江苏高等数学考试题库及答案大二

江苏高等数学考试题库及答案大二

一、单项选择题（每题2分，共10题）1.函数\(y=\sinx\)的导数是（）A.\(\cosx\)B.\(-\cosx\)C.\(\sinx\)D.\(-\sinx\)2.定积分\(\int_{0}^{1}x^2dx\)的值为（）A.\(\frac{1}{3}\)B.\(\frac{1}{2}\)C.1D.33.极限\(\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sinx}{x}\)的值为（）A.0B.1C.不存在D.\(\infty\)4.函数\(y=e^x\)在\(x=0\)处的切线方程为（）A.\(y=x+1\)B.\(y=-x+1\)C.\(y=x\)D.\(y=-x\)5.设\(y=\lnx\)，则\(y^{\prime\prime}\)为（）A.\(\frac{1}{x}\)B.\(-\frac{1}{x^2}\)C.\(\frac{2}{x^2}\)D.\(-\frac{2}{x^3}\)6.函数\(y=x^3-3x\)的单调递增区间是（）A.\((-\infty,-1)\cup(1,+\infty)\)B.\((-1,1)\)C.\((-\infty,0)\)D.\((0,+\infty)\)7.已知向量\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec{b}=(2,k)\)，若\(\vec{a}\parallel\vec{b}\)，则\(k\)的值为（）A.1B.2C.3D.48.二次函数\(y=ax^2+bx+c(a\neq0)\)的顶点坐标为（）A.\((-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})\)B.\((\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})\)C.\((-\frac{b}{2a},-\frac{4ac-b^2}{4a})\)D.\((\frac{b}{2a},-\frac{4ac-b^2}{4a})\)9.若\(\intf(x)dx=F(x)+C\)，则\(\intf(2x)dx\)等于（）A.\(F(2x)+C\)B.\(\frac{1}{2}F(2x)+C\)C.\(2F(2x)+C\)D.\(-\frac{1}{2}F(2x)+C\)10.无穷级数\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}\)的和为（）A.0B.1C.\(\infty\)D.2答案：1.A2.A3.B4.A5.B6.A7.D8.A9.B10.B二、多项选择题（每题2分，共10题）1.下列函数中是奇函数的有（）A.\(y=x^3\)B.\(y=\sinx\)C.\(y=e^x\)D.\(y=\frac{1}{x}\)2.下面关于定积分性质正确的有（）A.\(\int_{a}^{b}kf(x)dx=k\int_{a}^{b}f(x)dx\)（\(k\)为常数）B.\(\int_{a}^{b}[f(x)+g(x)]dx=\int_{a}^{b}f(x)dx+\int_{a}^{b}g(x)dx\)C.\(\int_{a}^{b}f(x)dx=-\int_{b}^{a}f(x)dx\)D.若\(f(x)\geqslant0\)在\([a,b]\)上，则\(\int_{a}^{b}f(x)dx\geqslant0\)3.对于函数\(y=\ln(x^2+1)\)，以下说法正确的是（）A.定义域为\(R\)B.是偶函数C.在\((0,+\infty)\)上单调递增D.在\((-\infty,0)\)上单调递减4.向量\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec{b}=(2,-1)\)，则（）A.\(\vec{a}+\vec{b}=(3,1)\)B.\(\vec{a}-\vec{b}=(-1,3)\)C.\(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\)D.\(\vert\vec{a}\vert=\sqrt{5}\)5.下列函数在\(x=0\)处连续的有（）A.\(y=x\)B.\(y=\frac{\sinx}{x}\)C.\(y=e^x\)D.\(y=\begin{cases}x+1,x\geqslant0\\x-1,x<0\end{cases}\)6.若函数\(y=f(x)\)在\(x=x_0\)处可导，则（）A.函数\(y=f(x)\)在\(x=x_0\)处连续B.\(\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\)存在C.曲线\(y=f(x)\)在\((x_0,f(x_0))\)处有切线D.\(\lim_{x\rightarrowx_0}f(x)=f(x_0)\)7.下列无穷级数收敛的有（）A.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\)B.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\)C.\(\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{1}{n}\)D.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}\)8.设\(z=f(x,y)\)是二元函数，则（）A.\(\frac{\partialz}{\partialx}\)表示\(z\)对\(x\)的偏导数B.\(\frac{\partialz}{\partialy}\)表示\(z\)对\(y\)的偏导数C.全微分\(dz=\frac{\partialz}{\partialx}dx+\frac{\partialz}{\partialy}dy\)D.若\(\frac{\partialz}{\partialx}=\frac{\partialz}{\partialy}=0\)，则\(z\)为常数9.