2025高考数学专项复习：概率（五）含解析

人教A版数学概率专题五

知识点一决策中的概率思想，独立重复试验的概率问题，求离散型随机变量的均值，超几何

分布的分布列

典例1、某公司在联欢活动中设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有3个红球和4个

白球，这些球除颜色外完全相同.游戏参与者可以选择有放回或者不放回的方式从中依

次随机摸出3个球，规定至少摸到两个红球为中奖.现有一位员工参加此摸奖游戏.

（1）如果该员工选择有放回的方式（即每摸出一球记录后将球放回袋中再摸下一个）摸

球，求他能中奖的概率；

（2）如果该员工选择不放回的方式摸球，设在他摸出的3个球中红球的个数为X,求X

的分布列和数学期望；

（3）该员工选择哪种方式摸球中奖的可能性更大？请说明理由.

随堂练习：某公司生产某种食用菌，为了销往全国各地，把该食用菌分为一级、优级、

特级、珍品共四个等级，并以每件0.5kg的标准进行统一包装.某采购商订购了一批这

种食用菌，并从中随机抽取100件，按该食用菌的等级分类标准得到数据如下表：

等级一级优级特级珍品

件数20103040

（1）以样本估计总体，将频率视为概率，从这100件食用菌中有放回随机抽取3件，求

恰好抽到2件珍品的概率；

（2）用分层抽样的方法从这100件食用菌中抽取10件，再从抽取的10件中随机抽取3

件，设X表示抽取的是珍品等级的件数，求X的分布列及数学期望.

典例2、为了引导居民合理用电，国家决定实行合理的阶梯电价，居民用电原则上以住

宅单位（一套住宅为一户）.

阶梯级别第一阶梯第二阶梯第三阶梯

月用电范围（度）

某市随机抽取10户同一个月的用电情况，得到统计表如下:

居民用电编号12345678910

用电量（度）538690124132200215225300410

（1）若规定第一阶梯电价每度0.5元，第二阶梯超出第一阶梯的部分每度0.6元，第三阶

梯超出第二阶梯每度Q8元，式计算A居民用电户用电410度时应交电费多少元？

（2）现要在这10户家庭中任意选取3户，求取到第二阶梯电量的用户数的分布与期望；

（3）以表中抽到的10户作为样本估计全是居民用电，现从全市中依次抽取10户，若抽

至以户用电量为第一阶梯的可能性最大，求左的值.

随堂练习：根据历史资料显示，某种慢性疾病患者的自然痊愈率为5%为试验种新药，

在有关部门批准后，医院将此药给10位病人服用，试验方案为：若这10人中至少有2

人痊愈，则认为该药有效，提高了治愈率；否则，则认为该药无效.

（1）如果在该次试验中有5人痊愈，院方欲从参加该次试验的10人中随机选2人了解

服药期间的感受，记抽到痊愈的人的个数为X,求X的概率分布及数学期望；

（2）如果新药有效，将治愈率提高到了50%,求通过试验却认定新药无效的概率P,并

根据P的值解释该试验方案的合理性.

（参考结论：通常认为发生概率小于5%的事件可视为小概率事件）

(1)“单板滑雪”与“自由式滑雪”每项参与人数都超过30人的学校可以作为“参与冬

奥运动积极学校”，现在从这10所学校中随机选出3所，记X为选出“参与冬奥运

动积极学校”的学校个数，求X的分布列和数学期望；

(2)现在有一个“单板滑雪”集训营，对“滑行、转弯、跳跃、停止”这4个动作技巧

进行集训，且在集训中进行了多轮测试.规定：在一轮测试中，这4个动作中至少

有3个动作达到“优秀”，则该轮测试记为“优秀”.在集训测试中，小明同学“滑

行”这个动作达到“优秀”的概率均为:，其余每个动作达到“优秀”的概率都为:，

每个动作互不影响且每轮测试互不影响.如果小明同学在集训测试中要想获得“优

秀”的次数的平均值达到5次，那么理论上至少要进行多少轮测试？

随堂练习：北京时间2022年4月16日09时56分，神舟十三号载人飞船返回舱在东风

着陆场成功着陆，神舟十三号载人飞行任务取得圆满成功，全体中华儿女深感无比荣光.

半年“出差”，神舟十三号航天员顺利完成全部既定任务，创造了实施径向交会对接、

实施快速返回流程、利用空间站机械臂操作大型在轨飞行器进行转位试验等多项“首次”.

为了回顾“感觉良好”三人组太空“出差亮点”，进一步宣传航空科普知识，某校组织

了航空知识竞赛活动.活动规定初赛需要从8道备选题中随机抽取4道题目进行作答.假

设在8道备选题中，小明正确完成每道题的概率都是;且每道题正确完成与否互不影响，

小宇能正确完成其中6道题且另外2道题不能完成.

(1)求小明至少正确完成其中3道题的概率；

（2）设随机变量X表示小宇正确完成题目的个数，求X的分布列及数学期望；

（3）现规定至少完成其中3道题才能进入决赛，请你根据所学概率知识，判断小明和小

宇两人中选择谁去参加市级比赛（活动规则不变）会更好，并说明理由.

知识点二由频率分布直方图估计平均数，利用二项分布求分布列，二项分布的均值,总体百

分位数的估计

典例4、道德与法律的联系：法律、道德都是行为规范，都是为规范人们的行为而规定的

行动准则.1.法律需要道德的奠基和撑持；2.道德的实施需要法律的强制保障.某校进行

了一次道德与法律的相关测试（满分：100分），并随机抽取了50个统计其分数，得到

的结果如下表所示：

成绩/分

人数/个44102210

（1）若同一组数据用该区间中点值作代表，试估计这次测试的平均分和中位数（所得结

果四舍五入保留整数）；

（1）求这1000名幸运者成绩的第75百分位数和平均值〃（结果保留整数）

典例5、2022年2月20日，北京冬奥会在鸟巢落下帷幕，中国队创历史最佳战绩.北京

冬奥会的成功举办推动了我国冰雪运动的普及，让越来越多的青少年爱上了冰雪运动.

