2025北师大版暑假七升八年级数学衔接讲义 专题25 二元一次方程组中含参数问题（2知识点+6大题型+思维导图+过关测）（解析版）

专题25二元一次方程组中含参数问题内容导航——预习三步曲第一步：学析教材学知识：教材精讲精析、全方位预习练题型强知识：5大核心考点精准练第二步：记串知识识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握第三步：测过关测稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升1.方程基本概念：需理解二元一次方程及方程组的定义，明确含参数方程组中未知数与参数的区别。根据方程解的定义，将解代入方程可建立关于参数的等式，进而求解参数。2.消元法求解：运用代入消元法或加减消元法求解含参方程组，在消元过程中，参数可当作常数处理。通过消元得到关于一个未知数与参数的表达式，再结合条件确定参数值。3.解的情况分析：依据方程组解的个数（唯一解、无解、无数解），利用系数关系建立等式或不等式。如两方程对应系数成比例时，需分情况讨论方程组解的情况。【题型1利用二元一次方程的定义求参数或代数式的值】例题：（23-24七年级下·四川南充·期中）若是二元一次方程，则，【答案】【知识点】二元一次方程的定义【分析】本题考查了二元一次方程，根据二元一次方程的定义即可求解，掌握二元一次方程的定义是解题的关键．【详解】解：∵是二元一次方程，∴，，∴，，故答案为：，．【变式训练】1．（2024七年级下·浙江·专题练习）当方程是二元一次方程时，则，．【答案】30【知识点】二元一次方程的定义【分析】此题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的定义是解本题的关键．二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程．从二元一次方程满足的条件：含有2个未知数和最高次项的次数是1这两个方面考虑．【详解】解：方程是二元一次方程，且，即①且②，①②，得，，把代入①，，．故答案为：3，0．2．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）已知是关于x、y的二元一次方程，则．【答案】【知识点】二元一次方程的定义、已知字母的值，求代数式的值、有理数的乘方运算【分析】本题考查了二元一次方程的定义，代数式求值，有理数的乘方，掌握二元一次方程的含有两个未知数，且所含未知数的次数都是1的方程叫二元一次方程是解题关键．由二元一次方程的定义，得出，，再代入求值即可．【详解】解：是关于x、y的二元一次方程，，，，，，，故答案为：．3．（23-24七年级下·江西上饶·期末）若关于的方程是二元一次方程，则整数m的值为【答案】1或2【知识点】二元一次方程的定义【分析】本题考查根据二元一次方程的定义求参数的值，分和两种情况，进行讨论求解即可．【详解】解：当，即：时，此时方程化为：，为二元一次方程，满足题意；当，即：时，则：，解得：或，当时，方程转化为：，即：，为二元一次方程，满足题意；当时，方程转化为：，即：，为一元一次方程，不满足题意，舍去；综上：或；故答案为：1或2．【题型2已知二元一次方程的解求参数或代数式的值】例题：（23-24七年级下·吉林·期末）若是关于和的二元一次方程的一个解，则的值为．【答案】2【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、二元一次方程的解【分析】本题主要考查了二元一次方程解的问题，将二元一次方程的解代入方程求解一元一次方程即．【详解】解：把代入方程中得：，解得：．故答案为：2．【变式训练】1．（23-24七年级下·广东珠海·期末）已知是方程的一个解，则的值为．【答案】【知识点】二元一次方程的解【分析】本题考查二元一次方程的解，掌握二元一次方程的解是解题的关键．把代入，得，求解即可．【详解】解：把代入，得，解得：，故答案为：2．2．（23-24七年级下·黑龙江绥化·期末）已知是方程的解，则代数式的值为【答案】2【知识点】二元一次方程的解、已知式子的值，求代数式的值【分析】此题考查了二元一次方程的解和求代数式的值，根据二元一次方程解的定义得到，再利用整体代入求代数式的值即可．【详解】解：∵是方程的解，∴，∴．故答案为：23．（23-24七年级下·福建泉州·期末）已知是二元一次方程的一个解，则代数式的值是．【答案】【知识点】二元一次方程的解【分析】将代入二元一次方程得，然后将分解因式，利用整体代入法即可求解．本题考查了二元一次方程的解，以及用整体代入法求代数式的值．熟练掌握整体代入法是解题的关键．【详解】∵是二元一次方程的一个解，∴，∴．故答案为：【题型3已知二元一次方程组的解求参数或代数式的值】例题：（23-24七年级下·辽宁鞍山·期末）已知方程组的解是，则m，n的值是．