2024-2025学年新疆昌吉州高二（上）期末数学试卷（含解析）

2024-2025学年新疆昌吉州高二（上）期末数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题绐出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.直线=0的倾斜角为（）

A.0°B.30°C.45°D.60°

2.在等差数列｛册｝中0n>0,劭=11，QII=5,则由等于（）

A.-15B.15C.25D.-25

3.若椭圆与+<=l（a>埼）的长半轴长等于其焦距，则a=（）

QJ

A.2B.2\f2C.2\f3D.4

4.已知空间四边形。一NBC,M,N分别是。48C的中点，且6J=五，OB=h,OC=c,用五，b,2表示向

量而为（）

A.1a+|S+|cB.+|c

C.-1a+|b+icD.-ia+15-ic

5.在等比数列｛%｝中,若%+。2=4,a3+a4=16,则电+。8=（）

A.16B.64C.256D.340

6.圆%2+产=4与圆工2+y+2）,一6=0的公共弦长为（）

A.1B.2C.<3D.2V3

7.棱长为1的正四面体产一/lBC中，P4与平面718c所成角的正弦值是（）

A.-B.-C.-D.—

La53/

8.已知%，％分别是双曲线E：1f1=l的左、右焦点，M是E的左支上一点，过力作“1M尸2角平分线

的垂线，垂足为N,。为坐标原点，则|ON|二（）

A.4B.2C.3D.1

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.已知等差数列｛的｝的前n项和为立，且公差d工0,。2+。30=16.则以下结论正确的（）

A.2a15+。18=24

B.若S8=$9，则d=y

C.若d=-2,则S”的最大值为S21

D.若a”，a16,%8成等比数列，则d=4

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10.已知圆C：%2-4%+产=0直线八(m+i)x+2y-3-m=0,(mWR),贝ij()

A,直线竹亘过定点(1,1)

B.存在实数m,使得直线/与圆C没有公共点

C.当m=-3时，圆C上恰有两个点到直线侑勺距离等于1

D.圆C与圆d+y2-2x+8y+1=0只有一条公切线

11.如图，在校长为1的正方体力BCO-Ai/GDi中，点P在线段4C(包括端%____________G

点)上运动，则下列结论正确的是［)小

A.异面直线4P与A山所成角的取值范围是/修)\jJ：,

B.平面4DP与平面4BCD所成夹角的余弦值取值范围是［苧,1］*……\/C

C.三棱锥4-Pg。的体积为定值

D.当P为B］C的中点时，P到BD］的跑离为华

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.在数列｛%｝中,an+an+1=2n,则数列｛%｝前10项和的值为____.

13.已知直线。的一个方向向量为(4,a),直线，2的一个方向向量为(1—Q,2),若1i，。，贝g的直为____.

14.已知抛物线Qy2=2px(p>0),F为抛物线C的焦点，过点D(-*0)作直线交抛物线于48两点，若

\AF\=6,\BF\=3,则抛物线。的准线方程为.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

己知直线八3x+y-6=0和圆心为C的圆42+丫2-2丫-4=0,判断直线I与圆C的位置关系：如果相交，

求直线1被圆C所截得的弦长.

16.(本小题15分)

已知48两点的坐标分别是(一2,0),(2,0),直线AM,相交于点M,且直线AM的斜率与直线的斜率

的差为-4,记点M的轨迹为曲线C.

(1)求曲线C的方程；

(2)将曲线C向上平移4个单位得到曲线£已知直线l：y=3x+2与曲线E有两个不同的交点D,E,求而•布.

17.(本小题15分)

如图，在直三棱柱力8。一481cl中，ACLBC,侧面为正方形，AC=BC=2,D,E分别为ACX

的中点.

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(1)求证：0E〃平面B/gC；

(2)求点8到平面&DE的距离.

18.(本小题17分)

已知数列｛%｝为等差数列,前n项和为又,满足%+。4=1。，S7=49.

(1)求数列｛斯｝的通项公式；

(2)求数歹U｛一的前71项和7\：

(3)是否存在正整数m.>2)使得;，工，,成等差数列？若存在，求出m.九的值：若不存在，请说

a2am知

明理由.

