2025年新九年级数学暑假专项提升（人教版）正多边形与圆 （5大类型专练）

专题22正多边形与圆（5大类型精准练+过关检测）

蚓内容导航一预习三步曲

第一步：学

教材精讲精析、全方位预习

5大核心考点精准练

第二步：记

思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握

第三步：测

过关测稳提升；小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升

8析教材学知识

知识点1.正多边形及有关概念

各边相等，各角也相等的多边形是正多边形.

要点归纳：

判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：（1）各边相等；（2）各角相等；缺一不可.如菱形的

各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形（正方形是正多边形）.

1.正多边形的外接圆和圆的内接正多边形

正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，

这个圆就是这个正多边形的外接圆.

2.正多边形的有关概念

⑴一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心.

（2）正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径.

⑶正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角.

（4）正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.

3.正多边形的性质

1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形.

2.正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形.

3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边

数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心.

4.边数相同的正多边形相似。它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似

比的平方.

5.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆

要点归纳：（1）各边相等的圆的内接多边形是圆的内接正多边形；（2）各角相等的圆的外切多边形是圆

的外切正多边形.

知识点2.正多边形的有关计算

⑴正n边形每一个内角的度数是匕二且_竺；

n

360°

⑵正n边形每个中心角的度数是二一；

n

24fl。

⑶正n边形每个外角的度数是—.

n

要点归纳：要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三角形.

知识点3.正多边形的画法

1.用量角器等分圆

由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角（即等分顶点在圆心的周角）可以等

分圆；根据同圆中相等弧所对的弦相等，依次连接各分点就可画出相应的正n边形.

2.用尺规等分圆

对于一些特殊的正n边形，可以用圆规和直尺作图.

①正四、八边形。

⑴（2）

在。。中，用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成4等份，从而作出正四边形。再逐次平分各边

所对的弧（即作/A0B的平分线交焦于E）就可作出正八边形、正十六边形等，边数逐次倍增的正多边形。

②正六、三、十二边形的作法。

A

通过简单计算可知，正六边形的边长与其半径相等，所以，在。0中，任画一条直径AB,分别以A、B

为圆心，以00的半径为半径画弧与。。相交于C、D和E、F,则A、C、E、B、F、D是。。的6等分点。

显然，A、E、F（或C、B、D）是。。的3等分点。

同样，在图（3）中平分每条边所对的弧，就可把。012等分……。

要点归纳：画正n边形的方法：（1）将一个圆n等份，（2）顺次连结各等分点.

练题型强知识

【类型11有关正多边形角的计算

1.（24-25九年级上•河南商丘•阶段练习）正六边形的中心角是（）

A.60°B.120°C.360°D.720°

【答案】A

【分析】此题考查了正多边形的中心角.据正多边形的中心角的定义，可得正六边形的中心角是：

360案6=60?,此题比较简单，注意准确掌握定义是关键.

【详解】解:正六边形的中心角是：360案6=60?.

故选：A.

2.（23-24九年级上.天津南开•期末）如图，正五边形ABCDE内接于P为AB上一点，连接上4，PE,

则ZAPE的度数为（）

A.18°B.36°C.54°D.72°

【答案】B

【分析】本题考查的是正多边形和圆，掌握正多边形的中心角的计算公式3卫60°是解题的关键.

n

【详解】解：连接CM、OB,

・・,ABCDE是圆内接五边形，

360°

・・・ZAOE=-^-=72°,

・・・ZAPE=-ZAOE=-x72o=36°,

22

故选B.

A

©

3.（23-24九年级上.河南商丘•阶段练习）如图，点。为正五边形ABCDE的中心，连接。4,OE,则NAOE

的度数为（）

A

A.72°B.54°C.60°D.36°

【答案】A

【分析】根据正〃边形的中心角的度数为比360°，进行求解即可.

n

【详解】解：由题意，得：NAOE的度数为3罢60°-=72。；

故选A.

4.（24-25九年级下•陕西宝鸡•开学考试）如图，点。是正五边形ABCDE的中心，连接OC,_LCD于

点尸，则NCO尸的度数为

【答案】36

【分析】本题考查了正多边形和圆的位置关系，等腰三角形的性质，正确的添加辅助线以及记熟正多边形

的有关性质是解题关键，根据题意，可得OC=OD,根据正多边形的性质，求出/COD,根据三角形的内

角和，求出/。。=/0口？=（180。-72。卜3=54。，再根据三角形的内角和，即可.

