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文档简介

山东省枣庄市市中区枣庄三中2025年数学高三第一学期期末检测试题注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知i为虚数单位,则()A. B. C. D.2.已知双曲线,过原点作一条倾斜角为直线分别交双曲线左、右两支P,Q两点,以线段PQ为直径的圆过右焦点F,则双曲线离心率为A. B. C.2 D.3.已知函数与的图象有一个横坐标为的交点,若函数的图象的纵坐标不变,横坐标变为原来的倍后,得到的函数在有且仅有5个零点,则的取值范围是()A. B.C. D.4.圆柱被一平面截去一部分所得几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A. B. C. D.5.2020年是脱贫攻坚决战决胜之年,某市为早日实现目标,现将甲、乙、丙、丁4名干部派遺到、、三个贫困县扶贫,要求每个贫困县至少分到一人,则甲被派遣到县的分法有()A.6种 B.12种 C.24种 D.36种6.已知,,且是的充分不必要条件,则的取值范围是()A. B. C. D.7.盒子中有编号为1,2,3,4,5,6,7的7个相同的球,从中任取3个编号不同的球,则取的3个球的编号的中位数恰好为5的概率是()A. B. C. D.8.刘徽是我国魏晋时期伟大的数学家,他在《九章算术》中对勾股定理的证明如图所示.“勾自乘为朱方,股自乘为青方,令出入相补,各从其类,因就其余不移动也.合成弦方之幂,开方除之,即弦也”.已知图中网格纸上小正方形的边长为1,其中“正方形为朱方,正方形为青方”,则在五边形内随机取一个点,此点取自朱方的概率为()A. B. C. D.9.已知展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等,,若,则的值为()A.1 B.-1 C.8l D.-8110.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题:“今有蒲生一日,长三尺莞生一日,长一尺蒲生日自半,莞生日自倍.问几何日而长倍?”意思是:“今有蒲草第天长高尺,芜草第天长高尺以后,蒲草每天长高前一天的一半,芜草每天长高前一天的倍.问第几天莞草是蒲草的二倍?”你认为莞草是蒲草的二倍长所需要的天数是()(结果采取“只入不舍”的原则取整数,相关数据:,)A. B. C. D.11.已知函数的最大值为,若存在实数,使得对任意实数总有成立,则的最小值为()A. B. C. D.12.若集合,,则A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.袋中有形状、大小都相同的4只球,其中1只白球,1只红球,2只黄球,从中一次随机摸出2只球,则这2只球颜色不同的概率为__________.14.若的展开式中各项系数之和为32,则展开式中x的系数为_____15.已知,则的值为______.16.已知三棱锥的四个顶点都在球O的球面上,,,,,E,F分别为,的中点,,则球O的体积为______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数(Ⅰ)若,求曲线在点处的切线方程;(Ⅱ)若在上恒成立,求实数的取值范围;(Ⅲ)若数列的前项和,,求证:数列的前项和.18.(12分)唐诗是中国文学的瑰宝.为了研究计算机上唐诗分类工作中检索关键字的选取,某研究人员将唐诗分成7大类别,并从《全唐诗》48900多篇唐诗中随机抽取了500篇,统计了每个类别及各类别包含“花”、“山”、“帘”字的篇数,得到下表:爱情婚姻咏史怀古边塞战争山水田园交游送别羁旅思乡其他总计篇数100645599917318500含“山”字的篇数5148216948304271含“帘”字的篇数2120073538含“花”字的篇数606141732283160(1)根据上表判断,若从《全唐诗》含“山”字的唐诗中随机抽取一篇,则它属于哪个类别的可能性最大,属于哪个类别的可能性最小,并分别估计该唐诗属于这两个类别的概率;(2)已知检索关键字的选取规则为:①若有超过95%的把握判断“某字”与“某类别”有关系,则“某字”为“某类别”的关键字;②若“某字”被选为“某类别”关键字,则由其对应列联表得到的的观测值越大,排名就越靠前;设“山”“帘”“花”和“爱情婚姻”对应的观测值分别为,,.已知,,请完成下面列联表,并从上述三个字中选出“爱情婚姻”类别的关键字并排名.属于“爱情婚姻”类不属于“爱情婚姻”类总计含“花”字的篇数不含“花”的篇数总计附:,其中.0.050.0250.0103.8415.0246.63519.(12分)已知的图象在处的切线方程为.(1)求常数的值;(2)若方程在区间上有两个不同的实根,求实数的值.20.(12分)在平面直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),曲线的极坐标方程为.(Ⅰ)求直线的普通方程及曲线的直角坐标方程;(Ⅱ)设点,直线与曲线相交于,,求的值.21.(12分)在平面直角坐标系中,曲线,曲线的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线、的极坐标方程;(2)在极坐标系中,射线与曲线,分别交于、两点(异于极点),定点,求的面积22.(10分)在△ABC中,角所对的边分别为向量,向量,且.(1)求角的大小;(2)求的最大值.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.A【解析】

