15.3.1 等腰三角形（分层培优 含解析）八年级上册数学人教版

15.3.1等腰三角形一、选择题（共10小题）1．（2025春•漳浦县校级月考）如图，△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AC于P点．若AB＝5cm，BC＝3cm，则△PBC的周长为（）A．15 B．13 C．11 D．82．（2025春•泾阳县期末）等腰三角形的一个角是70°，则它的底角度数是（）A．55° B．70° C．70°或55° D．70°或40°3．（2025春•萍乡期末）下列长度的三段钢条，能组成一个等腰三角形框架的是（单位：cm）（）A．2，3，4 B．3，7，7 C．2，2，6 D．5，6，74．（2025春•锦州期末）等腰三角形一边长9cm，另一边长4cm，它的第三边是（）A．4cm B．5cm C．9cm D．12cm5．（2024秋•玉林期末）如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，下列结论中不一定正确的是（）A．∠B＝∠C B．AB＝2BD C．AD平分∠BAC D．AD⊥BC6．（2025春•高碑店市期末）等腰三角形两边长分别为3，7，则它的周长为（）A．13 B．17 C．13或17 D．不能确定7．（2025春•灵武市期末）如图，小刚荡秋千，秋千旋转了80°，小刚的位置从A点运动到了A′点，则∠OAA′的度数为（）A．40° B．50° C．55° D．65°8．（2025春•崇明区期末）若等腰三角形的两条边的长分别为3cm和7cm，则它的周长是（）A．10cm B．13cm C．17cm D．13cm或17cm9．（2024秋•莒县期末）已知等腰三角形的两边长分别为4cm、8cm，则该等腰三角形的周长是（）A．12cm B．16cm C．16cm或20cm D．20cm10．（2025春•临渭区期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝∠C，点D在AC边上，连接BD，AB＝10，CD＝2，则AD的长度等于（）A．7 B．8 C．10 D．6二、填空题（共10小题）11．（2025春•铁岭期中）如果等腰三角形的两边长为2cm，4cm，那么它的周长为cm．12．（2025春•徐汇区校级月考）已知等腰三角形的一个内角为140°，则等腰三角形的底角的度数为度．13．（2024秋•衡阳期末）已知等腰三角形的底边长为2，腰长为8，则它的周长为．14．（2025春•罗湖区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D在BA延长线上，∠DAC＝140°，则∠B＝°．15．（2025春•盐田区期中）已知实数x，y满足|x﹣3|+y−7=0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是16．（2025春•山丹县校级期末）一个等腰三角形的一内角为40°，则这个等腰三角形的顶角度数为．17．（2025春•茌平区期末）已知△ABC是等腰三角形，若AB＝5cm，AC＝2cm，则△ABC的周长是．18．（2025春•吉州区期末）等腰三角形的两边分别长7cm和15cm，则它的周长是．19．（2025春•余江区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，已知AB＝10，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，△BCE的周长等于16，则BC的长为．20．（2025春•鄄城县期末）等腰三角形的两边长分别为6和2，则该三角形的周长为．三、解答题（共6小题）21．（2025春•城关区校级期末）已知：如图，AD是等腰三角形ABC的底边BC上的中线，P是AD上任意一点．求证：∠ABP＝∠ACP．22．（2025春•薛城区期末）如图，在△ABC中，∠C＝∠ABC＝2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数．23．（2025春•紫金县期末）在△ABC中，AB＝5，AC＝2，若是△ABC是等腰三角形，求BC的长．24．（2025春•城关区校级期末）如图，AD是等腰三角形底边BC的中线，BC＝10cm，∠B＝48°，求∠BAD的度数和BD的长度．25．（2025春•浦东新区期末）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，BP⊥AD于点P，AB＝5，BP＝2，AC＝9，说明∠ABP＝2∠ACB的理由．26．（2024秋•巢湖市期末）如图，△ABC中，∠A＝36°，D在边AC上，AD＝BD＝BC，求∠DBC的度数．