【详解】解：连接0D,

OC=OD,

ZOCD=ZODC,

••,点。是正五边形ABCDE的中心，

ZCOD=-x360°=72°,

5

ZOC£>=ZODC=（180°-72°）x1=54°,

OFLCD,

：.NO"=90°,

ZCOF=36°,

故答案为：36.

5.（2025・安徽滁州•三模）如图，在。的圆内接正五边形ABCDE中，过点。作叱〃。4交AE于点片

【答案】18。/18度

【分析】本题考查圆内接正多边形，三角形内角和，连接OE,0/，根据圆内接正五边形MCDE,得到

180X52

ZDEA=ZEAB=（-）=108°,DE=AE=AB,则OE=AE=AB，得到NAOE=NAOB,根据等腰

三角形得到NOAE=NOAB=g/EA8=54。，再由。尸〃Q4得到NQ4E=/砂0=54。，最后根据三角形内

角和求解即可.

【详解】解：连接OE,OF,

D

•・•在I。的圆内接正五边形ABCD£,

.180°x（5-2）

..ZDEA=ZEAB=-------------^=108°,DE=AE=AB,

5

••DE=AE=AB，

・•・ZAOE=ZAOB,

•：OA=OE=OB,

180。—NAO5

ZOAB=ZOBA=

2

・•・ZOAE=ZOAB=ZOEA=ZOBA,

：.ZOAE=ZOAB=-ZEAB=54°,

2

DF//OA,

：./OAE=NEFD=54。,

ZEDF=180°-Z.EFD-/DEF=180。-108。—54°=18。，

故答案为：18。.

【类型2］求正多边形的边数

6.（24-25九年级上•浙江宁波・期末）一个圆内接正多边形的一条边所对的圆心角是40。，则该正多边形边

数是（）

A.6B.9C.10D.12

【答案】B

【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正多边形中心角的计算方法是正确解答的关键.

根据正多边形中心角的计算方法列方程求解即可.

【详解】解：设这个正多边形为正〃边形，由题意得，

n

解得〃=9,

经检验，〃=9是原方程的解，

所以这个正多边形是正九边形，

故选：B.

7.（2025九年级下•全国•专题练习）如图，点A、B、C、。为一个正多边形的顶点，点。为正多边形的

中心，若NAD3=20。，则这个正多边形的边数为（）

A.9B.10C.18D.20

【答案】A

【分析】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，正确的理解题意是解题的关键.根据圆周角定理得到

ZAOB=1ZADB=40°,即可得到结论.

【详解】解：A、B、C、。为一个正多边形的顶点，0为正多边形的中心，

.,.点A、B、C、。在以点。为圆心，Q4为半径的同一个圆上，

/AT®=20。，

ZAOB=2ZADB=40°,

这个正多边形的边数=喘360°=9,

40°

故选：A.

8.（2025•江苏徐州•模拟预测）如图，是正多边形的一部分，若NACB=18。，则该正多边形的边数为

【答案】10

【分析】本题主要考查了正多边形中心角问题、圆周角定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键.连接Q4,

OB,易知点A、B、C、。在以点。为圆心，Q4为半径的同一个圆上，根据圆周角定理得到

ZAOB=2ZACB=36°,再根据正多边形中心角计算方法即可得到答案.

【详解】解：连接。4,OB,如下图，

VAB、C、。为一个正多边形的顶点，0为正多边形的中心,

...点A、B、C、。在以点。为圆心，Q4为半径的同一个圆上,

ZACB=18°

ZAOB=2ZACB=36°,

...这个正多边形的边数=崇=10.

故答案为：10.

9.（2025•安徽合肥・二模）如图，在正〃边形中，Zl=18°,则〃的值是

【答案】20

【分析】本题考查正多边形和圆，根据圆周角定理求出中心角的度数，求出"的值即可.

【详解】解：如图，点。为正〃边形的外接圆的圆心，连接OA,O3,OC,

贝人ZAOC=2X1=36°,ZAOB=ZBOC,

：.ZAOB=18°,

故答案为：20.

【类型3］求正多边形的半径、周长、面积

10.（24-25九年级下•贵州贵阳•阶段练习）若正六边形的内切圆半径为2,则其外接圆半径为（）

A4白口2石「3后n3>/3

3324

【答案】A

【分析】本题主要考查正多边形的内切圆和外接圆，解答本题的关键在于熟练掌握内切圆与外接圆的性质

以及正多边形的中心角，求出正六边形的中心角的度数，进行求解即可.

