第1章 勾股定理（基础篇）-2023学年八年级数学上册阶段性复习（北师大版）

第1章勾股定理（基础篇）

、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1.下面各组数中，是勾股数的是（）

A.9,16,25B.0.3,0.4,0.5C.1,3,2D.7,24,25

2.如图，在4x4的正方形网格中（每个小正方形边长均为1）,点A,B,C在格点

上，连接AB,AC,BC,则AABC的形状是（）

B

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法确定

3.已知，如图长方形ABC。中，AB=3cm,AD=9cm,将此长方形折叠，使点。与点2

重合，折痕为ER则BE的长为（）

A.6cmB.9cmC.4cmD.5cm

4.如图，若圆柱的底面周长是14cm,高是48cm,从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝

线到顶部5处，则这条丝线的最小长度是（）

A.49cmB.50cmC.54cmD.64cm

5.如图，直线上有三个正方形，若a,c的面积分别为5和H,则b的面积为（）

A.55B.16C.6D.4e

6.如图，这是用面积为18的四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”.如果大正方形

的边长为9,那么小正方形的边长为（）

C.3D.4

7.《九章算术》是我国古代数学名著，记载着这样一个问题：“今有池方一丈，葭生其

中央，出水一尺.引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何？”大意是：有一个水池，水

面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺.如果把这根

芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面.水的深度与这根芦苇的长度分别

是多少？设芦苇的长度为x尺，则可列方程为（）

A.x2+52=（x+1）2B.x2+102=（x+1）2

C.x2-52=（x-1）2D.x2-102=（x-1）2

8.我图古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有方池一丈，葭生其中央，

出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深几何？（注：丈、尺是长度单位，1丈=10尺）

意思为：如图，有一个边长为1丈的正方形水池，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1

尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的岸边，它的顶端恰好碰到池边的水面.则这根芦苇的长

度是（）

10尺C.12尺D.13尺

9.如图，一个梯子长2.5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B离墙角C的距

离为1.5米，梯子滑动后停在DE的位置上了，测得出）长为0.9米，则梯子顶端A下滑（）.

A.0.9米B.1.3米C.1.5米D.2米

MeEDN

B

A.2B.3.3C.2.5D.2.8

二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）

11.中，三边分别是a,b,c,斜边片3,则次+62+C2的值为.

12.如图，在△ABC中，NACB=90。，以它的三边为边分别向外作正方形，面积分别

为Si,S2,S3,己知S/=5,$2=12,则S3=.

13.已知AABC中，AB=6cm,BC=8cm,AC=10cm,则AABC的面积是cm2.

14.勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”.观察下列

勾股数：3,4,5；5,12,13；7,24,25；这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股

相差为1,柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6,8,10；8,15,

17；若此类勾股数的勾为2机（机之3,加为正整数），则其弦是（结果用含机的

式子表示）.

15.如图，在RdABC中，ZC=90°,若A8=7,则正方形ADEC和正方形BCFG的面

积和是•

16.明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西

江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地……”翻译成现代

文为：如图，秋千绳索OA悬挂于。点，静止时竖直下垂，A点为踏板位置，踏板离地高度

为一尺（AC=1尺）.将它往前推进两步（班，0C于点E,且质=10尺），踏板升高到点

B位置,此时踏板离地五尺（8O=CE=5尺），则秋下绳索（OA或。8）长______尺.

18.一根直立于水中的芦节（BD）高出水面（AC）2米，一阵风吹来，芦苇的顶端。

恰好到达水面的C处，且C到80的距离AC=6米，水的深度（A8）为米

三、解答题（本大题共6小题，共60分）

19.（8分）如图，在中，ZC=90°,AB=10cm,AC=6cm,动点尸从点B

出发，以2cm/秒的速度沿3c移动至点C,设运动时间为秒.

（1）求8C的长；

⑵在点P的运动过程中，是否存在某个时刻t,使得点尸到边A3的距离与点P到点C

的距离相等？若存在，求出f的值；若不存在，请说明理由.

20.（8分）观察下列勾股数3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；...；a、b、

c.根据你发现的规律，回答下列问题：

21.（10分）如图①，是两个全等的直角三角形硬纸板（直角边分别为a,b,斜边为c）.

（1）用这样的两个三角形构造成如图②的图形，请利用这个图形验证勾股定理.

（2）假设图①中的直角三角形有若干个，请运用图①中所给的直角三角形拼出另一种能

验证勾股定理的图形，画出拼后的图形并利用这个图形验证勾股定理.

23.(10分)有一台风中心沿东西方向A2由点A行驶向点2,已知点C为一海港，且

点C与直线AB上两点A、B的距离分别为300km和400km,又AB=500km,以台风中心为

圆心周围250km以内为受影响区域.