根据复数乘除运算法则,即可求解.【详解】.故选:A.本题考查复数代数运算,属于基础题题.2.B【解析】

求得直线的方程,联立直线的方程和双曲线的方程,求得两点坐标的关系,根据列方程,化简后求得离心率.【详解】设,依题意直线的方程为,代入双曲线方程并化简得,故,设焦点坐标为,由于以为直径的圆经过点,故,即,即,即,两边除以得,解得.故,故选B.本小题主要考查直线和双曲线的交点,考查圆的直径有关的几何性质,考查运算求解能力,属于中档题.3.A【解析】

根据题意,,求出,所以,根据三角函数图像平移伸缩,即可求出的取值范围.【详解】已知与的图象有一个横坐标为的交点,则,,,,,若函数图象的纵坐标不变,横坐标变为原来的倍,则,所以当时,,在有且仅有5个零点,,.故选:A.本题考查三角函数图象的性质、三角函数的平移伸缩以及零点个数问题,考查转化思想和计算能力.4.B【解析】

三视图对应的几何体为如图所示的几何体,利用割补法可求其体积.【详解】根据三视图可得原几何体如图所示,它是一个圆柱截去上面一块几何体,把该几何体补成如下图所示的圆柱,其体积为,故原几何体的体积为.故选:B.本题考查三视图以及不规则几何体的体积,复原几何体时注意三视图中的点线关系与几何体中的点、线、面的对应关系,另外,不规则几何体的体积可用割补法来求其体积,本题属于基础题.5.B【解析】

分成甲单独到县和甲与另一人一同到县两种情况进行分类讨论,由此求得甲被派遣到县的分法数.【详解】如果甲单独到县,则方法数有种.如果甲与另一人一同到县,则方法数有种.故总的方法数有种.故选:B本小题主要考查简答排列组合的计算,属于基础题.6.D【解析】

“是的充分不必要条件”等价于“是的充分不必要条件”,即中变量取值的集合是中变量取值集合的真子集.【详解】由题意知:可化简为,,所以中变量取值的集合是中变量取值集合的真子集,所以.利用原命题与其逆否命题的等价性,对是的充分不必要条件进行命题转换,使问题易于求解.7.B【解析】

由题意,取的3个球的编号的中位数恰好为5的情况有,所有的情况有种,由古典概型的概率公式即得解.【详解】由题意,取的3个球的编号的中位数恰好为5的情况有,所有的情况有种由古典概型,取的3个球的编号的中位数恰好为5的概率为:故选:B本题考查了排列组合在古典概型中的应用,考查了学生综合分析,概念理解,数学运算的能力,属于中档题.8.C【解析】

首先明确这是一个几何概型面积类型,然后求得总事件的面积和所研究事件的面积,代入概率公式求解.【详解】因为正方形为朱方,其面积为9,五边形的面积为,所以此点取自朱方的概率为.故选:C本题主要考查了几何概型的概率求法,还考查了数形结合的思想和运算求解的能力,属于基础题.9.B【解析】

根据二项式系数的性质,可求得,再通过赋值求得以及结果即可.【详解】因为展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等,故可得,令,故可得,又因为,令,则,解得令,则.故选:B.本题考查二项式系数的性质,以及通过赋值法求系数之和,属综合基础题.10.C【解析】

由题意可利用等比数列的求和公式得莞草与蒲草n天后长度,进而可得:,解出即可得出.【详解】由题意可得莞草与蒲草第n天的长度分别为据题意得:,解得2n=12,∴n21.故选:C.本题考查了等比数列的通项公式与求和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.11.B【解析】

根据三角函数的两角和差公式得到,进而可以得到函数的最值,区间(m,n)长度要大于等于半个周期,最终得到结果.【详解】函数则函数的最大值为2,存在实数,使得对任意实数总有成立,则区间(m,n)长度要大于等于半个周期,即故答案为:B.这个题目考查了三角函数的两角和差的正余弦公式的应用,以及三角函数的图像的性质的应用,题目比较综合.12.C【解析】