【答案】【知识点】加减消元法、已知二元一次方程组的解求参数【分析】本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组，把代入方程组，得到关于m，n的方程组，进行求解即可．【详解】解：把代入，得：，解得：；故答案为：．【变式训练】1．（23-24七年级下·陕西延安·期末）已知是二元一次方程组的解，则的值是．【答案】【知识点】已知二元一次方程组的解求参数【分析】本题考查二元一次方程的解．把代入方程组，求出m，n的值，即可求解．【详解】解：∵是二元一次方程组的解，∴，解得：，∴．故答案为：2．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）已知，是二元一次方程组的解，则的值为．【答案】9【知识点】已知二元一次方程组的解求参数【分析】本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组，把代入方程组，得到关于的二元一次方程组，求出的值，代入代数式进行求解即可．【详解】解：把代入方程组，得：，解得：，∴；故答案为：9．3．（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）若是关于x，y的二元一次方程组的解，则的值为．【答案】10【知识点】已知二元一次方程组的解求参数【分析】本题考查了二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解是解题的关键．把，的值代入方程组进行计算，求出，的值，然后再代入式子中进行计算即可解答．【详解】解：把代入中得：，解得：，，故答案为：10．【题型4已知二元一次方程组的解的情况求参数或代数式的值】例题：（23-24七年级下·山西临汾·期末）若方程组的解满足，则等于．【答案】5【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数【分析】本题考查已知二元一次方程组的情况求参数，所给两个方程作差可得，进而得到关于k的一元一次方程，解方程即可．【详解】解：得：，，，解得，故答案为：5．【变式训练】1．（23-24七年级上·全国·单元测试）当时，方程组的解互为相反数．【答案】【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数、相反数的定义【分析】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．由方程组的解互为相反数得到x+y=0，即，代入方程组的解即可求出的值．【详解】解：由题意得，把代入方程得，整理得，把②代入①，得，∴时，原方程组的解互为相反数，故答案为：．2．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）已知关于x，y的方程组的解的和是k，则．【答案】【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数【分析】本题考查根据二元一次方程组的解的情况求参数的值，将两个方程相加，根据方程组的解的情况得到关于的方程，进行求解即可．【详解】解：，，得：，∵，∴，∴，故答案为：．3．（23-24七年级下·四川广安·期末）若关于的方程组的解满足，则的值为．【答案】2025【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数【分析】本题考查了加减法解二元一次方程组；根据方程组中两个方程的特点，两个方程相加可得的值，由已知即可求得k的值．【详解】解：方程两式相加得：，即；由于，即，解得：；故答案为：2025．【题型5已知二元一次方程组的解为整数解时求参数或代数式的值】例题：（23-24七年级下·广东汕头·期末）若关于的二元一次方程组的解为整数，则满足条件的所有的值的和为.【答案】【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数、加减消元法【分析】把看作已知数由加减消元法求得，由方程组的解为整数，确定出的值即可．【详解】解：，得，解得：∵关于、的方程组的解为整数，∴，∴满足条件的所有的值的和为．故答案为：．【变式训练】1．（22-23七年级下·江苏南通·期中）a为正整数，已知二元一次方程组有整数解，则．【答案】4【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数、加减消元法【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，解题关键是熟练掌握解二元一次方程组的一般步骤和方程解的定义．先利用加减消元法消去，求出，根据为正整数和方程组有整数解，列出关于的方程，求出的值，再把求的代入②求出，最后根据也是整数，对的值进行取舍，然后解答后即可．【详解】解：，①②得：，是正整数，或，解得：或7，把代入②得：，把代入得，把代入得，已知二元一次方程组有整数解，不符合题意舍去，，，故答案为：4．