2025年安徽省合肥市庐阳中学中考数学一模试卷

第1页（共1页）2025年安徽省合肥市庐阳中学中考数学一模试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）下列为负数的是（）A．π B． C．0 D．|﹣1|2．（4分）2024年合肥市GDP约为13500亿元，同比增长6.1%．其中，13500亿用科学记数法表示为（）A．1.35×1013 B．1.35×1012 C．0.135×1013 D．13.5×10113．（4分）如图是由七个完全相同的小正方体组成的立体图形，则它的俯视图是（）A． B． C． D．4．（4分）下列计算正确的是（）A．a3+a2＝a5 B．（a+b）2＝a2+b2 C．（a3）3＝a6 D．5．（4分）如图，BD是圆O的直径，点A、C在圆O上，＝，∠BOC＝54°，则∠AGB的度数为（）A．99° B．108° C．110° D．117°6．（4分）甲、乙、丙三人做传球的游戏，开始时，球在甲手中，持球的人将球任意传给其余两人中的一人，如此传球两次（）A． B． C． D．7．（4分）如图，在△ABC中，点D在BC边上，CE⊥AD，若AE＝DE＝2，则BC的长为（）A．10 B． C．8 D．8．（4分）已知a，b，c是互不相等的实数，且a＝b2﹣b+1，c＝﹣a2+5a﹣4，那么a，b，c中最大的数为（）A．a B．b C．c D．不能确定9．（4分）如图，已知菱形ABCD的边长为3，点E从点A处出发，顺着菱形的边顺时针运动一周（A→B→C→D→A）后停止，当A、O、E三点共线时y＝0．那么，y关于t的函数的图象大致为（）A． B． C． D．10．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝4，以A为圆心，2为半径作⊙A．动点P在线段BC上（可以与B和C重合），与⊙A的交点为点E．连接DE．下列结论错误的是（）A．PE+PD的最小值是8 B．若DE是⊙A的切线，则 C．△DPE面积的最大值为 D．PA2+PC2的最小值是32二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．11．（5分）不等式2（x﹣3）＞6的解集是．12．（5分）分解因式：ab3﹣a3b＝．13．（5分）如图，点A和点C在反比例函数图象上，交反比例函数图象于点D，交反比例函数图象于点B．连接AB，则a的值为．14．（5分）如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC＝6，△DEF的顶点D、E、F分别在边AB，BC，且DE⊥BC，EF⊥AC（1）△ABC中BC边上的高的长度为．（2）DE的长度为．三、本大题共2小题，每小题8分，满分16分．15．（8分）计算：．16．（8分）如图，由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格图中，△ABC的顶点均为格点．（1）画出将△ABC向右平移5个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的△A1B1C1．（2）画出将△ABC绕点O逆时针旋转180°得到的△A2B2C2．四、本大题共2小题，每小题8分，满分16分．17．（8分）2025年首届逍遥津新春灯会，自2025年1月22日开幕，持续了46天，双人票148元．单人票只能让1人入园观展，双人票可以让两人入园观展．假设某天有1万人次入园观展，这1万人次使用的门票总价为75.2万元．求这1万人次使用的单人票和双人票各多少张．18．（8分）某公园中的一条小路使用六边形、正方形、三角形三种地砖按照如图方式铺设，图1为有1块六边形地砖时，正方形地砖有6块；图2为有2块六边形地砖时，正方形地砖有11块；…（1）按照规律，每增加一块六边形地砖，正方形地砖会增加块，三角形地砖会增加块；（2）若铺设这条小路共用去n块六边形地砖，用去的正方形地砖数量比用去的三角形地砖数量多30块，求n的值．