆心(5,5)到点B的距离为

,圆的半径为4,所以|P1B|=|P2B|=

=

=3

,故选项C,D均正确.故选ACD.9.(2022天津,12,5分,易)若直线x-y+m=0(m>0)被圆(x-1)2+(y-1)2=3截得的弦长等于m,则m

的值为

.2解析

圆心(1,1)到直线x-y+m=0的距离为

,则

+

=3,解得m=2(负值舍去).10.(2021天津,12,5分,易)若斜率为

的直线与y轴交于点A,与圆x2+(y-1)2=1相切于点B,则|AB|=

.解析

设圆心为C,直线AB的方程为y=

x+b,则C(0,1),A(0,b).由直线AB:y=

x+b与圆x2+(y-1)2=1相切得

=1,解得b=-1或b=3,所以|AC|=2,因为|BC|=1,所以|AB|=

=

.11.(2023新课标Ⅱ,15,5分,易)已知直线x-my+1=0与☉C:(x-1)2+y2=4交于A,B两点,写出满

足“△ABC的面积为

”的m的一个值:

.2或-2或

或-

(写出一个即可)解析

∵圆心(1,0)到直线x-my+1=0的距离d=

,∴|AB|=2

=

,∴S△ABC=

|AB|·d=

=

,∴2m2-5|m|+2=0,∴|m|=2或|m|=

,∴m=±2或m=±

.12.(2022新高考Ⅰ,14,5分,中)写出与圆x2+y2=1和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的一条直线的方

程:

.x=-1(或3x+4y-5=0或7x-24y-25=0)解析

∵两圆C1:x2+y2=1,C2:(x-3)2+(y-4)2=16的圆心分别为C1(0,0),C2(3,4),r1=1,r2=4,

∴|C1C2|=5=r1+r2,则两圆外切(如图),且均与直线l1:x=-1相切,两圆圆心连线C1C2所在直线

的方程为y=

x,记为l,l1与l交于点P

,由两圆另一外公切线l2过点P,设l2:y+

=k(x+1),由l2与圆C1:x2+y2=1相切,得

=1,求出k=

,则直线l2的方程为7x-24y-25=0,由内公切线l3与l垂直,设l3的方程为y=-

x+m,由l3与圆C1:x2+y2=1相切得

=1,∴m=

或-

.当m=-

时,y=-

x-

,与圆C2不相切,不符合题意,舍去.故m=

,则直线l3的方程为3x+4y-5=0.综上,可知三条切线方程分别为x=-1,3x+4y-5=0,7x-24y-25=0.13.(2022新高考Ⅱ,15,5分,中)设点A(-2,3),B(0,a),若直线AB关于y=a对称的直线与圆(x+

3)2+(y+2)2=1有公共点,则a的取值范围是

.解析

设直线AB关于y=a对称的直线为l,∵kAB=

,∴kl=-

.显然点B(0,a)在直线l上,∴直线l的方程为y=-

x+a,即(a-3)x+2y-2a=0.∵l与圆有公共点,∴圆心(-3,-2)到直线l的距离d≤r,即

≤1,即6a2-11a+3≤0.解得

≤a≤

,∴实数a的取值范围为

.三年模拟1.(2025届重庆市部分学校联考,5)已知直线l1:x+y+C=0与直线l2:Ax+By+C=0均过点(1,1),

则原点到直线l2距离的最大值为

()A.

B.1

C.

D.

A解析

解法一:代数法因为两直线交于(1,1),则1+1+C=0,且A+B+C=0,则A+B=2.原点到直线l2的距离d=

=

=

,易知A2-2A+2=(A-1)2+1≥1,则d≤

,当且仅当A=1时,d取最大值

,故选A.解法二:数形结合法如图所示l2恒过点E(1,1),则当OE⊥l2时,原点O到直线l2距离有最大值|OE|,|OE|=

=

,故选A.2.(2025届山东青岛二中月考,6)过点P(1,-3)的直线l与曲线M:(x-2)2+y2=1(2≤x≤3)有两

个交点,则直线l斜率的取值范围为()A.

B.

C.

D.

