八年级数学上册苏科版1.4《线段垂直平分线与角平分线》题型同步测试（含答案）

1.4《线段垂直平分线与角平分线》同步测试【题型1：利用线段垂直平分线的性质求角】1.如图，△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线DE分别交AC、AB于点D、E．(1)若∠A=50°，求∠CBD的度数；(2)若AB=7，BC的长为5，求△CBD的周长．2.如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC、AC于点D、E，连接BE．若BE平分∠ABC，且∠A=72°，则∠CED的度数为（

）A．72° B．64° C．54° D．36°3.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC的垂直平分线DE分别与AB，AC交于点D，E，若∠A=38°A．10° B．12° C．14° D．16°4.如图，在△ABC中，PM、QN分别是线段AB、AC的垂直平分线，若∠BAC=110°，则∠PAQ的度数是（A．30° B．40° C．50° D．60°【题型2：利用线段垂直平分线的性质求边长】1.如图，在△ABC中，AD垂直平分BC，在△ACF中，CE垂直平分AF，若CF=6，CD=5，则△ABC的周长为（

）A．24 B．22 C．20 D．182.如图，在△ABC中，DE垂直平分边AC，若△ABD的周长为24cm，BC=18cm，则AB的长为（A．6cm B．8cm C．10cm3.如图，△ABC中，BC=20，直线DE垂直平分BC，分别交AB、BC于点E、D，若△ACE的周长为32，则△ABC的周长是（

）A．62 B．52 C．42 D．324.如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心，以大于12BC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN交AC于点D，连接BD．若AC=8，AD=3，则BD的长为（A．8 B．5 C．4 D．3【题型3：线段垂直平分线的判定】1.如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．求证∶AD垂直平分EF．2.已知：如图，AB=AC，MB=MC．求证：直线AM是线段BC的垂直平分线．3.如图，在△ABC中，D是BC上的一点，连接AD，作DE⊥AB交AB于点E，DF⊥AC交AC于点F，且AD平分∠BAC，连接EF．证明：AD垂直平分EF．4.如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交AB，BC于点M，D，边AC的垂直平分线分别交AC，BC于点N，E，MD，NE的延长线交于点O．(1)试判断点O是否在BC的垂直平分线上，并说明理由；(2)若∠BAC=110°，求【题型4：角平分线的性质定理】1.如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E.∆ABC的面积为12,AB=7,DE=2，则BC的长为（

）A．7 B．6 C．5 D．42.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的角平分线AD交BC于点D，BC＝7，A．3 B．4 C．5 D．73.如图，在四边形ABCD中，∠BCD=90°，BD平分∠ABC，AB=6，BC=8，CD=4，则四边形ABCD的面积是（

）A．24 B．32 C．28 D．564.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边AC、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=8，AB=15，则△ABD的面积是（

A．120 B．60 C．45 D．30【题型5：角平分线的判定定理】1.如图，AD∥BC，∠D=90°，点P为CD中点，BP平分∠ABC．求证：AP平分2.如图所示，BE＝CF，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且BD＝CD．求证：（1）△BDE≌△CDF；（2）AD是∠BAC的平分线．3.如图，已知DE⊥AB垂足为E，DF⊥AC垂足为F，BD=CD，BE=CF．

(1)求证：AD平分∠BAC；(2)丁丁同学观察图形后得出结论：AB+AC=2AE，请你帮他写出证明过程．4.如图，A、B两点分别在射线OM,ON上，点C在∠MON的内部，且AC=BC，CD⊥OM,CE⊥ON，垂足分别为D，E，且AD=BE．(1)求证：OC平分∠MON；(2)若AD=3,BO=4，求AO的长．【题型6：角平分线性质的实际应用】1.如图，三条笔直公路两两相交，交点分别为A，B，C，现计划修一个油库，要求到三条公路的距离都相等，△ABC内部被河水填满无法施工，则可供选择的地址有（）A．1处 B．2处 C．3处 D．4处2.如图所示，有三条道路围成Rt△ABC，其中∠C=90°，BC=800m，一个人从B处出发沿着BC行走了500m，到达D处，AD恰为∠CAB的平分线，则此时这个人到AB的最短距离为（A．1300m B．800m C．500m D．300m3.如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在．4.如图，在平面直角坐标系中，根据尺规作图的痕迹在第二象限内作出点Pm−1，2n，则m与n