【详解】解：如图，连接Q4、OB,过。作OGLAB,

©…

又,/正六边形中心角ZAOB=60°,

.••VA03为正三角形，

:.ZAOG=ZBOG=30°,

：.BG=-OB,

2

/.OG=s/3BG=2,

•2的

••nCr=-----

3

J08=记.

3

故选：A.

11.（2025・安徽合肥•一模）如图，螺母的外围可以看作是正六边形ABCDEF,已知这个正六边形的半径是

2,则它的面积是（）

A.6A/3B.12C.12百D.24

【答案】A

【分析】此题主要考查了正多边形和圆、等边三角形的判定与性质；根据题意得出AAOB是等边三角形是

解题关键.由正六边形的性质证出VA03是等边三角形，由等边三角形的性质得出=即可得出答案.

【详解】解：设正六边形的中心为。，连接A。，BO,过点。作于点X,如图所示:

O是正六边形ABCDEF的中心,

AB=BC=CD=DE=EF=AF,NAOB=60°,AO=BO=2,

...VA03是等边三角形，

；•OH=y/o^-AH2=上,

...正六边形ABCDEF的面积=6XL2X6=66.

2

故选：A.

12.（24-25九年级上•山西吕梁•期末）如图，正六边形A3cDEF内接于。.若AB=4,则］。的直径为

B.10C.12D.14

【答案】A

【分析】本题考查正多边形与圆，正确得出ABO是等边三角形是解题关键.

直接利用等边三角形的判定与性质进而分析得出答案.

【详解】解：连接A。］。，

E、--'D

•••正六边形ABCDEF内接于。

ZAOB=60°,

是等边三角形，

AB=4,

：.OA=O3=AB=4

二。的直径为8.

故选：A.

13.（22-23九年级上•黑龙江佳木斯•期末）如图，正六边形A8CDE/内接于。，若。的周长是6万，则

正六边形的边长是.

【答案】3

【分析】本题考查正多边形与圆，等边三角形的性质与判定，熟练掌握它们的性质是解题的关键；

连接08、OC,根据。的周长等于6%，可得的半径OB=OC=3,而六边形ABCDEF是正六边形,

360°

即知ZBOC=^=60。，BOC是等边三角形，即可得正六边形的边长.

-1•六边形ABCDEF是正六边形，

360°

.-.ZBOC=^-=60°,

6

30。是等边三角形，

.-.BC=OB=OC=3,

即正六边形的边长为3,

故答案为：3.

14.（2025•陕西西安・模拟预测）若正方形的周长为12,则这个正方形的边心距为.

3

【答案】1/1.5

【分析】本题主要考查正方形的性质、正多边形和圆、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，正确地画

出图形并且添加相应的辅助线是解题的关键.

根据正方形的周长为12,易得BC=3,如图：作正方形ABCD的外接圆，圆心为点。，连接03、OC,作

13

OELBC于点、E,则03=0C,ZBOC=90°,所以OE=5BC=5即可解答.

【详解】解：如图，正方形ABC。的周长为12,

AAB=BC=CD=AD,S.AB+BC+CD+AD=12,

JBC=3,

如图：作正方形ABC。的外接圆，圆心为点0,连接OROC,作。石，于点E,

VOB=OC,ZBOC=-x360°=90°,

4

13

OE=BE=CE=-BC=-

22

3

・・・正方形ABCD的边心距为大.

2

3

故答案为：—.

15.（24-25九年级下•上海•阶段练习）边心距为2的正六边形面积是.

【答案】873

【分析】本题考查正多边形和圆，根据题意，求出正六边形的边长，根据正六边形的面积为6个全等的等

边三角形的面积之和，进行求解即可.

360°

【详解】解：如图，连接。AO5,作。由题意可知：OH=2,ZAOB=------=60°,OA=OB,

6

・・・VA03为等边三角形,

：.OA=OB=AB,

9：OHLAB,

/.AH=—AB=—OA,

22

・•・OH=6AH=2,

'A*当

4J3

，AB=2AH=^—

3

，正六边形面积为：6x—x=8A/3;

23

故答案为：8A/3.

