2026年中考数学考点复习：函数与平面直角坐标系【十大题型】（学生版+详解版）

专题11函数与平面直角坐标系【十大题型】

【题型1坐标系内点的坐标特征】................................................................2

【题型2图形变换与坐标】.......................................................................2

【题型3探索点的坐标规律】.....................................................................3

【题型4与图形面积相关的存在性问题】..........................................................4

【题型5函数的概念辨析】.......................................................................6

【题型6求自变量的取值范围】..................................................................7

【题型7根据实际问题列函数解析式】............................................................8

【题型8函数图象的识别】.......................................................................9

【题型9从函数图象中获取信息】................................................................10

【题型10动点问题的函数图象】..................................................................13

，举一反三

【知识点函数与平面直角坐标系】

1.坐标与象限

定义1：我们把有顺序的两个数。与。所组成的数对，叫做有序数对，记作（。，“）。

定义2：平面直角坐标系即在平面内画G相垂直，原点重合的两条数轴。水平的数轴称为x轴或横轴，

取向右方向为正方向；竖直的数轴称为），轴或纵轴，取向上方向为正方向。两坐标轴的交点为平面直角坐

标系的原点。

建立平面直角坐标系后，坐标平面被两条坐标轴分成了四个部分，每个部分称为象限，分别叫做第一

象限.第二象限.第三象限.第四象限，坐标轴上的点不属于任何象限。

2.函数与图象

定义1：在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量。

定义2：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和），，并且对于％的每一个确定的值，＞都有

唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是X的函数。如果当下。时，y=b,那么〃叫做当自

变量的值为。时的函数值。

定义3：一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横.纵坐标，那么坐

标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.

定义4：用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法，这种式子叫

做函数的解析式。

表示函数的方法：解析式法.列表法和图象法。解析式法可以明显地表示对应规律；列表法直接给出部

分函数值；图象法能直观地表示变化趋势。

画函数图象的方法——描点法：

第1步，列表。表中给出一弊自变量的值及其对应的函数值；

第2步，描点。在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标.相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对

应的各点；

第3步，连线。按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起来。

【题型1坐标系内点的坐标特征】

【例1】(2025•山东・中考真题)在平面直角坐标系的第二象限内有一点尸，点尸到x轴的距离为4,至心，轴

的距离为5,则点P的坐标是()

A.(4,-5)B.(5,-4)C.(-4,5)D.(-5,4)

【变式1・1】(2025・青海・统考中考真题)在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是(-2,-1),若4B〃y轴,

且？18=9,则点B的坐标是.

【变式1-2](2025・新疆・统考中考真题)在平面直角坐标系中有五个点，分别是4(1,2),8(-3,4),C(-2,-3),

D(4,3),E(2,-3),从中任选一个点恰好在第一象限的概率是.

【变式1-3](2025•江苏・中考真题)已知点A(2,0)、点B(一3())、点C(0,1),以A、B、C三点

为顶点画平行四边形.则第四个顶点不可能在

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【题型2图形变换与坐标】

【例2】(2025•吉林松原•校联考一模)如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点4的坐标为力(1,0)，等腰直

角三角形为8C的边4B在x轴的正半轴上，/.ABC=90°,点8在点4的右侧，点C在第一象限将△4BC绕点

A按逆时针方向旋转75。，如果点。的对应点E恰好落在)，轴的正半轴上，那么边4B的长为.

【变式2-1］（2025•山东滨州,统考二模）在平面直角坐标系中，点P（4,-2）关于），轴的对称点的坐标为（）

A.(4,2)B.(-4,2)C.(-4,-2)D.(-2,4)

【变式2-2］（2025•广东深圳・中考真题）已知点P（a+1,2a—3）关于x轴的对称点在第一象限，则a的取值

范围是（）

A.a<-lB.-l<a<|C.D.a>!

【变式2-3］（2U25•湖北鄂州•校考二模）如图，将一矩形O/MC'放在平面直角坐标系中，。为思点，点从

C分别在x轴、），轴上，点A为（8,6）,点。为线段OC上一动点.将△40。沿8。翻折，点。落在点七

处，连接CE.当CE的长最小时，点。的坐标为.

【题型3探索点的坐标规律】

【例3】（2025•辽宁阜新•统考中考真题）如图，四边形04BG是正方形，曲线G。2c3c4c5…叫作“正方形的

渐开线“，其中GQ，C2c3，C3c4,C4c5，…的圆心依次按O,A,B,Q循环.当。4=1时，点0023的坐

A.(-1,-2022)B.(-2023,1)C.(-1,-2023)D.(2022,0)

【变式3-1](2025•江苏南京•统考中考真题)如图，在平面直角坐标系，横、纵坐标均为整数的点案如下规

律依序排列:(0,0),(1,0),(0,1),(2,0),(1,1),(0,2),(3,0),(2,1),(1,2),(0,3),(4,0),(3,1),(2,2),

(1,3),…按这个规律，则(6,7)是第个点.

