2024-2025学年甘肃省临夏州高二下学期期末质量监测数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年甘肃省临夏州高二下学期期末质量监测数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知f(x)=x4，若f′x0A.1 B.12 C.13 2.已知空间向量a=(x,−2,−4),b=(2,1,−1)A.2 B.1 C.−1 D.−23.设离散型随机变量X的分布列为X0123P0.20.40.30.1若随机变量Y=|X−1|，则P(Y=1)=(

)A.0.5 B.0.6 C.0.7 D.0.84.已知10个成对数据(x,y)的散点图如图所示，并对x,y进行线性回归分析.若在此图中去掉点P后，再次对x,y进行线性回归分析，则下列说法正确的是(

)

A.相关系数r变大 B.变量x与y的线性相关程度变低

C.相关系数r变小 D.变量x与y呈负相关5.某学校一同学研究温差x(℃)与本校当天新增感冒人数y(人)的关系，该同学记录了5x568912y17a252835已知数据的样本中心点为(m,25)，经过拟合，发现基本符合回归直线方程y=bx+4.2A.m=8 B.a=20

C.b=2.4 D.x=5时，6.已知事件A,B满足P(A)=0.4,P(B)=0.3，则下列结论正确的是(

)A.若A,B互斥，则P(A+B)=0.6 B.若P(AB)=0.2，则P AB=13

C.若A与B相互独立，则PAB=0.7 7.在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，M，N分别是线段A1B，B1D1上的点，且A1A.AB与B1D1→的夹角为45° B.MN=13AB+23AD+18.若函数f(x)的定义域为D，且存在x0∈D，使得fx0+f′x0=0，则称x0是f(x)的一个“阶值点”.若函数g(x)=2x，ℎ(x)=ex+2x，A.a>c>b B.a>b二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知随机变量X～N1,22，Y～NA.E(X)=E(Y) B.D(X)=D(Y)

C.P(X≤0)=P(X≥2) D.P(X≤1)+P(Y≥1)=110.已知函数f(x)=13x3A.函数f(x)在区间[0,2]上单调递减B.函数f(x)在点3,f(3)处的切线方程为y=8x−16

C.函数f(x)在12,2上的值域为43,83D.若关于11.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，点E在线段CC1上运动，则(

)

A.三棱锥A1−AB1E的体积为定值

B.A1E⊥B1D1

C.若三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知两个随机事件A,B，若P(A)=23，P BA=1113.已知函数f(x)=12x2+lnx−ax14.对于两个空间向量a=x1,y1,z1与b=x2,y2,z2，我们定义da→,b→=x1−四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知函数f(x)=(x+a)ex在(1)求a的值；(2)求f(x)在[−1,3]上的最值．16.(本小题15分某校食堂为了解学生对牛奶、豆浆的喜欢情况是否存在性别差异，随机抽取了100名学生进行问卷调查，得到了如下的统计结果：项目喜欢牛奶喜欢豆浆合计男生40a女生b25合计100已知从这100名学生的问卷中随机抽取1份，喜欢牛奶的概率为35(1)求a，b；(2)根据表中数据，能否认为该校学生对牛奶、豆浆的喜欢情况与性别有关？附：χ2P0.0100.0050.001x6.6357.87910.82817.(本小题15分)诗词是中华文化的瑰宝，蕴含着丰富的文学内涵和美学价值.某学校为了培养学生学习诗词的兴趣，特别组织了一次关于诗词的知识竞赛，竞赛分为初赛和决赛，初赛通过后才能参加决赛．(1)初赛采用选一题答一题的方式，每位参赛学生最多有5次答题机会，累计答对3道题或答错3道题即终止比赛，答对3道题则进入决赛，答错3道题则被淘汰.已知学生甲答对每道题的概率均为23(ⅰ)求甲至多回答了4道题被淘汰的概率；(ⅱ)设甲在初赛答题的道数为X，求X的分布列和数学期望．(2)决赛共答3道题，若答对题目数量不少于2道，则胜出.已知学生甲进入了决赛，他在决赛中前2道题答对的概率相等，均为x(0<x<1)，3道题全答对的概率为18，且回答各题的结果相互独立，设他恰好答对2道题目胜出的概率为18.(本小题17分如图，四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AB//CD(1)证明：BC⊥平面PAC(2)若直线PC与平面PAB所成角的正弦值为6①求线段PA的长；②求平面PBC与平面PAD所成角的余弦值．19.(本小题17分已知函数f(x)=xln(1)若曲线y=f(x)在点1,f(1)处的切线垂直于直线2x+y=0，求a的值；(2)若函数f(x)有两个极值点x1，x2，且(ⅰ)求a的取值范围；(ⅱ)证明：x1x2答案解析1.【答案】B

