第二章 一元二次方程 预习练（含解析）

第二章一元二次方程

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一、单选题

1.把一元二次方程f7=3工化成一般形式，正确的是（）

A.x2-3A-1=0B.X2-3X+\=()

C.X2+5X-\=0D.x2+3x+l=0

2.•元二次方程V-4=0的解是（）

==

A.-V1=2,x2=-2B.x=-2C.x=2D.-V|2,Xi。

3.若方程（/»-2H/2x+1=0是一元二次方程,则方程的根是（）

-l+x/57—芯V5-1-V5-1

A.王B.

2244

1+石1-石

C.x,D.以上答案都不对

22

4.在公式法解方程缶2+4氐=2夜时，力2-4«的值是（)

A.16B.4C.32D.64

5.一元二次方程丁=9的根是（)

A.3B.±3C.9D.±9

6.将一元一次方程/一8、-5=。化成（％+4）-=〃（。，）为常数）的形式,则小匕的值分别是（）

A.-4,21B.-4,11C.4,21D.-4,-21

7.如图，在长为30米，宽为18米的矩形地面上修筑等宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植

草坪，要使草坪的面积为480平方米,设道路的宽为工米，则可列方程为（）

A.30X18-30X-18A=480B.(30-x)(18-x)=480

C.30x+18x=480D.(30-.r)(18-x)+x2=480

8.一元二次方程（x+1）（片2）=343的根的情况是（）

A.有两个相等的实数根B.有两个不柱等的实数根

C.只有一个实数根D.没有实数根

9.如图，将边长为2c，〃的正方形八"CD沿其对角线八C剪开，再把VABC沿着方向平移，得到

△A'8'C,若两个三角形重叠部分的面积为0.5cnf,则它移动的距离AA'等于（）

2+V2C.'em或3cmD.2cm

A.-cmB.---cm

24442

10.已知三角形两边长分别为4和8,第三边的长是一元二次方程/_14X+40=0的根，她这个三角

形的周长为（）

A.16B.22C.24D.16或22

II.已知。、夕是方程xJ2x-4=0的两个实数根，则/+86+6的值为（）

A.-1B.2C.22D.30

12.关于工的方程a（x+〃?）2+/>=0的解是玉=-2,9=1（小〃?，力均为常数，存0）,则方程

a（x+〃?+2/+〃=0的解是（）

A.2=~2,x2=1B.石=Lx2=3

C.x,=-4,x2=-1D.无法求解

二、填空题

13.已知阳是一元二次方程/一3%+1=0一个根，则2022-标+3/〃的值为.

14.关于x的一元二次方程（。-5）/-4.一1=0有实数根，贝满足.

15.如图，在正方形48CD中，A8=4cm点。是对角线AC的中点，动点产，。分别从点A,3同时

出发，点/，以lcm/s的速度沿边A8向终点4匀速运动，点。以2cm/s的速度沿折线BC—CD向终点、D

匀速运动，连接P。并延长交边CO于点M,连接。。并延长交折线44—A3于点N,连接力，QM,

MN,NP,得到四边形PQMN.设点尸的运动时间为x（s）（0<x<4）,当四边形PQMN是轴

对称图形时，则1的值为一.

16.阅读下列材料：

关于x的方程f—3X+I=O(XKO),方程两边同时乘■!"得：x-3+-=Ot即x+^=3,故

XXX

=X2+2X-+-V=^2+-T+2,所以/+上=(.1+，［-2=32-2=7.

\X)XXXX~yX)

根据以上材料，解答下列问题：

若x2-4x+l=0(x.0),则x+L,x2+-^=,/*+二=.

.1XX

17.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干乂长出同样数目的小分支，主干、支干、小分支

的总数为73,则每个支干长出个小分支.

三、解答题

18.用公式法解F列方程:

⑴(2x+l)(21)=2后;

(2)3X2-(X+2)2+2X=0.

19.解方程

⑴(工一5)2-36=0

(2)X2+2X-3=0(用配方法)

22.解下列方程：

(|)3x(2x+l)-2(2x+l)=0;

⑵f+4x-2=0.

23.用配方法解一元二次方程：|X2-6X-7=0.

24.解方程

(l)x2-3x-9=0

(2)x(x+4)=2x+8

参考答案

题号12345678910

答案AABDBABADB

题号1112

答案DC

1.A

【分析】本题考查的是一元二次方程的一般形式，掌握“一元二次方程的一般形式：

欠2+云+。=0(。/0)”是解本题的关键.

先把方程的左边按照平方差公式进行整理，再移项把方程化为Y-3x7=0,从而可得答案.

【详解】解：・・・:一1=3力

x2-3x-l=0

•••方程的一般形式为：X2-3x-l=0.

故选：A.