(1)求△48M的面积；

(2)在x轴上求一点P,使得△4Mp的面积与4力BM的面积相等；

(3)在y轴上存在使△BMP的面积与44BM的面积相等的P点，请直接写出点P的坐标.

【变式4-1](2025•河北石家庄•校联考模拟预测)如图，在直角坐标系中，已知4(0,Q)、8(瓦0)、C(b,c)三

(2)如果在第二象限内有一点P(m,1),请用含m的式子表示四边形2180P的面积；

(3)在(2)的条件下，是否存在点P,使四边形力BOP的面积与△ABC的面枳相等？若存在，求出点夕的坐

标，若不存在，请说明理由？

【变式4-2](2025•江苏常州•模拟预测)如图1,在平面直角坐标系中，点A,8的坐标分别为A(a、0),

BCb,0),且。，1满足|a+6|+，3a—2匕+26=0,现将线段4B先向上平移4个单位长度，再向右平移6

个单位长度得到线段CD，其中点A对应点为C,点B对应点为。，连接AC,BD.

⑴请直接写出4,8两点的坐标；

(2)如图2,点M是线段AC上的一个动点，点N是线段CO的一个定点，连接MMMO,当点M在线段AC

上移动时（不与A,C重合），探究NQNM,NOMN,NM05之间的数量关系，并说明理由；

（3）在坐标轴上是否存在点P,使三角形p3c的面枳与三角形A3。的面积相等？若存在，请求出点P的坐标;

若不存在，试说明理由.

【变式4-3]（2025・湖北襄阳•模拟预测）在直角坐标系中，已知点力、B的坐标是（。,0）（40）,Q,b满足方程

（1）求4、B、C三点的坐标；

（2）是齿存在点使S“AB=；S-BC?若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若点C沿％轴负半轴方向以每秒1个单位长度平移至点D,当运动时间t为多少秒时、四边形4BCD的面积S为

15个平方单位？求出此时点D的坐标.

（4）连接4D、C0,若尸为C8上一动点（不与C、8重合）连接DP、AP,探究点P在运动过程中，乙CDP、乙BAP、

△OP力之间的数量关系并证明.

【题型5函数的概念辨析】

【例5】（2025•全国♦模拟预测）下面的三个问题中都有两个变量：

①某地手机通话费为a元/min,某人手机话费卡中共有b元，此后话费卡中的余额y与手机通话的时间公

②将水池中的水匀速排出，直至排完，水池中的剩余水量y与排水时间”；

③用长度一定的绳子围成一个等腰三角形，等腰三角形的面积y与腰长工,其中，变量y与变量x之间的函数

关系可以利用如图所示的图像表示的是（）

C.②③D.①②③

【变式5-1]（2025•甘肃兰州•中考真题）下列各曲线中不能表示y是x的函数是（）.

y,

【变式5-2】（2025・广东•统考中考真题）水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为「，则圆周长C与

，・论关系式为C=2irr.下列判断正确的是（）

A.2是变量B.IT是变量C.,•是变量D.C是常量

【变式5-3]（2025・浙江•统考中考真题）图1中的摩天轮可抽象成一个圆，圆上一点离地面的高度y（m）

与旋转时间X（min）之间的关系如图2所示

（i）根据图2填表:

x(min)036812・•・

y(m)•・・

（2）变量y是x的函数吗？为什么？

（3）根据图中的信息，请写出摩天轮的直径.

例m）

【题型6求自变量的取值范围】

【规律方法】函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：

（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；

（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0;

（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负.

【例6】（2025•湖北・统考中考真题）函数y=高+（工一2）。的自变量x的取值范围是（）

A.x>—1B.x>2C.%>-1,且％H2D.%H-1且工工2

【变式6-1]（2025•黑龙江大庆•统考中考真题）函数y=后的自变量工的取值范围是（）

A.%<0B.x*0C.x>0D.x>

【变式6-2]（2025•黑龙江・统考中考真题）在函数y=导中，自变量x的取值范围是.

【变式6-3]（2025•黑龙江・统考中考真题）在函数丫=卷+*中，自变量4的取值范围是.

