湖南省长沙县三中2025年数学高三第一学期期末检测试题

湖南省长沙县三中2025年数学高三第一学期期末检测试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知函数的图像与一条平行于轴的直线有两个交点，其横坐标分别为，则（）A． B． C． D．2．对于任意，函数满足，且当时，函数.若，则大小关系是（）A． B． C． D．3．某空间几何体的三视图如图所示（图中小正方形的边长为1），则这个几何体的体积是（）A． B． C．16 D．324．已知双曲线的中心在原点且一个焦点为，直线与其相交于，两点，若中点的横坐标为，则此双曲线的方程是A． B．C． D．5．某学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽取了一个容量为的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在（单位：元）的同学有34人，则的值为（）A．100 B．1000 C．90 D．906．为虚数单位,则的虚部为（）A． B． C． D．7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱的长为（）A． B． C． D．8．已知满足，则的取值范围为（）A． B． C． D．9．将一块边长为的正方形薄铁皮按如图（1）所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，将该容器按如图（2）放置，若其正视图为等腰直角三角形，且该容器的容积为，则的值为（）A．6 B．8 C．10 D．1210．设函数的导函数，且满足，若在中，，则（）A． B． C． D．11．若向量，，则与共线的向量可以是（）A． B． C． D．12．设i为数单位，为z的共轭复数，若，则（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在平面直角坐标系xOy中，己知直线与函数的图象在y轴右侧的公共点从左到右依次为，，…，若点的横坐标为1，则点的横坐标为________.14．设全集，集合，，则集合______.15．已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线为l，P为C上一点，PQ垂直l于点Q，M，N分别为PQ，PF的中点，MN与x轴相交于点R，若∠NRF=60°，则|FR|等于_____.16．已知实数，对任意，有，且，则______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在平面直角坐标系中,有一个微型智能机器人（大小不计）只能沿着坐标轴的正方向或负方向行进,且每一步只能行进1个单位长度,例如：该机器人在点处时,下一步可行进到、、、这四个点中的任一位置．记该机器人从坐标原点出发、行进步后落在轴上的不同走法的种数为．（1）分别求、、的值；（2）求的表达式．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是梯形．BC∥AD，AB＝BC＝CD＝1，AD＝2，，（Ⅰ）证明；AC⊥BP；（Ⅱ）求直线AD与平面APC所成角的正弦值．19．（12分）已知在平面四边形中，的面积为.（1）求的长；（2）已知，为锐角，求.20．（12分）数列满足，是与的等差中项.（1）证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.21．（12分）（1）已知数列满足：，且（为非零常数，），求数列的前项和；（2）已知数列满足：（ⅰ）对任意的；（ⅱ）对任意的，，且.①若，求数列是等比数列的充要条件.②求证：数列是等比数列，其中.22．（10分）已知数列和，前项和为，且，是各项均为正数的等比数列，且，．（1）求数列和的通项公式；（2）求数列的前项和．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．A【解析】

画出函数的图像，函数对称轴方程为，由图可得与关于对称，即得解.【详解】函数的图像如图，对称轴方程为，，又，由图可得与关于对称，故选：A本题考查了正弦型函数的对称性，考查了学生综合分析，数形结合，数学运算的能力，属于中档题.2．A【解析】

由已知可得的单调性，再由可得对称性，可求出在单调性，即可求出结论.【详解】对于任意，函数满足，因为函数关于点对称，当时，是单调增函数，所以在定义域上是单调增函数.因为，所以，.故选:A.本题考查利用函数性质比较函数值的大小，解题的关键要掌握函数对称性的代数形式，属于中档题..3．A【解析】几何体为一个三棱锥，高为4，底面为一个等腰直角三角形，直角边长为4，所以体积是，选A.4．D【解析】

根据点差法得，再根据焦点坐标得，解方程组得，，即得结果.【详解】设双曲线的方程为，由题意可得，设，，则的中点为，由且，得，，即，联立，解得，，故所求双曲线的方程为．故选D．本题主要考查利用点差法求双曲线标准方程，考查基本求解能力，属于中档题.5．A【解析】

