二次函数与一元二次方程 （知识清单+10大题型+好题必刷）解析版-2025年新九年级数学暑期预习（人教版）

二次函数与一元二次方程

（知识清单+10大题型+好题必刷）

Q题型梳理

施画二…湿新物再写履轴的交点坐标1

题型二求抛物线与y轴的交点坐标

题型三已知二次函数的函数值求自变量的值1

题型四抛物线与x轴的交点问题j

题型五根据二次函数图象确定相应方程根的情况

题型六求x轴与抛物线的截线长

题型七图象法确定一元二次方程的近似根|

题型八图象法解一元二次不等式|

题型九利用不等式求自变量或函数值的范围

题型十根据交点确定不等式的解集

所一如夜滴亲

知识点1.二次函数与一元二次方程的关系

求二次函数（a,b,c是常数，a#0）与x轴的交点坐标，令y=0,即ax2+6x+c=0,解关于x的一元二

次方程即可求得交点横坐标.

（1）二次函数y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，aWO）的交点与一元二次方程ax2+fcr+c=0根之间的关系.

△=房-4ac决定抛物线与x轴的交点个数.

△=y-4m>0时，抛物线与x轴有2个交点;

△=62-4QC=0时，抛物线与x轴有1个交点；

△=62-4QCV0时，抛物线与x轴没有交点.

（2）二次函数的交点式：y=a（x-xi）（x-（。，b,。是常数，QWO）,可直接得到抛物线与x轴的交点坐标

（修，0），（、2，0）.

知识点2.抛物线与x轴的交点

求二次函数y=ax2+6x+c（a,b,c是常数，a#0）与x轴的交点坐标，令y=0,即ax2+6x+c=o,解关于x的一元二

次方程即可求得交点横坐标.

（1）二次函数y=a%2+bx+c（a,b,c是常数，aWO）的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0根之间的关系.

△=房-4ac决定抛物线与x轴的交点个数.

△=62-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；

△=庐-4改=0时，抛物线与x轴有1个交点；

△=62-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点.

（2）二次函数的交点式：y=a（x-xi）（x-皿）（。，b,c是常数，aWO）,可直接得到抛物线与x轴的交点坐标

（XI，0），（X2，0）.

知识点3.图象法求一元二次方程的近似根

利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是：

（1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数；

（2）由图象与>=〃的交点位置确定交点横坐标的范围；

（3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）.

J题型方法

【题型一】求抛物线与X轴的交点坐标

【例1】（24-25九年级上•湖北荆州•期末）已知二次函数了=-2/-12X+14,下列说法中不正确的是（）

A.该二次函数的图象的开口向下

B.该二次函数图象的顶点坐标是（T14）

C.该二次函数的图象与x轴的交点坐标是（-7,0）和（1,0）

D.已知点（-1,%）和（2,%）都在这个二次函数的图象上，则

【答案】B

【知识点】求抛物线与x轴的交点坐标、y=ax?+bx+c的图象与性质、把y=ax?+bx+c化成顶点式

【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关

键.根据-2<0可得该二次函数的图象的开口向下，由此即可判断选项A正确；将二次函数的解析式化成顶点式即可

判断选项B错误；求出当>=0时，x的值即可判断选项c正确；根据二次函数的增减性即可判断选项D正确.

【详解】解：,•,二次函数了=-2--12》+14中的-2<0,

二该二次函数的图象的开口向下，则选项A正确；

二次函数y=-2x2—12x+14化成顶点式为y=-2（无+3）+32,

••.该二次函数图象的顶点坐标是（-3,32）,则选项B错误；

当>=°时，-2/-12x+14=0,解得x=-7或x=l,

二该二次函数的图象与x轴的交点坐标是（-7,0）和（1,0）,则选项C正确；

・•・二次函数y=-2（x+3『+32的图象的开口向下，对称轴为直线》=-3,

.•.当x>-3时，夕随x的增大而减小，

又•••点（T/J和（2,%）都在这个二次函数的图象上，且2>-1>-3,

二%>为，则选项D正确；

故选：B.

【举一反三】

1.（24-25九年级上•河北保定•阶段练习）如图，抛物线歹="+2（；+。与x轴交于点/,B（点/在点2的左侧）,

与y轴交于点C（0,3）,点尸在y轴右侧的抛物线上，且不与点3重合，当S/PB=6时，点尸的坐标为（）

A.（2,-3）或（1+77,3）B.（2,3）或（77-1,-3）,

C.（2,3）或（1+方,-3）,D.（2,3）或（l-C-3）,

【答案】C

【知识点】面积问题（二次函数综合）、求抛物线与x轴的交点坐标

【分析】本题主要考查了二次函数与面积的综合问题，先根据抛物线y=-f+2x+c与y轴交点求出c的值，再求出

二次函数于x的交点坐标，设尸（x,3+2x+3）,根据已知条件可得出白4乂卜2+2》+3卜6,解绝对值方程进而可求

出点P的坐标.

