2025北师大版暑假七升八年级数学衔接讲义 第06讲 变量之间的关系（思维导图+6知识点+5考点+复习提升）（原卷版）

第06讲变量之间的关系内容导航串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺举一反三：核心考点能举一反三，能力提升复习提升：真题感知+提升专练，全面突破知识点01常量与变量一般地，在某一变化过程中，数值发生变化的量叫做变量．在变化过程中，数值始终不变的量叫做常量．知识点02自变量与因变量如果在一变化过程中含有两个变量，并且其中一个变量随着另一个变量的变化而变化，那么主动变化的量是自变量，随着自变量变化而变化的量叫做因变量．知识点03用表格表示的变量间关系把自变量x的一系列取值和因变量的对应值列成一个表格来表示变量之间的关系，像这种表示变量之间关系的方法叫做表格法．观察表格要分三步：一是通过表格确定自变量与因变量；二是纵向观察每一列，发现因变量与自变量的对应关系；三是分别横向观察两栏，从中发现因变量随自变量的变化呈现的变化趋势。知识点04用关系式表示变量之间的关系表示自变量与因变量之间关系的数学式子叫作关系式．关系式是表示变量之间关系的另一种方法．注意:（1）关系式一般是用含自变量的代数式表示因变量的等式；（2）实际问题中，有的变量之间的关系不一定能用关系式表示出来；（3）有些问题中，自变量是有范围的，列关系式时要注明自变量的取值范围．（4）关系式（解析式）法准确地反映了因变量与自变量之间的对应规律，根据它可以由自变量的取值求出相应的因变量的值，反之亦然；知识点05用图象表示变量之间的关系图象法：用图象来表示两个变量之间的关系的方法叫做图象法．图象法的特点是形象、直观，可以形象地反映出变量之间关系的变化趋势和某些性质，是研究变量之间关系的好工具，其不足是由图象法往往难以得到准确的对应值．行程中的图象问题：在行程问题中，“速度与时间”图象和“路程与时间”图象是从两个不同的角度描述行程问题中变量之间的关系图象，注意区分．知识点06从图象中获取信息（1）借助于图象，可以知道自变量取某个值时，因变量取什么值或当因变量取某一个值时，对应的自变量取什么值；（2）利用图象可以判断因变量的变化趋势；（3）利用图象上一系列的点所表示的自变量与因变量的对应值，还可以得到表示两个变量之间关系的表格或关系式．特别说明：图象法可以直观形象地反映变量的变化趋势，而且对于一些无法用关系式表达的变量，图象可以充当重要角色.一般地，在某一变化过程中，数值发生变化的量叫做变量．在变化过程中，数值始终不变的量叫做常量．考点一：常量、自变量、因变量例1．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）已知火车的速度是120千米/时，则火车行驶的路程s（千米）与时间t（时）之间的关系是．在此变化过程中，变量是（）A．速度、路程 B．速度、时间C．路程、时间 D．速度、路程与时间【变式1-1】（23-24八年级下·甘肃陇南·期末）圆的半径为r，面积S与r的关系式为，下列判断正确的是（

）A．r是因变量 B．π是常量 C．S是自变量 D．S，π，r都是变量【变式1-2】（23-24八年级下·河北承德·期末）刘师傅到加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，则其中的变量是（

）A．金额 B．单价 C．数量 D．金额和数量【变式1-3】（24-25八年级下·河北沧州·期中）水中涟漪（圆）不断扩大，记它的半径为，圆周长为，下列关于等式的说法正确的是（