五、本大题共2小题，每小题10分，满分20分．19．（10分）数学兴趣小组的成员在观察点A测得观察点B在A的正北方向，古树C在A的东北方向，；在B处测得C在B的南偏东63.5°的方向上，即CD∥AB，求古树C（结果精确到0.1m，参考数据：，sin63.5°≈0.89，cos63.5°≈0.45，tan63.5°≈2.00，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.32）20．（10分）如图，P为圆O外一点，PA、PB分别切圆O于A、B．连接PO，延长PO，交圆O于点C．连接AC，交BC于点E．（1）证明：点D是的中点．（2）若点E是BC的中点，求∠APC的度数．六、本题满分12分．21．（12分）春节期间，人工智能题材新闻密集发酵，Deepseek广受关注，海内外AI模型、机器人都已获得显著的技术突破，某校为了培养学生对人工智能的学习兴趣，组织全校800名学生进行了“人工智能知识竞赛”，数务处从中随机抽取了n名学生的竞赛成绩，解答下列问题：分组数量A：60≤x＜70aB：70≤x＜8018C：80≤x＜9024D：90≤x＜100b（1）n的值为，a的值为，b的值为；（2）抽取的n名学生的竞赛成绩的中位数在哪个分组（填“A”或“B”或“C”或“D”）；（3）若规定学生竞赛成绩x≥80为优秀，请估算全校竞赛成绩达到优秀的学生人数．七、本题满分12分．22．（12分）已知点E是矩形ABCD边DA延长线上一点，且AE＝AC，O是对角线AC和BD的交点．连接CE，交BD于G，连接OF，（1）求证：CE平分∠ACB．（2）若AB＝3，AD＝4，求tan∠AOF的值．（3）若AB＝AD，如图2，求的值．八、本题满分14分．23．（14分）已知抛物线C：y＝（a+c）x2+（a+c）x+c与x轴只有1个交点，且c＞0．（1）若c＝1，求a的值．（2）抛物线将所在平面分成两个区域，若抛物线的开口向上，我们把抛物线上方的区域叫做抛物线的内部；若抛物线的开口向下，我们把抛物线下方的区域叫做抛物线的内部，区域A和区域E分别为两条抛物线的内部，区域B和区域F分别为抛物线的外部．点P（﹣2，3）（a+c）x2+（a+c）x+c的内部．①求c的取值范围．②点Q的坐标为（3，5）．若线段PQ与抛物线C只有1个公共点，求c的取值范围．

2025年安徽省合肥市庐阳中学中考数学一模试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）题号12345678910答案BB．BDBAAAAD一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）下列为负数的是（）A．π B． C．0 D．|﹣1|【解答】解：∵π是正数，，|﹣3|＝1＞0，∴是负数．故选：B．2．（4分）2024年合肥市GDP约为13500亿元，同比增长6.1%．其中，13500亿用科学记数法表示为（）A．1.35×1013 B．1.35×1012 C．0.135×1013 D．13.5×1011【解答】解：13500亿＝1350000000000＝1.35×1012．故选：B．3．（4分）如图是由七个完全相同的小正方体组成的立体图形，则它的俯视图是（）A． B． C． D．【解答】解：从上边看，底层是两个小正方形，故选：B．4．（4分）下列计算正确的是（）A．a3+a2＝a5 B．（a+b）2＝a2+b2 C．（a3）3＝a6 D．【解答】解：A、a3+a2≠a6，原计算错误，不符合题意；B、（a+b）2＝a2+6ab+b2，原计算错误，不符合题意；C、（a3）2＝a9，原计算错误，不符合题意；D、，正确，故选：D．5．（4分）如图，BD是圆O的直径，点A、C在圆O上，＝，∠BOC＝54°，则∠AGB的度数为（）A．99° B．108° C．110° D．