B解析

由题意易知直线l的斜率存在且不为0,设直线l:y=k(x-1)-3(k≠0),曲线M:(x-2)2+y2=1(2≤x≤3)是以M(2,0)为圆心,1为半径的半圆(如图所示),

设曲线M的下端点为N(2,-1),要使l与曲线M有两个交点,则l应位于直线PN和切线PQ之间,所以kPQ<k≤kPN,易知kPN=

=2,由PQ与曲线M相切,得

=1,解得k=

,所以kPQ=

,所以直线l斜率的取值范围为

.故选B.3.(2025届湖南长沙雅礼中学开学考,5)已知圆C的方程为x2+(y-2)2=a,则“a>2”是“函

数y=|x|的图象与圆C有四个公共点”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件B解析

由圆C的方程为x2+(y-2)2=a可得圆心为(0,2),半径r=

,若圆与直线y=x相交,则圆心到直线y=x的距离d=

=

<

,即a>2,若函数y=|x|的图象与圆C有四个公共点,则原点在圆的外部,即02+(0-2)2>a,解得a<4,综上,若函数y=|x|的图象与圆C有四个公共点,则2<a<4,所以“a>2”是“函数y=|x|的图

象与圆C有四个公共点”的必要不充分条件,故选B.4.(2024江苏南京航空航天大学附属中学月考,8)一束光线从A(1,0)点处射到y轴上一点B(0,2)后被y轴反射,则反射光线所在直线的方程是

()A.x+2y-2=0

B.2x-y+2=0C.x-2y+2=0

D.2x+y-2=0B解析

由题得点A(1,0)关于y轴的对称点A'(-1,0)在反射光线所在的直线上,又点B(0,2)也在反射

光线所在的直线上,所以由截距式求得反射光线所在直线的方程为

+

=1,即2x-y+2=0,故选B.小题速解由对称性得点A(1,0)关于y轴的对称点A'(-1,0)在反射光线所在的直线上,将

A'(-1,0)代入各选项检验只有B符合,故选B.5.(2025届江苏南京中华中学开学调研,5)设直线l:x+my-6=0和圆C:x2+y2-4x-4y=0相交于

M,N两点,若

·

=0,则m=

()A.

B.

C.

D.1C解析

C:x2+y2-4x-4y=0,即C:(x-2)2+(y-2)2=8,则圆心为C(2,2),半径r=2

,因为

·

=0,所以CM⊥CN,又|CM|=|CN|,所以△CMN为等腰直角三角形,所以圆心C到直线l的距离d=

r=2,即d=

=2,解得m=

.经检验符合题意.故选C.6.(2024山东烟台招远三模,4)若圆x2+y2+ax+

y+2a-3=0与x轴没有交点,则实数a的取值范围为

()A.(2,6)

B.(3,5)C.(2,3)∪(5,6)

D.(2,3)∪(6,+∞)C解析

x2+y2+ax+

y+2a-3=0,即

+

=

a2-2a+

,由

a2-2a+

>0,(保证r2>0)解得a<3或a>5.圆心坐标为

,若圆与x轴没有交点,则

>

,(圆心到x轴的距离大于半径)解得2<a<6.综上,2<a<3或5<a<6.故选C.7.(2025届广东部分学校第一次月考,6)已知直线l:(m-1)x+2y+3-m=0与圆C:x2+y2-6x+6y=0

交于A,B两点,则线段AB的长度的取值范围是

()A.[

,3

]

B.[2

,6

]C.[2

,4

]

D.[

,6

]B解析

圆C:x2+y2-6x+6y=0,即圆C:(x-3)2+(y+3)2=18,则圆心为C(3,-3),半径r=3

,直线l:(m-1)x+2y+3-m=0,即(x-1)m-x+2y+3=0,令

解得

即直线l过定点P(1,-1),

因为12+(-1)2-6-6<0,所以定点P在圆内,设圆心C到直线l的距离为d,则弦长|AB|=2

,当d=0时,弦长最长,过P的最长弦长为圆的直径2r=6

,当d最大时,过点P的直线与CP垂直,dmax=|PC|=

=2

,所以弦长的最小值为2

=2

,(关键点:当d最小时弦长最长,当d最大时弦长最短)所以|AB|的取值范围为[2

,6

].故选B.8.(2024湖北黄冈浠水一中二模,5)已知圆O:x2+y2=1,P为直线l:x+y-4=0上的一个动点,过P

作圆O的切线,切点分别为A、B,若直线PA、PB关于直线l对称,则cos∠APB=

()A.