这场冰雪盛会是运动健儿奋力拼搏的舞台，也是中外文明交流互鉴的舞台，诠释着新时

代中国的从容姿态，传递出中华儿女与世界人民“一起向未来”的共同心声.某学校统计

了全校学生观看北京冬奥会开幕式和闭幕式的时长情况（单位：分钟），并根据样本数

据绘制得到右下图所示的频率分布直方图.

随堂练习：我国是一个严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出.某市政府为了节约生活

用水，计划在本市实行居民生活用水定额管理，即确定一个居民用水量标准〃使得87%

的居民生活用水不超过这个标准.在本市居民中随机抽取了200户家庭某年的月均用水

量（单位：吨），通过数据分析得到如图所示的频率分布直方图：

（2）在用水量位于区间［1,2.5）的三类家庭中按照分层抽样的方法抽取12人参加由政

府组织的一个听证会（每个家庭有1个代表参会），再从这12人中抽3个代表发言，记

月均用水量不少于2吨人数为X,求X的分布列和数学期望.

典例6、为了解某地区高中生的每天日间户外活动现状，分别在两所学校随机抽取了部

分学生，得到甲校抽取的学生每天日间户外活动时间（单位：h）的统计表和乙校抽取的

学生每天日间户外活动时间（单位：h）的频率分布直方图如下.

频率

［痂

0.48卜——l

22

O.17

O.13

O.

01234时间/h

乙校抽取的学生每天日间户外活动时间频率分布直方图

每天日间户外活

组别人数

动时间（单位：h）

1120

2比2)250

360

470

甲校抽取的学生每天日间户外活动时间统计表

（1）根据图表中的数据，估计甲校学生每天日间户外活动时间的25%分位数在第几组;

（2）已知每天日间户外活动时间不低于2h可以对保护视力起到积极作用.现从乙校全体

学生中随机选抽取2人，记其中每天日间户外活动时间不低于2h的人数为用求X

的分布列和数学期望；

(3)根据上述数据，能否推断甲校抽取的学生每天日间户外活动时间的平均值一定低于

乙校抽取的学生每天日间户外活动时间的平均值？说明理由.

质量指标值m150W成350100W成150或350W7Z7W400

等级4级8级

(2)从样本的8级零件中随机抽3件，记其中质量指标值在［350,400］的零件的件数为

求4的分布列和数学期望；

(3)该企业为节省检测成本，采用混装的方式将所有的零件按500个一箱包装，已知一

个4级零件的利润是10元，一个刀级零件的利润是5元，以样本分布的频率作为总

体分布的概率，试估计每箱零件的利润.

人教A版数学概率专题五答案

典例1、答案：（1）寓135；（2）分布列见解析，Q

（3）在有放回的摸球方式下，该员工中奖可能性更大，理由见解析.

（2）由题意，随机变量X的可能值为0,1,2,3；

所以X的分布列为

X0123

418121

P

35353535

随堂练习：答案：（1）:（2）分布列见解析，|

解：（1）设“从这100件食用菌中随机抽取1件，抽到珍品”为事件4

（2）用分层抽样的方法从这100件食用菌中抽取10件，其中珍品4件，非珍品6

件，

再从抽取的10件中随机抽取3件，则¥的可能取值为0,1,2,3,且X服从

超几何分布.

X的分布列为：

0123

j_J_31

P

6~21030

设取到第二阶梯电量的用户数为乙可知第二阶梯电量的用户有3户，则《可取

0,1,2,3

故4的分布列是

0123

72171

P

244040120

解：（1）X的所有可能取值为0,1,2

.•.X的分布列如下:

012

252

P

999

故可认为新药无效事件是小概率事件，从而认为新药有效，故该试验方案合理.

典例3、答案：（1）分布列见解析，期望为:（2）27轮

解：（1）“单板滑雪”与“自由式滑雪”每项参与人数超过30人的学校共5所，

X的所有可能取值为0、1、2、3,

所以X的分布列如下表：

X0123

1551

P

12121212

（2）记“小明同学在一轮测试中要想获得优秀”为事件A,

故至少要进行27轮测试.

1

随堂练习：答案：（1）崟；（2）分布列见解析；期望为3；（3）小宇；理

2JO

由见解析.

X的分布列为:

X234

343

P

14714

（3）X所有可能取值为0,1,2,3.

故才的分布列为

0123

6448121

P

125125125125

随堂练习：答案：（1）第75百分位数约为76分，平均值为65分（2）数学期望

为1.1814次.

解：（1）这1000名幸运者成绩的第75百分位数为X,

所以这1000名幸运者成绩的第75百分位数约为76分，平均值为65分;

（2）设随机变量Y表示任意一名幸运者的抽奖次数，则F的可能取值为1,2,3,

其分布列为

Y123

P0.841350.13590.02275

所以可以估计任意一名幸运者获得抽奖次数的数学期望为1.1814次.

所以采用分层随机抽样的方式在两个区间中应分别抽取6人和3人.

X的分布列为

X0123

1184520

P

84848484

（2）用水量位于区间［1,2.5）的三类家庭的频率比为3:4:5,总共抽取12人,

因此这三类家庭被抽取的人数分别为3人、4人、5人,

所以X的分布列为：

0123

72171

P

44442222

典例6、答案：（1）第2组（2）分布列答案见解析，数学期望：0.6（3）不能,

理由见解析

解：（1）根据表中数据，估计甲校学生每天日间户外活动时间25%分位数在第2