计数原理周考试题及答案

计数原理周考试题及答案

一、单项选择题（每题2分，共20分）1.从甲地到乙地有3条路，从乙地到丙地有2条路，则从甲地经乙地到丙地的不同走法共有（）A.5种B.6种C.9种D.12种2.一件工作可以用2种方法完成，有5人会用第一种方法完成，另有4人会用第二种方法完成，从中选出1人来完成这件工作，不同选法的种数是（）A.4B.5C.9D.203.由数字1，2，3，4组成的无重复数字的两位数共有（）A.11个B.12个C.13个D.14个4.已知集合\(A=\{1,2,3,4\}\)，\(B=\{5,6,7\}\)，从\(A\)到\(B\)的不同映射的个数是（）A.\(3^4\)B.\(4^3\)C.\(7\)D.\(12\)5.用1，2，3，4，5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（）A.24个B.30个C.40个D.60个6.从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有（）A.108种B.186种C.216种D.270种7.5个人排成一排，其中甲、乙两人至少有一人在两端的排法种数为（）A.\(A_{3}^{3}\)B.\(4A_{3}^{3}\)C.\(A_{5}^{5}-A_{3}^{2}A_{3}^{3}\)D.\(A_{2}^{2}A_{3}^{3}+A_{2}^{1}A_{3}^{1}A_{3}^{3}\)8.用0，1，2，3，4，5这六个数字，组成无重复数字的三位数，其中能被5整除的三位数共有（）A.36个B.40个C.48个D.60个9.从1，2，3，…，9这九个数字中任取两个数字，这两个数字都是奇数的概率为（）A.\(\frac{5}{18}\)B.\(\frac{4}{9}\)C.\(\frac{1}{3}\)D.\(\frac{2}{9}\)10.从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同工作，若其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，则选派方案共有（）A.280种B.240种C.180种D.96种二、多项选择题（每题2分，共20分）1.下列属于分类加法计数原理的是（）A.从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，一天中火车有3班，汽车有2班，那么一天中从甲地到乙地的不同走法有多少种B.一个三层书架，上层放有5本不同的语文书，中层放有4本不同的数学书，下层放有3本不同的英语书，从书架上任取一本书，有多少种不同的取法C.用0，1，2，3这四个数字，可以组成多少个无重复数字的三位数D.从1，2，3，4，5这五个数字中任取两个数字组成一个两位数，有多少种不同的组法2.用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的五位数，其中偶数的个数为（）A.\(A_{4}^{4}\)B.\(A_{4}^{4}+A_{3}^{1}A_{3}^{3}\)C.\(A_{5}^{5}-A_{4}^{4}\)D.\(A_{5}^{5}-A_{3}^{1}A_{3}^{3}\)3.从5名男生和4名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，要求选出的3人中既有男生又有女生，则不同的选派方案有（）A.\(C_{5}^{1}C_{4}^{2}A_{3}^{3}\)B.\(C_{5}^{2}C_{4}^{1}A_{3}^{3}\)C.\((C_{5}^{1}C_{4}^{2}+C_{5}^{2}C_{4}^{1})A_{3}^{3}\)D.\(C_{9}^{3}A_{3}^{3}-C_{5}^{3}A_{3}^{3}-C_{4}^{3}A_{3}^{3}\)4.下列关于排列数和组合数的关系，正确的是（）A.\(A_{n}^{m}=\frac{n!}{(n-m)!}\)B.\(C_{n}^{m}=\frac{A_{n}^{m}}{A_{m}^{m}}\)C.\(C_{n}^{m}=C_{n}^{n-m}\)D.\(A_{n}^{m}=C_{n}^{m}A_{m}^{m}\)5.从7名男生和5名女生中选4人参加夏令营，规定男、女生至少各有1人参加，则选法总数应为（）A.\(C_{7}^{1}C_{5}^{3}+C_{7}^{2}C_{5}^{2}+C_{7}^{3}C_{5}^{1}\)B.\(C_{12}^{4}-C_{7}^{4}-C_{5}^{4}\)C.\(C_{7}^{1}C_{5}^{3}+C_{7}^{3}C_{5}^{1}\)D.\(C_{7}^{2}C_{5}^{2}\)6.用红、黄、蓝三种颜色给如图所示的六个相连的圆涂色，若每种颜色只能涂两个圆，且相邻两个圆所涂颜色不能相同，则不同的涂法有（）（此处可自行想象六个相连圆的图形）A.12种B.24种C.30种D.36种7.从1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字中任取两个不同的数字，分别作为对数的底数和真数，得到的不同对数值有（）A.\(A_{9}^{2}\)个B.\(A_{9}^{2}-8\)个C.\(A_{9}^{2}-9\)个D.\(A_{9}^{2}-10\)个8.已知集合\(M=\{1,2,3,4\}\)，\(N=\{a,b,c\}\)，从\(M\)到\(N\)的映射\(f\)满足\(f(1)\leqf(2)\leqf(3)\leqf(4)\)，这样的映射\(f\)的个数为（）A.