2.A

【分析】直接利用开平方的方法解方程即可.

【详解】解：,・・”?-4=0,

JV2=4,

N=2,x2=-2,

故选A.

【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的直接开平方法是解题的关键.

3.B

【分析】根据一元二次方程的定义，列出关于，〃的式子，解出〃，的值，代入原方程，求解一元二次

方程即可.

【详解】解：•.•方程(〃?-2)产—21+1=0是一元二次方程，

.加=2

一〃.2工0，

解得：m=-2,

-4f-2工+1=0即4f+2x-1=0，

,.,«=4,Z>=2,c=-l,

A=22-4X4X(-1)=20>0,

二方程有两个不相等的实数根

-2土痴——1土J?

4

石-1-V5-1

故选:B.

【点睛】此题考查了一元二次方程的概念与解法，熟练掌握一元二次方程的概念与用公式法、因式分

解法或配方法求解一元二次方程是解题的关键.

4.D

【分析】首先把方程化简为一般形式，再得出。、/八。的值，最后求出判别式的值即可.

【详解】解：=2夜，

&2+4&一2夜=0,

a=\[2♦b=4>/3>c=-2\fl»

b2-4uc=(462-4XV2X(-2>/2)=64:

故选：D.

【点睛】此题考查了公式法解一元二次方程，解此题时首先要化简.还要注意熟练应用公式.

5.B

【分析】根据直接开平方法解一元二次方程，即可求出答案.本题考查一元二次方程，解题的关键是

熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型.

【详解】解：

x=±3,

故选:B.

6.A

【分析】先移项，再配方，即可得出答案.

【详解】解：8、—5=(),

x2-8x=5,

x2-8x+42=5+42,

(X-4)2=21,

a=—4,b=21,

故选：A.

【点睛】本题考杳了用配方法解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键.

7.B

【分析】先将图形利用平移进行转化，可得空白长方形的面积=长*宽，列方程即可.

【详解】利用图形平移可将原图转化为下图，道路的宽为X米.

根据题意可得：(30-x)(18-x)=480.

故选:B.

【点睛】本题考查的是一元二次方程的实际运用，找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是

解决问题的关键.

8.A

【分析】根据一元二次方程根的判别式即可求出答案.

【详解】解：(x+l)(x—2)=—3工一3化为一般形式为/一2.1+1=0,

其中a=l,b=-2,c=l,

b2-4ac=[-2)2-4x1x1=0,

，该方程有两个相等的实数根.

故选：A.

【点睛】本题考查了一元二次方程根判别式，熟练记忆根的判别式是解题的关键.

9.D

【分析】根据平移的性质，结合阴影部分是平行四边形，△ATM与△〃C4’都是等腰直角三角形，则

若设徵'=不，则阴影部分的底长为x,高AO=2-x,根据平行四边形的面积公式即可列出方程求解.

【详解】解：设4c交4用于从AC交C。于点G,

由平移的性质知AC||AC,CD/ZAB1,

，四边形是平行四边形，

•••由正方形的性质可得：ZA=45°,ZD=90°=ZA4zA7,

・•・△AHA是等腰直角三角形，

同理，也是等腰直角三角形，

设A4'=x,则阴影部分的底长为-高AO=2-x,

x(2-x)=0.5,

.2七五

,•x--•

即.=笥々5).

故选：D.

【点睛】此题考查解一元二次方程、平行四边形的判定及性质，平移的性质，等腰直角三角形的判定，

根据平移的性质得到四边形4HCG是平行四边形是解题的关键.

10.B

【分析】本题考杳了解一元二次方程，构成三角形的条件，正确的解一元二次方程是解题的关键.先

解一元二次方程，根据三边关系确定第三边的长，进而求得三角形的周长.

【详解】解：-14x4-40=0,

.\(x-4)(x-10)=0,

解得％=4,X2=10,

•，第三边的长为二次方程x2-144+4()=0的一根，

・•・边长4,4,8不能构成三角形，

...三角形的三边为：4,8,10.

，三角形的周长为4+8+10=22,

故选：B.

II.D

【分析】本题题考查了一元二次方程根与系数的关系，单项式乘以多项式，由。、夕是方程

f-2x-4=0的两个实数根，则。+尸=2,〃=2。+4,然后将原始变形并结合一元二次方程根与

系数的关系分析订算即可，理解方程的解的概念，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键.

【详解】解：•・•1、/是方程r-21-4=0的两个实数根，

a+/=2,ct1=2a+4»

:.a3+8/7+6=«xa2+8/7+6

=tzx(2a+4)+8〃+6

=2a214al8尸I6

=2（2a+4）+4a++6

-4«+8+4«+8/?+6

=8a+8式+14

=8(a+Q)+14

=8x2+14

=30,

故选：D.