(1)海港C会受台风影响吗？为什么？

(2)若台风的速度为20km/h,台风影响该海港持续的时间有多长？

AB

参考答案

1.D

【分析】

B.V0.3,0.4,0.5不是正整数，，不是勾股数，不符合题意；

故选：D.

【点拨】本题主要考查了勾股数的定义，熟练掌握相关概念是解题关键.

2.B

【分析】

根据勾股定理求出AB、BC、AC,再根据勾股定理的逆定理计算可得出结论.

.,.ZfiAC=90°,

故选：B.

【点拨】本题考查的了勾股定理和勾股定理的逆定理.掌握勾股定理和逆定理是解决问

题的关键.

3.D

【分析】

根据折叠的性质可得设AE=x,表示出8E=9-x,然后在RSA8E中，利

用勾股定理列式计算即可得解.

解：；长方形折叠点B与点。重合，

：.BE=ED,

设AE=x,则即=BE=9-尤，

解得x=4,

.,.AE的长是4cm,

•\BE=9-4=5(cm),

故选：D.

【点拨】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，根据勾股定理列出关于AE的

长的方程是解题的关键.

4.B

【分析】

要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据两点之间线段最短得出结果，在求线段

长时，借助于勾股定理.

解:如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形AC2D

则从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处，这条丝线的最小长度是长方

形的对角线的长.

,圆柱的底面周长是14cm,高是48cm,

4^2=142+482=196+2304=2500,

：.AB=5Q(cm).

故选B.

【点拨】本题考查了平面展开-最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形

的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，解题关键是把圆柱的侧面展开成矩形，化曲面为

平面，用勾股定理解决.

5.B

【分析】

运用正方形边长相等，根据“AAS”证明AACB四△DCE,结合全等三角形和勾股定理即

可得出答案.

解：：。、b、c都是正方形，

：.AC=CD,ZACD=90°；

；ZACB+ZDCE=ZACB+ZBAC=90°,

：.ZBAC=ZDCE,

'：ZABC=ZCED=90°,AC=CD,

：.△ACB^ADCE<AAS),

：.AB=CE,BC=DE,

在RtAABC中，由勾股定理得：AC2=AB2+BC2=AB2+DE2,

即Sb=Sa+Sc=11+5=16,故B正确.

故选：B.

【点拨】此题主要考查对全等三角形和勾股定理的综合运用，结合图形证明

△ACB迫ADCE,是解题的关键，本题对图形的理解能力要比较强.

6.C

【分析】

根据正方形EFG8的面积=正方形ABC。的面积4SAABE=9,求9的算术平方根即可得

到结论.

解：如图，

:正方形EFG”的面积=正方形A8C。的面积-4%48E=92-4x18=9,

正方形EFGH的边长=3,

故小正方形的边长为3,

故选：C.

【点拨】本题考查了正方形的面积，三角形的面积，正确的识别图形是解题的关键.

7.C

【分析】

首先设芦苇长X尺，则水深为（X-1）尺，根据勾股定理可得方程（x-1）2+52=x2.

解：设芦苇长x尺，由题意得：

（x-1）2+52=.¥2,

即x2-52=（x-1）2

故选：C.

【点拨】此题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是读懂题意，从题中抽象出勾股

定理这一数学模型.

8.D

【分析】

依题意，芦苇的长度为直角三角形的斜边，水深为一直角边，另一直角边为5尺，由勾

股定理即可列出方程，进而得到答案.

解：设水深x尺，则芦苇的长度为（x+1）尺，

所以芦苇的长度为13尺.

故选D.

【点拨】本题考查勾股定理的应用，将题目描述问题转化成直角三角形求边长的问题是

解题的关键.

9.B

【分析】

要求下滑的距离，显然需要分别放到两个直角三角形中，运用勾股定理求得AC和CE

的长即可.

；.AC=2米，

：80=0.9米，

ACD=BD+BC=0.9+1.5=2.4（米），

:在RSECD中，EC~=ED2-CD2=2.52-2.42=0.49,

.,.£C=0.7米，

：.AE=AC-EC=2-0.7=1.3（米），故B正确.

故选：B.

【点拨】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键.

10.B

【分析】

4、B两社区到E站的距离相等，

故选：B.

【点拨】本题考查了勾股定理的应用、一元一次方程的应用，熟练掌握勾股定理是解题

关键.

11.18

【分析】

先由勾股定理求得a2+Z?2=c2=9,然后求得°2+按+C2的值.

解：:△ABC为直角三角形，斜边片3,

a2+b2=c2=22=9,

a2+b2+c2=9+9=18,

故答案为：18.

【点拨】本题考查了勾股定理，解题的关键是熟知直角三角形三边的关系.

12.17

【分析】

根据勾股定理即可得到结论.

解：VZACB=90°,Si=5,52=12,

：.AC2=5,BC2=n,

.*.AB2=AC2+BC2=5+12=17,

.3=17,

故答案为：17.