【解析】【分析】对函数求导，根据题中条件代入计算得到答案．【详解】∵f(x)=∵f′x故选：B．2.【答案】C

【解析】【分析】利用空间向量垂直的数量积性质即可解出x的值．【详解】由a⊥b，有则a⋅即2x+2=0，解得x=−故选：C．3.【答案】A

【解析】【分析】由题意得P(Y=1)=P(X=0)+P(X=2)计算求解即可．【详解】由题可得P(Y=1)=P(X=0)+P(X=2)=0.2+0.3=0.5．故选：A4.【答案】A

【解析】【分析】根据数据的散点图，结合回归系数概念与含义，逐项判定，即可求解．【详解】去掉点P后，散点图中点的分布更接近一条直线，因此变量x与y的线性相关程度变强，故选项B错误；由散点图，点的分布从左下角到右上角，故变量x与y呈正相关，故选项D错误；因为变量x与y呈正相关，且相关性变强，所以相关系数r变大，故A正确，C错误．故选：A．5.【答案】C

【解析】【分析】根据回归直线过样本中心点即可依次求出m,a,b【详解】由题m=5+6+8+9+12所以25=b^×所以当x=5时，y^故ABD正确，C错误．故选：C6.【答案】D

【解析】【分析】由互斥事件、独立事件定义和性质以及互斥概率加法公式、独立概率乘法公式、条件概率公式即可逐一计算判断各选项．【详解】对于A，若A,B互斥，则P(A+B)=P(A)+P(B)=0.4+0.3=0.7，故A错误；对于B，若P(AB)=0.2，则P(A|B)=P(AB)对于C，若A与B相互独立，则A与B相互独立，所以PAB=P对于D，若P(AB)=0.12，则P(AB)=P(A)P(B)，所以A与B相互独立，故D正确．故选：D7.【答案】C

【解析】【分析】AB→【详解】由题可得AB=AD=AA1=1，∠对于A，由题B1所以AB→·B所以，因为，所以，故A错误；对于B，由题得MN==AA1对于C，因为A1C→所以A=1+1+1+0−1−1=1对于D，因为A1又A1所以，所以A1所以直线A1C与BB1所成的角为故选：C8.【答案】A

【解析】【分析】根据“阶值点”定义依次求出各函数“阶值点”即可得解．【详解】对于函数g(x)=2x，有g′(x)=−对于函数ℎ(x)=ex+2x，有ℎ′(x)=因为函数t(x)=ex+x+1所以方程ex+x+1=0的根即函数ℎ(x)=e对于函数φ(x)=x+1x，有φ′(x)=1−1令函数s(x)=x3+所以函数s(x)=x3+x2所以方程x3+x2+x−1=0综上a>故选：A9.【答案】BC

【解析】【分析】由正态分布定义和对称性质即可求解判断．【详解】因为随机变量X～N1,2所以E(X)=1,E(Y)=−1,D(X)=D(Y)=4，P(X≤0)=P(X≥2)故A错误，因为P(X≤1)=0.5,0<P(Y≥1)<P(Y≥−1)=0.5，所以故选：BC10.【答案】BCD

【解析】【分析】由导数工具求出函数的单调性和所需导数值即可逐项分析判断．【详解】对于A，由题f′所以当x∈(−∞,−1)∪(1,+∞所以函数f(x)在区间(−∞,−1)上单调递增，在(−1,1)上单调递减，在(1,+∞对于B，f(3)=8,f′(3)=8，所以函数f(x)在点3,f(3)处的切线方程为y−8=8(x−3)，即对于C，由上可知函数f(x)在12,1上单调递减，在又f12=3724,f(1)=43,f(2)=对于D，因为函数f(x)在区间(−∞,−1)上单调递增，在(−1,1)上单调递减，在(1,+∞所以若关于x的方程f(x)=a有3个不同的根，则a∈43故选：BCD11.【答案】ABC