16.（24-25九年级上•山西吕梁•阶段练习）如图1,有一个亭子，它的地基的平面示意图如图2所示，该地

基的平面示意图可以近似的看作是半径为5m的圆内接正六边形，求这个正六边形地基的周长.

图1图2

【答案】30m

【分析】本题考查了圆内接六边形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键.

360°

根据题意得到NAO5=-----=60°.AB=BC=CD=DE=EF=AF,得到VA03是等边三角形，得出

6

AB=OA=5m,即可得到答案.

【详解】解：.•六边形ABCDEF是正六边形，

360°

ZAOB=——=60°.AB=BC=CD=DE=EF=AF,

6

OA=OB,

A03是等边三角形，

:.AB=OA=5m,

正六边形ABCDEF的周长=6x5=30m.

17.（24-25九年级上•陕西咸阳•期末）如图，在圆内接正六边形ABCDEb中，半径08=3,求这个正六边

形的周长.

【答案】这个正六边形的周长为18.

【分析】本题考查了正多边形与圆，等边三角形的判定与性质.连接OC,如图，根据正六边形的性质得到

360°

/3OC=^=60。，则△O3C为等边三角形，所以30=06=3,进而可求出正六边形的周长.

6

【详解】解：如图，连接OC,

OB=OC.

六边形ABCDEF是正六边形,

360°

.\ZBOC=^-=60°,

6

是等边三角形，

,-.BC=OB=3,

・••这个正六边形的周长为6x3=18.

18.（23-24九年级上•全国・单元测试）如图，正VA5c外接圆的半径为R,求正VABC的边长，边心距,

周长和面积.

【答案】边心距边长为园，周长是3廊，面积是乎叱.

【分析】连接05OA,延长A。交2C于。，根据等边三角形性质得出AD2BC,

BD=CD=3BC,ZOBD=30°,进而求得O。；再根据勾股定理求出80,即可求出8C,进而求得周长和

面积.

【详解】解：如图：连接。8,OA,延长A。交于。，

•.,正VABC外接圆是0,

AAD1BC,BD=CD=-BC,ZOBD=-ZABC=-x60°=30°,

222

・•・边心、星巨00=03=^05=JR,

22

由勾股定理得：BD=yj0B2-0D2=—R,

2

3

，三角形边长为8c=28。=6氏，AD=AO+OD=-R,

NABC的周长是3BC=3x6R=3fR；

VABC的面积是1BC.AO」XAX3R=MR2.

2224

【点睛】本题考查了等边三角形、等腰三角形的性质、勾股定理、三角形的外接圆、三角形的面积等知识

点，正确作辅助线后求出8D的长是解题的关键.

【类型4】正多边形的作图问题

19.（2025•江西•模拟预测）如图，多边形ABCDE是正五边形，请仅用无刻度的直尺按要求完成作图（保留

作图痕迹）.

（1）如图1,作一个以3C为腰，顶角为36。的等腰三角形；

（2）如图2,作一个底角为54。的等腰三角形.

【答案】（1）画图见解析

（2）画图见解析

【分析】（1）连接BO,CE,交于点K,则3CK即为所求作的三角形；

（2）连接CE,交于点K,连接AK并延长交CD于则“ABK或，AEK即为所求;

【详解】（1）解：如图，连接CE,交于点K,则3CK即为所求作的三角形；

理由：：多边形ABCDE是正五边形,

360°

CB=CD=DE,NBCD=ZCDE=180°--------=108°

5

：.NCBD=1(180°-108°)=36°=NDCE,

/.NBCK=108。-36。=72。，ZBKC=180°-72°-36°=72°,

:・BC=BK,

:.BCK即为所求作的三角形；

（2）解：如图，连接2。，CE,交于点K,连接AK并延长交C。于贝或AEK即为所求;

理由：由(1)可得：BC=CD=DE,/BCD=NCDE=108。,

:.aCDBWDCE,

BD=CE,

同理：BCK沿EDK,

：.BK=EK,CK=DK,

/.AM是正五边形ABCDE的对称轴,

同理：ZBAE=ZABC=108°,

：.ZBAK=ZEAK=54°,

*.•ZCBK=36°,

：.ZABK=108°-36°=72°,

ZAKB=180°-72°-54°=54°,

ZAKB=ZBAK=54°,

：.BA=BK,

.•〜ABK即为所求作的等腰三角形，

同理可得：_A£K即为所求作的等腰三角形.

