《圆的有关概念（2）》导学案

《圆的有关概念（2）》导学案一、学习目标1.理解圆的弦、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等概念。2.能够准确识别圆中的弦、弧等相关元素。3.掌握等圆、等弧的性质，并能运用这些性质解决简单的问题。二、知识回顾1.圆的定义：在平面内，到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆心，定长称为半径。2.已知圆(O)的半径为(5cm)，点(P)到圆心(O)的距离为(3cm)，则点(P)与圆(O)的位置关系是（）A.点(P)在圆内B.点(P)在圆上C.点(P)在圆外D.无法确定答案：A。分析：因为点到圆心的距离(3cmlt)圆的半径(5cm)，所以点(P)在圆内。三、新课讲解（一）圆的弦1.定义：连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。2.例1：在圆(O)中，有(AB)、(CD)、(EF)三条线段，其中(AB)经过圆心(O)，(CD)和(EF)不经过圆心(O)，则(AB)是圆(O)的______，(CD)和(EF)是圆(O)的______。答案：直径；弦。分析：根据弦和直径的定义，经过圆心的弦是直径，不经过圆心连接圆上两点的线段是弦。3.练习1：下列说法中，正确的是（）A.弦是直径B.直径是弦C.半径是弦D.弧是弦答案：B。分析：直径是经过圆心的弦，所以直径是弦，但弦不一定是直径；半径的一个端点是圆心，不符合弦的定义；弧是圆上的部分，不是线段，不是弦。4.练习2：圆中最长的弦是______。答案：直径。分析：直径是经过圆心的弦，在圆中，连接圆上两点的线段中，直径是最长的。（二）圆的弧1.定义：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。以(A)、(B)为端点的弧记作(overset{frown}{AB})，读作“圆弧(AB)”或“弧(AB)”。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。大于半圆的弧叫做优弧，用三个字母表示，如(overset{frown}{ABC})；小于半圆的弧叫做劣弧，用两个字母表示，如(overset{frown}{AB})。2.例2：在圆(O)中，(AB)是直径，点(C)在圆上，则(overset{frown}{AC})是______弧，(overset{frown}{ABC})是______弧。答案：劣；优。分析：因为(AB)是直径，半圆是直径所对的弧，(overset{frown}{AC})小于半圆，所以是劣弧；(overset{frown}{ABC})大于半圆，所以是优弧。3.练习3：已知圆(O)中，(overset{frown}{AB})、(overset{frown}{BC})、(overset{frown}{ABC})，其中(overset{frown}{AB})和(overset{frown}{BC})是______弧，(overset{frown}{ABC})是______弧。答案：劣；优。分析：没有说明是半圆或大于半圆的情况下，用两个字母表示的弧一般是劣弧，用三个字母表示的弧是优弧。4.练习4：半圆是弧吗？弧是半圆吗？答案：半圆是弧；弧不一定是半圆。分析：根据弧的定义，圆上任意两点间的部分是弧，半圆是圆的直径的两个端点把圆分成的两条弧之一，所以半圆是弧；而弧可以是优弧、劣弧或半圆，所以弧不一定是半圆。（三）等圆和等弧1.定义：能够重合的两个圆叫做等圆。容易看出：半径相等的两个圆是等圆；反过来，同圆或等圆的半径相等。在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。2.例3：已知圆(O_1)和圆(O_2)的半径分别为(3cm)和(3cm)，则圆(O_1)和圆(O_2)是______圆。答案：等。分析：因为两圆半径相等，根据等圆的定义，半径相等的两个圆是等圆。3.练习5：下列说法正确的是（）A.长度相等的弧是等弧B.面积相等的圆是等圆C.优弧一定大于劣弧D.半径相等的弧是等弧答案：B。分析：等弧是在同圆或等圆中能够互相重合的弧，长度相等的弧不一定能重合，所以A错误；面积相等的圆半径相等，是等圆，B正确；优弧和劣弧的比较要在同圆或等圆中，不同圆中的优弧和劣弧无法直接比较大小，C错误；半径相等的弧不一定能重合，不一定是等弧，D错误。4.练习6：在同圆或等圆中，如果(overset{frown}{AB}=overset{frown}{CD})，那么(AB)与(CD)的关系是（）A.(ABgtCD)B.(AB=CD)C.(ABltCD)D.无法确定答案：B。分析：在同圆或等圆中，等弧所对的弦相等，因为(overset{frown}{AB}=overset{frown}{CD})，所以(AB=CD)。四、课堂小结1.弦：连接圆上任意两点的线段，直径是经过圆心的弦。2.弧：圆上任意两点间的部分，包括半圆、优弧和劣弧。3.等圆：半径相等的两个圆。4.等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧。五、课后作业1.下列说法正确的是（）A.弦是直径B.弧是半圆C.半圆是弧D.过圆心的线段是直径答案：C。分析：直径是弦，但弦不一定是直径，A错误；弧不一定是半圆，B错误；半圆是圆的直径的两个端点把圆分成的弧，所以半圆是弧，C正确；过圆心的线段两端点不一定在圆上，不一定是直径，D错误。2.圆(O)的半径为(5)，弦(AB)的长为(8)，则圆心(O)到弦(AB)的距离是（本题与要求不符，可替换为下题）已知圆(O)中有弦(AB)和(CD)，若(AB=CD)，则(overset{frown}{AB})与(overset{frown}{CD})的关系是（）A.(overset{frown}{AB}=overset{frown}{CD})B.(overset{frown}{AB}gtoverset{frown}{CD})C.(overset{frown}{AB}ltoverset{frown}{CD})D.无法确定答案：D。分析：在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等，但本题没有说明是同圆或等圆，所以无法确定(overset{frown}{AB})与(overset{frown}{CD})的关系。3.圆中一条弦把和它垂直的直径分成(3cm)和(4cm)两部分，则这条弦弦长的一半为______。（本题与要求不符，可替换为下题）在圆(O)中，(overset{frown}{AB})是劣弧，(overset{frown}{AC})是优弧，若(overset{frown}{AB})的度数为(60^{circ})，则(overset{frown}{AC})的度数为______。答案：(300^{circ})。分析：整个圆的度数是(360^{circ})，(overset{frown}{AB})与(overset{frown}{AC})组成整个圆，所以(overset{frown}{AC})的度数为(360^{circ}60^{circ}=300^{circ})。4.下列命题中，正确的是（）A.长度相等的两条弧是等弧B.平分弦的直径垂直于这条弦C.切线垂直于圆的半径D.相切两圆的连心线必过切点答案：D。分析：等弧是在同圆或等圆中能够互相重合的弧，长度相等不一定能重合，A错误；平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，B错误；切线垂直于经过切点的半径，C错误；相切两圆的连心线必过切点，D正确。5.已知圆(O)的半径为(3)，弦(AB)的长为(3sqrt{3})，则弦(AB)所对的劣弧的度数为（本题与要求不符，可替换为下题）在同圆或等圆中，若(overset{frown}{AB}=2overset{frown}{CD})，则弦(AB)与(2CD)的大小关系是（）A.(ABgt2CD)B.(AB=2CD)C.(ABlt2CD)D.无法确定答案：C。分析：在同圆或等圆中，取(overset{frown}{AB})的中点(E)，则(overset{frown}{AE}=overset{frown}{EB}=overset{frown}{CD})，所以(AE=EB=CD)，在(triangleAEB)中，(AE+EBgtAB)，即(2CDgtAB)。6.圆内有一弦，其长等于圆的半径，则这条弦所对的劣弧的度数是______。答案：(60^{circ})。分析：设圆的半径为(r)，弦长也为(r)，则弦与两条半径构成等边三角形，所以弦所对的圆心角为(60^{circ})，即这条弦所对的劣弧的度数是(60^{circ})。7.已知圆(O)的半径为(5)，弦(ABparallelCD)，(AB=6)，(CD=8)，则(AB)与(CD)之间的距离是（本题与要求不符，可替换为下题）在圆(O)中，弦(AB)和(CD)相交于点(P)，若(AP=3)，(PB=4)，(CP=2)，则(PD)的长为（本题与要求不符，可替换为下题）在圆(O)中，若(overset{frown}{AB})和(overset{frown}{CD})是等弧，则(angleAOB)与(angleDOC)的关系是（）A.(angleAOBgtangleDOC)B.(angleAOB=angleDOC)C.(angleAOBltangleDOC)D.无法确定答案：B。分析：在同圆或等圆中，等弧所对的圆心角相等，因为(overset{frown}{AB})和(overset{frown}{CD})是等弧，所以(angleAOB=angleDOC)。8.一个圆的直径是(10cm)，弦(AB=8cm)，则圆心到弦(AB)的距离是（本题与要求不符，可替换为下题）已知圆(O)中，(overset{frown}{AB})、(overset{frown}{BC})、(overset{frown}{CA})，若(overset{frown}{AB}+overset{frown}{BC}=overset{frown}{CA})，则(triangleABC)是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法确定答案：B。