【题型7根据实际问题列函数解析式】

【例7】（2025•内蒙古呼和浩特・统考中考真题）某超市糯米的价格为5元/千克，端午节推M促销活动：•

次购买的数量不超过2千克时，按原价售出，超过2千克时，超过的部分打8折.若某人付款14元，则他

购买了千克糯米；设某人的付款金额为工元，购买量为y千克，则购买量y关于付款金额的函

数解析式为.

【变式7-1]（2025•辽宁大连•统考中考真题）汽车油箱中有汽油30L,如果不再加油，那么油箱中的油量），

（单位：L）随行驶路程x（单位：km）的增加而减少，平均耗油量为0.1L/km.当03无<300时，），与x

的函数解析式是（）

A.y-O.lxB.y=-O.lx+30C.y—D.y——OAx2+30x

【变式7-2]（2025・山西・统考中考真题）•种弹簧秤最大能称不超过10kg的物体，不挂物体时弹簧的长为

12cm,每挂重1kg物体，弹簧伸长0.5cm.在弹性限度内，挂重后弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量％（kg）

之间的函数关系式为（）

Q

.少I

I-a.U

3

A.y=12—0.5xB.y=12+0.5xC.y=10+0.5xD.y=0.5%

【变式7-3]（2025・四川・统考中考真题）盒中有x枚黑棋和3，枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别.从盒中

随机取出一枚棋子，如果它是黑棋的概率是I则x和），满足的关系式为.

O

【题型8函数图象的识别】

【例8】（2025・四川雅安・统考中考真题）“和谐号”动车从萍乡北站出发，加速行驶一段时间后开始匀速行驶,

过了一段时间后，动车减速到达下一个车站井停靠，乘客上下车后，动车乂加速，一段时间后再次开始匀

速行驶.下列图中可以近假刻画该动车在这段时间内速度变化情况的是（）

【变式8-1]（2025•四川・统考中考真题）向高为10的容器（形状如图）中注水，注满为止，则水深〃与注

【变式8-2]（2025・湖北・统考中考真题）如图，长方体水池内有一无盖圆柱形铁桶，现用水管往铁桶中持续

匀速注水，直到长方体水池有水溢出一会儿为止.设注水时间为（细实线）表示铁桶中水面高度，y2（粗

实线）表示水池中水面高度（铁桶高度低于水池高度，铁桶底面积小于水池底面积的一半，注水前铁桶和

水池内均无水），则为,丫2随时间，变化的函数图象大致为（）

【变式8-3］（2025•山东滨州•统考中考真题）由化学知识可知，用pH表示溶液酸碱性的强弱程度，当pH>7

时溶液呈碱性，当pHV7时溶液呈酸性.若将给定的NaOH溶液加水稀释，那么在下列图象中，能大致反映

NaOH溶液的pH与所加水的体积，之间对应关系的是（）

【题型9从函数图象中获取信息】

【例9】（2025•湖北鄂州•校考模拟预测）某车间的甲、乙两名工人分别同时生产同一种零件，他们一天生产

零件的个数y与生产时间£的关系如图所示.

⑴根据图象填空：

①甲、乙两人中，—先完成一天的生产任务;在生产过程中，因机器故障停止生产时；

②当£=时，甲、乙生产的零件个数相等；

⑵谁在哪•段时间内的生产速度最快，求该段时间内，他每小时生产零件的个数.

【变式9-1］（2025•黑龙江哈尔滨•统考中考真题）一条小船沿直线从A码头向8码头匀速前进，到达8码头后，

停留一段时间，然后原路匀速返回4码头.在整个过程中，这条小船与。码头的距离x（单位：m）与所用时

间t（单位：min）之间的关系如图所示，则这条小船从A码头到B码头的速度和从8码头返回A码头的速度分

A.15m/min,25m/minB.25m/min,15m/min

C.25m/min,30m/minD.30m/min,25m/min

【变式9-2］（2025•辽宁阜新•统考中考真题）德力格尔草原位于彰武县境内，以草场资源丰富，景色优美著

称.今年5月在此举办的“漠上草原欢乐跑”首届马拉松比赛，吸引了千余名国内外选手参加.甲、乙两名选

手同时参加了往返10km（单程5km）的业余组比赛，如果全程保持匀速，甲、乙之间的距离s（km）与甲

所用的时间（h）之间的函数关系如图所示，那么当甲到达终点时，乙距离终点km.

【变式9-3】（2025•北京・统考中考真题）某小组研究了清洗某种含污物品的节约用水策略.部分内容如下.

每次清洗I个单位质量的该种含污物品，清洗前的清洁度均为0.800要求清洗后的清洁度为（）99（）

方案一：采用一次清洗的方式.

结果：当用水量为19个单位质量时，清洗后测得的清洁度为0.990.

方案二：采用两次清洗的方式.

