江西省赣州寻乌县第二中学2025-2026学年数学高三上期末质量跟踪监视模拟试题

江西省赣州寻乌县第二中学2025-2026学年数学高三上期末质量跟踪监视模拟试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知直线：（）与抛物线：交于（坐标原点），两点，直线：与抛物线交于，两点.若，则实数的值为（）A． B． C． D．2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B． C． D．3．如果，那么下列不等式成立的是（）A． B．C． D．4．一个组合体的三视图如图所示（图中网格小正方形的边长为1），则该几何体的体积是（）A． B． C． D．5．已知向量，，且，则（）A． B． C．1 D．26．设抛物线上一点到轴的距离为，到直线的距离为，则的最小值为（）A．2 B． C． D．37．已知为定义在上的奇函数，若当时，（为实数），则关于的不等式的解集是（）A． B． C． D．8．若，则函数在区间内单调递增的概率是（）A．B．C．D．9．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍.其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一”.该术相当于给出了由圆锥的底面周长与高，计算其体积的近似公式.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么近似公式相当于将圆锥体积公式中的圆周率近似取为（）A． B． C． D．10．设，集合，则（）A． B． C． D．11．为计算，设计了如图所示的程序框图，则空白框中应填入（）A． B． C． D．12．已知集合A={y|y=|x|﹣1，x∈R}，B={x|x≥2}，则下列结论正确的是（）A．﹣3∈AB．3BC．A∩B=BD．A∪B=B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在的展开式中的系数为，则_______．14．已知，椭圆的方程为，双曲线方程为，与的离心率之积为，则的渐近线方程为________.15．在中，角所对的边分别为，为的面积，若，，则的形状为__________，的大小为__________．16．已知，满足，则的展开式中的系数为______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，四棱锥中，四边形是矩形，，，为正三角形，且平面平面，、分别为、的中点.（1）证明：平面；（2）求几何体的体积.18．（12分）在平面直角坐标系中，曲线，曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线、的极坐标方程；（2）在极坐标系中，射线与曲线，分别交于、两点（异于极点），定点，求的面积19．（12分）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，．求C；若，求，的面积20．（12分）我们称n（）元有序实数组（，，…，）为n维向量，为该向量的范数.已知n维向量，其中，，2，…，n.记范数为奇数的n维向量的个数为，这个向量的范数之和为.（1）求和的值；（2）当n为偶数时，求，（用n表示）.21．（12分）已知函数，.（Ⅰ）判断函数在区间上零点的个数，并证明；（Ⅱ）函数在区间上的极值点从小到大分别为，，证明：22．（10分）为践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念和提高生态环境的保护意识，高二年级准备成立一个环境保护兴趣小组.该年级理科班有男生400人，女生200人；文科班有男生100人，女生300人.现按男、女用分层抽样从理科生中抽取6人，按男、女分层抽样从文科生中抽取4人，组成环境保护兴趣小组，再从这10人的兴趣小组中抽出4人参加学校的环保知识竞赛.（1）设事件为“选出的这4个人中要求有两个男生两个女生，而且这两个男生必须文、理科生都有”，求事件发生的概率；（2）用表示抽取的4人中文科女生的人数，求的分布列和数学期望.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．D【解析】

设，，联立直线与抛物线方程，消去、列出韦达定理，再由直线与抛物线的交点求出点坐标，最后根据，得到方程，即可求出参数的值；【详解】解：设，，由，得，∵，解得或，∴，.又由，得，∴或，∴，∵，∴，又∵，∴代入解得.故选：D本题考查直线与抛物线的综合应用，弦长公式的应用，属于中档题.2．A【解析】

利用已知条件画出几何体的直观图，然后求解几何体的体积．【详解】几何体的三视图的直观图如图所示，则该几何体的体积为：．故选：．本题考查三视图求解几何体的体积，判断几何体的形状是解题的关键．3．D【解析】

