矩阵论简明教程全课件

矩阵论

教材：矩阵论简明教程（第二版）

徐仲，张凯院，陆全，冷国伟编著

科学出版社

第1页/共188页第一章矩阵的基础知识§1.1矩阵的运算§1.2方阵的行列式§1.3矩阵的秩§1.4特殊矩阵类第2页/共188页§1.1矩阵的运算一、矩阵的概念1、数集R—实数集，C—复数集2、矩阵的记号第3页/共188页！Notations第4页/共188页二、矩阵的运算1、加法，减法2、数乘3、乘法第5页/共188页4、转置与共轭转置第6页/共188页第7页/共188页三、矩阵的块运算1、加法，减法第8页/共188页2、数乘3、乘法第9页/共188页4、转置与共轭转置第10页/共188页第11页/共188页§1.2方阵的行列式一、行列式的定义与性质第12页/共188页第13页/共188页二、块矩阵的行列式第14页/共188页第15页/共188页即某行左乘一个矩阵加到另一行，值不变；某列右乘一个矩阵加到另一列，值不变。第16页/共188页Example1证：第17页/共188页Example2证：第18页/共188页Example3证：第19页/共188页第20页/共188页三、Vandermond行列式第21页/共188页第22页/共188页MatrixTheory第23页/共188页第一章矩阵的基础知识§1.1矩阵的运算§1.2方阵的行列式§1.3矩阵的秩§1.4特殊矩阵类第24页/共188页一、矩阵秩的定义及基本性质1、秩的定义§1.3矩阵的秩第25页/共188页第26页/共188页2、基本性质（1）初等变换不改变矩阵秩；第27页/共188页二、矩阵秩等式三、矩阵秩不等式第28页/共188页第29页/共188页定理1第30页/共188页推论1第31页/共188页§1.4特殊矩阵一、几类基本的特殊矩阵1、零矩阵，单位矩阵2、对角矩阵第32页/共188页3、三角矩阵第33页/共188页二、正规矩阵定义1以下矩阵都是正规矩阵：第34页/共188页定义2第35页/共188页三、初等矩阵1、定义有以下三类初等矩阵：定义3第36页/共188页Row

iRowj第37页/共188页第38页/共188页第39页/共188页2、三种初等矩阵的统一表示第40页/共188页第41页/共188页第42页/共188页第43页/共188页第44页/共188页第45页/共188页Remark第46页/共188页四、其他特殊矩阵第47页/共188页第48页/共188页MatrixTheory第49页/共188页第1章矩阵的相似变换§2.1矩阵的特征值与特征向量§2.2矩阵的相似对角化§2.3矩阵的Jordan标准形§2.4Hamilton-Cayley定理§2.5矩阵的酉相似第50页/共188页一、特征值与特征向量1、定义§2.1矩阵的特征值与特征向量定义1第51页/共188页2、特征多项式定义2！Remarks第52页/共188页3、特征值与特征向量的求法第53页/共188页例1解第54页/共188页第55页/共188页第56页/共188页二、特征值与特征向量的性质定义3定理1第57页/共188页定理2定义4第58页/共188页定理3定理4第59页/共188页！Remarks第60页/共188页§2.2矩阵的相似对角化一、矩阵的相似1、定义定义1第61页/共188页2、性质定理1第62页/共188页定理2Proofof（2）第63页/共188页第64页/共188页二、相似对角化1、定义定义22、相似对角化的条件定理3第65页/共188页Proof第66页/共188页第67页/共188页推论1第68页/共188页推论2第69页/共188页Example2Solution第70页/共188页第71页/共188页第72页/共188页第73页/共188页Example3Solution第74页/共188页第75页/共188页第76页/共188页MatrixTheory第77页/共188页第二章矩阵的相似变换§2.1矩阵的特征值与特征向量§2.2矩阵的相似对角化§2.3矩阵的Jordan标准形§2.4Hamilton-Cayley定理§2.5矩阵的酉相似第78页/共188页一、Jordan标准形1、定义定义1§2.3矩阵的Jordan标准形第79页/共188页！Remark第80页/共188页2、矩阵的Jordan分解定理定理1第81页/共188页二、Jordan标准形的求法1、初等变换法定义2第82页/共188页定理2第83页/共188页！Reamrk定义3第84页/共188页由初等变换求矩阵A的Jordan标准形方法：第85页/共188页第86页/共188页例1解第87页/共188页第88页/共188页2、行列式因子法定义3定理3第89页/共188页由行列式因子求矩阵A的Jordan标准形方法：第90页/共188页例2解第91页/共188页第92页/共188页第93页/共188页例3解第94页/共188页第95页/共188页第96页/共188页第97页/共188页三、相似变换矩阵的求法与Jordan标准形的幂1、相似变换矩阵的求法例4解第98页/共188页第99页/共188页第100页/共188页第101页/共188页！Remark第102页/共188页2、Jordan标准形的幂定理4第103页/共188页第104页/共188页第105页/共188页！Remark第106页/共188页例5解第107页/共188页第108页/共188页第109页/共188页MatrixTheory第110页/共188页第二章矩阵的相似变换§2.1矩阵的特征值与特征向量§2.2矩阵的相似对角化§2.3矩阵的Jordan标准形§2.4Hamilton-Cayley定理§2.5矩阵的酉相似第111页/共188页一、Hamilton-Cayley