）A．，，是变量，2是常量 B．是变量，2，，是常量C．，是变量，2，是常量 D．是变量，，是常量【变式1-4】（23-24七年级下·全国·课后作业）在冬天，人们会选择较厚的冰层进行冰钓，这是因为冰层越厚，所能承受的压力就越大，则在冰层厚度与其所能承受的压力的关系中，自变量是，因变量是．考点二：用表格表示的变量间关系例2.（23-24七年级下·陕西汉中·期末）2022年3月23日、“天宫课堂”第二课在中国空间站正式开讲，航天员王亚平、叶光富、翟志刚为学生们上了一章豪华的太空课，引发了学生了解科学知识的新热潮，七（3）班社团通过查闻资料发现，声音在空气中传播的速度和气温的变化存在如下的关系：温度0510152025声音在空气中的传播速度V/(m/s)331334337340343346(1)在这个变化过程中，是自变量，是因变量；(2)从表中数据可知、气温每升高，声音在空气中传播的速度就提高．(3)声音在空气中的传播速度与气温的关系式可以表示为．(4)某日气温为，小乐看到烟花燃放5s后才听到声响，小乐与燃放烟花所在地大约相距多远?【变式2-1】（23-24七年级下·全国·期末）某校一课外小组准备进行“绿色环保”的宣传活动，需要制作宣传单，校园附近有一家印刷社，收费（元）与印刷数量（张）之间的关系如表：印刷数量（张）收费（元）(1)上表反映了和之间的关系，自变量是，因变量是(2)从上表可知：收费（元）随印刷数量（张）的增加而(3)若要印制张宣传单，收费元【变式2-2】（23-24七年级下·陕西咸阳·期末）游泳池应定期换水．某游泳池在一次换水前存水量为立方米，换水时关闭进水口打开排水口，以每小时立方米的速度将水放出．当放水时间增加时，游泳池的存水量随之减少，它们的变化情况如下表：放水时间/小时游泳池的存水量/立方米(1)在这个变化过程中，自变量和因变量分别是什么？(2)请将上述表格补充完整；(3)打开排水口后，经过多长时间，游泳池的存水量是立方米？【变式2-3】（23-24七年级下·陕西西安·期末）某商店为了减少某种商品的积压，采取降价销售的策略．某商品原价为500元/件，随着不同幅度的降价，每降价10元，日销量增加5件．该商品降价金额x(元)与日销量y(件)之间的关系如下表：降价金额x/元102030405060日销量y/件155160165170175180(1)上表中的自变量是什么？因变量是什么？(2)可以估计降价前的日销量是件．(3)若该商品的售价为400元，求该商品的日销量为多少件．考点三：用关系式表示变量之间的关系例3．（24-25七年级下·全国·期末）实验测得声速与气温的一些数据如下表：气温01234声速331331.6332.2332.8333.4(1)此表反映的是________随________变化的情况；(2)请直接写出与之间的关系式：________；(3)某人看到烟花燃放后才听到声响，且此人与烟花燃放所在地的距离为，求此时的气温．【变式3-1】（23-24七年级下·贵州毕节·期末）某小组同学测量一个蓄水50立方米的蓄水池放水时水池中剩余水量的变化，得到了以下几组数据．放水时间t/分钟12345…水池中剩余水量y/立方米4846444240…(1)在这个变化过程中，分别指出常量和变量；(2)写出水池中剩余水量y与放水时间t的关系式；(3)当放水多少分钟时，水池的水恰好全部放完？【变式3-2】（23-24七年级下·全国·期末）如图所示，在一个半径为的圆面上，从中心挖去一个小圆面，当挖去一个小圆的半径由小变大时，剩下的一个圆环面积也随之发生变化．(1)在这个变化过程中，因变量是．(2)写出剩下的圆环面积与小圆的半径的关系式：．(3)当挖去圆的半径为时，剩下的圆环面积为多少？结果保留【变式3-3】（23-24七年级下·山东济南·期末）综合与实践生活中的数学：如何确定单肩包最佳背带长度素材1如图是一款单肩包，背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．使用时可以通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，使背带的总长度加长或缩短(总长度为单层部分与双层部分的长度和，其中调节扣的长度忽略不计)