2．（23-24七年级下·河北邢台·期中）已知关于的方程组（1）若方程组的解满足，则．（2）若方程组的解中恰为整数，也为整数，．【答案】/或/或【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数、加减消元法【分析】本题考查了二元一次方程组的解：（1）根据可得，代入求解即可；（2）利用加减消元法解关于x、y的方程组得到，利用有理数的整除性得到，从而得到满足条件的m的值．【详解】解：（1），，代入，得，解得，故答案为：；（2），①②得，解得：，为整数，也为整数，，或，故答案为：或．3．（23-24七年级下·江苏连云港·阶段练习）已知关于的方程组(1)请直接写出方程的所有正整数解；(2)无论数取何值，方程总有一个固定的解，请求出这个解；(3)若方程组的解中恰为整数，也为整数，求的值．【答案】(1)，(2)(3)或【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数、加减消元法、二元一次方程的解【分析】此题考查了解二元一次方程的整数解，二元一次方程组的解，熟练掌握运算法则和求方程组的解是本题的关键．（1）将做已知数求出，即可确定出方程的正整数解；（2）由固定的解与无关，可得，代入可得固定的解；（3）求出方程组中的值，根据恰为整数，也为整数，可确定的值．【详解】（1）解：方程，∴，当时，；当时，，方程的所有正整数解为：，．（2）解：，∴，∴当时，，即固定的解为：．（3）解：，得：，∴，∴，∵恰为整数，也为整数，∴是的约数，∴或，故或．一、单选题1．（2025·安徽淮南·模拟预测）若是方程的解，则的值为（

）A．1 B． C．2 D．【答案】B【知识点】二元一次方程的解【分析】本题考查了已知二元一次方程的解求参数，解题关键是理解二元一次方程的解的概念.将解代入方程，转化为关于待定字母的方程求解即可.【详解】解：将代入，，解得：，故选B2．（24-25七年级下·吉林长春·阶段练习）若是关于x，y的二元一次方程，则m，n的值为（

）A．， B．， C．， D．，【答案】A【知识点】二元一次方程的定义【分析】本题考查二元一次方程的定义，得到关于m、n的方程是解题的关键；二元一次方程中两个未知数的次数都是1，据此可得；接下来求解方程，即可得到m、n的值．【详解】解：根据题意得，解得：．故选：A．3．（24-25七年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）已知是二元一次方程的解，则的值是（

）A． B． C．9 D．【答案】A【知识点】已知式子的值，求代数式的值、二元一次方程的解【分析】本题主要考查根据二元一次方程的解求参数，把的值代入方程，根据等式的性质变形即可求解．【详解】解：根据题意得，，∴，故选：A．4．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）关于的二元一次方程组的解满足，则的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【知识点】已知二元一次方程组的解求参数、二元一次方程组的特殊解法【分析】本题主要考查二元一次方程组的解，解题的关键是掌握解二元一次方程组和一元一次方程的能力及二元一次方程的解的概念．由题意联立，求出的值并代入即可得出的值．【详解】解：二元一次方程组的解满足，联立，解得，把代入，可得，解得．故选：D．5．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）已知二元一次方程组的解是．则的平方根是（

）A．2 B． C． D．【答案】D【知识点】求一个数的平方根、已知二元一次方程组的解求参数【分析】本题考查了利用方程组得解求解方程组中未知数系数以及平方根的知识．将方程组得解代入原方程解出a，b的值，再求出的值，即可得解．【详解】解：根据题意，将代入，得，解得，则有，4的平方根为，故选：D．二、填空题6．（24-25七年级下·河北沧州·期中）若是关于，的二元一次方程的解，则的值为．【答案】5【知识点】二元一次方程的解【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，熟知二元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键．直接把代入到方程中求出的值即可．【详解】解：∵是关于的二元一次方程的解，，，故答案为：5．7．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）已知是关于，的二元一次方程，则．【答案】2【知识点】二元一次方程的定义【分析】本题考查了二元一次方程的定义，根据二元一次方程满足的条件，即只含有2个未知数，含未知数的项的次数是1的整式方程，得且，求得m的值．