分析：因为(overset{frown}{AB}+overset{frown}{BC}=overset{frown}{CA})，且(overset{frown}{AB}+overset{frown}{BC}+overset{frown}{CA}=360^{circ})，所以(overset{frown}{CA}=180^{circ})，则(CA)是直径，所以(triangleABC)是直角三角形。9.圆的弦长与它的半径相等，那么这条弦所对的圆周角的度数是（本题与要求不符，可替换为下题）在圆(O)中，(AB)是弦，(OCperpAB)于点(C)，若(AB=8)，(OC=3)，则圆(O)的半径为______。答案：(5)。分析：连接(OA)，因为(OCperpAB)，所以(AC=frac{1}{2}AB=4)，在(RttriangleAOC)中，根据勾股定理(OA=sqrt{AC^{2}+OC^{2}}=sqrt{4^{2}+3^{2}}=5)，即圆(O)的半径为(5)。10.已知圆(O)的半径为(R)，弦(AB)的长也是(R)，则(angleAOB)的度数是______。答案：(60^{circ})。分析：因为(OA=OB=AB=R)，所以(triangleAOB)是等边三角形，所以(angleAOB=60^{circ})。11.下列说法中，正确的是（）A.等弦所对的弧相等B.等弧所对的弦相等C.圆心角相等，所对的弦相等D.弦相等，所对的圆心角相等答案：B。分析：在同圆或等圆中，等弦所对的弧不一定相等，因为有优弧和劣弧之分，A错误；等弧是在同圆或等圆中能够互相重合的弧，所以等弧所对的弦相等，B正确；在同圆或等圆中，圆心角相等，所对的弦相等，C缺少条件，错误；在同圆或等圆中，弦相等，所对的圆心角相等，D缺少条件，错误。12.在圆(O)中，弦(AB)的长为(6)，圆心(O)到弦(AB)的距离为(4)，则圆(O)的半径为______。答案：(5)。分析：连接(OA)，过(O)作(OCperpAB)于(C)，则(AC=frac{1}{2}AB=3)，在(RttriangleAOC)中，根据勾股定理(OA=sqrt{AC^{2}+OC^{2}}=sqrt{3^{2}+4^{2}}=5)。13.圆(O)的半径为(5)，弦(AB)的弦心距为(3)，则弦(AB)的长是______。答案：(8)。分析：连接(OA)，过(O)作(OCperpAB)于(C)，则(AC=sqrt{OA^{2}OC^{2}}=sqrt{5^{2}3^{2}}=4)，所以(AB=2AC=8)。14.已知圆(O)中，弦(AB)和(CD)相交于点(P)，若(AP=2)，(PB=3)，(CP=1)，则(PD)的长为______。（本题与要求不符，可替换为下题）在圆(O)中，(overset{frown}{AB})和(overset{frown}{CD})是等弧，若(angleAOB=40^{circ})，则(angleDOC)的度数为______。答案：(40^{circ})。分析：在同圆或等圆中，等弧所对的圆心角相等，因为(overset{frown}{AB})和(overset{frown}{CD})是等弧，(angleAOB=40^{circ})，所以(angleDOC=40^{circ})。15.下列图形中，不一定是轴对称图形的是（）A.圆B.弦C.弧D.半圆答案：B。分析：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴；弧和半圆都是轴对称图形；弦不一定是轴对称图形，只有当弦是直径时才是轴对称图形。16.在圆(O)中，弦(AB)把圆分成(1:3)两部分，则弦(AB)所对的圆周角的度数是______。答案：(45^{circ})或(135^{circ})。分析：弦(AB)把圆分成(1:3)两部分，则劣弧(overset{frown}{AB})的度数为(90^{circ})，优弧(overset{frown}{AB})的度数为(270^{circ})，所以弦(AB)所对的圆周角为(frac{1}{2}times90^{circ}=45^{circ})或(frac{1}{2}times270^{circ}=135^{circ})。17.已知圆(O)的半径为(R)，弦(AB)的长为(sqrt{2}R)，则(angleAOB)的度数是______。答案：(90^{circ})。分析：在(triangleAOB)中，(OA=OB=R)，(AB=sqrt{2}R)，根据勾股定理逆定理可得(OA^{2}+OB^{2}=AB^{2})，所以(angleAOB=90^{circ})。18.在圆(O)中，弦(AB)和(CD)平行，若(AB=CD)，则(overset{frown}{AC})与(overset{frown}{BD})的关系是______。答案：(overset{frown}{AC}=overset{frown}{BD})。分析：因为(AB=CD)，所以(overset{frown}{AB}=overset{frown}{CD})，又因为(ABparallelCD)，所以(overset{frown}{AC}=overset{frown}{BD})。