素材2对该背包的背带长度进行测量，该单层的部分长度是，双层部分的长度是，得到如下数据：单层部分的长度x(cm)02468…150双层部分的长度y(cm)75747372…0根据上述的素材，解决以下问题：(1)根据上表中数据的规律，表格中空白处的数据为(2)请写出双层部分的长度与单层部分长度之间的关系式；(3)根据成成同学的身高和习惯，背带的总长度为时，背起来最舒适，请求出此时单层部分的长度．考点四：用图象表示变量之间的关系例4.（23-24六年级下·山东烟台·期末）某双休日，姊妹俩在社区公园里面荡秋千（如图①），若秋千离地面的高度与摆动时间之间的关系如图②所示，结合图象：(1)在变量中，指出其中的自变量、因变量，求出h最大值和最小值相差多少m；(2)当时，根据图像写出h的值，除此之外，并指出与之高度相同的次数；(3)请写出秋千摆动第一个来回的时间．【变式4-1】（23-24七年级下·陕西渭南·期末）甲、乙两地相距210千米，一辆货车将货物由甲地运至乙地，卸载后返回甲地．若货车距乙地的距离（千米）与时间（时）的关系如图所示，根据所提供的信息，回答下列问题：(1)在这个变化过程中，哪个是自变量？哪个是因变量？(2)货车在乙地卸货停留了多长时间？【变式4-2】（23-24七年级下·山东枣庄·期末）某天小明骑自行车上学，途中因自行车发生故障，修车耽误了一段时间后继续骑行，按时赶到了学校，如图所示是小明从家到学校这一过程中所走的路程s（米）与时间t（分）之间的关系，根据图象解答下列问题：(1)在这个变化过程中，自变量是______，因变量是______；(2)小明从家到学校的路程共______米，小明共用了______分钟；(3)小明修车用了______分钟；(4)小明修车以前和修车后的平均速度分别是多少？【变式4-3】（23-24七年级下·宁夏银川·期末）甲乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，轿车比货车晚出发1.5小时，如图，线段表示货车离甲地的距离s（千米）与时间t（小时）之间的关系：折线表示轿车离甲地的距离s（千米）与时间t（时）之间的关系，请根据图象解答下列问题：(1)点B所对应的数为_________．(2)货车的速度为_________千米/小时；轿车在段的速度为________千米/小时；轿车在段的速度为__________千米/小时．(3)求轿车到达乙地时，货车与甲地的距离．(4)货车和轿车谁先到达乙地？提前几小时到达？考点五：从图象中获取信息例5.（23-24七年级下·广东深圳·期末）2024深圳市梧桐山第九届毛棉杜鹃花会正式拉开帷幕，小明决定登梧桐山赏花．如图1，他以一定的速度沿路线“梧桐山北门—万花屏—好汉坡—大梧桐—深外高中站”步行游览，在每个景点他都逗留一段时间，当他到达深外高中站时，共用去．小明步行的路程与游览时间之间的部分图象如图2所示．根据图回答下列问题：(1)图2中反映了两个变量之间的关系，其中自变量为，因变量为；(2)他从万花屏到好汉坡时行走的平均速度是千米/时；(3)小明在景点好汉坡处逗留的时间是小时；(4)图2中点A表示．【变式5-1】（23-24七年级下·陕西榆林·期末）大自然中的大部分物质具有热胀冷缩现象，而水则具有反膨胀现象，如图所示是当温度在时，水的密度（单位：）随着温度（单位：）的变化关系图象．根据图象解答下列问题：(1)在这个变化过程中，自变量是________，因变量是________；(2)图中点表示的意义题什么？(3)在范围内，当温度为多少时，水的密度为？(4)当温度在变化时，随着温度增大，水的密度是如何变化的？【变式5-2】（23-24七年级下·四川成都·期末）如图1，在长方形中，动点从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿匀速运动，至点处停止，点运动的时间为，点运动的路程为，的面积为，且与之间的图象关系如图2所示．

(1)图2图象表示的是哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？(2)表格中的常数______，常数的取值范围为______；面积36…路程1238…(3)当点分别运动到线段上时，分别直接写出与之间的关系式．【变式5-3】（23-24七年级下·江西九江·期末）甲骑自行车以20千米/时从地去地，乙骑摩托车从地去地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，甲、乙两人之间的距离为（千米）与甲行驶的时间为（小时）之间的关系如图所示．(1)、两地之间的路程为千米；(2)从点、点、点三个点中选择一个填在横线上：表示甲到达终点的是点；表示乙到达终点的是点；表示甲、乙相遇的是点．(3)求乙的速度和值；(4)求甲出发多长时间后，甲、乙两人相距30千米．一、单选题1．（24-25七年级上·山东聊城·期末）小颖去水果店买橙子，如图是称橙子所用的电子秤显示屏上的数据，则其中的变量是（）A．金额 B．数量 C．金额和单价 D．金额和数量2．（23-24八年级下·贵州黔南·期末）一个蓄水池已有的水，现以每分钟的速度向池中注水，蓄水池中的水量（）与注水时间（分）之间的关系式为（