定理1、定理定理1（Hamilton-Cayley定理）§2.4Hamilton-Cayley定理证明第112页/共188页第113页/共188页第114页/共188页第115页/共188页第116页/共188页1、利用定理1可以简化矩阵运算例1解二、Hamilton-Cayley定理的应用第117页/共188页第118页/共188页第119页/共188页2、可逆矩阵逆的多项式表示第120页/共188页三、零化多项式与最小多项式1、零化多项式定义1！Notations第121页/共188页2、最小多项式定义2第122页/共188页定理2证略第123页/共188页3、零化多项式与最小多项式的关系定理3证第124页/共188页定理4证略第125页/共188页例2解第126页/共188页第127页/共188页MatrixTheory第128页/共188页第二章矩阵的相似变换§2.1矩阵的特征值与特征向量§2.2矩阵的相似对角化§2.3矩阵的Jordan标准形§2.4Hamilton-Cayley定理§2.5矩阵的酉相似第129页/共188页§2.5矩阵的酉相似1、向量的内积定义1第130页/共188页定理1第131页/共188页2、向量的长度定义2向量的长度具有如下性质：第132页/共188页定理2第133页/共188页3、Cauchy-Schwarz不等式定理3（Cauchy-Schwarz不等式）证第134页/共188页第135页/共188页1、定义第136页/共188页第137页/共188页定义3定理4证第138页/共188页定义4第139页/共188页2、Schmidt正交化第140页/共188页第141页/共188页第142页/共188页3、单位化第143页/共188页例1解第144页/共188页第145页/共188页第146页/共188页三、酉矩阵1、定义定义5！Notations第147页/共188页2、性质定理5第148页/共188页定理6证第149页/共188页第150页/共188页四、酉相似1、定义定义6第151页/共188页2、Schur分解定理7（Schur分解定理）第152页/共188页证第153页/共188页第154页/共188页从而由归纳法可以证明。第155页/共188页五、酉相似对角化1、正规矩阵定义7！Notations以下矩阵都是正规矩阵：第156页/共188页第157页/共188页定理8证：必要性第158页/共188页第159页/共188页充分性：第160页/共188页第161页/共188页第162页/共188页第163页/共188页2、Hermite矩阵，反Hermite矩阵及酉矩阵的特性定理9证第164页/共188页第165页/共188页第166页/共188页第167页/共188页第168页/共188页第169页/共188页第170页/共188页第171页/共188页酉相似对角化方法：第172页/共188页第173页/共188页例2解第174页/共188页第175页/共188页第176页/共188页六、Hermite矩阵的正定性1、定义定义8第177页/共188页2、正定Hermite矩阵的性质定理10第178页/共188页定理113、非负定Hermite矩阵的性质第179页/共188页定理12第180页/共188页第181页/共188页MatrixTheory第182页/共188页第4章矩阵分析§4.1向量的范数§4.2矩阵范数§4.3矩阵级数§4.4矩阵函数§4.5矩阵的微分与积分第183页/共188页§4.1向量的范数一、向量的范数Recall：向量的长度的性质1.