12.C

【分析】可以把方程a(x+〃?+2『+〃=()看作是关于x+2的一元二次方程，从而得到

内+2=-2,七+2=1,即可求解.

【详解】解：根据题意得：方程。仆+〃?+2『+〃=0可以看作是关于x+2的一元二次方程，

;关于x的方程a(x+/J?+人=0的解是3=-2,占=1,

:.关于x+2的方程x+〃?+2).+/?=0的解是X+2=-2,9+2=1,

%=-4,占=-1.

故选：C

【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数

的值是一元二次方程的解•.

13.2023

【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方

程的解.由加是一元二次方程f—3x+l=()一个根得62-3切=-1，然后代入所给代数式求解即可.

【详解】解：•・•加是一元二次方程f—3x+l=0一个根，

nr-+1=0,

nr-3〃?=一1>

:.2022-nr+3m=2022-(〃P_3〃?)=2022+1=2023.

故答案为:2023.

14.且。工5

【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，解题的关键是掌握相关知识.

根据题意得：△=(-4)2—4x(—1)(〃—5)之0,且〃-5=0,即可求解.

【详解】解：•••关于k的一元二次方程(。-5)f一4工一1=。有实数根，

△=(-4)，-4X(-1)(6/-5)>0,且a-5工()，

解得：a>\,且。工5,

故答案为：aNl,且。工5.

15.彳%

【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，先根

据正方形的性质证明/MARAOaXAAS)得到ON=0Q,同理可得。3=OP,则四边形PQV/N是

平行四边形，再证明A/W衿△(“»/(AAS),可得MC=A〃=xcm：进而分四边形PQMN为矩形、菱

形分别求解即可.

【详解】解：依题意，AP=.xcm,则依=AB—A尸=(4-x)cm,

•••四边形ABC。是正方形，

AD//BC,/DAB=ZDCB=90。，

AZOAN=ZOCQ,ZONA=ZOQCt

•・•点。是正方形对角线AC的中点，

：.OA=OC,

・••△Q4AROCQ(AAS),

.・.ON=OQ,

同理可得=

・•・四边形PQMN是平行四边形，

:.MQ=PN,MQ〃NP,

：./PNQ=/MQN,

又YAD"BC,

・•・^ANQ=NCQN,

ZANP=ZMQCf

在△AA"和ACOM中，

2ANP=2MQC

、NNAP=NQCM,

NP=MQ

・•・△ANPg£QM(AAS),

/.MC=AP=xcm

同理可得APBQ^AMDN,

•.,四边形ABC。是正方形，

/.BC=AB=CD=AD=4,

8Q=2x,

：.CQ=BC-BQ=（4-2x）,

AN=（4-2x）t

当四边形PQMN是矩形时，PB=QB,

:.4-x=2x,

4

解得：x=-

J

当四边形PQMN是菱形时，PQ=MQ,

（47）2+（2x）2=/+（4-2»,

解得x=0（舍去）：

当2vxv4时，如图所示，

DMQC

ANPB

同理可证明△4OV乌△COQ,四边形PQMN是平行四边形,

/.AN=CQ=2x-CB=2x-4t

PN=AP-AN=x-（2x-4）=-x+41

当四边形P0MN是矩形时，PB=CQ,

:.4-x=2x-4,

Q

解得：X=-,

当四边形PQMN是菱形时，PN=PQ,

二(-x+4)2=42+[2X-4-(4-J)]2,

•/A<0,

二方程无解，舍去；

4R

综上，当四边形尸QMN是轴对称图形时，工的值是、或三.

JJ

故答案为：|4■或X,

16.414194

【分析】给方程f-©+1=0("0)两边同时乘L即可•求出X+，的值：再给两边平方，即可

X

求出寸+与的值；再把/+4=14两边平方，求出入4+1的值.

【详解】•.•方程9―4X+1=0(XH0)两边同时乘十得：x-4+《=0,

故答案为：4

(I\2

』两边平方得x+-=16,

IX)

2cl,/

..x+2x*—I—।—=16,

xX-

•,3+5=14.

故答案为：14

I/1\2

2

•.•/+3=]4两边平方得X--L=196,

XIX)

x，+2x'・——十——=196,

厂x

•••/+二=194.

x4

故答案为：194

【点睛】本题主要考查了一元二次方程，完全平方公式，求代数式，灵活运用完全平方公式是解本题

的关键.

17.8

【分析】设每个支十长出x根小分支，则可表示出主十、支十和小分支的总数，由条件可列出方程,

可求得答案.

【详解】解：设每个支干长出*根小分支，

根据题意可得：1+x+f=73，

解得x=8或1=-9（不符合题意，舍去），

，每个支干长出8根小分支，

故答案是：8.