利用函数的单调性、不等式的基本性质即可得出.【详解】∵，∴，，，.故选：D.本小题主要考查利用函数的单调性比较大小，考查不等式的性质，属于基础题.4．C【解析】

根据组合几何体的三视图还原出几何体，几何体是圆柱中挖去一个三棱柱，从而解得几何体的体积.【详解】由几何体的三视图可得，几何体的结构是在一个底面半径为1的圆、高为2的圆柱中挖去一个底面腰长为的等腰直角三角形、高为2的棱柱，故此几何体的体积为圆柱的体积减去三棱柱的体积，即，故选C.本题考查了几何体的三视图问题、组合几何体的体积问题，解题的关键是要能由三视图还原出组合几何体，然后根据几何体的结构求出其体积.5．A【解析】

根据向量垂直的坐标表示列方程，解方程求得的值.【详解】由于向量，，且，所以解得.故选：A本小题主要考查向量垂直的坐标表示，属于基础题.6．A【解析】

分析：题设的直线与抛物线是相离的，可以化成，其中是点到准线的距离，也就是到焦点的距离，这样我们从几何意义得到的最小值，从而得到的最小值.详解：由①得到，，故①无解，所以直线与抛物线是相离的.由，而为到准线的距离，故为到焦点的距离，从而的最小值为到直线的距离，故的最小值为，故选A.点睛：抛物线中与线段的长度相关的最值问题，可利用抛物线的几何性质把动线段的长度转化为到准线或焦点的距离来求解.7．A【解析】

先根据奇函数求出m的值，然后结合单调性求解不等式.【详解】据题意，得，得，所以当时，.分析知，函数在上为增函数.又，所以.又，所以，所以，故选A.本题主要考查函数的性质应用，侧重考查数学抽象和数学运算的核心素养.8．B【解析】函数在区间内单调递增，，在恒成立，在恒成立，，函数在区间内单调递增的概率是，故选B.9．C【解析】

将圆锥的体积用两种方式表达，即，解出即可.【详解】设圆锥底面圆的半径为r，则，又，故，所以，.故选：C.本题利用古代数学问题考查圆锥体积计算的实际应用，考查学生的运算求解能力、创新能力.10．B【解析】

先化简集合A,再求.【详解】由得：，所以，因此，故答案为B本题主要考查集合的化简和运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算推理能力.11．A【解析】

根据程序框图输出的S的值即可得到空白框中应填入的内容．【详解】由程序框图的运行，可得：S＝0，i＝0满足判断框内的条件，执行循环体，a＝1，S＝1，i＝1满足判断框内的条件，执行循环体，a＝2×（﹣2），S＝1+2×（﹣2），i＝2满足判断框内的条件，执行循环体，a＝3×（﹣2）2，S＝1+2×（﹣2）+3×（﹣2）2，i＝3…观察规律可知：满足判断框内的条件，执行循环体，a＝99×（﹣2）99，S＝1+2×（﹣2）+3×（﹣2）2+…+1×（﹣2）99，i＝1，此时，应该不满足判断框内的条件，退出循环，输出S的值，所以判断框中的条件应是i＜1．故选：A．本题考查了当型循环结构，当型循环是先判断后执行，满足条件执行循环，不满足条件时算法结束，属于基础题．12．C【解析】试题分析：集合考点：集合间的关系二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．2【解析】

首先求出的展开项中的系数，然后根据系数为即可求出的取值.【详解】由题知，当时有，解得.故答案为：.本题主要考查了二项式展开项的系数，属于简单题.14．【解析】

求出椭圆与双曲线的离心率，根据离心率之积的关系，然后推出关系，即可求解双曲线的渐近线方程.【详解】，椭圆的方程为，的离心率为：，双曲线方程为，的离心率：，与的离心率之积为，，，的渐近线方程为：，即.故答案为：本题考查了椭圆、双曲线的几何性质，掌握椭圆、双曲线的离心率公式，属于基础题.15．等腰三角形【解析】∵∴根据正弦定理可得，即∴∴∴的形状为等腰三角形∵∴∴由余弦定理可得∴，即∵∴故答案为等腰三角形，16．1【解析】