19.圆(O)的直径为(10)，弦(AB)的长为(6)，(P)是弦(AB)上的一个动点，则(OP)的取值范围是______。答案：(4leqslantOPleqslant5)。分析：过(O)作(OCperpAB)于(C)，连接(OA)，则(AC=frac{1}{2}AB=3)，(OA=5)，根据勾股定理(OC=sqrt{OA^{2}AC^{2}}=sqrt{5^{2}3^{2}}=4)，当(P)与(C)重合时，(OP)最短为(4)，当(P)与(A)或(B)重合时，(OP)最长为(5)。20.已知圆(O)中，(overset{frown}{AB})的度数为(120^{circ})，则弦(AB)所对的圆周角的度数是______。答案：(60^{circ})或(120^{circ})。分析：弦(AB)所对的圆周角有两种情况，一种是顶点在优弧上，度数为(frac{1}{2}times(360^{circ}120^{circ})=120^{circ})，一种是顶点在劣弧上，度数为(frac{1}{2}times120^{circ}=60^{circ})。21.下列说法正确的是（）A.相等的圆心角所对的弧相等B.相等的弧所对的弦相等C.相等的弦所对的弧相等D.相等的弦所对的圆心角相等答案：B。分析：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，A缺少条件，错误；相等的弧是在同圆或等圆中能够互相重合的弧，所以相等的弧所对的弦相等，B正确；相等的弦所对的弧有优弧和劣弧之分，不一定相等，C错误；在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，D缺少条件，错误。22.在圆(O)中，弦(AB)和(CD)相交于点(E)，若(AE=3)，(EB=4)，(CE=2)，则(ED)的长为______。答案：(6)。分析：根据相交弦定理(AEcdotEB=CEcdotED)，即(3times4=2timesED)，解得(ED=6)。23.圆(O)的半径为(3)，弦(AB)的长为(3sqrt{3})，则弦(AB)所对的圆心角的度数是______。答案：(120^{circ})。分析：过(O)作(OCperpAB)于(C)，则(AC=frac{1}{2}AB=frac{3sqrt{3}}{2})，(OA=3)，(sinangleAOC=frac{AC}{OA}=frac{frac{3sqrt{3}}{2}}{3}=frac{sqrt{3}}{2})，所以(angleAOC=60^{circ})，则(angleAOB=120^{circ})。24.在圆(O)中，(overset{frown}{AB})和(overset{frown}{CD})是等弧，若(angleAOB=80^{circ})，则(angleCOD)的度数为______。答案：(80^{circ})。分析：在同圆或等圆中，等弧所对的圆心角相等，所以(angleCOD=angleAOB=80^{circ})。25.已知圆(O)的半径为(5)，弦(AB)的弦心距为(4)，则弦(AB)的长是______。答案：(6)。分析：连接(OA)，过(O)作(OCperpAB)于(C)，则(AC=sqrt{OA^{2}OC^{2}}=sqrt{5^{2}4^{2}}=3)，所以(AB=2AC=6)。26.下列说法中，错误的是（）A.直径是弦B.半圆是弧C.弦是直径D.半径相等的两个圆是等圆答案：C。分析：直径是经过圆心的弦，所以直径是弦，但弦不一定是直径，A正确，C错误；半圆是圆的直径的两个端点把圆分成的弧，所以半圆是弧，B正确；半径相等的两个圆能够重合，是等圆，D正确。27.在圆(O)中，弦(AB)把圆分成(1:5)两部分，则弦(AB)所对的圆心角的度数是______。答案：(60^{circ})。分析：弦(AB)把圆分成(1:5)两部分，则弦(AB)所对的劣弧的度数为(frac{1}{1+5}times360^{circ}=60^{circ})，所以弦(AB)所对的圆心角的度数是(60^{circ})。28.已知圆(O)的半径为(R)，弦(AB)的长为(R)，则弦(AB)所对的圆心角的度数是______。答案：(60^{circ})。分析：因为(OA=OB=AB=R)，所以(triangleAOB)是等边三角形，所以弦(AB)所对的圆心角(angleAOB=60^{circ})。29.在圆(O)中，弦(AB)和(CD)平行，若(AB=CD)，则(overset{frown}{AD})与(overset{frown}{BC})的关系是______。答案：(overset{frown}{AD}=overset{frown}{BC})。分析：因为(AB=CD)，所以(overset{frown}{AB}=overset{frown}{CD})，又因为(ABparallelCD)，所以(overset{frown}{AD}=overset{frown}{BC})。30.圆(O)的直径为(12)，弦(AB)的长为(6sqrt{3})，则弦(AB)所对的圆心角的度数是______。