2024-2025学年湖南省株洲二中高二（下）期中数学试卷（B卷）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年湖南省株洲二中高二（下）期中数学试卷（B卷）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.函数y=x−cos(2x−1)的导数为(

)A.y′=1−sin(2x−1) B.y′=1+sin(2x−1)

C.2.在等差数列{an}中，若a2+a8A.−2 B.−1 C.1 D.23.某班级要从3名男生和2名女生中选取2位学生分别担任正、副班长，则至少有一名女生被选中的不同选法有(    )种．A.7 B.10 C.14 D.164.在(x+2x)5的展开式中，xA.10 B.15 C.20 D.405.某公司升级了智能客服系统，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为89，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为13.已知输入的问题表达不清晰的概率为14A.23 B.34 C.456.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S4=48，A.83 B.108 C.75 D.637.设随机变量X～N(3,10)，a=P(X<3)，b=log5(1+2)A.c<a<b B.c<b<a C.a<c<b D.b<c<a8.已知函数f(x)=2xlnx−a(x−x)，g(x)=x2−4x+3，若对于任意的x1∈(0,+∞)，总存在xA.0<a≤4 B.a=4 C.0<a≤2 D.a=2二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知随机变量X～N(2,σ2)，若P(X≤0)=0.1，则A.P(X≤2)=0.5 B.P(X≤4)=0.9

C.P(2≤X≤4)=0.3 D.D(2X+2)=410.已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线l与C交于A，B两点，设A(x1,y1)，B(A.若直线l过焦点F，则|AF|⋅|BF|的最小值为2

B.若E(3,1)，则|AE|−|AF|的最大值为5

C.若直线AB的斜率存在，则其斜率与x0无关，与y0有关

D.若O为坐标原点，直线l11.设数列{an}的前n项和为Sn，且a1=2A.若{an}为等差数列，则a3=10

B.若{an}为等差数列，则Sn=2n2

C.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F，一条渐近线被以点13.在我市的一项竞赛活动中，某县的三所学校分别有1名、2名、3名学生获奖，这6名学生排成一排合影，要求同校任意两名学生不能相邻，那么不同的排法有______种.(用数字作答)14.设函数f(x)=(ex−ax)(2lnx−ax2−1)，若四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知数列{an}的前n项和为Sn=12n2+12n,n∈N+．

(1)求a1，a2的值；

(2)求16.(本小题15分)

袋子A和B中都装有若干个均匀的红球和白球，从A中摸出1个红球的概率是13，从B中摸出1个红球的概率为p．

(1)从A中有放回地摸球，每次摸出1个，有3次摸到红球即停止．

①求恰好摸5次停止的概率；

②记5次之内(含5次)摸到红球的次数为ξ，求随机变量ξ的分布列．

(2)若A，B两个袋子中的球数之比为1：2将A，B中的球装在一起后，从中摸出1个红球的概率是25，求p17.(本小题15分)

已知函数f(x)=a−1x−lnx(a∈R)．

(1)若a=2，求函数f(x)在(1,e2)上的零点个数；

(2)若f(x)有两个零点x18.(本小题17分)

如图，在体积为23的四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，△A1AC是边长为2的正三角形．

19.(本小题17分)

已知双曲线C：x2a2−y2=1(a>0)的焦距为25且左右顶点分别为A1，A2，过点T(4,0)的直线l与双曲线C的右支交于M，N两点．

(1)求双曲线的方程；

(2)记直线A1M，A2N的斜率分别为k1，k2，证明：k1k2参考答案1.D

2.C

3.C

4.A

5.B

6.D

7.A

8.B

9.ABD

10.CD

11.AB

12.2

13.120

14.[115.(1)由Sn=12n2+12n,n∈N+，

可得a1=12+12=1,a2=S2−S1=216.(1)①根据题意，恰好摸5次停止，表示第5次一定摸到红球，前4次有2次摸到红球，

故要求概率P=C42(13)2(23)2(13)=881．

②根据题意，从A中有放回地摸球，每次摸出1个，有3次摸到红球即停止，

记5次之内(含5次)摸到红球的次数为ξ，所以随机变量ξ的取值为0，1，2ξ0123P32808017(2)设袋子A中有m个球，则袋子B中有2m个球，故A，B两袋中共有3m个球，袋子A中有红球13m个，袋子B中有红球2mp个，

根据古典概型概率公式得到1317.(1)当a=2时，f(x)=2−1x−lnx，因此f′(x)=1−xx2，

当x∈(1,e2)时，f′(x)<0，

因此f(x)在(1,e2)上单调递减，因此f(x)在(1,e2)上至多有一个零点，

因为函数f(x)在(1,e2)上的图象是连续不断的，且f(1)>0，f(e2)<0，即f(1)⋅f(e2)<0，

所以函数f(x)在(1,e2)上有且只有一个零点，

综上，当a=2时，函数f(x)在(1,e2)上的零点个数为1个；

(2)证明：先证x1+x2>2，

依题设有a=1x1+lnx1=1x2+lnx2，

于是x2−x1x1x2=lnx2x1，

记x2x1=t，t>1，因此lnt=t−1tx1，因此x1=t−1tlnt，

x1+x2=x1(t+1)=t2−1tlnt，x1+x2−2=2(t2−12t−lnt)lnt，

记函数g(x)=x2−12x−lnx，x>1，

因此g′(x)=(x−1)18.(1)证明：设四棱柱ABCD−A1B1C1D1的高为ℎ，

因为四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，且AC=2，

所以正方形ABCD的面积为2.因为四棱柱ABCD−A1B1C1D1的体积为23，

所以2ℎ=23，得ℎ=3，

即点A1到平面ABCD的距离为3．

连接A1O，因为△A1AC是边长为2的正三角形，所以A1O=3，

即A1O为点A1到平面ABCD的距离，

所以A1O⊥平面ABCD．

因为BC⊂平面ABCD，所以A1O⊥BD．

在正方形ABCD中，BD⊥AC．

因为A1O∩AC=O，所以BD⊥平面ACC1A1.因为BD⊂平面BDD1B1，

所以平面ACC1A1⊥平面BDD1B1；

(2)由(1)知，OA，OB，OA1两两垂直，如图，

以点O为坐标原点，分别以OA，OB，OA1所在直线为x轴、y轴、z轴，

建立空间直角坐标系O−xyz，则O(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0,1,0)，

C(−1,0,0)，A1(0