19.(本小题17分)

22

定义：若椭圆M：3+/=1(。>8>0)上的两个点力(啊,3),8(叫痣)满足竺詈+爷=1，则称4B

为该椭圆的一个“共趣点对”，田点(血1，%)关于M的一个共挽点为(巾2，叫)，已知椭圆C的离心率为弓，且

椭圆。过点做2,1).

(1)求椭圆M的方程；

(2)求点A关于M的所有共枕点的坐标；

(3)设点P,Q在MI.,且所〃而，求点A关于M的所有共枕点和点P,Q所围成封闭图形面积的最大值.

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本题主要考查向量的运算法则，属于基础题.

如图所示，连接。N,AN,利用向量的中点公式可得丽怎+沆＞AN=^（AC+AB）,即可得出.

【解答】

解：如图所示，连接ON,AN,

则丽至+瓦）=：（5+7）,

一］一一

AN=^（AC+AB）

［一一一

=^（OC-2OA+OB）

=1（-2a+b+c）

=—a+；工，

所以而=2（而+而）

=-/d+齐+

故选C.

5.【答案】C

【解析】解:设等比数列｛%｝的公比为q,

则。3+。4=q2（Qi+a2）,

由题意得16=4q2,解得q2=%

所以即+。8=《4（。3+04）=16x16=256.

故选：C.

由等比数列的性质计算即可.

本寇考查等比数列的通项公式及其性质，是基础题.

6.【答案】D

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【解析】解：根据题意，设两个圆的交点为4B,

圆>2+,2=4的圆心为（o,o）,半径r=2,

+=4可得y=i,

x2+y24-2y-6=0

则48所在直线的方程为y=l,

(0,0)到直线48的距离d=l,

则|AB|=2xx/rz-d2=2<3,

故选:D.

根据题意，设两个圆的交点为力、儿联立.两个圆的方程可得相交弦力B所在直线的方程，结合直线与圆的位

置关系分析可得答案.

本题考查圆与圆位置关系的应用，涉及弦长的计算，属于基础题.

7.【答案】B

【解析】解：如图，过P作P。1平面ABC十点。，连接40,

则/尸4。即为P4与平面4BC所成角，

因为正四面体P—ABC棱长为1,

则0为448C的外心，则4。=IABCOS30°=

•5J

PO=VPA2—AO2=JM_(苧产=竽,

则sinzP/40=普=学

/Ai

所以P4与平面48C所成角的正弦值为手

故选：B.

作出线面角，由正四面体的性质，即可求出其正弦值.

本题考查线面角的计算，属于中档题.

8.【答案】B

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【解析】解：Fi，尸2分别是双曲线E：3-*=1的左、右焦点，M是E的左支上一点，过尸2作乙"M七角

平分线的垂线，垂足为N，。为坐标原点，

则双曲线[一4=1的实半轴长为a=2,

412

延长&N交直线于点出

H]\\

由题意有=|NH|=|NF2l，

又。是F1F2中点，

所以|0N|=扑倒=g(|M*一|MH|)=|(|MF2|-IMFJ)=a=2.

故选:B.

根据双曲线的定义及中垂线的性质求解

本题主要考查双曲线的性质应用，考查计算能力，属于基础题.

9.【答案】ABD

【解析】解：由等差数列的性质可得牝+。30=16=2%6=%6=8,又S”为数列｛册｝的前n项和，

a

对干42a*+%8=由5+(由5+。18)=«15+%6+n=3a16=24,故4正确；

对于8,若S8=$9，则$9-58=。9=。，

所以09+7d=。16=d=5，故5正确；

对于C,若d=-2vo,则数列｛4｝为递减数列，

又Gi6+4d=a20=。，则工的最大值为S19或S20，故C错误；

对于0,若由5，Q16，。18成等比数列，则后6=。15。18，即82=[8—d)(8+2d),

解得d=4或0(舍去)，即d=4正确，故力正确.

故选:ABD.

由等差数列的下标性质结合等差中项可得X正确：由S”与%的关系结合等差数列的性质可得8正确；由数

列的单调性和等差数列的性质可得C错误：由等比中项的计算可得。正确.

本题主要考查等差数列和等比数列的性质应用，考查计算能力，属于中档题.