对于曲线\(y=x^3-3x^2+2x\)，以下说法正确的是（）A.有两个极值点B.\(y^{\prime}=3x^2-6x+2\)C.在\(x=1\)处取得极小值D.在\(x=\frac{1}{3}\)处取得极大值10.设\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)，\(B=\begin{pmatrix}2&0\\1&-1\end{pmatrix}\)，则（）A.\(A+B=\begin{pmatrix}3&2\\4&3\end{pmatrix}\)B.\(A-B=\begin{pmatrix}-1&2\\2&5\end{pmatrix}\)C.\(AB=\begin{pmatrix}4&-2\\10&-4\end{pmatrix}\)D.\(BA=\begin{pmatrix}2&4\\-2&-4\end{pmatrix}\)答案：1.ABD2.ABCD3.ABCD4.ABD5.AC6.ABCD7.BC8.ABC9.AB10.ACD三、判断题（每题2分，共10题）1.函数\(y=\sqrt{x}\)的定义域是\([0,+\infty)\)。（）2.若\(f(x)\)在\([a,b]\)上连续，则\(\int_{a}^{b}f(x)dx\)一定存在。（）3.函数\(y=\cosx\)是周期为\(2\pi\)的偶函数。（）4.向量\(\vec{a}=(1,0)\)与向量\(\vec{b}=(0,1)\)垂直。（）5.若\(\lim_{x\rightarrowx_0}f(x)=A\)，\(\lim_{x\rightarrowx_0}g(x)=B\)，则\(\lim_{x\rightarrowx_0}[f(x)+g(x)]=A+B\)。（）6.函数\(y=x^2\)在\((-\infty,+\infty)\)上是凹函数。（）7.无穷级数\(\sum_{n=1}^{\infty}n\)是收敛的。（）8.若\(z=x^2y\)，则\(\frac{\partialz}{\partialx}=2xy\)。（）9.函数\(y=\lnx\)在\((0,+\infty)\)上单调递增。（）10.对于矩阵\(A=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\)，\(A^2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\)。（）答案：1.对2.对3.对4.对5.对6.对7.错8.对9.对10.对四、简答题（每题5分，共4题）1.求函数\(y=x^3-3x^2+2\)的极值。答案：首先求导\(y^{\prime}=3x^2-6x=3x(x-2)\)。令\(y^{\prime}=0\)，得\(x=0\)或\(x=2\)。当\(x<0\)时，\(y^{\prime}>0\)，函数递增；当\(0<x<2\)时，\(y^{\prime}<0\)，函数递减；当\(x>2\)时，\(y^{\prime}>0\)，函数递增。所以\(x=0\)时取得极大值\(y(0)=2\)，\(x=2\)时取得极小值\(y(2)=-2\)。2.计算定积分\(\int_{0}^{\pi}\sinxdx\)。答案：根据定积分公式\(\int\sinxdx=-\cosx+C\)。则\(\int_{0}^{\pi}\sinxdx=-\cosx\big|_{0}^{\pi}=-\cos\pi+\cos0=2\)。3.求过点\((1,2)\)且斜率为\(3\)的直线方程。答案：直线方程的点斜式为\(y-y_1=k(x-x_1)\)，已知\(x_1=1\)，\(y_1=2\)，\(k=3\)。所以直线方程为\(y-2=3(x-1)\)，即\(y=3x-1\)。4.求向量\(\vec{a}=(1,2)\)与向量\(\vec{b}=(3,-1)\)的夹角\(\theta\)。答案：根据向量点积公式\(\vec{a}\cdot\vec{b}=\vert\vec{a}\vert\vert\vec{b}\vert\cos\theta\)。\(\vec{a}\cdot\vec{b}=1\times3+2\times(-1)=1\)，\(\vert\vec{a}\vert=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}\)，\(\vert\vec{b}\vert=\sqrt{3^2+(-1)^2}=\sqrt{10}\)。则\(\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\vert\vec{a}\vert\vert\vec{b}\vert}=\frac{1}{\sqrt{5}\times\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{2}}{10}\)，\(\theta=\arccos\frac{\sqrt{2}}{10}\)。五、讨论题（每题5分，共4题）1.讨论函数\(y=\frac{1}{x}\)在\((0,+\infty)\)和\((-\infty,0)\)上的单调性。答案：对\(y=\frac{1}{x}\)求导得\(y^{\prime}=-\frac{1}{x^2}\)。在\((0,+\infty)\)和\((-\infty,0)\)上\(y^{\prime}<0\)，所以函数\(y=\frac{1}{x}\)在\((0,+\infty)\)和\((-\infty,0)\)上均单调递减。2.讨论无穷级数\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}\)（\(p>0\)）的敛散性。答案：当\(p>1\)时，级数收敛；当\(p=1\)时，即\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\)，级数发散；当\(0<p<1\)时，级数发散。3.讨论二元函数\(z=x^2+y^2\)的极值情况。答案：先求偏导数\(\frac{\partialz}{\partialx}=2x\)，\(\frac{\partialz}{\partialy}=2y\)。令\(\frac{\partialz}{\part