【点睛】本题考查的是正多边形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理的应用，全等三

角形的判定与性质，熟练的画图是解本题的关键.

20.（2025・上海嘉定•二模）已知正五边形ABCDE,请仅用无刻度的直尺作图，并完成相应的任务（保留作

图痕迹，不写作法）.

AA

图1图2

【初步感知】

(1)如图1,请直接写出一ABE的度数；

【实践探究】

(2)请在图2中作出以8E为对角线的菱形并证明你的结论；

【拓展延伸】

(3)请在图2正五边形ABCDE的基础上再设计一个新的正五边形(不需要证明)

【答案】(1)/AfiE=36。；(2)见解析；(3)见解析

【分析】本题考查作图-复杂作图，菱形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.

(1)利用正五边形与等腰三角形的性质求解；

(2)连接BDCE交于点、M,四边形即为所求；

(3)各边延长线的交组成的五边形即为所求.

52x180

【详解】解：AB=AE,ZA=(~)=108o；

5

ZABE=ZAEB=1(180°-108°)=36°

故答案为：36。；

(2)如图1所示，连接班(、CE相交于点Af,菱形为所求图形,

证明：在正五边形ABCDE中，每个内角都相等且等于108。，每条边都相等,

可得一ABE咨ACBD,从而ZABE=NCBD

VAE=AB,ZBAE=W8°,

：.ZABE=ZAEB=36°,

NCB£>=36°,,

・•・ZDBE=ZABC-ZABE-ZCBD=108°-36°-36°=36°,

JZAEB=ZDBE,

AEBD,

同理可证：AB//CE.

二四边形ABME为平行四边形,

又AE=A5,

二四边形为菱形.

（3）如图，五边形4月G4耳即为所求.

G

图2

［类型5］正多边形的实际应用

21.（23-24九年级下•辽宁沈阳•期中）如图，是中国人民银行1992年发行的铝锌合金外圆内凹九边形立体

感极强的“菊花1角硬币”.霖霖移动该硬币（。）与直角三角形（DEF）形成如图所示位置.其中，AB

是，:，。内接正九边形的一条边，。户经过点8和圆心。，点C是DE与：。的交点，ZAOC=ZE=90°,

"=50°.

（1）求证：DE是：。的切线；

（2）若E尸切‘O于点G,且霖霖测得JDEQ25mm,EF®21mm,求该硬币（。）的直径为多长（精确到

0.1mm）.

【答案】（1）见解析

（2）该硬币（。）的直径为22.8mm

【分析】本题考查了正多边形与圆，切线的判定，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识点是解题

的关键；

(1)根据正多边形的性质可得中心角NAOB=—=40°,进而得出ZBOC=/F得出CO〃砂则COJ_DE,

即可得证；

(2)连接OG,证明四边形OCEG是正方形，设(。的半径为「，证明MC0S_D所，根据相似三角形的

性质即可求解.

【详解】(1)解：：4?是「。内接正九边形的一条边，

360°

中心角ZAOB==40°,

,?ZAOC=ZE=90°,

ZBOC=50。，EFYDE,

ZF=50°,

/BOC=NF,

：.CO//EF,

：.COA.DE,

又•••(%＞是半径，

DE是:。的切线；

(2)解：连接OG,

OG1EF,

：.ZE=ZOCE=ZOGE=90°,

四边形OCEG是矩形，

又：OC=OG,

二四边形OCEG是正方形，

设＜。的半径为「，

CE=OG=r,

CO//EF,

：.tDCM_DEF,

.CODC

••一,

EFDE

.r25-r

••—,

2125

解得：311.4,

二该硬币（。。）的直径为22.8mm.

22.（24-25九年级下•江苏徐州•阶段练习）今年假期，你有没有和父母或者小伙伴一起走进影院去看一下

国漫电影《哪吒2》呀？影片中，玉虚宫的镇宫之宝“天元鼎”大到超乎想象，存放它的建筑是一座“正八边

形”的宫殿，你想知道这座建筑有多大吗？

问题一：要求出“正八边形”的面积，我们可以把一个“正八边形”均分成八个顶角为度的等腰三角形;

问题二：VA3C中，ZC=90°,NA=15。，BC=\,求VABC的面积和tanl5。的值分别是多少？（可以作A3

的中垂线OE交AC于。，交AB于E,则ADB为等腰三角形，ZBDC=30。）

问题三：若“正八边形”的边长A3为2a,求：正八边形的面积.