【题型7：尺规作图-角平分线和垂直平分线】1.如图，电信部门要在公路m，n之间的S区域修建一座电视信号发射塔P．按照设计要求，发射塔P到区域S内的两个城镇A,B的距离必须相等，到两条公路m，n的距离也必须相等．发射塔P应建在什么位置？（要求：尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹，并写出结论）2.商朝第一名相、有“烹调之圣”美称的伊尹，晚年曾隐居在连云港市灌云县伊芦山，大小伊山也因他而得名，后人为了纪念他准备建造一座伊尹雕像．经过实地考察与测量，决定将雕像建造在两条伊尹路内部，并且在两条路所构成的角的平分线上，另外又考虑到周边两个小区的人们都可以方便过来瞻仰，让两个小区A，B到雕像的距离也相等，请依据上述信息，在右图中利用无刻度的直尺和圆规标出伊尹雕像P点的位置．（要求：尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．）3.如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°．(1)尺规作图：作AB的垂直平分线DE，垂足为D，交AC于点E．（保留作图痕迹，不要求写作法）(2)应用与证明：在（1）的条件下，求证：DE=EC．4.如图，物流超市A，B在街道m和n之间，某物流公司计划修建一个物流中转站，要求中转站到物流超市A，B的距离相等，且到街道m和n的距离也相等，请在图中利用尺规作出中转站Q的具体位置．（不写作法，保留作图痕迹）参考答案【题型1：利用线段垂直平分线的性质求角】1.（1）解：∵AB=AC，∠A=50°，∴∠ABC=∠C=1∵DE垂直平分AB，∴DA=DB，∴∠ABD=∠A=50°，∴∠CBD=∠ABC−∠ABD=15°；（2）解：∵DE垂直平分AB，∴DA=DB，∴DB+DC=DA+DC=AC，∵AB=AC=7，BC=5，∴△CBD周长为BD+CD+BC=7+5=12．2.C【分析】本题考查中垂线的性质，与角平分线有关的三角形的内角和问题，根据三角形的内角和定理求出∠ABC+∠C的度数，中垂线的性质，角平分线的定义，推出∠ABC=2∠C，进而求出∠C的度数，再根据三角形的内角和定理求出∠CED的度数即可．【详解】解：∵∠A=72°，∴∠ABC+∠C=180°−72°=108°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∵BC的垂直平分线分别交BC、AC于点D、E，∴∠EDC=90°,BE=CE，∴∠CBE=∠C，∴∠ABE=∠CBE=∠C，∴∠ABC=2∠C，∴∠ABC+∠C=3∠C=108°，∴∠C=36°，∴∠CED=90°−∠C=54°；故选C．3.C【分析】本题考查三角形中求角度，涉及中垂线性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形两锐角互余等知识，先由中垂线性质得到DA=DC，再结合等边对等角确定∠DCE=∠A=38°，再由直角三角形两锐角互余得到∠ACB=52°，数形结合表示出∠BCD即可得到答案，熟练掌握中垂线的性质及三角形的相关知识是解决问题的关键．【详解】解：∵DE是线段AC的垂直平分线，∴DA=DC，∴∠DCE=∠A=38°，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=38°，则∠ACB=90°−38°=52°∴∠BCD=∠ACB−∠ACD=52°−38°=14°，故选：C．4.B【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，线段的垂直平分线的性质，熟练掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键；根据三角形内角和定理求出∠B+∠C，根据线段垂直平分线的性质得出AP=BP，CQ=AQ，求出∠B=∠BAP，∠C=∠CAQ，再求出∠BAP+∠CAQ=70°，再求出答案即可；【详解】解：∵∠BAC=110°，∴∠B+∠C=180°−∠BAC=70°，∴PM，QN分别是线段AB，AC的垂直平分线，∴AP=BP，CQ=AQ，∴∠BAP=∠B，∠CAQ=∠C，∴∠BAP+∠CAQ=∠B+∠C=70°，∵∠BAC=110°，∴∠PAQ=∠BAC−∠BAP+∠CAQ故选：B【题型2：利用线段垂直平分线的性质求边长】1.B【分析】此题考查了垂直平分线的性质，根据垂直平分线的性质得到AC=CF=6，AB=AC=6，CD=BD=5，进而求解即可．