\(C_{6}^{3}\)B.\(C_{7}^{3}\)C.\(C_{8}^{3}\)D.\(C_{9}^{3}\)9.某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目，如果将这两个新节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为（）A.\(A_{6}^{2}\)B.\(A_{7}^{2}\)C.\(A_{6}^{1}A_{7}^{1}\)D.\(A_{7}^{1}+A_{7}^{2}\)10.用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数，其中能被3整除的四位数有（）A.\(A_{6}^{4}-A_{5}^{3}\)B.\(C_{3}^{1}C_{3}^{1}A_{4}^{2}\)C.\(C_{3}^{1}C_{3}^{1}A_{4}^{2}+C_{3}^{2}A_{4}^{2}+C_{3}^{3}A_{3}^{1}\)D.\(A_{6}^{4}-A_{5}^{3}-A_{4}^{2}\)三、判断题（每题2分，共20分）1.分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同。（）2.分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的。（）3.\(A_{n}^{m}\)与\(C_{n}^{m}\)的关系是\(A_{n}^{m}=C_{n}^{m}\cdotm!\)。（）4.从\(n\)个不同元素中取出\(m(m\leqn)\)个元素的所有组合的个数，叫做从\(n\)个不同元素中取出\(m\)个元素的组合数。（）5.用1，2，3这三个数字组成无重复数字的三位数，其中偶数的个数为\(A_{3}^{3}-A_{2}^{2}\)。（）6.从5名同学中选出2名分别担任正、副班长，不同的选法有\(C_{5}^{2}\)种。（）7.从1，2，3，4，5中任取两个不同数字组成一个两位数，这个两位数是偶数的概率为\(\frac{2}{5}\)。（）8.若\(C_{n}^{m}=C_{n}^{k}\)，则\(m=k\)。（）9.从6个不同小球中取出4个，放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，每盒放一个球，共有\(A_{6}^{4}\)种不同放法。（）10.从\(n\)个不同元素中取出\(m\)个元素后，剩下\(n-m\)个元素，所以\(C_{n}^{m}=C_{n}^{n-m}\)。（）四、简答题（每题5分，共20分）1.简述分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别。答案：分类加法计数原理是完成一件事有\(n\)类办法，各类办法相互独立，用其中一类办法就能完成这件事；分步乘法计数原理是完成一件事需分\(n\)个步骤，各步骤相互依存，只有依次完成各步骤才能完成这件事。2.用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的三位数，其中奇数有多少个？答案：个位从1，3中选有\(2\)种选法，百位不能为\(0\)，从剩余\(3\)个非零数字选有\(3\)种选法，十位从剩下\(3\)个数字选有\(3\)种选法。所以奇数个数为\(2×3×3=18\)个。3.已知\(C_{n}^{2}=28\)，求\(n\)的值。答案：由组合数公式\(C_{n}^{2}=\frac{n(n-1)}{2×1}=28\)，即\(n(n-1)=56\)，\(n^2-n-56=0\)，分解因式得\((n-8)(n+7)=0\)，解得\(n=8\)或\(n=-7\)（舍去），所以\(n=8\)。4.从5名男生和3名女生中选3人参加活动，至少有1名女生的选法有多少种？答案：用间接法，从\(8\)人中选\(3\)人的选法有\(C_{8}^{3}\)种，全是男生的选法有\(C_{5}^{3}\)种。所以至少有\(1\)名女生的选法有\(C_{8}^{3}-C_{5}^{3}=\frac{8×7×6}{3×2×1}-\frac{5×4×3}{3×2×1}=56-10=46\)种。五、讨论题（每题5分，共20分）1.在实际生活中，举例说明分类加法计数原理和分步乘法计数原理的应用。答案：分类加法计数原理：如出行方式，从北京到上海，可以坐飞机、火车、长途客车，每种方式相互独立，这就是分类加法计数原理的体现。分步乘法计数原理：如组装电脑，先选主板，再选CPU，接着选内存等，各步骤相互依存，共同完成组装，是分步乘法计数原理的应用。2.排列和组合的概念有什么联系与区别？在解题时如何准确区分并应用？答案：联系：都是从\(n\)个不同元素中取元素。区别：排列有顺序要求，组合无顺序要求。解题时，若问题与顺序有关用排列，如排队问题；若与顺序无关用组合，如选若干人参加活动。3.为什么\(C_{n}^{m}=C_{n}^{n-m}\)？请从实际意义角度解释。答案：从\(n\)个元素中选\(m\)个元素组成一组，那么剩下的\(n-m\)个元素也组成一组。选\(m\)个元素的组合与选\(n-m\)个元素的组合是一一对应的，所以\(C_{n}^{m}=C_{n}^{n-m}\)。4.如何利用计数原理解决复杂的计数问题？答案：先分析问题，将其分解为简单的子问题，判断是分类还是分步，确定使用分类加法计数原