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10.【答案】AC

【解析】解：由直线心(m4-l)x+2y-3-m=0化为直线，的方程为(x-+%+2、-3=0,由工一1=

0,x+2y-3=0,得x=l,y=1,直线2过定点(1,1),故4正确；

C：(x-2)2+y2=4,又(1-2)2+#=2V4,即定点(1,1)在圆C内，则直线/与圆C相交，有两个交点，

故B错误；

当m=—3时，直幺划：x—y=0,圆心C(2,0)到直线[的距离为d=与摄=V3,

而圆C半径为2,且2-VIVI,因此恰有2个点到直线1的距离等于1,故C正确：

圆K+产-2%+8y+1=0化为(无-I)2+(y+4)2=16,

圆K+必一2%+8y+1=0的圆心为(1,一4),半径为4,

两圆圆心距为4-2=2<d=V(1-2)2+(-4-0)2=/17<6=4+2,

所以两圆相交，因此它们有两条公切线，故。错误.

故选:AC.

求出直线/过的定点判断4判断定点与圆的位置关系判断&求出圆心到直线距离判断C；判断圆与圆的位

置关系判断D.

本题考查点到直线的距离，考查圆与圆的位置关系，是基础题.

11.【答案】BCD

【解析】解：对于力选项，AAD//BC因此异面直线AP与A2所成的角即为AP与BiC所成的角，

当点P位于•。或当点重合时，由于△力当。是等边三角形，则力P与所成的角为土

当点P位于&C的中点时，因为ABJL平面BCCiB],8PJLB]C,

因此AP14C,此时，力户与当。所成的角为去

由干△ABE是等边三角形，根据等边三角形性质，知道P从过程中，AP与BiC所成的角先从与增大到

7,再减小到小

因此异面直线AP与&D所成角的取值范围是.怎，引，故力选项错误；

对干C选项，因为力1。/IBG4。U平面4G。，/。仁平面&GD,

因此当。/平面4GD,因为点p在线段当。上运动，

因此点P到平面4GD的距离为定值，又△&GD的面积为定值，

故三棱锥的体积为定值，运用等体积法知道，三棱锥A】-PCiD的体积为定值，故。选项正确；

对于“选项，以。为原点，分别以DA,DC,0历所在直线为，y,z轴建立空间直角坐标系.

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则。(0,0,0),力(L0,0)，取平面4BCD的法向量西=(0。1),

设平面ADP的法向量膈=(卬％2),设P(a,l,a),ae[0,1],

则a=(1,0,0),DP=(a,1,a),则信:沈;,即盘：+°为+aZ1=0'

令力=a,则/=0,Zt=-1»则得沅J=(0,a,—1),

设面4DP与平面48CD所成夹角为a,

因此cosa=|cos可，码|=嵩偏1

因为a€[0,1],a2+1E[1,2],因此Va?+1£J+1[苧，月，

因此平面40P与平面力8C0所成夹角的余弦值取值范围是[学,1],故8选项正确;

对于D选项，则8(1,1,0),。1(0,0,1),当尸为81c的中点时，P(1,1,1).

因此西二(一1,-1,1),=

设而在西上的投影向量的模为商面=喘「声鬻上二圣

I西=JT』+O2+G)2=苧

d=J研2一脚,可得d=JJW=华,

即P到85的距而为X,故。选项正确.

O

故选：BCD.

对于4利用异面直线所成角的计算方法，即可进行判断；对于C,利用线面平行的判定定理，得出/C//

平面再根据一:棱锥的体积的计算方法，即可进行判断；对于BD,通过建立空间直角坐标系，利用

坐标法求出平面与平面所成角的余弦值和点到直线的距离即可正行判断.

本题考查棱锥的体积，属于中档题.

12.【答案】50

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【解析】解：在数列｛%｝中,an+an+1=2n,

所以S10=+。2）+（。3+Q。+…+（的+Q10）

=2+6+10+14+18=50.

故答案为：50.

根据递推公式和数列的并项求和即可.

本题考查数列的递推式和数列的并项求和，考查转化思想和运算能力，属「基础题.

13.【答案】2

【解析】解:由题意直线一的一个方向向量为（4,Q）,

直线L的一个方向向量为（1一。，2），

。工，2，

可得4（1—a）+2a=0=a=2.

故答案为：2.

结合直线的方向向量，由向量垂直的坐标表示可得.

本题考查了两直线平行，是基础题.