答案：(120^{circ})。分析：过(O)作(OCperpAB)于(C)，则(AC=frac{1}{2}AB=3sqrt{3})，(OA=6)，(sinangleAOC=frac{AC}{OA}=frac{3sqrt{3}}{6}=frac{sqrt{3}}{2})，所以(angleAOC=60^{circ})，则(angleAOB=120^{circ})。31.下列说法正确的是（）A.圆的任意一条弦都把圆分成优弧和劣弧两部分B.圆的半径是弦C.圆中优弧所对的弦一定比劣弧所对的弦长D.直径是圆中最长的弦答案：D。分析：直径把圆分成两个半圆，不是优弧和劣弧，A错误；半径的一个端点是圆心，不是弦，B错误；在不同圆中，优弧所对的弦不一定比劣弧所对的弦长，C错误；直径是经过圆心的弦，是圆中最长的弦，D正确。32.在圆(O)中，弦(AB)的长为(8)，圆心(O)到弦(AB)的距离为(3)，则圆(O)的半径为______。答案：(5)。分析：连接(OA)，过(O)作(OCperpAB)于(C)，则(AC=frac{1}{2}AB=4)，根据勾股定理(OA=sqrt{AC^{2}+OC^{2}}=sqrt{4^{2}+3^{2}}=5)。33.已知圆(O)中，(overset{frown}{AB})的度数为(90^{circ})，则弦(AB)所对的圆周角的度数是______。答案：(45^{circ})或(135^{circ})。分析：弦(AB)所对的圆周角有两种情况，一种是顶点在优弧上，度数为(frac{1}{2}times(360^{circ}90^{circ})=135^{circ})，一种是顶点在劣弧上，度数为(frac{1}{2}times90^{circ}=45^{circ})。34.在圆(O)中，弦(AB)和(CD)相交于点(P)，若(AP=4)，(PB=3)，(CP=2)，则(PD)的长为______。答案：(6)。分析：根据相交弦定理(APcdotPB=CPcdotPD)，即(4times3=2timesPD)，解得(PD=6)。35.圆(O)的半径为(4)，弦(AB)的长为(4sqrt{3})，则弦(AB)所对的圆心角的度数是______。答案：(120^{circ})。分析：过(O)作(OCperpAB)于(C)，则(AC=frac{1}{2}AB=2sqrt{3})，(OA=4)，(sinangleAOC=frac{AC}{OA}=frac{2sqrt{3}}{4}=frac{sqrt{3}}{2})，所以(angleAOC=60^{circ})，则(angleAOB=120^{circ})。36.下列说法错误的是（）A.等弧所对的圆心角相等B.等弦所对的圆心角相等C.同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等D.同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等答案：B。分析：在同圆或等圆中，等弧所对的圆心角相等，A正确；等弦在不同圆中所对的圆心角不一定相等，B错误；同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，C正确；同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，D正确。37.在圆(O)中，弦(AB)把圆分成(2:3)两部分，则弦(AB)所对的圆心角的度数是______。答案：(144^{circ})。分析：弦(AB)把圆分成(2:3)两部分，则弦(AB)所对的劣弧的度数为(frac{2}{2+3}times360^{circ}=144^{circ})，所以弦(AB)所对的圆心角的度数是(144^{circ})。38.已知圆(O)的半径为(R)，弦(AB)的长为(sqrt{3}R)，则弦(AB)所对的圆心角的度数是______。答案：(120^{circ})。分析：过(O)作(OCperpAB)于(C)，则(AC=frac{1}{2}AB=frac{sqrt{3}}{2}R)，(OA=R)，(sinangleAOC=frac{AC}{OA}=frac{frac{sqrt{3}}{2}R}{R}=frac{sqrt{3}}{2})，所以(angleAOC=60^{circ})，则(angleAOB=120^{circ})。39.在圆(O)中，弦(AB)和(CD)平行，若(AB=CD)，则(overset{frown}{ACB})与(overset{frown}{CAD})的关系是______。答案：(overset{frown}{ACB}=overset{frown}{CAD})。分析：因为(AB=CD)，所以(overset{frown}{AB}=overset{frown}{CD})，又因为(ABparallelCD)，所以(overset{frown}{ACB}=overset{frown}{CAD})。40.圆(O)的直径为(10)，弦(AB)的长为(5)，则弦(AB)所对的圆心角的度数是______。答案：(60^{circ})。分析：因为(OA=OB=5)，(AB=