2025人教版八年级数学上册《等边三角形（第2课时）》教案

第十五章轴对称

15.3等腰三角形

15.3.2等边三角形

第2课时

一、教学目标

【知识与技能】

掌握有一个角为30。的直角三角形的性质并简单应用.

【过程与方法】

经历“探索一发现一猜想一证明”的过程，引导学生体会合情推理与演绎推

理的相互依赖和相互补充的辩证关系.

【情感、态度与价值观】

体验数学活动中的探索与创新、感受数学的严谨性.

二、课型

新授课

三、课时

第2课时，共2课时。

四、教学重难点

【教学重点】

含30。角的直角三角形性质定理的发现与证明.

【教学难点】

含30。角的直角三角形性质定理的探索与证明.

五、课前准备

教师：课件、三角尺、直尺等。

学生：三角尺、直尺。

六、教学过程

（一）导入新课

拿出一个含30。角的三角尺，测量它的较短的直角边和斜边，看看它们有什

么数量关系？（出示课件2）

（二）探索新知

1.创设情境，探究含30。角的直角三角形的性质

教师问1：如图，在一BC中,ZC=90°,ZA=30°,测量NA所对的直鱼边

BC与斜边AB,你能得到什么结论？（出示课件4）

/

I----c

学生回答：通过测量发现：在RQABC中，如果NA=30。，那么直角边BC

等于斜边AB的一半.

教师问2:再画几个满足条件的三角形，你得到的结论还成立吗?

学生操作后回答：成立.

教师问3:如何证明我们的结论是正确的呢？

学生先试答，教师总结如下：

已知：如图，在RSABC中，ZC=90°,NA=30。.求证：BC=jAB.（出

示课件5）

师生共同解答如下：

证明：延长BC至JD,使CD=BC,连接AD.

则AC是BD的垂直平分线，

/.AB=AD.

又V/B=90°-ZBAC=90°-30°=60°.

..△ABD是等边三角形.

/.BD=AB.

ABD=2BC.

应用格式:

・・•在RSABC中，ZC=90°,NA=30。，

・・・BC.AB.

例1:如图，在RSABC中，ZACB=90°,ZB=30°,CD是斜边AB上的

高，AD=3cm,则AB的长度是（）（出示课件10）

C

4

ADB

A.3cmB.6cmC.9cmD.12cm

师生共同解答如下：

解析:在RSABC中，・・・CD是斜边AB上的高，・・・NADC=90。，

ZACD=NB=30。.在RIAACD中，AC=2AD=6cm,

在RtZkABC中，AB=2AC=12cm.；・AB的长度是12cm.

答案：D.

教师提醒：运用含3（）。角的直角三角形的性质求线段长时，要分清线段所在

的直角三角形.

出示课件“，学生独立思考后解答，教师给出答案.

例2:如图，ZAOP=ZBOP=15°,PC〃OA交OB于点C,PD_LOA于点

D,若PC=3,则PD等于（）（出示课件12）

B

c

ODA

A.3B.2C.1.5D.1

师生共同解答如F：

解析:如图,过点P作PE_LOB于点E,・・・PC〃OA,

AZAOP=ZCPO.

:.ZPCE=ZBOP+ZCPO=ZBOP+ZAOP=ZAOB=30°.

又・.・PC=3,

，PE=1.5.

VZAOP=ZBOP,PD±OA,

・•・PD=PE=1.5.

答案：C.

教师总结点拨：（出示课件13）

含3（）。角的直角三角形与角平分线、垂直平分线的综合运用时，关键是寻找

或作辅助线构造含30。角的直角三角形.

出示课件14-15,学生独立思考后解答，教师给出答案.

例3:如图，在ANBC中，ZC=90°,AD是NBAC的平分线，过点D作

DE_LAB.DE恰好是NADB的平分线.CD与DB有怎样的数量关系？请说羽理

由.（出示课件16）

E

c

师生共同解答如下：

解:CD=1DB

理由如下：

VDE±AB,AZAED=ZBED=90°.

VDE是NADB的平分线，・•・ZADE=ZBDE.

XVDE=DE,.,.△AED^ABED（ASA）.