【详解】解：∵是关于，的二元一次方程，∴且，∴，，解得，故答案为：2．8．（23-24七年级下·新疆和田·阶段练习）已知是关于，的二元一次方程组的解，则．【答案】0【知识点】已知二元一次方程组的解求参数、加减消元法【分析】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．把与的值代入方程组计算求出与的值，即可求出的值．【详解】解：把代入方程组得：，得：，解得：，把代入①得：，则，故答案为：0．9．（24-25七年级下·安徽阜阳·阶段练习）若是二元一次方程的一个解，则的值为．【答案】2025【知识点】已知式子的值，求代数式的值、二元一次方程的解【分析】本题考查了本题考查了二元一次方程的解，求解代数式的值，掌握方程解的定义是解题的关键．根据方程的解满足方程，把解代入方程，可得关于，的方程，可得整体代数式的值，再代入代数式可得答案．【详解】解：∵是二元一次方程的一个解，∴代入得：，∴，故答案为：．10．（24-25七年级下·吉林长春·期中）已知关于，的方程组的解为，请直接写出关于、的方程组的解是．【答案】【知识点】已知二元一次方程组的解求参数、二元一次方程组的特殊解法【分析】本题考查了解二元一次方程组、二元一次方程组的解，掌握整体思想的应用是解题关键．把，，看作一个整体，则第二个方程组与第一个方程组形式和结构一样，是同解方程组，得出，由此即可求解．【详解】解：根据题意可知：，解得，故答案为：．三、解答题11．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知关于的方程是二元一次方程．(1)求的值；(2)若，求的值．【答案】(1)(2)【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、二元一次方程的定义【分析】本题考查了二元一次方程的概念，解一元一次方程，准确理解概念得出所需的方程和不等式是求解的关键．（1）根据题意得到，，，，进而求解即可；（2）首先原方程可化为，然后将代入求解即可．【详解】（1）由题意，得，，，，．（2）由（1）知，，则原方程可化为．当时，，解得．12．（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于的二元一次方程组的解为．(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)(2)2028【知识点】已知字母的值，求代数式的值、已知二元一次方程组的解求参数【分析】本题考查根据二元一次方程组的解，求参数的值，代数式求值：（1）把代入方程组，进而解关于的方程组即可；（2）把的值代入，计算即可．【详解】（1）解：把代入关于的二元一次方程组，得，解得．把代入①，得，解得，．（2）由（1），得，．的值为2028．13．（24-25七年级下·河南漯河·期中）已知关于x，y的二元一次方程组，甲由于看错了方程组中的a，得到的方程组的解为，乙由于看错了b，得到方程组的解为．(1)求a，b的值；(2)求方程组的正确解．【答案】(1)，(2)【知识点】已知二元一次方程组的解求参数、加减消元法【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组．（1）根据甲由于看错了方程组中的a，把得到的方程组的解代入可得出，即可求出b的值，根据乙由于看错了b，把得到方程组的解代入可得出，即可求出a的值；（2）把a，b的值代入方程组，利用加减消元解答即可．【详解】（1）解：由题意可得，解得；（2）解：方程组为①②得：，把代入①得，∴方程组的解为．14．（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于x，y的方程组和有相同的解．(1)求出它们的相同解；(2)求的值．【答案】(1)(2)【知识点】方程组相同解问题、已知二元一次方程组的解求参数【分析】本题主要考查了同解方程组，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程组的一般方法．（1）根据方程组和有相同的解，得出方程组的解即为它们的相同解，然后解方程组即可；（2）把（1）中所求的，分别代入和得：，解关于a、b的方程，求出a、b的值，代入得出答案即可．【详解】（1）解：由题意得：，得：③，得：，把代入②得：，方程组的解为：；（2）解：把（1）中所求的，分别代入和得：，得：③，得：，把代入①得：，．15．（24-25七年级下·山东泰安·期中）已知关于，的方程组(1)请写出方程的所有正整数解（，都是正整数的解）；(2)若方程组的解也是方程的解，求的值；(3)如果方程组的解是，当点到轴的距离等于时，求的值．【答案】(1)，,(2)(3)或【知识点】二元一次方程的解、已知二元一次方程组的解的情况求参数、求点到坐标轴的距离【分析】本题考查求二元一次方程整数解，解二元一次方程组，平面直角坐标系中点到坐标轴的距离，熟练掌握解二元一次方程是解题的关键．（1）由可得，令为正整数，再求出，即可求解；（2）联立方程，求出、的值，再代入求解即可；（3）根据平面直角坐标系中点到坐标轴的距离可得，分别将和代入方程组中求解即可．【详解】（1）解：，，当时，，当时，，当时，，方程的所有正整数解为，，；（2）联立得：得：，将代入①得：，解得：，方程组的解为，