）A． B． C． D．3．（24-25七年级下·全国·单元测试）一个学习小组利用同一块木板，测量了小车从不同高度下滑的时间，他们得到如表数据：支撑物的高度1020304050小车下滑的时间4.233.002.452.131.89支撑物的高度60708090100小车下滑的时间1.711.591.501.411.35下列说法正确的是（

）A．当时， B．h每增加，减小C．随着h逐渐升高，t也逐渐变大 D．随着h逐渐升高，小车下滑的平均速度逐渐加快4．（23-24七年级下·山西运城·期末）社会在发展，时代在进步．快递上门送件，取件已成为人们购物的一种重要方式．如图是快递员小王某日为其中一位顾客派送快递行驶路程与时间的图象，观察图象得到下列信息，其中正确的是（

）A．小王实际骑行时间为B．内，小王派送快递的平均速度是C．小王骑行的平均速度比慢D．点表示小王出发，共骑行5．（23-24七年级下·河南郑州·期末）如图①，在长方形中，动点从点出发，沿的方向运动至点处停止，设点运动的路程为，三角形的面积为，如果关于的图象如图②所示，则长方形的面积是（

）A． B． C． D．二、填空题6．（22-23七年级下·四川成都·期末）一个长方形的周长为，其中它的长为自变量，宽为因变量，则与之间的关系式为．7．（23-24八年级上·广东茂名·期末）一水池的容积是，现蓄水，用水管以的速度向水池注水，直到注满为止写出蓄水量与注水时间之间的关系式(指出自变量t的取值范围)．8．（23-24七年级下·广东清远·期末）我国首辆火星车正式被命名为“祝融”，为应对极限温度环境，火星车使用的是新型隔温材料--纳米气凝胶，该材料导热率与温度的关系如表：根据表格中两者的对应关系，若导热率为，则温度为．温度100150200250300350导热率0.150.20.250.30.350.49．（23-24六年级下·山东烟台·期末）小明想了解一根弹簧的长度是如何随所挂物体质量的变化而变化的，他把这根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，弹簧长度与所挂物体质量的部分对应值如下：所挂物体质量012345弹簧长度303234363840当弹簧长度为（在弹簧承受范围内）时，所挂重物的质量为kg．10．（23-24六年级下·山东青岛·期末）如图①，梯形中，，．动点从点出发，沿匀速运动，设点运动的路程为，的面积为，与之间关系的如图②所示．梯形的面积为．三、解答题11．（23-24七年级下·陕西咸阳·期末）把一些相同规格的碗整齐地叠放在水平桌面上，这摞碗的高度随着碗的数量变化而变化的情况如表格所示：碗的数量（只）12345…高度（）45.26.47.68.8…(1)上述两个变量之间的关系中，哪个是自变量？哪个是因变量？(2)求当碗的数量为7时，这摞碗的高度．12．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）已知一个长方形中，相邻的两边长分别是和，设长方形的周长为．(1)在这个变化过程中，自变量是________，因变量是_________；(2)试写出与之间的关系式；(3)求长方形周长为时，的值．13．（23-24七年级下·陕西渭南·期末）某电影院地面的一部分观影席座位分布是扇形，其每排座位数按下列规律设置：排数123456…座位数6064687276______…(1)请将表格补充完整；(2)根据表格中的数据，请说明座位数是随排数的增长而怎样变化的？(3)当排数是7时，该排的座位数是多少？14．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，已知的边的长为．高的长为cm．(1)求的面积(单位：)与x之间的关系式；(2)写出关系式中的自变量与因变量；(3)当时，求的面积为多少?15．（23-24七年级下·陕西铜川·期末）周末聪聪和家人一起驾车从家出发去博物馆，在馆内参观了1个小时，随后驾车去姑妈家．如图表示他们离开家的距离与离开家的时间之间的关系．根据图象解答下列问题：(1)上述过程中，哪个是自变量？哪个是因变量？(2)聪聪家距离博物馆多少千米？博物馆距离姑妈家多少千米？16．（23-24七年级下·山东枣庄·期末）随着科学技术的不断发展，电动汽车成为人们日常出行的重要交通工具，电动汽车的电池容量与续航里程成为人们最为关心的问题．现对某型号电动汽车充满电后进行测试，其电池剩余电量（度）与行驶里程（千米）之间的关系如下表所示：行驶里程（千米）0102040…剩余电量（度）807876