（出示课件17）

・・・AD=BD,ZDAE=ZB.

VZBAD=ZCAD=-ZBAC,

AZBAD=ZCAD=ZB.

ZBAD+ZCAD+NB=90。，

ZB=ZBAD=ZCAD=30°.

在Rt/kACD中，VZCAD=30°,

ACD=-AD=-BD,BPCD=-DB.

22，।2

教师总结点拨：（出示课件18）

含30。角的直角三角形的性质是表示线段倍分关系的一个重要的依据，如果

问题中出现探究线段倍分关系的结论时，要联想此性质.

出示课件19,学生独立思考后解答，教师给出答案.

例4:如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC,DE

垂直于横梁AC,AB=7.4cm,NA=30。，求立柱BC,DE的长.（出示课件20）

师生共同解答如下：（出示课件21）

解：VDE±AC,BC_LAC,ZA=30°,

.*.BC=-AB,DE=三AD.

22

・,.BC=1X7.4=3.7（m）.

又AD弓AB,

ADE=-AD=-x3.7=1.85（m）.

答：立柱BC的长是3.7m,DE的长是1.85m.

（三）课堂练习（出示课件23・28）

1.如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面

成30。角，这棵树在折断前的高度为（）

和•

飞

徐、

__________

A.6米B.9米

C.12米D.15米

2.某市在旧城绿化改造中，计划在一块如图所示的4ABC空地上种植草皮优

化环境，已知NA=150。，这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需

要（）

20m30m

B

A.300a元B.150a元

C.450a元D.225a元

3.在aABC中,NA:ZB:NC=1:2:3,若AB=10,则BC=.

4.如图，Rt/kABC中，ZA=30°,AB+BC=12cm,则AB=cm.

5.在aABC中，ZC=90°,ZB=15°,DE是AB的垂直平分线，BE=5,则

求AC的长.

6.在z\ABC中,AB=AC,ZBAC=120°,D是BC的中点，DE_LAB于

点E,求证：BE=3AE.

7.如图，已知4ABC是等边三角形,D,E分别为BC,AC上的点，且CD=AE,

AD、BE相交于点P,BQLAD于点Q,求证:BP=2PQ.

参考答案：

1.B

2.B

3.5

4.8

5.解:连接AE,

・・・DE是AB的垂直平分线，

.•.BE=AE.AZEAB=ZB=15°.

ZAEC=ZEAB+ZB=30°.

VZC=90°,

/.AC=-AE=工BE=2.5.

22

6.证明：VAB=AC,ZBAC=120°,.e.ZB=ZC=30°.

D是BC的中点，AAD±BC.

/.ZADB=90°./.ZB+ZBAD=90°.

.e.AB=2AD.

VDEIAB,

，ZAED=90°.AZADE+ZBAD=90°.

・•・ZADE=ZB=30°.AAD=2AE.

AAB=4AE,ABE=3AE.

7.证明：・・•△ABC为等边三角形，

，AC=BC=AB,ZC=ZBAC=60°.

VCD=AE,

.•.△ADC^ABEA（SAS）.

AZCAD=ZABE.

•・•ZBAP+ZCAD=60°,/.ZBAP+ZABE=60°.

,ZBPQ=60°.

又・・・BQ±AD,

AZBQP=90°,

AZPBQ=30o,

BP=2PQ.

（四）课堂小结

今天我们学了哪些内容：

在直角三角形中，如果一个锐角等于30。，那么它所对的直角边等于斜边的

半.

（五）课前预习

预习下节课（16.1.1）的相关内容。

了解同底数哥的乘法的运算法则.

七、课后作业

1、教材84页练习第1,2题，教材第85-86页习题15.3第7,12题

2、如图,一艘轮船早上8时从点A向正北方向出发，小岛P在轮船的北偏西

15。方向，轮船每小时航行15海里,11时轮船到达点B处，小岛P此时在轮船的北

偏西30。方向.

(1)求PB的距离；

(2)在小岛P的周围20海里范围内有暗礁，如果轮船不改变方向继续向前•航行,

是否会有触礁危险?请说明理由.

C

北

P

\

八、板书设计：