B.

C.

D.

B解析

连接OP,OA,OB,由PA、PB关于直线l:x+y-4=0对称,知OP⊥l,则|OP|=

=2

,记∠APB=2α,则∠APO=∠BPO=α,则sinα=

=

,所以cos∠APB=cos2α=1-2sin2α=

.故选B.

9.(多选)(2025届河南濮阳质量检测,9)已知直线y=x与圆D:x2+y2-2my=4-m2有两个交点,则

整数m的可能取值有

()A.0

B.-3

C.1

D.3AC解析

联立

消去x可得2y2-2my+m2-4=0,则Δ=(-2m)2-8(m2-4)>0,解得-2

<m<2

.故选AC.10.(多选)(2025届湖南长郡中学模块测,10)已知圆O:x2+y2=4,则

()A.圆O与直线mx+y-m-1=0必有两个交点B.圆O上存在4个点到直线l:x-y+

=0的距离都等于1C.若圆O与圆x2+y2-6x-8y+m=0恰有三条公切线,则m=16D.已知动点P在直线x+y-4=0上,过点P向圆O引两条切线,A,B为切点,则|OP|·|AB|的最小

值为8ACD解析

对于A,将直线mx+y-m-1=0整理得(x-1)m+y-1=0,由

得

所以直线mx+y-m-1=0过定点(1,1),因为12+12<4,所以该定点在圆内,故圆O与直线mx+y-m-1=0必有两个交点,故A正确.对于B,x2+y2=4的圆心到直线l:x-y+

=0的距离为

=1,所以过圆心且与直线l平行的直线与圆相交,有两个点到直线l的距离为1,与直线l平行

且与圆相切,并且与直线l在圆心同侧的直线到l的距离为1,所以只有三个点满足题意,故

B错误.对于C,将圆x2+y2-6x-8y+m=0化成标准形式为(x-3)2+(y-4)2=25-m.因为两圆有三条公切线,所以两圆外切,所以

=

+2,25-m>0,解得m=16,故C正确.对于D,连接OP,OA,OB.

因为A,B为切点,所以OA⊥PA,OB⊥PB,所以S四边形PAOB=2S△POA=2S△POB,且当PO最小时,S△POA最小,所以当PO与直线x+y-4=0垂直时,|PO|min=

=2

,又因为半径为2,所以|PA|min=

=2,(S△POA)min=

|PA|min|OA|=2,所以(|OP||AB|)min=2(S四边形PAOB)min=4(S△POA)min=8,故D正确.故选ACD.11.(2025届浙江七彩阳光新高考联盟返校考,13)若曲线y=ex+a过坐标原点的切线与圆(x-

1)2+(y+1)2=2相切,则实数a=

.-1解析

对y=ex+a求导,得y'=ex+a,设切点为(x0,

),则切线斜率为

.又切线过原点(0,0),则

=

,解得x0=1,则斜率为e1+a.则切线方程为y=e1+ax.因为直线y=e1+ax与圆(x-1)2+(y+1)2=2相切,所以

=

,整理得,(e1+a-1)2=0,解得a=-1.12.(2024湖南岳阳汨罗一中月考,14)已知线段PQ两端点的坐标分别为P(-1,1)和Q(2,2),

若直线l恒过(0,-1),且与线段PQ有交点,则l的斜率k的取值范围是

.(-∞,-2]∪

解析

因为A(0,-1),P(-1,1)和Q(2,2),所以kAP=

=-2,kAQ=

=

.如图所示,若直线l与线段PQ有交点,

则k≥kAQ或k≤kAP,即k≥

或k≤-2,所以l的斜率k的取值范围是(-∞,-2]∪

.13.(2024重庆八中模拟,13)已知直线l:(m+1)·x+(1-m)y-2=0被动圆C:(x-n)2+(y-2n)2=9截得

的弦长为定值,则直线l的方程为

.2x-y-1=0解析

l:(m+1)x+(1-m)y-2=0,即l:m(x-y)+x+y-2=0,由

解得

即直线l过定点(1,1),动圆C:(x-n)2+(y-2n)2=9的圆心为C(n,2n),半径为r=3,动圆圆心C在定直线l':y=2x上,要使直线l被截得的弦长为定值,则动点C到l的距离为定值,则l∥l',(动点C所在直线上的所有点到l的距离相等,则两直线平行)故l的斜率为2,故直