【解析】【分析】利用正方体的性质，结合三棱锥体积公式、线线垂直判定、点到直线距离公式，线面角的定义来逐一分析选项．【详解】对于A，VA1−A对于B，连接A1

在正方体中，B1所以B1D1⊥平面A1所以A1E⊥对于C，当E为线段CC1的中点，以

则D(0,0,0),E(0,2,1),B即D所以点E到直线B1D的距离所以C正确．对于D，由上面空间直角坐标系可知，C(0,2,0),A1所以平面BCC1B1的法向量则A1E=(−2,2,t−2)，设直线A1E与平面sinθ=若直线A1E与平面BCC则sin60又Δ=122故选：ABC．12.【答案】1118【解析】【分析】根据条件概率公式求解即可．【详解】∵P∴P(AB)=故答案为：111813.【答案】(−∞,【解析】【分析】由f′(x)≥0在【详解】函数f(x)的定义域为(0,+∞)，因为函数所以f′(x)=x+1所以a≤x+1x在(0因为x+1x≥2故答案为：(−∞,【点睛】若f(x)在(a,b)是增函数，则f′(x)≥0恒成立；若f(x)在(a,b)是减函数，则14.【答案】5

；

；

；

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；[1,3]【解析】【分析】建立适当空间直角坐标系，求出所需各向量坐标即可由相应距离定义计算求解．【详解】由题可建立如图所示空间直角坐标系D−xyz，则D(0,0,0),B1(1,1,1),B(1,1,0),则DB所以D1P⃗所以dDDAB令x=cos则DAB因为θ∈0,π所以cosθ+π4所以DAB,D故答案为：5；15.【答案】(1)因为函数f(x)=(x+a)ex，所以因为函数f(x)=(x+a)ex在x=1处有极值，所以此时f′(x)=(x−1)ex，则x∈(−∞所以函数f(x)=(x+a)ex在x=1处有极值，所以(2)由(1)可知函数f(x)在(−1,1)上单调递减，在(1,3)上单调递增，又f(−1)=−所以函数的最小值为−e，最大值为e

【解析】(1)由f′(2)由函数单调性即可求解．16.【答案】(1)由题可知喜欢牛奶的人数有100×35所以喜欢豆浆的人数为100−60=40，所以a=40−25=15．所以a=15,b=20．(2)由(1)可得统计表格如下：项目喜欢牛奶喜欢豆浆合计男生401555女生202545合计6040100零假设H0由表格数据得χ2所以根据小概率值α=0.005的独立性检验，推断H0

【解析】(1)求出喜欢牛奶的人数即可依据喜欢牛奶的男生人数和喜欢豆浆的女生人数依次求出a,b；(2)计算卡方值即可依据独立性检验思想得解．17.【答案】(1)(ⅰ)甲至多回答了4道题被淘汰则有两种情况，一种是连续答错前3道题，另一种是甲在前三道题中答错两道，且答错第4道，所以甲至多回答了4道题被淘汰的概率为13(ⅱ)由题可得X=3,4,5，P(X=3)=233所以X的分布列为：X345P131027827所以X的数学期望为3×(2)由题可得第3道题答对的概率为18所以学生甲答对2道题目胜出的概率为f(x)=x所以f′所以当x∈0,12时f′所以函数在0,12上单调递减，在所以f(x)的最小值为f1

【解析】(1)(ⅰ)明确甲至多回答了4道题的可能情况即可计算求解；(ⅱ)求出随机变量取值和各取值相应概率即可求分布列，再由数学期望公式即可计算求数学期望值；(2)先求出第3道题答对的概率，接着求出答对2道题目胜出的概率，再利用导数工具即可求f(x)的最小值．18.【答案】(1)因为AB⊥AD，AB//又AD=DC=1，所以∠DAC=∠ACD=所以∠CAB=所以∠ABC=∠CAB=45∘因为PA⊥平面ABCD，BC⊂平面所以PA⊥BC，又PA∩AC=A，PA、所以BC⊥平面PAC(2)①取AB中点O，连接CO、PO，则由(1)得CO⊥AB，且因为PA⊥平面ABCD，CO⊂平面所以PA⊥CO，又PA∩AB=A，PA、所以CO⊥平面PAB，所以∠CPO为直线PC与平面所以sin∠CPO=②由题意可建立如图所示的空间直角坐标系A−xyz，则A(0,0,0),P(0,0,2),B(0,2,0),C(1,1,0)，所以AB=(0,2,0),显然AB=(0,2,0)是平面PAD的一个法向量，设平面PBC的一个法向量为m则m⊥PBm⊥PC，