参考答案一、选择题（共10小题）1．【答案】D【分析】利用线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质将△PBC的周长转化为线段（AC+BC）的长度．【解答】解：∵AB的垂直平分线交AC于P点．∴AP＝BP．又∵AB＝AC，AB＝5cm，BC＝3cm，∴△PBC的周长＝PB+PC+BC＝AP+PC+BC＝AB+BC＝5+3＝8cm．故选：D．2．【答案】C【分析】先分顶角为70°和底角为70°两种情况，再根据等腰三角形的性质即可解答．【解答】解：当它的顶角为70°时，它的顶角度数为：（180°﹣70°）÷2＝55°；当它的底角为70°时，它的顶角度数为：180°﹣2×70°＝40°；∴它的底角度数是55°或70°．故选：C．3．【答案】B【分析】根据等腰三角形的性质，看哪个选项中两条较小的边的和大于最大的边即可．【解答】解：A、不是等腰三角形；B、3+7＞7，能构成三角形；C、2+2＜6，不能构成等腰三角形；D、不是等腰三角形．故选：B．4．【答案】C【分析】分两种情况讨论：当9cm为腰长，4cm为底边长时；当9cm为底边长，4cm为腰长时；分别根据三角形三边关系定理判断即可．【解答】解：若9cm为腰长，4cm为底边长，∵9+9＞4，∴能组成三角形，∴它的第三边是9cm；若9cm为底边长，4cm为腰长，∵4+4＜9，∴不能组成三角形；故选：C．5．【答案】B【分析】根据等边对等角和等腰三角形三线合一的性质解答．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵AB＝AC，D是BC中点，∴AD平分∠BAC，AD⊥BC，所以，结论不一定正确的是AB＝2BD．故选：B．6．【答案】B【分析】分情况考虑：当相等的两边是3时或当相等的两边是7时．然后根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，判断能否构成三角形，最后再进一步计算其周长．【解答】解：当相等的两边是3时，3+3＜7，不能组成三角形，应舍去；当相等的两边是7时，能够组成三角形，此时周长是7+7+3＝17．故选：B．7．【答案】B【分析】根据旋转角的定义、旋转的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理进行解答．【解答】解：∵秋千旋转了80°，小刚的位置也从A点运动到了A'点，∴∠AOA′＝80°，OA＝OA′，∴∠OAA'=1故选：B．8．【答案】C【分析】等腰三角形两边的长为3cm和7cm，具体哪条是底边，哪条是腰没有明确说明，因此要分两种情况讨论．【解答】解：①当腰是3cm，底边是7cm时：不满足三角形的三边关系，因此舍去．②当底边是3cm，腰长是7cm时，能构成三角形，则其周长＝3+7+7＝17（cm）．故选：C．9．【答案】D【分析】题中没有指明哪个是底哪个是腰，所以应该分两种情况进行分析．【解答】解：当腰长为4cm时，4+4＝8cm，不符合三角形三边关系，故舍去；当腰长为8cm时，符合三边关系，其周长为8+8+4＝20cm．故该三角形的周长为20cm．故选：D．10．【答案】B【分析】由等角对等边得到AC＝AB＝10，即可求出AD的长．【解答】解：∵∠ABC＝∠C，∴AC＝AB＝10，∴AD＝AC﹣CD＝10﹣2＝8．故选：B．二、填空题（共10小题）11．【答案】10．【分析】根据等腰三角形的性质，得到2cm为腰时无法构成三角形，以4cm为腰时符合题意，即可得到答案．【解答】解：2cm为腰时，三角形三边分别为2cm，2cm，4cm，∵2+2＝4，∴2cm为腰时无法构成三角形；以4cm为腰时，三角形三边分别为2cm，4cm，4cm，2+4+4＝10cm．故答案为：10．12．【答案】20．【分析】由等腰三角形的两个底角相等，三角形内角和定理即可求出等腰三角形的底角度数．【解答】解：140°的角只能是等腰三角形的顶角，∵等腰三角形的两个底角相等，∴等腰三角形的底角度数=1故答案为：20．13．【答案】见试题解答内容【分析】根据等腰三角形的周长公式即可得到结论．【解答】解：∵等腰三角形的底边长为2，腰长为8，∴它的周长＝2+8+8＝18，故答案为：18．14．【答案】70．【分析】利用等腰三角形的性质可得∠B＝∠C，再利用三角形的外角性质可得∠DAC＝∠B+∠C＝140°，然后进行计算即可解答．