利用频率分布直方图得到支出在的同学的频率，再结合支出在（单位：元）的同学有34人，即得解【详解】由题意，支出在（单位：元）的同学有34人由频率分布直方图可知，支出在的同学的频率为．故选：A本题考查了频率分布直方图的应用，考查了学生概念理解，数据处理，数学运算的能力，属于基础题.6．C【解析】

利用复数的运算法则计算即可.【详解】，故虚部为.故选：C.本题考查复数的运算以及复数的概念，注意复数的虚部为，不是，本题为基础题，也是易错题.7．D【解析】

先根据三视图还原几何体是一个四棱锥，根据三视图的数据，计算各棱的长度.【详解】根据三视图可知，几何体是一个四棱锥，如图所示：由三视图知：，所以，所以，所以该几何体的最长棱的长为故选：D本题主要考查三视图的应用，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.8．C【解析】

设，则的几何意义为点到点的斜率，利用数形结合即可得到结论.【详解】解：设，则的几何意义为点到点的斜率，作出不等式组对应的平面区域如图：由图可知当过点的直线平行于轴时，此时成立；取所有负值都成立；当过点时，取正值中的最小值，，此时；故的取值范围为；故选：C.本题考查简单线性规划的非线性目标函数函数问题，解题时作出可行域，利用目标函数的几何意义求解是解题关键．对于直线斜率要注意斜率不存在的直线是否存在．9．D【解析】

推导出，且，，，设中点为，则平面，由此能表示出该容器的体积，从而求出参数的值．【详解】解：如图（4），为该四棱锥的正视图，由图（3）可知，，且，由为等腰直角三角形可知，，设中点为，则平面，∴，∴，解得.故选：D本题考查三视图和锥体的体积计算公式的应用，属于中档题.10．D【解析】

根据的结构形式，设，求导，则，在上是增函数，再根据在中，，得到，，利用余弦函数的单调性，得到，再利用的单调性求解.【详解】设，所以，因为当时，，即，所以，在上是增函数，在中，因为，所以，，因为，且，所以，即，所以，即故选：D本题主要考查导数与函数的单调性，还考查了运算求解的能力，属于中档题.11．B【解析】

先利用向量坐标运算求出向量,然后利用向量平行的条件判断即可.【详解】故选B本题考查向量的坐标运算和向量平行的判定,属于基础题,在解题中要注意横坐标与横坐标对应,纵坐标与纵坐标对应,切不可错位.12．A【解析】

由复数的除法求出，然后计算．【详解】，∴．故选：A.本题考查复数的乘除法运算，考查共轭复数的概念，掌握复数的运算法则是解题关键．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．1【解析】

当时，得，或，依题意可得，可求得，继而可得答案．【详解】因为点的横坐标为1，即当时，，所以或，又直线与函数的图象在轴右侧的公共点从左到右依次为，，所以，故，所以函数的关系式为．当时，（1），即点的横坐标为1，为二函数的图象的第二个公共点．故答案为：1．本题考查三角函数关系式的恒等变换、正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力及思维能力，属于中档题．14．【解析】

分别解得集合A与集合B的补集，再由集合交集的运算法则计算求得答案.【详解】由题可知，集合A中集合B的补集，则故答案为：本题考查集合的交集与补集运算，属于基础题.15．2【解析】

由题意知：，，，.由∠NRF=60°，可得为等边三角形，MF⊥PQ，可得F为HR的中点，即求.【详解】不妨设点P在第一象限，如图所示，连接MF，QF.∵抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线为l，P为C上一点∴，.∵M，N分别为PQ，PF的中点，∴，∵PQ垂直l于点Q，∴PQ//OR，∵，∠NRF=60°，∴为等边三角形，∴MF⊥PQ，易知四边形和四边形都是平行四边形，∴F为HR的中点，∴，故答案为：2.本题主要考查抛物线的定义，属于基础题.16．-1【解析】

由二项式定理及展开式系数的求法得，又，所以，令得：，所以，得解．【详解】由，且，则，又，所以，令得：，所以，故答案为：．本题考查了二项式定理及展开式系数的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（1）,,,（2）【解析】