线l的方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.14.(2024河北唐山一中二模,13)已知点O(0,0),A(2,-4),B为OA的中点,动点P,Q分别满足|PB|=

|OA|,|QA|=

|QO|,则|PQ|的最大值为

.4

+2

解析

由题意可知点B的坐标为(1,-2),|OA|=2

,由|PB|=

|OA|得点P在以OA为直径的圆B上,可求得圆B的方程为(x-1)2+(y+2)2=5,设Q(x,y),由|QA|=

|QO|,得(x-2)2+(y+4)2=

(x2+y2),整理得x2+y2-8x+16y+40=0,即(x-4)2+(y+8)2=40,设C(4,-8),则点Q在以C为圆心,2

为半径的圆上,所以|PQ|的最大值为|BC|+

+2

=

+

+2

=4

+2

.15.(2025届湖南长沙六中开学考,15)已知圆M:x2+y2-2x+1-m2=0(m∈R).(1)若圆M的半径为1,求实数m的值;(2)在(1)的条件下,设A(0,t),B(0,t+6)(-5≤t≤-2),若圆M是△ABC的内切圆,求△ABC面积

的最大值.解析

(1)由题意,知圆M的标准方程为(x-1)2+y2=m2,由圆M的半径为1,得m2=1,即m=±1.(2)由题意,得直线AC,BC的斜率存在.设直线AC的方程为y1=k1x+t,直线BC的方程为y2=k2x+t+6,则xC=

,∵|AB|=6,∴S△ABC=

·|AB|·|xC|=

,∵圆M是△ABC的内切圆,∴M到直线AC、BC的距离都为1,∴d1=

=1,d2=

=1,得k1=

,k2=-

,∴|k1-k2|=

=

,则S△ABC=

=

,∵-5≤t≤-2,∴t(t+6)∈[-9,-5],∴S△ABC∈

,则△ABC面积的最大值为

.1.(2025届河北衡水中学开学考,6)点P(-2,-1)到直线l:(1+3λ)x+(1+λ)y-2-4λ=0(λ∈R)的距

离最大时,其最大值以及此时的直线方程分别为

()A.

,3x+2y-5=0

B.

,3x+2y-5=0C.

,2x-3y+1=0

D.

,2x-3y+1=0A解析

将直线l的方程(1+3λ)x+(1+λ)y-2-4λ=0(λ∈R)化为x+y-2+λ(3x+y-4)=0,由

解得

因此直线l过定点A(1,1),当AP⊥l时,点P(-2,-1)到直线l的距离最大,最大值为|AP|=

=

,又直线AP的斜率kAP=

=

,所以直线l的方程为y-1=-

(x-1),(注意AP⊥l)即3x+2y-5=0.故选A.2.(2025届湖北腾云联盟联考,7)已知圆C:(x-1)2+y2=1,点M在曲线y=ex上,过点M作圆C的

两条切线,切点分别为A和B,以AB为直径作圆C',则圆C'的面积的最小值为

()A.

B.

C.

D.πB解析

由题设有C(1,0),设M(m,em),则|MC|2=(m-1)2+e2m,设f(m)=(m-1)2+e2m,则f'(m)=2(m-1)+2e2m,因为y=2(m-1),y=2e2m为R上的增函数,故f'(m)为R上的增函数,又f'(0)=0,故当x>0时,f'(m)>0,当x<0时,f'(m)<0,故f(m)在(-∞,0)上为减函数,在(0,+∞)上

为增函数,故f(m)min=f(0)=2,故|MC|min=

,由等面积法可得

×|AB|×|MC|=2×

×|CA|×|MA|,故|AB|=2

=2

=2

,故|AB|min=2

=

,故圆C'的面积的最小值为π×

=

,故选B.3.(2025届山东德州开学考,8)已知点A为直线3x+4y-7=0上一动点,点B(4,0),且P(x,y)满足

x2+y2+x-2=0,则3|AP|+|BP|的最小值为()A.