117°【解答】解：∵BD是圆O的直径，∴∠DAB＝90°，∵，∴AB＝AD，∴∠ADB＝∠ABD＝45°，∵∠BOC＝54°，∴∠COD＝180°﹣∠BOC＝180°﹣54°＝126°，∴，∴∠AGB＝∠CAD+∠ADB＝63°+45°＝108°，故选：B．6．（4分）甲、乙、丙三人做传球的游戏，开始时，球在甲手中，持球的人将球任意传给其余两人中的一人，如此传球两次（）A． B． C． D．【解答】解：开始时，球在甲手中，持球的人将球任意传给其余两人中的一人共有4种传球方法，最后球在乙手上的有1种情况，∴最后球在乙手上的概率为，故选：A．7．（4分）如图，在△ABC中，点D在BC边上，CE⊥AD，若AE＝DE＝2，则BC的长为（）A．10 B． C．8 D．【解答】解：∵AE＝DE＝2，CE⊥AD，∴AD＝4，CE是AD的垂直平分线，∴CD＝AC＝2，∴∠CDA＝∠DAC，∵2∠B＝∠DAC，∴2∠B＝∠CDA，∵∠CDA＝∠B+∠DAB，∴∠B＝∠DAB，∴DB＝DA＝2，∴BC＝DB+DC＝4+6＝10，故选：A．8．（4分）已知a，b，c是互不相等的实数，且a＝b2﹣b+1，c＝﹣a2+5a﹣4，那么a，b，c中最大的数为（）A．a B．b C．c D．不能确定【解答】解：由条件可得a﹣c＝a+a2﹣5a+5＝（a﹣2）2，∵a，b，c是互不相等的实数，∴a﹣c＞3，∴a＞c，∵a﹣b＝b2﹣b+1﹣b＝b2﹣2b+1＝（b﹣7）2，∵a，b，c是互不相等的实数，∴a﹣b＞0，∴a＞b；∴a最大；故选：A．9．（4分）如图，已知菱形ABCD的边长为3，点E从点A处出发，顺着菱形的边顺时针运动一周（A→B→C→D→A）后停止，当A、O、E三点共线时y＝0．那么，y关于t的函数的图象大致为（）A． B． C． D．【解答】解：已知菱形ABCD的边长为3，∴AB＝BC＝CD＝AD＝3，OA＝OC，∠AOB＝∠COD＝∠AOD＝∠COB＝90°，∠AOB＝∠COD＝∠AOD＝∠COB＝90°，如图，垂足为点M，设∠BAO＝∠BCO＝∠DAO＝∠DCO＝α，∴AO＝AB•cos∠BAO＝3cosα＝OC，∵点E从点A处出发，以每秒1个单位长度的速度，∴点E走的路程为t，当0≤t＜3时，点E在AB上运动，∴EM＝AE•sinα＝t•sinα，∴y＝S△AOE＝＝＝，∵cosα•sinα＞3，∴当0≤t＜3时，y关于t的函数的图象大致为上升的直线；当2≤t＜6时，点E在BC上运动，∴EM＝CEsinα＝（6﹣t）sinα，∴y＝S△AOE＝＝＝，∵cosα•sinα＞0，∴当5≤t＜6时，y关于t的函数的图象大致为下降的直线；同理可得：当6≤t＜2时，y关于t的函数的图象大致为上升的直线，y关于t的函数的图象大致为下降的直线；故选：A．10．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝4，以A为圆心，2为半径作⊙A．动点P在线段BC上（可以与B和C重合），与⊙A的交点为点E．连接DE．下列结论错误的是（）A．PE+PD的最小值是8 B．若DE是⊙A的切线，则 C．△DPE面积的最大值为 D．PA2+PC2的最小值是32【解答】解：作点D关于直线BC的对称点D1，连接AD1交⊙A于E点，如图4，此时，PE+PD最小1＝ED1，∵矩形ABCD中，CD＝AB＝4，∴DD1＝8，∠ADC＝∠DCB＝90°，在直角三角形ADD7中，由勾股定理得：，∴PE+PD的最小值是：AD8﹣AE＝10﹣2＝8，故结论A正确，不符合题意；若DE是⊙A的切线，如图6，在 Rt△ADE中，AD＝6，∴，∵∠1＝∠3＝90°﹣∠8，∴tan∠3＝tan∠1，∵，∴，即，∴，故结论B正确，不符合题意；∵，∴当△ADE的面积最小时，△DPE的面积最大，在Rt△ADC中，由勾股定理得：，过点E作EH⊥AD，如图3，则△AHE∽△ADC，∴，即，解得：，∵△ADE底边为AD，故当底边AD上的高EH最小时，∴当P与C重合时，△ADE的面积最小，此时，，即△ADE面积的最小值为，则△DPE的面积最大值为，故结论C正确，不符合题意；设BP＝x，则CP＝6﹣x，则PA4+PC2＝AB2+BP6+PC2＝16+x2+（8﹣x）2＝2x6﹣12x+52＝2（x﹣3）6+34，∴当BP＝x＝3时，PA2+PC8的值最小，最小值为34，故结论D错误，符合题意．