解一元次二次不等式得或,利用集合的交集运算求得.【详解】因为或,,所以,故选C.本题考查集合的交运算,属于容易题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】试题分析:根据题意,记白球为A,红球为B,黄球为,则一次取出2只球,基本事件为、、、、、共6种,其中2只球的颜色不同的是、、、、共5种;所以所求的概率是.考点:古典概型概率14.2025【解析】

利用赋值法,结合展开式中各项系数之和列方程,由此求得的值.再利用二项式展开式的通项公式,求得展开式中的系数.【详解】依题意,令,解得,所以,则二项式的展开式的通项为:令,得,所以的系数为.故答案为:2025本小题主要考查二项式展开式各项系数之和,考查二项式展开式指定项系数的求法,属于基础题.15.【解析】

先求,再根据的范围求出即可.【详解】由题可知,故.故答案为:.本题考查分段函数函数值的求解,涉及对数的运算,属基础题.16.【解析】

可证,则为的外心,又则平面即可求出,的值,再由勾股定理求出外接球的半径,最后根据体积公式计算可得.【详解】解:,,,因为为的中点,所以为的外心,因为,所以点在内的投影为的外心,所以平面,平面,所以,所以,又球心在上,设,则,所以,所以球O体积,.故答案为:本题考查多面体外接球体积的求法,考查空间想象能力与思维能力,考查计算能力,属于中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(Ⅰ);(Ⅱ);(Ⅲ)证明见解析.【解析】试题分析:将,求出切线方程求导后讨论当时和时的单调性证明,求出实数的取值范围先求出、的通项公式,利用当时,得,下面证明:解析:(Ⅰ)因为,所以,,切点为.由,所以,所以曲线在处的切线方程为,即(Ⅱ)由,令,则(当且仅当取等号).故在上为增函数.①当时,,故在上为增函数,所以恒成立,故符合题意;②当时,由于,,根据零点存在定理,必存在,使得,由于在上为增函数,故当时,,故在上为减函数,所以当时,,故在上不恒成立,所以不符合题意.综上所述,实数的取值范围为(III)证明:由由(Ⅱ)知当时,,故当时,,故,故.下面证明:因为而,所以,,即:点睛:本题考查了利用导数的几何意义求出参数及证明不等式成立,借助第二问的证明过程,利用导数的单调性证明数列的不等式,在求解的过程中还要求出数列的和,计算较为复杂,本题属于难题.18.(1)该唐诗属于“山水田园”类别的可能性最大,属于“其他”类别的可能性最小;属于“山水田园”类别的概率约为;属于“其他”类别的概率约为(2)填表见解析;选择“花”,“帘”作为“爱情婚姻”类别的关键字,且排序为“花”,“帘”【解析】

(1)根据统计图表算出频率,比较大小即可判断;(2)根据统计图表完成列联表,算出观测值,查表判断.【详解】(1)由上表可知,该唐诗属于“山水田园”类别的可能性最大,属于“其他”类别的可能性最小属于“山水田园”类别的概率约为;属于“其他”类别的概率约为;(2)列联表如下:属于“爱情婚姻”类不属于“爱情婚姻”类共计含“花”的篇数60100160不含“花”的篇数40300340共计100400500计算得:;因为,,所以有超过95%的把握判断“花”字和“帘”字均与“爱情婚姻”有关系,故“花”和“帘”是“爱情婚姻”的关键字,而“山”不是;又因为,故选择“花”,“帘”作为“爱情婚姻”类别的关键字,且排序为“花”,“帘”.本题主要考查统计图表、频率与概率的关系、用样本估计总体、独立性检验等知识点.考查了学生对统计图表的识读与计算能力,考查了学生的数据分析、数学运算等核心素养.19.(1);(2)或.【解析】

(1)求出,由,建立方程求解,即可求出结论;(2)根据函数的单调区间,极值,做出函数在的图象,即可求解.【详解】(1),由题意知,解得(舍去)或.(2)当时,故方程有根,根为或,+0-0+极大值极小值由表可见,当时,有极小值0.由上表可知的减函数区间为,递增区间为,.因为,.由数形结合可得或.本题考查导数的几何意义,应用函数的图象是解题的关键,意在考查直观想象、逻辑推

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