【答案】问题一：45；问题二：1+1,2-力；问题三：（8+80）/.

【分析】本题考查正多边形的有关运算，含30。的直角三角形性质，勾股定理，熟练掌握含30。的直角三角

形性质和利用正方形的面积解决正八边形的面积是解决本题的关键.

问题一：根据正八边形分成的八个等腰三角形的顶角组成360。，可得等腰三角形每个顶角的度数；

问题二:根据NBDC=30°及BC的长可得CD和3。的长度,进而可得AD的长度,NABC的面积=；BC-AC,

tanl5°=^1,把相关数值代入计算即可；

AC

问题三：延长正八边形的四条边相交成正方形CDEF,则补充的四个小三角形为等腰直角三角形，求得正

方形的边长后，正八边形的面积=正方形的面积-4个等腰直角三角形的面积，把相关数值代入计算即可.

【详解】解：问题一：八个等腰三角形的顶角组成360。，

・・.每个顶角的度数为:幽=45。,

8

故答案为：45；

问题二：作A3的中垂线OE交AC于£）,交于E,

A

...N5DC=NABD+NA=30。，

BC=1,

：.BD=2,CD=ylBD2-BC2=A/3，

AD=2,

AC=CD+AD=S5+2,

・•・SAABc=；BC.AC=gxlx（石+2）=1+#

tan15°=—二=2-5

2+73'

问题三：如图，延长正八边形的四条边相交成正方形CDE/,则补充的四个小三角形为全等的等腰直角三

一正八边形的边长为2a,

BC=y/2.a>

•••正方形CDEF的边长为2a+2缶，

,正八边形的面积=（2。+2亿『_4xg（缶『=（12+8@。2_4/=（8+80）〃.

23.（24-25九年级下•福建福州•期中）在绿化公园时，需要安装一定数量的自动喷洒装置，定时喷水养护

草坪.某公司准备在一块边长为20m的正方形草坪（图1）中安装自动喷洒装置，为了既节约安装成本，又

尽可能提高喷洒覆盖率，需要设计合适的安装方案.

k

说明：一个自动喷洒装置的喷洒范围是半径为nn的圆面，喷洒覆盖率。=—，s为待喷洒区域面积，上为待

S

喷洒区域中的实际喷洒面积.

这个问题可以转化为用圆面覆盖正方形面积的数学问题.

（1）如图2,在该草坪中心位置设计安装1个喷洒半径为10m的自动喷洒装置，该方案的实际喷洒面积左=

,实际喷洒覆盖率0=.

（2）如图3,在该草坪内设计安装4个喷洒半径均为5m的自动喷洒装置；如图4,设计安装9个喷洒半径均

为当m的自动喷洒装置...以此类推，如图5,设计安装/个喷洒半径均为Wm的自动喷洒装置，与（1）

中的方案相比，采用这种增加装置个数且减小喷洒半径的方案，能否提高喷洒覆盖率？请判断并给出理由.

（3）如图6,该公司设计了用4个相同的自动喷洒装置喷洒的方案，且使得该草坪的喷洒覆盖率夕=1.已知

正方形ABC。各边上依次取点F,G,H,E,使得AE=BF=CG=DH,设AE=刈1，CQ的面积为,

求y关于x的函数表达式，并求当y取得最小值时『的值.

TT

【答案】（1）左=100%,P=-

4

（2）不能提高喷洒覆盖率，理由见解析

（3方=，（无一10）2+50］，/=50

【分析】（1）根据定义，分别计算圆的面积与正方形的面积，即可求解；

（2）根据（1）的方法求得喷洒覆盖率即可求解；

（3）根据勾股定理求得工厂的关系，进而根据圆的面积公式得出函数关系式，根据二次函数的性质，即可

求解.

【详解】（1）解：（1）当喷洒半径为10m时，喷洒的圆面积s=7i/=兀xi02=i0071m2.

%=100乃；

正方形草坪的面积S=a*2=*4s202=400m2.

_Lj+、廿诋**k100兀7i

故喷洒覆盖率"=一=:式二=:.

s4004

(2)解：对于任意的〃，喷洒面积勺="2无[3]=1007im2,而草坪面积始终为400m2.

因此，无论“取何值，喷洒覆盖率始终为

4

这说明增加装置个数同时减小喷洒半径，对提高喷洒覆盖率不起作用.