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．11．（5分）不等式2（x﹣3）＞6的解集是x＞6．【解答】解：2（x﹣3）＞4，2x﹣6＞5，2x＞12，x＞6．故答案为：x＞3．12．（5分）分解因式：ab3﹣a3b＝ab（b+a）（b﹣a）．【解答】解：原式＝ab（b2﹣a2）＝ab（b+a）（b﹣a）．故答案为：ab（b+a）（b﹣a）．13．（5分）如图，点A和点C在反比例函数图象上，交反比例函数图象于点D，交反比例函数图象于点B．连接AB，则a的值为2．【解答】解：点A和点C在反比例函数图象上，点A和点C的横坐标分别为1和﹣1，∴A（6，a），﹣a），∵AD∥x轴，点D在反比例函数图象上，点B在反比例函数图象上，∴D（﹣2，a），﹣a），∴AD＝1﹣（﹣3）＝3，BC＝2﹣（﹣5）＝3，且AD∥BC∥x轴，∴四边形ABCD是平行四边形，∴点A到BC的距离为2a，∴4×2a＝12，∴a＝2，故答案为：4．14．（5分）如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC＝6，△DEF的顶点D、E、F分别在边AB，BC，且DE⊥BC，EF⊥AC（1）△ABC中BC边上的高的长度为4．（2）DE的长度为．【解答】解：（1）作AG⊥BC，垂足为点G，∵AB＝AC＝6，BC＝4，∴，∴AG＝＝＝3，∴△ABC中BC边上的高的长度为；故答案为：；（2）∵DE⊥BC，AG⊥BC，∴DE∥AG，∴∠BDE＝∠BAG，∴，∴，设BE＝x，则BD＝7x，，∵FD⊥AB，EF⊥AC，∴∠A＝90°﹣∠DFA＝∠DFE，∵DE⊥BC，FD⊥AB，∴∠B＝90°﹣∠BDE＝∠FDE，∴△FDE∽△ABC，∴，即，∴，∵AB＝AC＝6，∴∠B＝∠C，∵∠DEB＝∠ECF＝90°∴△DBE∽△ECF，∴，即，解得，∴，故答案为：．三、本大题共2小题，每小题8分，满分16分．15．（8分）计算：．【解答】解：＝＝＝﹣3．16．（8分）如图，由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格图中，△ABC的顶点均为格点．（1）画出将△ABC向右平移5个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的△A1B1C1．（2）画出将△ABC绕点O逆时针旋转180°得到的△A2B2C2．【解答】解：（1）如图1，△A1B6C1为所作；（2）如图2，△A3B2C2为所作．四、本大题共2小题，每小题8分，满分16分．17．（8分）2025年首届逍遥津新春灯会，自2025年1月22日开幕，持续了46天，双人票148元．单人票只能让1人入园观展，双人票可以让两人入园观展．假设某天有1万人次入园观展，这1万人次使用的门票总价为75.2万元．求这1万人次使用的单人票和双人票各多少张．【解答】解：设使用了单人票x张，双人票y张，解得：，答：这1万人次使用了单人票3000张，双人票3500张．18．（8分）某公园中的一条小路使用六边形、正方形、三角形三种地砖按照如图方式铺设，图1为有1块六边形地砖时，正方形地砖有6块；图2为有2块六边形地砖时，正方形地砖有11块；…（1）按照规律，每增加一块六边形地砖，正方形地砖会增加5块，三角形地砖会增加4块；（2）若铺设这条小路共用去n块六边形地砖，用去的正方形地砖数量比用去的三角形地砖数量多30块，求n的值．