（1）根据机器人的进行规律可确定、、的值；（2）首先根据机器人行进规则知机器人沿轴行进步,必须沿轴负方向行进相同的步数,而余下的每一步行进方向都有两个选择(向上或向下),由此结合组合知识确定机器人的每一种走法关于的表达式,并得到的表达式,然后结合二项式定理及展开式的通项公式进行求解.【详解】解：（1）,,（2）设为沿轴正方向走的步数（每一步长度为1）,则反方向也需要走步才能回到轴上,所以,1,2,……,,（其中为不超过的最大整数）总共走步,首先任选步沿轴正方向走,再在剩下的步中选步沿轴负方向走,最后剩下的每一步都有两种选择（向上或向下）,即等价于求中含项的系数,为其中含项的系数为故．本题考查组合数、二项式定理,考查学生的逻辑推理能力,推理论证能力以及分类讨论的思想.18．（Ⅰ）见解析（Ⅱ）．【解析】

(I)取的中点,连接,通过证明平面得出;(II)以为原点建立坐标系，求出平面的法向量，通过计算与的夹角得出与平面所成角．【详解】（I）证明：取AC的中点M，连接PM，BM，∵AB＝BC，PA＝PC，∴AC⊥BM，AC⊥PM，又BM∩PM＝M，∴AC⊥平面PBM，∵BP⊂平面PBM，∴AC⊥BP．（II）解：∵底面ABCD是梯形．BC∥AD，AB＝BC＝CD＝1，AD＝2，∴∠ABC＝120°，∵AB＝BC＝1，∴AC，BM，∴AC⊥CD，又AC⊥BM，∴BM∥CD．∵PA＝PC，CM，∴PM，∵PB，∴cos∠BMP，∴∠PMB＝120°，以M为原点，以MB，MC的方向为x轴，y轴的正方向，以平面ABCD在M处的垂线为z轴建立坐标系M﹣xyz，如图所示：则A（0，，0），C（0，，0），P（，0，），D（﹣1，，0），∴（﹣1，，0），（0，，0），（，，），设平面ACP的法向量为（x，y，z），则，即，令x得（，0，1），∴cos，，∴直线AD与平面APC所成角的正弦值为|cos，|．本题考查异面直线垂直的证明,考查直线与平面所成角的正弦值的求法,解题时要认真审题,注意向量法的合理使用,难度一般.19．（1）；（2）4.【解析】

（1）利用三角形的面积公式求得，利用余弦定理求得.（2）利用余弦定理求得，由此求得，进而求得，利用同角三角函数的基本关系式求得.【详解】（1）在中，由面积公式：在中，由余弦定理可得：（2）在中，由余弦定理可得：在中，由正弦定理可得:，为锐角.本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角形面积公式，考查同角三角函数的基本关系式，属于中档题.20．（1）见解析，（2）【解析】

（1）根据等差中项的定义得，然后构造新等比数列，写出的通项即可求（2）根据（1）的结果，分组求和即可【详解】解：（1）由已知可得，即，可化为，故数列是以为首项，2为公比的等比数列.即有，所以.（2）由（1）知，数列的通项为：，故.考查等差中项的定义和分组求和的方法；中档题.21．（1）；（2）①；②证明见解析.【解析】

（1）由条件可得，结合等差数列的定义和通项公式、求和公式，即可得到所求；（2）①若，可令，运用已知条件和等比数列的性质，即可得到所求充要条件；②当，，，由等比数列的定义和不等式的性质，化简变形，即可得到所求结论．【详解】解：（1），，且为非零常数，，，可得，可得数列的首项为，公差为的等差数列，可得，前项和为；（2）①若，可令，，且，即，，，，对任意的，，可得，可得，，数列是等比数列，则，，可得，，即，又，即有，即，数列是等比数列的充要条件为；②证明：对任意的，，，，，当，，，可得，即以为首项、为公比的等比数列；同理可得以为首项、为公比的等比数列；对任意的，，可得，即有，所以对，，，可得，，即且，则，可令，故数列，，，，，，，，，是以为首项，为公比的等比数列，其中．本题考查新定义的理解和运用，