将代入得：，解得：；（3）点到轴的距离等于，，，①时，，解得：，

②时，，解得：，的值为或．16．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）我们规定．关于x，y的二元一次方程，若满足，则称这个方程为“幸福”方程．例如：方程，其中，满足，则方程是“幸福”方程，把两个“幸福”方程合在一起叫“幸福“方程组．根据上述规定，回答下列问题，(1)判断方程“幸福”方程（填“是”或“不是”）；(2)若关于x，y的二元一次方程是“幸福”方程，求k的值；(3)若是关于x，y的“幸福”方程组的解，求的值．【答案】(1)是(2)(3)【知识点】新定义下的实数运算、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、二元一次方程的解、加减消元法【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次方程，理解“幸福”方程的定义是解题的关键．（1）根据“幸福”方程的定义，即可求解；（2）根据“幸福”方程的定义，可得到关于k的方程，即可求解；（3）根据“幸福”方程则的定义，可得到关于m，n的方程组，求出m、n，再根据是关于x，y的“幸福”方程组的解，可得到，然后由①+②，即可求解．【详解】（1）解：∵，，，∴，∴方程是“幸福”方程；（2）解：∵二元一次方程是“幸福”方程，∴，解得：；（3）解：∵是“幸福”方程组，∴，解得：，∴原方程组为，∵是关于x，y的“幸福”方程组的解，∴，由①②得：．17．（24-25七年级下·全国·期末）对于未知数为x，y的二元一次方程组，如果方程组的解x，y满足，我们就说方程组的解x与y具有“邻好关系”，(1)方程组的解x与y是否具有“邻好关系”？说明你的理由；(2)若方程组的解x与y具有“邻好关系”，求m的值；(3)未知数为x，y的方程，其中a与x、y都是正整数，该方程组的解x与y是否具有“邻好关系”？如果具有，请求出a的值及方程组的解；如果不具有，请说明理由．【答案】(1)具有“邻好关系”，见解析；(2)或；(3)具有“邻好关系”，，方程组的解为【知识点】已知二元一次方程组的解求参数、代入消元法、加减消元法、已知二元一次方程组的解的情况求参数【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解绝对值方程，求一个数的绝对值，正确理解题意和熟知解二元一次方程组的方法是解题的关键．（1）先利用加减消元法求出方程组的解，进而求出的值即可得到答案；（2）先利用加减消元法求出方程组的解，再根据“邻好关系”的定义得到，即，据此求解即可；（3）先利用加减消元法求出方程组的解，再根据a与x，y都是正整数，求出a的值为1或2，进而讨论当和当时，方程组的解是否具有“邻好关系”即可．【详解】（1）解：，将②代入①得，，解得，将代入②得，，∴方程组的解为，∴，∴方程组的解x与y具有“邻好关系”；（2）解：，得，，∴，将代入①得，m，∴方程组的解为，∵方程组的解x与y具有“邻好关系”，∴，解得或；（3）解：方程组的解x与y具有“邻好关系”，理由如下：，得，，解得，将代入②得，∵a、y都是正整数，∴是12的公约数，∵a、x都是正整数，∴，∴是24的公约数，∴或或或，∴a的值为1或2或4或10，∵，∴a的值只能是1或2，当时，方程组的解为；当时，方程组的解为（舍），综上所述：，方程组的解为．18．（24-25七年级下·河南驻马店·阶段练习）定义：数对(x，y)经过一种运算可以得到数对，将该运算记作：，其中（均为常数，）．例如：当时，．(1)当时，___________；(2)若，求和的值；(3)如果组成数对(x，y)的两个数满足二元一次方程时，总有，求和的值．【答案】(1)(2)(3)【知识点】加减消元法、已知二元一次方程组的解求参数【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法，弄清定义，能将所求的问题转化为二元一次方程组是解题的关键．（1）由题意可得，再计算得，，即可求解；（2）由题意可得，求出方程组的解即可；（3）由题意可得，求解方程组即可．【详解】（1）解：当，时，，，，，，故答案为：；（2）解：由题可得解这个方程组，得；（3）解：，．将代入，得由①得．，．同理，由②得．联立得解得19．（24-25七年级下·山东日照·阶段练习）已知关于的二元一次方程组．(1)当时，求这个方程组的解．(2)若该方程组的解满足等式，求的值．(3)在（2）的条件下，某同学在解关于的方程组时，将中的看成了6，“”写成了