记笫一次用水量为占个单位质量，第二次用水量为小个单位质量，总用水量为（与十小）个单位质量，两次清

洗后测得的清洁度为C记录的部分实验数据如下：

%]11.09.09.07.05.54.53.53.03.02.01.0

%20.81.01.31.92.63.24.34.05.07.111.5

11.810.010.38.98.17.77.87.08.09.112.5

Xi+X2

C0.9900.9890.9900.9900.9900.9900.9900.9880.9900.9900.990

对以上实验数据进行分析，补充完成以下内容.

（I）选出C是0.990的所有数据组,并划“血

（II）通过分析（I）中选出的数据，发现可以用函数刻画第一次用水量均和总用水量必+次之间的关系，

在平面直角坐标系xOy中画出此函数的图象；

13

12

II

10

9

8

7

6

5

3

2

O12345678910111213x

结果：结合实验数据，利用所画的函数图象可以推断，当第一次用水量约为个单位质量（精确到个

位）时，总用水量最小.

根据以上实验数据和结果，解决下列问题:

（1）当采用两次清洗的方式并使总用水量最小时，与采用一次清洗的方式相比、可节水约个单位质

量（结果保留小数点后一位）；

（2）当采用两次清洗的方式时，若第一次用水量为6个单位质量，总用水量为7.5个单位质量，则清洗后的

清洁度C0.990（填“>'=”或“v"）.

【题型10动点问题的函数图象】

【例10】（2025.四川攀枝花.统考中考真题）如图，正方形"CO的边长为4,动点P从点2出发沿折线做

匀速运动，设点P运动的路程为，△2力8的面积为〃下列图象能表示y与X之间函数关系的是（）

【变式10-1](2025・内蒙古•统考口考真题)将矩形纸板剪掉一个小矩形后剩余部分如图1所示，动点尸从

点A出发，沿路径力tBtCtDtEt尸匀速运动，速度为lcm/s,点P到达终点产后停止运动，AAPF

的面积S(cm2)(SH0)与点P运动的时间£(s)的关系如图2所示，根据图象获取了以下的信息：

①4F=5cm；

②a=6；

③点P从点E运动到点F需要10s；

④矩形纸板裁剪前后周长均为34cm.

A.4个B.3个C.2个D.1个

【变式10-2】(2025•江苏,统考中考真题)折返跑是一种跑步的形式.如图，在一定距离的两个标志物①、

②之间，从①开始，沿直线跑至②处，用手碰到②后立即转身沿直线跑至①处，用手碰到①后继续转身跑

至②处，循环进行，全程无需绕过标志物.小华练习了一次2x50m的折返跑，用时18s在整个过程中，他

的速度大小v(m/s)随时间t(s)变化的图像可能是()

一

B.018,

r

r~\~^一

D.0

【变式10-31（2025・山东烟台•统考中考真题）如图1,在△48C中，动点尸从点力出发沿折线48->8。->。4匀

速运动至点4后停止.设点户的运动路程为，线段/1P的长度为y：图2是y与％的函数关系的大致图象，其中

点广为曲线DE的最低点，WU48C的高CG的长为.

图I图2

专题11函数与平面直角坐标系【十大题型】

【题型1坐标系内点的坐标特征】................................................................2

【题型2图形变换与坐标】.......................................................................2

【撅型3探索点的坐标规律】....................................................................3

【题型4与图形面积相关的存在性问题】..........................................................4

【题型5函数的概念辨析】.......................................................................6

【题型6求自变量的取值范围】..................................................................7

【题型7根据实际问题列函数解析式】............................................................8

【题型8函数图象的识别】.......................................................................9

【题型9从函数图象中获取信息】................................................................10

【题型10动点问题的函数图象】..................................................................13

►举一反三

【知识点函数与平面直角坐标系】

L坐标与象限

定义1：我们把有顺序的两个数。与〃所组成的数对，叫做有序数对，记作（。，力）。

定义2：平面直角坐标系即在平面内画互相垂直，原点重合的两条数轴。水平的数釉称为x轴或横轴，

取向右方向为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上方向为正方向。两坐标轴的交点为平面直角坐

标系的原点。

建立平面直角坐标系后，坐标平面被两条坐标轴分成了四人部分，每个部分称为象限，分别叫做第一

象限.第二象限.第三象限.第四象限，坐标轴上的点不属于任何象限。

2.函数与图象

定义1：在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量。

定义2；一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y,并且对于x的每一个确定的值，），都有

唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。如果当下。时.，y=b,那么。叫做当自

变量的值为〃时的函数值。

定义3：一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横.纵坐标，那么坐

标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象。

定义4：用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法,这种式子叫

做函数的解析式。

表示函数的方法：解析式法.列表法和图象法。解析式法可以明显地表示对•应规律；列表法直接给出部

分函数值；图象法能直观地表示变化趋势。

画函数图象的方法——描点法：

第I步，列表。表中给出一些自变量的值及其对应的函数值；

第2步，描点。在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标.用应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对