根据二项式定理求出，然后再由二项式定理或多项式的乘法法则结合组合的知识求得系数．【详解】由题意，．∴的展开式中的系数为．故答案为：1．本题考查二项式定理，掌握二项式定理的应用是解题关键．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（1）见解析；（2）【解析】

（1）由题可知，根据三角形的中位线的性质，得出，根据矩形的性质得出，所以，再利用线面平行的判定定理即可证出平面；（2）由于平面平面，根据面面垂直的性质，得出平面，从而得出到平面的距离为，结合棱锥的体积公式，即可求得结果.【详解】解：（1）∵，分别为，的中点，∴，∵四边形是矩形，∴，∴，∵平面，平面，∴平面.（2）取，的中点，，连接，，，，则，由于为三棱柱，为四棱锥，∵平面平面，∴平面，由已知可求得，∴到平面的距离为，因为四边形是矩形，，，，设几何体的体积为，则，∴，即：.本题考查线面平行的判定、面面垂直的性质和棱锥的体积公式，考查逻辑推理和计算能力.18．（1），；（2）.【解析】

（1）先把参数方程化成普通方程，再利用极坐标的公式把普通方程化成极坐标方程；（2）先利用极坐标求出弦长，再求高，最后求的面积．【详解】（1）曲线的极坐标方程为：，因为曲线的普通方程为：，曲线的极坐标方程为；（2）由（1）得：点的极坐标为，点的极坐标为，，点到射线的距离为的面积为.本题考查普通方程、参数方程与极坐标方程之间的互化，同时也考查了利用极坐标方程求解面积问题，考查计算能力，属于中等题.19．(1)．(2)．【解析】

由已知利用正弦定理，同角三角函数基本关系式可求，结合范围，可求，由已知利用二倍角的余弦函数公式可得，结合范围，可求A，根据三角形的内角和定理即可解得C的值．由及正弦定理可得b的值，根据两角和的正弦函数公式可求sinC的值，进而根据三角形的面积公式即可求解．【详解】由已知可得，又由正弦定理，可得，即，，，，即，又，，或舍去，可得，．，，，由正弦定理，可得，，．本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角的余弦函数公式，三角形的内角和定理，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式等知识在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．20．（1），.（2），【解析】

（1）利用枚举法将范数为奇数的二元有序实数对都写出来，再做和；（2）用组合数表示和，再由公式或将组合数进行化简，得出最终结果.【详解】解：（1）范数为奇数的二元有序实数对有：，，，，它们的范数依次为1，1，1，1，故，.（2）当n为偶数时，在向量的n个坐标中，要使得范数为奇数，则0的个数一定是奇数，所以可按照含0个数为：1，3，…，进行讨论：的n个坐标中含1个0，其余坐标为1或，共有个，每个的范数为；的n个坐标中含3个0，其余坐标为1或，共有个，每个的范数为；的n个坐标中含个0，其余坐标为1或，共有个，每个的范数为1；所以，.因为，①，②得，，所以.解法1：因为，所以..解法2：得，.又因为，所以.本题考查了数列和组合，是一道较难的综合题.21．（Ⅰ）函数在区间上有两个零点.见解析（Ⅱ）见解析【解析】

（Ⅰ）根据题意，，利用导函数研究函数的单调性，分类讨论在区间的单调区间和极值，进而研究零点个数问题；（Ⅱ）求导，，由于在区间上的极值点从小到大分别为，，求出，利用导数结合单调性和极值点，即可证明出.【详解】解：（Ⅰ），，当时，，，在区间上单调递减，，在区间上无零点；当时，，在区间上单调递增，，在区间上唯一零点；当时，，，在区间上单调递减，，；在区间上唯一零点；综上可知，函数在区间上有两个零点.（Ⅱ），，由（Ⅰ）知在无极值点；在有极小值点，即为；在有极大值点，即为，由，即，，2…，，，，，，以及的单调性，，，，，由函数在单调递增，得，，由在