14.【答案】x=-2

【脩析】解：由过点。（-10）作直线交抛物线于48两点，

可设直线方程为％=my-*

y2=2px

联立=m_p,消去'可得y2-2pmy+p2=①A=4p2m2-4p2>0,

2

则为+丫2=2pm,yiy2=P2»①

设<g,yi）,见必必），

由抛物线的焦半径公式可得|"|=/+9=6,|8F|=工2+§=3,

即订少1=6,iny2=3,

代人①可得+y2）=2pm2=9,m2yly2=血2P2=18,

由两式相除解得p=4,

p

--

所以抛物线C的准线方程为x2-2.

故答案为：%=-2.

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设出直线方程，直曲联立，表示出韦达定理，再由抛物线的焦半径公式结合韦达定理计算即可.

本题主要考查抛物线的性质应用，考查计算能力，属于中档题.

15.【答案】解：圆好+丫2-2丫-4=0的标准方程为%2+8-1)2=5,

•••圆心坐标为C(O,1),半径r=仄,

圆心C到直线，的距离d=骋=乎v膈，

V9+1L

二直线I与圆C相交,

•••直线，被圆。所截的弦长为2K=2」5一(手)2=/10.

【解析】求出圆的标准方程，可得圆的圆心和半径，利用点到电线的距离求得圆心C到直线E的距离dvr,

从而判断直线L与圆。相交，再根据勾股定理求得直线1被圆C所截得的弦长.

本题主要考查了直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，直线被圆截得的线段长的求法，考查运算求

解能力，属于基础题.

16.【答案】y=%2-4(%工土2).

2.

【解析】(1)设点根据题意可知*工±2,

直线8M的斜率跖”=力，直线的斜率为心”二系，

*vLA-i-La

那么可得心"-kRM=--77=-4,

整理可得y=X2-4(x2).

(2)结合第一间可知曲线E为y=x2(x。士2)；

设其孙力)，

v3x2

2,整理可得》2-3%-2=0,根的判别式4=9+8=17>0,

ty=xz

根据韦达定理可得%i+小=3,%i%2=-2；

xxxx2

因此瓦•OE-xrx2+7172=i2+(i2)=-2+4=2.

(1)设点M(x,y),根据斜率之差的值整理可得曲线。的方程；

(2)易知曲线E为y=x2(x工土2),联立曲线E和直线，的方程并利用韦达定理以及向量数量积的坐标表示可得

结果.

本题考查轨迹方程，属于中档题.

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17.【答案】(1)证明：连接BQ,

在△/8C］中，因为D,E分别为AB,4C］的中点，

所以。E//BCV又DEC平面881clC,u平面

所以0E//平面881clC；

(2)解：在直三棱柱48。一%当好中，AC1BC,

则C4CB,Cg两两垂直，

如图，以C为坐标原点，CA，CB，京为x,y,z轴正方向，

建立空间直角坐标系，

x

则C(0,0,0),4(2,0,0),B(0,2,0),81(0,2,2),

g(0,0,2),0(1,1,0),E(l,0,l),

率=(1,-2,-1)，屁=(0,-1,1).

设平面B1DE的法向量为五=(x,y,z),

令2=1,贝k=3,y=1,

所以五=(3,1,1)为平面的一个法向量，

设点B到平面々DE的距离九,又前=(1,一1,0),

则九=|

1HT1-7TT=~

所以点8到平面々DE的距离为需.

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【解析】(1)连接BG，运用中位线性质，结合线面平行判定定理证明即可；

(2)建立空间直角坐标系，得到关犍点坐标，求出平面的法向量，结合点面距离公式计算即可.

本题考查线面平行的判定，考查点到平面距离的求法，属中档题.

18.【答案】an=2n—1；

3n2+57i

4(n+l)(n+2)；

存在，n=8,m=3.

【解析】(1)由数列｛%｝为等差数列，设公差为d,由与+。4=10,$7=49,

可得2%+4d=10,即%+2d=5,

又7%+21d=49,即%+3d=7,

解得%=1，d=2,

所以即=1+2(n-1)=2n-1；

(2)Sn="(i+｝T)=M,

所以—?=(篇2_1=X；+)，

加”/n3十24+35十+n-1n+1+nn+2)2［十2n+1n+2)4(九+1；5+2)'

(3)假设存在正整数?n,n,(n>m>2),使得;成等差数列，

a2aman

则2=±+±,

am«na2

即3='+上

12m-12n-l3

即3(2九-1)=(2m-1)5+1