【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，找出题目中的等量关系，列出方程是解题的关键.

18.（1）内=冬渔，小二也也

44

（2）X,=2,X2=-1

【分析】本题考查公式解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握A=〃-4ac，一4叱

2a

（1）根据一化，二定，三判，四代直接求解即可得到答案；

（2）根据一化，二定，三判，四代直接求解即可得到答案.

【详解】3）解：将方程化为一般形式，得4/一2缶—1=0.

,:。=4,力=一2拉,。=一1,

A=/,2-4ac=(-2V2)2-4x4x(-1)=24,

，方程有两个不相等的实数根，

.-b±ylb2-4ac2拒土国&士瓜

••x=--------------------=---------------=------------，

2a2x44

・V2+V6x/2-V6

・•丹=---,x2=---.

(2)解：原方程可化为2/_2工一4=0,即/一工一2二().

a=l,b=-l,c=-2,

/.A=/?2-4ac=1-4x1x(-2)=9>0,

，方程有两个不相等的实数根，

,—h±\/b2-4ac1士M1±3

••X==-----------------，

2a2x12

**.A*|=2,X?=-1.

19.(1)A,=-1,x2=11

(2)为=一3,.=I

⑸1+V71-V7

c3

⑷芭=3,x2=-

【分析】(I)利用解一元二次方程-直接开平方法，进行计算即可解答；

(2)利用解一元二次方程-配方法，进行计算即可解答：

(3)利用解一元二次方程-公式法，进行计算即可解答；

(4)利用解一元二次方程-因式分解法，进行计算即可解答.

【详解】(I)解：—5)2-36=0,

移项得(x-5尸=36,

工x-5=±6,

/.工-5=-6或%-5=6,

解得：斗二-1,x2=ll；

(2)解：x2+2x—3=0»

移项得V+2X=3，

配方得f+2x+l=3+l,即(X+1)2=4,

:.X+1=±2»

・二x+1=-2或x+1=2,

解得：x,=-3,x2=l；

(3)解：3f-2x-2=0,

A=(-2)3-4x3x(-2)=4+24=28>0,

,2±V282±2771±/

••X=----------=-----------=---------，

663

・1+771-V7

••Ai=；

133

(4)解：(X-3)2+4X(X-3)=0,

A(x-3)(x-3+4x)=0,

A(x-3)(5x-3)=0,

工一3=0或5%一3=0,

3

A：=3,=—.

【点睛】本题考查了解一元二次方程-公式法，配方法，因式分解法，直接开平方法，熟练掌握解一

元二次方程的方法是解题的关犍.

2().要使每盆的盈利为10元，则每盆应植入4株或5株

【分析】设每盆花苗增加x株，则每盆花苗有(3+x)株，平均单株盈利为(3-0.5力元.利用平均单株

盈利X株数=每盆盈利，再列方程即可.

【详解】解：设每盆花苗增加X株，则每盆花苗有(3+X)株，平均单株盈利为(3-0.5力元.由题意，

得(x+3)(3-0.5x)=10.

化简、整理，得f_3x+2=().

解这个方程，得％=1,七=2.

经检验，％=1,i=2都是方程的解，且符合题意.

答：要使每盆的盈利为10元，则每盆应植入4株或5株.

【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，根据每盆花苗株数x平均单株盈利=总盈利得出等量关系是

解题关键.

21.(1)(0,3)；

(2)"或一"；

(3)/?=-4,c=-12.

【分析】⑴解方程V-3x=0后，根据定义即可求M点坐标；

(2)求出方程的解为x=l或。=5小,再分情况讨论:当5机21时，此时当0W5"”l时，此

时M(5/〃,D,当5根<0时，再由题意分别求出加的值即可；

⑶由直线经过定点(-2,6),则方程V+〃x+c=0的衍生点M为(-2,6),即可求〃=T,c=-12.

【详解】⑴解：-3x=0的解为工=0或3,

Xj=0,X)=3,

该方程的衍生点M的坐标(0,3)；

(2)解：％2-(5"[+l)x+5〃z=O的解为x=l或x=5/〃，

当时，加31,

此时M(L5〃D,

由题意可得1=5帆,

解得"二；

当0«5加41时，0<w<1,

此时

.\5/n=1>

I

/.=—；

当5〃?<0时，M（5〃?,D,

此时1=一5小，

解得加=-：；

J

综上所述；〃，的值为:或-：；

JJ

（3）存在b,。满足条件，理臼如下：

,/y=代+2（〃+3）=履+2攵+6=%（工+2）+6,

「•直线经过定点（-2,6）,

方程程+4+c=0的衍生点M为（-2,6）,

/.b=—（—2+6）=-4>c=-2x6=-12.

【点睛