(3)如图所示，连接E尸，

图6

要使喷洒覆盖率2=1,即要求&=1,其中$为草坪面积，左为喷洒面积.

：.■O2,<O3,c。4都经过正方形的中心点0,

在Rt_AEF中，EF=2r,AE=x,

,:AE=BF=CG=DH

AF=20—x,

在Rt.AE尸中，AE2+AF2=EF2

：.4r2=x2+(20-x)2

2

.2X+(20-XY

••y=Ttr=-------------------------7i

4

=^(X-10)2+50^

...当x=10时,y取得最小值，此时4r2=1()2+102

解得：r=5母.

【点睛】本题考查了正方形与圆，二次函数的应用，解决此类问题的关键在于将实际问题转化为数学问题,

即如何将喷洒覆盖率的计算问题转化为面积计算和函数求解问题.同时，在解决具体问题时，需要灵活运

用已知的数学知识，如圆的面积公式，正方形面积公式，以及函数解析式求解等.最后，还需要注意将数

学计算结果还原为实际问题的解决方案.

串知识识框架

中心角、外角、内角

中心、半径、中心角、g有关

边心距「概念

各边相等、各角相等，

所有的正多边形都姑P性质

轴对称图形

过关测稳提9

一、单选题

1.（24-25九年级上•黑龙江绥化•期末）已知正多边形的中心角是30度，则这个正多边形的边数是（）

A.12B.10C.8D.6

【答案】A

【分析】本题考查的是正多边形和圆的有关知识，掌握正多边形的中心角的计算公式是解题的关键.根据

360°

正多边形的中心角的计算公式计算即可，中心角等于——（〃为边数）.

n

【详解】解：由题意得，这个正多边形的边数是零=12,

故选：A.

2.（23-24九年级上•青海果洛•期末）正六边形的中心角为（）

A.120°B.90°C.60°D.30°

【答案】C

【分析】本题考查了正多边形中心角定义.根据题意正多边形中心角即为360。除以正多边形边数即可选出

本题答案.

【详解】解：•••是正六边形，

360°

中心角为：,=60。，

6

故选：C.

3.（22-23九年级上•广西河池・期末）如图，已知正五边形ABCDE内接于（。，则一AO3的度数是（）

A.45°B.60°C.72°D.90°

【答案】C

【分析】根据正展边形的中心角的计算公式360°"（〃为正整数，心3）解答即可.

n

【详解】解：：正五边形MCDE内接于＜。，

360°

正五边形ABCDE的中心角ZAOB=丁=72°.

故选：C.

【点睛】本题考查正多边形和圆，掌握正〃边形的中心角的计算公式360比°（〃为正整数，”23）是解题的

n

关键.

4.（2025•广西南宁•模拟预测）青秀山的龙象塔是南宁市的地标建筑之一，始建于明代万历年间.该塔为

八角九层，重檐砖结构.如图所示的正八边形是龙象塔其中一层的平面示意图，点。为正八边形的中心，

则上403的度数为（）

【答案】C

【分析】本题考查求正多边形中心角度数，掌握正"边形中心角的计算公式360。+"是解题的关键.

用360。除以正多边形的边数，计算即可.

【详解】解：ZAOB=360°4-8=45°

故选：C.

5.（2025•安徽合肥•三模）如图，VABC是C。的内接正三角形，五边形AZJEFG是一。的内接正五边形,

若线段BE恰好是：。的一个内接正"边形的一条边，则〃的值为（）

A

16C.17D.18

【答案】A

【分析】本题考查了正多边形与圆，连接OB、OE、OF、OC,由题意可得防尸，ZBOC=120°,

ZEOF=72%由圆周角定理计算得出4O£=NCO9=24。，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是

解此题的关键.

【详解】解：如图：连接05、OE、OF、OC,

=360°-3=120°,ZEO尸=360。+5=72。，

NBOC—/EOF

/BOE=/COF==24。

2

・••若线段班恰好是（。的一个内接正几边形的一条边，贝的值为360。+24。=15,

故选：A.

6.（2025•广东惠州・模拟预测）如图，。是正五边形ABCDE的内切圆，点M,N,尸分别是边

与。的切点，则的度数为（）

A.25°B.36°C.35°D.40°

【答案】B

【分析】本题考查切线的性质，正多边形的内角，圆周角定理，连接O",QN,求出/A的度数，根据四边

形的内角和为360度求出ZMON的度数，圆周角定理求出NMFN的度数即可.