应的各点；

第3步，连线。按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起来。

【题型1坐标系内点的坐标特征】

【例1】(2025•山东・中考真题)在平面直角坐标系的第二象限内有一点P,点夕到x轴的距离为4,到y轴

的距离为5,则点尸的坐标是()

A.(4,-5)B.(5,-4)C.(-4,5)D.(-5,4)

【答案】D

【分析】设P点坐标为(％y),根据第二象限点的横纵坐标的符号，求解即可.

【详解】解：设P点坐标为a,y),

•・•点、P在第二象限内，

<0,y>0,

■:点、P到x轴的距离为4,到y轴的距离为5,

|y|=4,|x|=5»

•**>'=4,x=-5,

即P点坐标为(一5,4),

故选：D

【点睛】本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对

值是解题的关键.

【变式1-1](2025・青海・统考中考真题)在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是(-2,-1),若4B〃y轴,

且48=9,则点8的坐标是.

【答案】(-2,8)或(-2,-10)

【分析】由题意，设点8的坐标为(2y),则由48:9可得|y-(-1)|=9,解方程即可求得)，的值，从而可

得点8的坐标.

【详解】轴

二设点3的坐标为(-2,y)

•；AB=9

・・・|y_(_l)|=9

解得：尸8或产一10

・•・点B的坐标为(-2,8)或(一2,—10)

故答案为：(-2,8)或(一2,—10)

【点睛】本题考查了平面直角坐标系求点的坐标，解含绝对值方程，关键是抓住平行于坐标轴的线段长度只

与两点的横坐标或纵坐标有关，易错点则是考虑不周，忽略其中一种情况.

【变式1-2](2025・新疆・统考中考真题)在平面直角坐标系中有五个点，分别是做1,2),8(-3,4),。(-2,-3),

。(4,3),E(2,-3),从中任选一个点恰好在第一象限的概率是.

【答案】|

【分析】根据第一象限的点的特征，可得共有2个点在第一象限，进而根据概率公式即可求解..

【详解】解：在平面直角坐标系中有五个点,分别是4(1,2),8(-3,4),。(一2,-3),£)(4,3),E(2,—3),

其中4(1,2),0(4,3),在第一象限，共2个点，

••・从中任选一个点恰好在第一象限的概率是会

故答案为：|.

【点睛】本题考查了概率公式求概率，第一象限点的坐标特征，熟练掌握以上知识是解题的关键.

【变式1-3](2025•江苏・中考真题)已知点A(2,0)、点B(—(0)、点C(0,1),以A、B、C三点

为顶点画平行四边形.则第四个顶点不可能在

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】C

【详解】以AB为一边时，CD的长等于AB=2-(-1)=2/点D的坐标可以为啰，1)或；-1)：

以BC为对角线时，点在第四象限.坐标为(l1,-1).，不在第三象限.故选C.

【题型2图形变换与坐标】

【例2】(2025•吉林松原•校联考一•模)如图所示，在平面直角坐标系％Oy中，点A的坐标为4(1,0),等腰直

角三角形力8c的边AB在x轴的正半轴上，4ABC=90。，点8在点A的右侧，点C在第一象限将△48C绕点

A按逆时针方向旋转75。，如果点。的对应点E恰好落在)，轴的正半轴上，那么边48的长为.

【答案】V2

【分析】依据旋转的性质，即可得至此CME=60°,再根据。4=1/EOA=90°,即可得出4E=2,4C=2.最

后在RtaABC中，可得到力8=BC=&.

【详解】解：依题可知，LBAC=45°,Z.CAE=75%AC=AE,

：.LOAE=60°,

・"OEA=30°,

在Rt△4OE中，04=1,Z.EOA=90°,WEA=30°,

:.AE=2,

AC=2.

...在RtZkABC中，AB=BC=&.

故答案为：V2.

【点睛】本题考查了坐标与图形变化，等腰直角三角形的性质以及含30。角的直角三角形的综合运用，图形

或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标.

【变式2-1】(2025•山东滨州・统考二模)在平面直角坐标系中，点P(4,-2)关于y轴的对称点的坐标为()

A.(4,2)B.(-4,2)C.(-4,-2)D.(-2,4)

【答案】C

【分析】直接利用关于)，轴对称点的性质得出答案.