【详解】∵CE垂直平分AF，CF=6∴AC=CF=6∵AD垂直平分BC，∴AB=AC=6，CD=BD=5∴△ABC的周长为AC+AB+CD+BD=6+6+5+5=22．故选：B．2.A【分析】本题主要考查垂直平分线的性质，熟练掌握性质是关键.根据垂直平分线的性质得出AD=DC，再进行等量代换后计算即可.【详解】解：∵DE垂直平分AC，∴AD=DC，∴△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC=24cm∵BC=18cm∴AB=24−18=6故选：A．3.B【分析】本题考查了垂直平分线的性质，掌握垂直平分线上的点到线段两端距离相等是解题关键．由垂直平分线可得BE=CE，再结合△ACE的周长得到AB+AC=32，即可求出△ABC的周长．【详解】解：△ABC中，BC=20，直线DE垂直平分BC，∴BE=CE，∵△ACE的周长为32，∴AE+CE+AC=AE+BE+AC=AB+AC=32，∴△ABC的周长是AB+AC+BC=32+20=52，故选：B．4.B【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由作图可知，直线MN是线段BC的垂直平分线，即得BD=CD，进而即可求解，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．【详解】解：由作图可知，直线MN是线段BC的垂直平分线，∴BD=CD，∵AC=8，AD=3，∴CD=AC−AD=8−3=5，∴BD=5，故选：B．【题型3：线段垂直平分线的判定】1.证明：∵AD是∠BAC的平分线，且DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∴点D在线段EF的垂直平分线上，又∵AD=AD，∴Rt△ADE≌∴AE=AF，∴点A在线段EF的垂直平分线上，∴AD垂直平分EF．2.证明：如图，设AM，BC交于点O，∵AB=AC，MB=MC，AM=AM，∴△ABM≌△ACMSSS∴∠BAM=∠CAM，又∵AO=AO，∴△ABO≌△ACOSAS∴BO=CO，∠AOB=∠AOC=90°，即∴直线AM是线段BC的垂直平分线．3.证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠AED=∠AFD，∵AD平分∠BAC，∴∠EAD=∠FAD，在△AED和△AFD中，∠AED=∠AFD∠EAD=∠FAD∴△AED≌△AFDAAS∴AE=AF，DE=DF，∴点A和点D在EF的垂直平分线上，∴AD垂直平分EF．4.（1）解：点O在BC的垂直平分线上，理由如下：如图所示，连接AO，BO，CO，∵DM，EN分别是AB，AC的垂直平分线，∴OA=OB，OA=OC，∴OB=OC，∴点O在BC的垂直平分线上；（2）解：∵OM，ON分别垂直平分AB，AC，∴△ABO，△ACO均为轴对称图形，∴∠BOM=∠AOM，∠CON=∠AON，∵OM⊥AB，ON⊥AC，∴∠AMO=∠ANO=90°，∵∠BAC=110∴∠MON=360°−90°−90°−110°=70°，∴∠BOC=∠BOM+∠AOM+∠AON+∠CON=2∠MON=140°．【题型4：角平分线的性质定理】1.C【分析】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．作DF⊥BC于F，根据角平分线的性质得到DF=DE，根据三角形面积公式计算即可．【详解】解：作DF⊥BC于F，∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB,DF⊥BC，∴DF=DE=2,∴∴∴BC=5故选：C．2.A【分析】本题考查角平分线性质．