【详解】解：：正五边形ABCDE,

（5-2）180°

5-

连接OM,ON,

由题意，得：ZONA=ZOMA=90°,

：.ZMON=360°-90°-90°-108°=72°,

ZMFN=-AMON=36°；

2

故选B.

7.（24-25九年级上•江苏镇江・期末）一个正六边形的内切圆的半径为3,则这个正六边形的外接圆的半径

为（）

A.2百B.4C.3A/3D.6

【答案】A

【分析】本题考查正多边形与圆，解直角三角形；设正六边形的中心是。，一边是过。作OGLAB于

G,在直角△Q4G中，根据三角函数即可求得边长AB,从而求出周长.

【详解】解：如图，

360°

作OGLAB于G,由题意可得=NAO3=——=60°,

6

...ZAOG=30。，

在RtZXAOG中，OG=3,ZAOG=30。,

OG3FT

OA=---------=—-=■=2,3

cos30°y/3

2

故选：A.

8.（24-25九年级下•福建漳州•阶段练习）铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素.如图是一个花瓣造型的

花窗示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点O,AB所在圆的圆心

C恰好是的内心，若AB=26,则花窗的周长（图中实线部分的长度）为（）

168一

A.—7iB.—兀C.167rD.87r

33

【答案】D

【分析】本题主要考查正多边形与圆，解三角形，求弧长.过点C作根据正多边形的性质得出

VA0B为等边三角形，再由内心的性质确定/C4O=/Q4E=/CBE=30。，得出NACB=120。，利用余弦

得出AC=^^=2,再求弧长即可求解.

cos30

【详解】解：如图所示：过点C作

,/六条弧所对应的弦构成一个正六边形,

ZAOB=60°,OA=OB,

...VA03为等边三角形，

:圆心C恰好是«ABO的内心,

NC4O=NCAE=NCBE=30°,

/.ZACB=120°,

AB=2^3,

AE=BE=s/3,

AE

AC==2,

cos30°

120X2XK4

AB的长为:-------------——71

1803

4

・••花窗的周长为：J71X6=871,

故选：D.

二、填空题

9.（24-25九年级下•上海浦东新•阶段练习）如果一个正多边形内角和是1440。，那么它的中心角是.

【答案】36

【分析】本题考查了正多边形的内角和、边数、中心角，先根据正多边形的内角和求出边数，再求其中心

角的度数即可.

【详解】解：设这个正多边形的边数为小

由题意得，（〃一2）x180。=1440。，

解得"=10,

.•.正六边形的中心角是360。+10=36°,

故答案为：36.

10.（24-25九年级上•河南信阳・期末）若一个圆内接正多边形的中心角是60。，则这个正多边形是.

【答案】正六边形

【分析】本题考查了正多边形的边数与中心角的关系，掌握正多边形的中心角等于更360°是解题的关键.

n

根据正多边形中心角等于出360即°可求解.

77

【详解】解：由题意得，边数为36器0°=6,

故答案为：正六边形.

11.（24-25九年级上•福建厦门•期末）正六边形内接于半径为1的圆，则该正六边形的周长是.

【答案】6

【分析】本题考查了正多边形与圆，等边三角形的判定和性质，掌握圆心角的计算，等边三角形的判定和

性质是解题的关键.

360°

根据题意作图可得至=3。=8=。E=砂=”，3=03=1,则有4402=——=60°,AOB是等边

6

三角形，AB=OA=OB=L由此即可求解.

【详解】解：正六边形内接于半径为1的圆，

如图所示，AB=BC=CD=DE=EF=AF,04=08=1,

/.正六边形每条边所对的圆心角的度数为NAOB=暇360°=60。，

6

,403是等边三角形，

**.AB=OA=OB=1,

，该正六边形的周长是6,

故答案为：6.

12.（2025・陕西咸阳•模拟预测）如图，正五边形ABCDE的顶点A,C在B±.,尸是优弧AC上的一点（不

与点AC重合），连接AEC尸，则NAbC的度数为.

【答案】54。/54度

【分析】本题考查正多边形与圆、圆周角定理等知识点，理解圆周角定理是解题的关键.

先根据正多边形内角和定理求得NABC=108。再根据圆周角定理计算即可.

【详解】解：：正五边形ABCDE,

.（5-2）x180°

..ZABC=—