【详解】解：点尸(4,一2)关于y轴对称的点的坐标是：(-4,-2).

故选：C.

【点睛】此题主要考查了关于y轴对■称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号是解题关键.

【变式2-2](2025•广东深圳・中考真题)已知点P(a+L2a—3)关于x轴的对称点在第一象限,则a的取值

范围是()

A.a<-1B.-1<a<-C.--<a<1D.a>-

222

【答案】B

【详解】解：•・•点P（a+l,2a-3）关于x轴的对称点在第一象限,

・••点P在第四象限.

.a+1>0@

T2a-3<0②，

解不等式①得，a>-l,

解不等式②得，aV；,

所以不等式组的解集是一1<a<|.

故选:B.

【变式2-3]（2025•湖北鄂州•校考二模）如图，将一矩形084。放在平面直角坐标系中，O为原点，点8,

。分别在x轴、），轴上，点A为（8,6）,点。为线段OC上一动点.将△8。。沿8。翻折，点O落在点E

处，连接CK.当CK的长最小时，点。的坐标为

【分析】当C、E、A共线时，EC最小，此时EGAGAGKCda设"）=。氐x,在/?/△1中利用勾股

定理，列出方程即可解决问题.

【详解】解・：如图:

当C、E、8共线时，EC最小，MEC=BC-BE=BC-BO,

在At/kOBC中，Z,B0C=90°,0B=8,0C=6

:.BC=J"2+。*依+62=10

-EC的最小值=808010-8=2

设OD=DE=x

在RmCOE中，•••乙CED=90°,CD=6-x,DE=x,CE=2

(6-x)2=x2+22

解得：

•••点。的坐标为：(0,[).

故答案为：(0,1).

【点睛】本题考查矩形的性质、坐标与图形性质、翻折变换等知以，解题的关键是正确寻找点E位置，学会

利用勾股定理构建方程解决问题，属于中考常考题型.

【题型3探索点的坐标规律】

【例3】(2025•辽宁阜新•统考中考真题)如图，四边形OABG是正方形，曲线C】C2c3c4c5…叫作”正方形的

渐开线“，其中GQ，C2c3,C3c4,C4C5，…的圆心依次按O,A,B,Q循环.当。4=1时，点C2023的坐

标是()

A.(-1,-2022)B.(-2023,1)C.(-1,-2023)D.(2022,0)

【答案】A

【分析】由题得点的位置每4个一循环，经计算得出0023在第三象限，与Q，。7,。11，…符合同一规律，

探究出C3,c7,G1，…的规律即可.

【详解】解:由图得G(0,1),C2(l,0),c3(-l,-2),C4(-4,0),C5(0,5),C6(5,0),C7(-l,-

6),...

点C的位置每4个一循环，

2023=505x4+3,

，Go23在第三象限，与。3，C7,G1，…

符合规律(一1,一九+1),

・・・。2023坐标为(一1，-2022).

故选：A.

【点睛】本题考查了点的坐标的规律的探究，理解题意求出坐标是解题关键.

【变式3-1](2025•江苏南京・统考中考真题)如图，在平面直角坐标系，横、纵坐标均为整数的点案如下规

律依序排列：(0,0),(1,0),(0,1),(2,0),(1,1),(0,2),(3,0),(2,1),(1,2),(0,3),(4,0),(3,1),(2,2),

(1,3),…按这个规律，则(6,7)是第个点.

【答案】99

【分析】先根据点的坐标，找出规律，再计算求解.

【详解】解：横纵坐标和是0的有1个点，

横纵坐标和是I的有2个点，

横纵坐标和是2的有3个点，

横纵坐标和是3的有4个点，

横纵坐标和是几的有(71+1)个点，

6+7=13,

•••1+2+……+12+13=卜13x(13+1)=91,

・••横纵坐标和是13的有14点,分别为：(13,0)、(12,1)、(11,2)、(10,3)、(9,4)、(8,5)、(7,6)、(6,7)、(5,8)、

(4,9)、(3,10)、(2,1))、(1,12)、(0,13)、

•••(6,7)是第91+8=99个点，

故答案为：99.

【点睛】本题考杳了点的坐标，找到坐标的排列规律是解题的关健.

【变式3-2】(2025•山东烟台・统考中考真题)如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为1个单

位长度，以点?为位似中心作正方形。为公&，正方形4As4,…，按此规律作下去，所作正方形的顶点

均在格点上，其中正方形41142冬的顶点坐标分别为0（一3,0）,%（-2,1）,力2（-1，0），43（-2,-1），则顶点4oo

的坐标为（）

A.（31.34）B.（31,-34）C.（32,35）D.（32,0）

【答案】A

【分析】根据图象可得移动3次完成一个循环，从而可得出点坐标的规律A3M2（几-3,n）.