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠DAC是△ABC的一个外角，∴∠DAC＝∠B+∠C＝140°，∴∠B＝∠C＝70°．故答案为：70．15．【答案】17．【分析】先根据非负数的性质列式求出x、y的值，再分x是腰长与底边两种情况讨论求解．【解答】解：∵|x−3|+y−7∴x﹣3＝0，y﹣7＝0，∴x＝3，y＝7，∵以x，y的值为两边长的等腰三角形，∴若以x的值为腰长则有：3+3＜7，构不成三角形，故排除，∴等腰三角形的腰长为7，底边长为3，故此三角形的周长为：7+7+3＝17，故答案为：17．16．【答案】40°或100°．【分析】已知给出了等腰三角形的一个内角的度数，但没有明确这个内角是顶角还是底角，因此要分类讨论．【解答】解：（1）若等腰三角形一个底角为40°，顶角为180°﹣40°﹣40°＝100°；（2）等腰三角形的顶角为40°．因此这个等腰三角形的顶角的度数为40°或100°．故答案为：40°或100°．17．【答案】12cm．【分析】分两种情况，由三角形三边关系定理判定等腰三角形的腰长是5cm，于是得到答案．【解答】解：如果等腰三角形的腰长是2cm，2+2＜5，不满足三角形三边关系定理，如果等腰三角形的腰长是5cm，5+2＞5，满足三角形三边关系定理，∴△ABC的周长是5+5+2＝12（cm）．故答案为：12cm．18．【答案】见试题解答内容【分析】分7cm是腰长与底边两种情况讨论求解．【解答】解：①7cm是腰长时，三角形的三边分别为7cm、7cm、15cm，∵7+7＝14＜15，∴不能组成三角形，②7cm是底边时，三角形的三边分别为7cm、15cm、15cm，能组成三角形，周长＝7+15+15＝37cm，综上所述，它的周长是37cm．故答案为：37cm．19．【答案】6．【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AE＝BE，然后求出△BCE的周长＝AC+BC，然后代入数据进行计算即可得解．【解答】解：∵DE是线段AB的垂直平分线，∴AE＝BE，∵△BCE的周长等于16，∴△BCE的周长＝BE+CE+BC＝AE+CE+BC＝AC+BC＝16，∵AB＝10，∴BC＝16﹣10＝6，故答案为：6．20．【答案】见试题解答内容【分析】根据等腰三角形的性质，分两种情况：①当腰长为6时，②当腰长为2时，解答出即可．【解答】解：根据题意，①当腰长为6时，周长＝6+6+2＝14；②当腰长为2时，6，2，2不能组成三角形；故答案为：14．三、解答题（共6小题）21．【答案】见试题解答内容【分析】由AB＝AC，AD为中线，利用三线合一得到AD是角平分线，利用SAS得到△ABP与△ACP全等，利用全等三角形对应角相等即可得证．【解答】解：∵△ABC中，AB＝AC，AD为BC边的中线，∴AD是角平分线，∴∠BAP＝∠CAP，在△ABP与△ACP中，AB=AC∠BAP=∠CAP∴△ABP≌△ACP（SAS），∴∠ABP＝∠ACP．22．【答案】见试题解答内容【分析】根据三角形的内角和定理与∠C＝∠ABC＝2∠A，即可求得△ABC三个内角的度数，再根据直角三角形的两个锐角互余求得∠DBC的度数．【解答】解：∵∠C＝∠ABC＝2∠A，∴∠C+∠ABC+∠A＝5∠A＝180°，∴∠A＝36°．则∠C＝∠ABC＝2∠A＝72°．又BD是AC边上的高，则∠DBC＝90°﹣∠C＝18°．23．【答案】5．【分析】根据等腰三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵△ABC是等腰三角形，∴BC＝AB＝5或BC＝AC＝2，∵2+2＜5，不能构成三角形，∴BC的长为5．24．【答案】∠BAD＝42°，BD＝5cm．【分析】由等腰三角形的性质推出AD⊥BC，BD=12BC＝5cm，由直角三角形的性质得到∠BAD＝90°﹣∠【解答】解：∵△ABC是等腰三角形，AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC，BD=12∴∠ADB＝90°，∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣48°＝42°，∵BC＝10cm，∴BD＝5cm．25．【答案】见试题解答内容【分析】先延长BP，交AC于E，根据已知条件、结合ASA易证△ABP≌△AEP，从而有BP＝PE，AE＝AB，∠AEB＝∠ABE，易求BE＝4，AE＝5，那么CE＝4，于是可知△BCE是等腰三角形，那么∠EBC＝∠C，结合三角形外角性质可证∠ABE＝2∠C．【解答】证明：延长BP，交AC于E，∵AD平分∠BAC，BP⊥AD，∴∠BAP＝∠EAP，∠APB＝∠APE，在△