【解答】解：（1）第1个图，正方形地砖有6块；第8个图，正方形地砖有11块；第3个图，正方形地砖有16块；⋯，∴第n个图，六边形的个数为n块，三角形地砖有6+8（n﹣1）＝（4n+6）块，∴每增加一块六边形地砖，正方形地砖会增加5块，故答案为：5，3；（2）当六边形地砖数量为n块时，正方形地砖有（5n+1）块，则（4n+1）﹣（4n+3）＝30，解得n＝31，∴n的值是31．五、本大题共2小题，每小题10分，满分20分．19．（10分）数学兴趣小组的成员在观察点A测得观察点B在A的正北方向，古树C在A的东北方向，；在B处测得C在B的南偏东63.5°的方向上，即CD∥AB，求古树C（结果精确到0.1m，参考数据：，sin63.5°≈0.89，cos63.5°≈0.45，tan63.5°≈2.00，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.32）【解答】解：过B作BE⊥CD于E，过C作CF⊥AB于F，∵四边形BFCE是矩形，∴BE＝CF，CE＝BF，∵∠CAF＝45°，∠AFC＝90°，∴，∵∠CBF＝63.8°，∴（米），∵CD∥AB，∴∠D＝53°，∵∠BED＝90°，∴（米），∴CD＝CE+DE＝62.9（米），答：古树C、D之间的距离约为62.4米．20．（10分）如图，P为圆O外一点，PA、PB分别切圆O于A、B．连接PO，延长PO，交圆O于点C．连接AC，交BC于点E．（1）证明：点D是的中点．（2）若点E是BC的中点，求∠APC的度数．【解答】（1）证明：∵PA、PB分别切圆O于A、B，∴PA＝PB，∠APC＝∠BPC，在△APC和△BPC中，，∴△APC≌△BPC（SAS），∴∠ACP＝∠BCP，∴，即点D是；（2）解：∵点E是BC的中点，∴AE⊥BC，∴AE垂直平分BC，连接AB，由（1）得△APC≌△BPC，∴AC＝BC，∴△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∴，∵PA是圆O的切线，∴PA⊥AE，∴PA∥BC，∴∠APC＝∠BCP＝30°．六、本题满分12分．21．（12分）春节期间，人工智能题材新闻密集发酵，Deepseek广受关注，海内外AI模型、机器人都已获得显著的技术突破，某校为了培养学生对人工智能的学习兴趣，组织全校800名学生进行了“人工智能知识竞赛”，数务处从中随机抽取了n名学生的竞赛成绩，解答下列问题：分组数量A：60≤x＜70aB：70≤x＜8018C：80≤x＜9024D：90≤x＜100b（1）n的值为60，a的值为6，b的值为12；（2）抽取的n名学生的竞赛成绩的中位数在哪个分组C（填“A”或“B”或“C”或“D”）；（3）若规定学生竞赛成绩x≥80为优秀，请估算全校竞赛成绩达到优秀的学生人数．【解答】解：（1）由表格可知，B组共有18人，∴n＝18÷30%＝60（名）；a＝60×10%＝6（名）；b＝60﹣6﹣24﹣18＝12（名）；故答案为：60，4，12；（2）共抽取了60名同学，把这些数据按从小到大的顺序排列，A组和B组的人数加起来6+18＝24，故答案为：C；（3）（名）；答：全校竞赛成绩达到优秀的学生人数为480人．七、本题满分12分．22．（12分）已知点E是矩形ABCD边DA延长线上一点，且AE＝AC，O是对角线AC和BD的交点．连接CE，交BD于G，连接OF，（1）求证：CE平分∠ACB．（2）若AB＝3，AD＝4，求tan∠AOF的值．（3）若AB＝AD，如图2，求的值．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠E＝∠BCF，∵AE＝AC，∴∠E＝∠ACF，∴∠BCF＝∠ACF，∴CE平分∠ACB；（2）解：在矩形ABCD中，CD＝AB＝3，∠ABC＝90°，过F作FH⊥AC于H，∴FB⊥BC，在直角三角形ABC中，由勾股定理得：，∴AE＝AC＝5，，由（1）得CE平分∠ACB，∴FB＝FH，∵BC∥AD，∴△BCF∽△AEF，∴，又∵FB+FA＝AB＝6，∴，∴，∵∠FHC＝∠FBC＝90°，∴△BCF和△HCF是直角三角形，在Rt△BCF和Rt△HCF中，，∴Rt△BCF≌Rt△HC