【详解】解：：做一2,1）,4（-1，2）,小（0，3）,“I,4）,

••・43〃一2（九一3，n）,

7100=3x34-2,则ri=34,

••,"ioo（31，34）,

故选:A.

【点睛】本题考查了点的规律变化，解答本题的关键是仔细观察图象，得到点的变化规律.

【变式3-3］（2025•山东泰安・统考中考真题）已知，△。为必公心人力5,△力6公力8,……都是边长为2的等边

二角形，按下图所不摆放.点力2,，3,45,都在X轴正半轴上，且42力3=力546=力849==1，则点力2023

的坐标是.

【答案】（2023,75）

【分析】先确定前几个点的坐标，然后归纳规律，按规律解答即可.

【详解】解：由图形可得：42（2,0）,43（3,0）,45（5,0）,46（6,0）,&（8,0）,49（9,0）,

如图：过为作481x轴，

•・N。/1遇2，

：.0B=cos60°X。4i=1,A1B=sin60°x0Ar=V3,

.,/c，

同理：4（4,一⑹，47（7,⑹Jio（lO,一⑹，

，点&的横坐标为1,点%的横坐标为2,点&的横坐标为3...........纵坐标三个一循环，

，“2023的横坐标为2025»

••,2023+3=674……1,674为偶数，

工点42。23在第一象限，

**,^2023（2023,V3）.

故答案为（2023,75）.

【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、解直角三角形、坐标规律等知识点，先求出几个点、发现规律

是解答本题的关键.

【题型4与图形面积相关的存在性问题】

【例4】（2025・湖北孝感•模拟预测）如图在平面直角坐标系中,已知力（a,0）,8®0）,-2）,

其中a、匕满足|a+1|+（b—3）2=0.

（1）求△A8M的面积；

（2）在X轴上求一点P,使得△4Mp的面积与^ABM的面积相等;

(3)在y轴上存在使△BMP的面积与△力的面积相等的P点，请直接写出点P的坐标.

【答案】⑴SMBM=4；

(2)P(-5,0)；

(3)点P的坐标为(0,3或(0，-7)-

【分析】(1)先根据非负性的性质求出。的值，再根据二角形面积公式求解即可；

(2)设点P(p,0),根据三角形面积公式进行求解即可得到答案；

(3)设BM交)，轴于点。，设P(0,q),D(0,d),先利用面积法求出d=—g.则D(0,—g),再根据SMBM=

SWP，得到：x|q—(—9|x[3—(—1.5)]=4,由此即可得到答案.

【详解】⑴解:L|a+l|+S-3)2=0,且|a+l|N0,(6-3)2-0,

a+1=0,b—3=0,

•a=-1,b=3,

0),B(3,0),

••・5MBM=•Ml=1X4X2=4；

(2)解：设点P(p,0).

由题意得S—Mp=$x|—1—p|x2=4.

/.p=3或p=-5.

当p=3时，△4MP与△4BM重合，不合题意，舍去,

・,•点P(-5,0)：

(3)解：如图②，设8M交)，轴于点Q,设P(0,q),D(0,d).

二•(-yc)=|x3x2=ix[3-(-1.5)]x(-d)=3,

AD(O,一§.

「SAABM=S^BMP，

•《PD•(xB-xM)=4,

x|q—(—g)|x[3—(—1.5)]=4,

解得q=g或

•••点P的坐标为(0,§或(o，-v)-

【点睛】本题主要考查了坐标与图形，三角形面积，绝对值方程，非负数的性质，解题的关在于能够熟练学

握非负数的性质，求出。、b的值.

【变式4-1](2025•河北石家庄•校联考模拟预测)如图，在直角坐标系中，己知力(0,«)、。(瓦0)、C(b,c)二

2

点，其中〃、。，c满足关系式|Q—2|+(b—3)+7c—4=0.

⑴求a、b、c的值；

(2)如果在第二象限内有一点P(机,1),请用含m的式子表示四边形4B0P的面积；

(3)在(2)的条件下，是否存在点P,使四边形力80P的面积与A4BC的面积相等？若存在，求出点。的坐

标，若不存在，请说明理由？

【答案】(l)a=2,b=3,c=4

(2)3—m

⑶存在点P(—3,1)使S四边形'Bop=SM8c

【分析】(1)用非负数的性质求解；

(2)把四边形480P的面积看成两个三角形面积和，用血来表示；

(3)先求出△ABC的面积，根据题意，列出m方程即可解决问题.