B.

C.

D.

D解析

∵x2+y2+x-2=0,∴

+y2=

.∴P点轨迹是以

为圆心,

为半径的圆,记为圆C,设在x轴上存在定点M(a,0),使得圆上任意一点P(x,y),满足|PB|=3|PM|,则

=3

,化简得8(x2+y2)-(18a-8)x+(9a2-16)=0,

又∵x2+y2+x-2=0,代入得18ax-9a2=0,要使等式恒成立,则a=0.∴存在定点M(0,0),使圆上任意一点P满足|PB|=3|PM|,则3|AP|+|BP|=3|AP|+3|MP|=3(|AP|+|MP|)≥3|AM|,当A,P,M三点共线(A,M位于P两侧)时,等号成立.又A点为直线3x+4y-7=0上一动点,则|AM|的最小值即为点M到直线3x+4y-7=0的距离,M(0,0)到直线3x+4y-7=0距离d=

=

,则|AM|min=

.故3|AP|+|BP|≥3|AM|≥3d=

.故选D.4.(2025届广东部分学校大联考,8)已知圆M:x2+y2-6y=0与圆N:(x-cosθ)2+(y-sinθ)2=1(0≤θ

≤2π)交于A,B两点,则△ABM(M为圆M的圆心)面积的最大值为

()A.

B.

C.2

D.

C解析

由题意得M:x2+(y-3)2=9,所以圆心M(0,3),半径r=3,由两圆相交于A,B两点可知|MA|=|MB|=r=3,所以S△ABM=

|MA|×|MB|×sin∠AMB=

×3×3×sin∠AMB=

sin∠AMB,因为圆N的半径为1,所以|AB|≤2,当|AB|=2时,|MN|=

=2

,又|MN|=

=

,则

=2

,解得sinθ=

,cosθ=±

,故|AB|可以取最大值2.当|AB|=2时,∠AMB

最大,且是锐角,在△ABM中,由余弦定理的推论可得cos∠AMB=

=

=

,所以sin∠AMB=

=

,所以S△ABM≤

×

=2

,故选C.5.(2024安徽师大附中二模,8)已知直线l:Ax+By+C=0(A2+B2≠0)与曲线W:y=x3-x有三个交

点D、E、F,且|DE|=|EF|=2,则以下能作为直线l的方向向量的坐标是

()A.(0,1)

B.(1,-1)

C.(1,1)

D.(1,0)C解析

令f(x)=y=x3-x,其定义域为R,f(-x)=(-x)3-(-x)=-f(x),即函数f(x)是奇函数,因此曲线W的对称

中心为(0,0),所以由直线l与曲线W有三个交点D,E,F,且满足|DE|=|EF|=2,得E(0,0),设D(x,

x3-x),则x2+(x3-x)2=4,令x2=t,则有t3-2t2+2t-4=0,即(t2+2)(t-2)=0,解得t=2,即x=±

,因此点D(

,

)或D(-

,-

),则

=(

,

)或

=(-

,-

),故能作为直线l的方向向量的坐标是(1,1).故选C.6.(2024湖北襄阳五中三模,7)已知圆C1:(x-2)2+y2=4,C2:(x-2-5cosθ)2+(y-5sinθ)2=1(θ∈R),

过圆C2上一点P作圆C1的两条切线,切点分别是E、F,则

·

的最小值是

()A.6

B.5

C.4

D.3A解析

由C2:(x-2-5cosθ)2+(y-5sinθ)2=1(θ∈R)可得:圆C2的圆心在圆(x-2)2+y2=25上,(圆C2圆心坐标为(2+5cosθ,5sinθ),所以圆心C2在(x-2)2+y2=25上)由C1(2,0),得|PC1|∈[4,6],设∠EPC1=α,|PC1|=d,则

·

=|

|2cos2α=(d2-4)(1-2sin2α)=(d2-4)

=d2+

-12,由f(d2)=d2+

-12在[16,36]上为增函数可知,当d2=16时,

·

取得最小值6,故选A.7.(多选)(2025届安徽A10联盟开学考,11)已知点A(m,n)在圆O:x2+y2=4外,