【点拨】本题考查了勾股定理，正方形的面积，正确的识别图形是解题的关键.

13.24

【分析】

解：AB=6cm,BC=8cm,AC=10cm,

：.AB2+CB2=100=AC2,

.♦.△ABC是直角三角形，且NB=90。，

故答案为：24.

【点拨】本题考查了勾股定理的逆定理，直角三角形面积的计算方法，熟练掌握勾股定

理的逆定理，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键.

14.m2+l

【分析】

2m为偶数,设其股是。，则弦为a+2,根据勾股定理列方程即可得到结论.

解：：2根为偶数，

...设其股是。，则弦为。+2,

根据勾股定理得,(2m)2+a2-(a+2)2,

解得a=m2l,

二弦长为「+1,

故答案为：m2+l.

【点拨】本题考查了勾股数，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键.

15.49

【分析】

小正方形的面积为AC的平方，大正方形的面积为的平方.两正方形面积的和为

AC2+BC2,对于RfAABC,由勾股定理得AB2=AC2+BC2.A3长度已知，故可以求出两正方

形面积的和.

解：正方形ADEC的面积为：AC2,

正方形BCFG的面积为：BC2-,

在尺/ABC中，AB^ACr+BC2,AB=1,

则AC^BC2^.

即正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为49.

故答案为：49.

【点拨】本题考查了勾股定理.关键是根据由勾股定理得A22=AC2+BC2.注意勾股定

理应用的前提条件是在直角三角形中.

29

16.—

2

【分析】

设OB=OA=x(尺)，在RdOBE中利用勾股定理构建方程即可解决问题.

解：设。2=。4=无(尺)，

在RtAOBE中，OB=x,OE=x4,BE=10,

：.x1=\02+(x4)2,

或。8的长度为彳（尺）.

29

故答案为：—.

【点拨】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属

于中考常考题型.

17.①②③

【分析】

根据正方形的性质、直角三角形的性质、直角三角形面积的计算公式及勾股定理解答即

可.

解：•••△ABC为直角三角形，

,/正方形EFGH的面积为1

：.EF=1,

'.x-y=l,故②正确；

由图可知，四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积，

正确结论有①②③.

故答案为：①②③.

【点拨】本题考查了勾股定理及正方形和三角形的边的关系，此图被称为“弦图”，熟悉

勾股定理并认清图中的关系是解题的关键.

18.8

【分析】

先设水深尤米，则则有BD=Ar>+AB=x+2,由题条件有8O=BC=x+2,又根据芦

节直立水面可知BDLAC,则在直角△ABC中，利用勾股定理即可求出尤.

解：设水深x米，则尤，

贝U有：BD=AD+AB=x+2,

即有：BD=BC=x+2,

根据芦节直立水面，可知BOLAC,且AC=6,

解得尸8,

即水深8米，

故答案为8.

【点拨】本题考查了勾股定理的应用，从现实图形中抽象出勾股定理这一模型是解答本

题的关键.

19.⑴8cm⑵g

【分析】

(1)直接利用勾股定理求解即可；

(1)解：:,在AABC中，ZC=90°,AB=10cm,AC=6cm,

(2)解：如图所示，过点尸作于。，

在Rt&ADP和RtXACP中，

:.Rt&ADPQRtAACP(HL),

【点拨】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，正确作出辅助线，构造

全等三角形是解题的关键.

【分析】

(1)仔细观察可发现给出的勾股数中，斜边与较大的直角边的差是1,根据这个规律

及勾股定理公式可算出入，。的值；

(2)根据第一问发现的规律，代入到勾股定理公式中即可求得》、c.

【点拨】本题考查的是勾股定理及规律题综合运用，仔细观察，熟练掌握勾股定理公式

是解本题的关键.

21.(1)见分析(2)见分析

【分析】

(1)根据梯形的面积公式即可求解；

(2)如图所示，用图①的4个直角三角形，拼成正方形，根据正方形的面积的两种计

算方式即可求解.

⑴解：：四边形ABC。是梯形,

梯形的面积=:(a+b)(a+6)=2^^ab+^c2,

即；(a2+2ab+b2)=ab+^c2,

".a2+b2=c2；

(2)如图所示，可以证明a2+b2=c2.

验证：大正方形的面积=4X；ab+(b-a)2

大正方形的面积=〃，

/.4Xab+(6-a)2—c2,

整理得：a2+b2=c2.

【点拨】本题考查了勾股定理的证明、正方形的性质、直角三角形面积的计算；熟练掌

握正方形的性质，运用面积法得出等式是解决问题的关键.

【分析】

【点拨】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出AC.AB的长，

掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方.

23.(1)海港C会受到台风影响，理由见分析⑵台风影响该海港持续的时间有7h

【分析】

(1)利用勾股定理的逆定理得出A