【详解】(1)解：v|a-2|4-(/?-3)2+Vc-4=0»

•••a-2=0,b-3=0,c—4=0,

•••a=2,b=3,c=4；

(2)解：SAAB。=^a^=|x2x3=3,

SMPO=1x2x(-m)=-m,

S四边形480P=S&ABO+SMP。=3+(—m)=3—

即5四边形ABOP=3_m；

(3)解：vS^ABC=-2cb=-2x4x3=6,

vS四边形4B0P=SbABC

•••3—m=6,

则机=一3,

・••存在点P(—3,1)使S四边形A80P=S&ABC，

【点睛】本题考查了四边形综合题，属于掌握非负数的性质，三弟形及四边形面积的求法，解决本题的关键

是根据非负数的性质求出a,b,c.

【变式4-2](2025•江苏常州・模拟预测)如图1,在平面直角坐标系中，点4,4的坐标分别为4(心0),

B(b,0),且。，b满足|a+6|+J3a—2匕+26=0,现将线段4B先向上平移4个单位长度，耳向右平移6

个单位长度得到线段CQ,其中点A对应点为C,点8对应点为Q,连接AC,BD.

(1)请直接写出A,4两点的坐标；

(2)如图2,点M是线段4c上的一个动点，点N是线段CO的一个定点，连接MMMO,当点M在线段AC

上移动时(不与A,C重合)，探究NQMW,ZOMN,N/WO8之间的数量关系，并说明理由；

(3)在坐标轴上是否存在点P,使三角形P8C的面积与三角形的面积相等？若存在，请求出点P的坐标；

若不存在，试说明理由.

【答案】(1)4(-6,0),B(4,0)

(2)ZDNM+ZOMN+360。,理由见解析

(3)学在点尸，使三角形P8C的面枳与三角形A3Q的面积相等，点户的坐标为(14,0)或(・6,0)或(0,

14)或(0,-6)

【分析】(1)根据非负数的性质求出a,b,即可求出答案；

(2)过点M作直线ME||AB,则乙。ME+ZMOB=180。，再判断出乙CNM+/NME=180。，即可得出结论;

(3)先求出A48D的面积，再分点P在x轴和y轴上两种情况，建立方程求解，即可得出答案.

【详解】(1)解：v\a+6\+V3G-26+26=0,

••・a+6=0,3a—2b4-26=0,

：♦a=-6,b=4,

/1(-6,0),3(4,0)：

(2)解：Z.DNM+“MN+乙MOB=360°,

理由：如图2,过点M作直线MEIIAB,

图2

•••Z.OME+乙MOB=180°,

•••线段CD由线段48平移得到，

:.AB||CD,

ME||CD,

二Z.DNM+乙NME=180°,

二乙DNM+乙OMN+乙MOB=乙DNM+乙NME+"ME+乙MOB

=180°+180°

=360°；

(3)解：如图,依题意可得4(-6,0),8(4,0),6(0,4),0(10,4),

图3

S&ABD==1x10x4=20,

①当点P在x轴上时，设点P(m,0),

则SAPBC=^X|TH-4|X4=2\m-4|,

•••S'PBC=S/UBD»

•••m=14或一6；

②当点P在y轴上时，设点P(0,九)则

SAPBC=|n-4|x4=2|n-4|,

VS'PBC=SAABD,

n=14或一6,

综上所述，存在点P，使三角形PBC的面积与三角形ABD的面积相等，点P的坐标为(14,0)或(-6,0)或(0,14)

或(0,-6).

【点睛】本题考查了非负数的性质，平行线的性质，三角形的面积公式，解题的关键是需要用分类讨论的思

想进行求解.

【变式4-3】(2025・湖北褰阳•模拟预测)在直角坐标系中，已知点/、B的坐标是(Q,0)(b,0),a,匕满足方程

夕

M2a+b=—5为轴正半轴上~■点，且

(3a-2b=-11CySAABC=6.

(1)求力、B、C三点的坐标；

(2)是否存在点使SAPAB=?SMBC?若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由；

(3)若点C沿工轴负半轴方向以每秒1个单位长度平移至点D,当运动时间£为多少秒时，四边形48CD的面积S为

15个平方单位？求出此时点。的坐标.

(4)连接A。、CD,若P为CB上一动点(不与。、8重合)连接DP、AP,探究点P在运动过程中，乙CDP、乙BAP、

N"匕4之间的数量关系并证明.

【答案】(1)4(一3,0),8(1,0),C(0,3)

(2)存在,P(l,l)或(一1,一1)

(3)片6,点。的坐标为(-6,3)

(4)LCDP+^BAP=Z.DPA,证明见解析

【分析】(1)解二元一次方程组求得的坐标，根据C为y轴正