根据题意过点D作DE⊥AB交AB于点E，利用角平分线性质即可得到本题答案．【详解】解：过点D作DE⊥AB交AB于点E，∵∠C=90°，∴DC⊥AC，∵AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB，∴CD=ED，∵BC=BD+DC,BC=7,BD=4，∴DC=BC−BD=7−4=3，∴ED=3，即点D到AB的距离是3，故选：A．3.C【分析】本题考查了角平分线的性质定理，三角形的面积的计算，过D作DE⊥AB交BA的延长线于E，根据角平分线的性质定理得到DE=CD=4，根据三角形的面积公式即可得到结论，熟练掌握角平分线的性质定理，正确的作出辅助线是解题的关键．【详解】如图，过D作DE⊥AB交BA的延长线于E，∵BD平分∠ABC，∠BCD=90°，DE⊥AB，∴DE=CD=4，∴四边形ABCD的面积=S故选：C．4.B【分析】本题考查角平分线的性质，根据作图得到AP为∠BAC的角平分线，进而得到D点到AC,AB的距离相等，再利用三角形的面积公式进行计算即可，掌握角平分线的作图方法，以及角平分线上的点都角两边的距离相等，是解题的关键．【详解】解：由作图方法可知：AP为∠BAC的角平分线，∵点D在AP上，∴D点到AC,AB的距离相等，设D点到AB的距离为ℎ，∵∠C=90°，即DC⊥AC，∴DC的长即为D点到AC的距离，∴ℎ=CD=8，∴△ABD的面积是12故选B.【题型5：角平分线的判定定理】1.证明：过点P作PE⊥AB于E，∵AD∥BC，∠D=90°∴∠C=180°−∠D=90°，即PC⊥BC，∵BP平分∠ABC，PE⊥AB，PC⊥BC，∴PC=PE，∵点P是CD的中点，∴PD=PC，∴PE=PD，又∵PE⊥AB，PD⊥AD，∴AP平分∠DAB．2.证明：（1）∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB=∠DFC=90°，在Rt△BDE和Rt△CDF中，BE=CFBD=CD∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）；（2）由（1）得：△BDE≌△CDF，∴DE=DF，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD是∠BAC的平分线．3.（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠E=∠DFC=90°，在Rt△BED和RtBD=CDBE=CF∴Rt∴DE=DF，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠EAD=∠CAD，∴AD平分∠BAC；（2）解：∵∠E=∠AFD=90°，在Rt△AED和RtAD=ADDE=DF∴Rt∴AE=AF，∵BE=CF，∴AB+AC=AE−BE+AF+CF=AE−CF+AE+CF=2AE．4.（1）证明：∵CD⊥OM,CE⊥ON，∴∠ADC=∠BEC=90°，∵AC=BC，AD=BE，∴Rt△ADC≌∴CD=CE，∵OC=OC，∴Rt△ODC≌∴∠COD=∠COE，∴OC平分∠MON；（2）解：∵Rt△ODC≌Rt△OEC∴OD=OE=OB+BE=OB+AD=4+3=7，∴OA=OD+AD=7+3=10．【题型6：角平分线性质的实际应用】1.C【分析】由三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，△ABC内部被河水填满无法施工，可得三角形内角平分线的交点不满足条件；然后利用角平分线的性质，可证得三角形两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，这样的点有3个，可得可供选择的地址有3个．【详解】解：∵△ABC内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，△ABC内部被河水填满无法施工，∴△ABC内角平分线的交点不满足条件；如图：点P是△ABC两条外角平分线的交点，过点P作PE⊥AB，PD⊥BC，PF⊥AC，∴PE=PF，PF=PD，∴PE=PF=PD，∴