【详解】解：•.・抛物线歹=V+2x+c与歹轴交于点。（0,3）,

，。=3,

二抛物线为存4+2T+3,

另>=0,贝！1一丁+2工+3=0,

解得：』=T,x2=3,

贝|JN（-1,O）,5（3,0）,

**-AB=4,

设P（x,-+2x+3）,

1•1S.APB=6,

—xABxyp=6

gp|x4x|-x2+2x+3|=6,

解得：玉=。（舍去），%=2,x3=1+V7,x4=1-V7（舍去），

当x=2时，＞=-4+4+3=0,此时一（2,3）,

当x=l+V7时，y=-（l+S『+2x（i+V7）+3=_3,止匕时尸（1+近,一3）,

故选：C

2.（24-25九年级上•吉林长春•阶段练习）抛物线了=2x、4x+c与x轴的一个交点坐标为（3,0）,贝壮=.

【答案】-6

【知识点】求抛物线与x轴的交点坐标

【分析】本题主要考查了二次函数图像与坐标轴交点的知识，熟练掌握二次函数图像与性质是解题关键.将点（3,0）代

入抛物线7=2X2-4X+C,求解即可获得答案.

【详解】解：将点（3,0）代入抛物线y=2f-4x+c,

可得2X32-4X3+C=0,解得c=-6.

故答案为：-6.

3.（24-25九年级上•天津滨海新•期中）已知二次函数y=/-5x+6与x轴交于/,B两点（点/在点2的左侧），

与V轴交于点C.

⑴求C三点的坐标；

（2）求△/BC的面积.

【答案】⑴4（2,0）,B（3,0）,C（0,6）

（2）△ABC的面积为3.

【知识点】坐标与图形综合、求抛物线与x轴的交点坐标

【分析】本题主要考查了二次函数与坐标轴的交点问题，掌握二次函数的有关性质是解题的关键.

（1）将y=0代入二次函数解析求解一元二次方程再结合题意即可求得点/、5的坐标;

将x=0代入二次函数解析，即可求得C点坐标;

(2)由4民。三点的坐标可得/AOC的长，然后根据三角形的面积公式可得△/BC的面积为g/B

OC,最后代入

数据求解即可.

【详解】(1)解：将V=0代入y=d-5x+6可得：

尤2-5》+6=0,解得：x,=2,x2=3,

•.•点/在点2的左侧，

.♦.4(2,015(3,0).

将x=0代入y=/-5x+6可得：y=6,

.-.C(0,6),

(2)解：•••4(2,0),3(3,0),C(0,6),

/.AB=3—2=1,。。=6,

.•.5^=-^xOC=-xlx6=3.

ABC22

答：△48C的面积为3.

【题型二】求抛物线与y轴的交点坐标

【例2】(24-25九年级上,浙江杭州•期末)二次函数了=2f+4x-l的图象与了轴的交点坐标是(

A.(0,2)B.(0,-1)C.(0,0)D.(0,4)

【答案】B

【知识点】求抛物线与y轴的交点坐标

【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，代入求值是关键.

根据二次函数图象上点的坐标特征解答即可.

【详解】解：当x=0时，y=T.

•••二次函数丁=2/+4x-l的图象与y轴的交点坐标是(0,-1).

故选：B.

【举一反三】

1.（24-25九年级上•吉林长春•阶段练习）在平面直角坐标系，抛物线y=x2-4与x轴的交点坐标为（）

A.（0,-4）B.（2,0）C.（-2,0）,（2,0）D.（-2,0）,（0,4）

【答案】C

【知识点】求抛物线与y轴的交点坐标

【分析】本题考查的是抛物线与x轴的交点，熟悉用一元二次方程处理二次函数的问题是解决此题的关键.令y=。，

解方程，-4=0即可.

【详解】解：•••二次函数y=/-4,

.•.当y=0时，/-4=0,

x

解得i=-2，x2=2,

二该函数y=x2-4与X轴的交点坐标为（-2,0）,（2,0）,

故选：C.

2.（24-25九年级上•广东深圳•期中）二次函数了=（x-l）2-l的图象与V轴的交点坐标是

【答案】（0,0）

【知识点】求抛物线与y轴的交点坐标

【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握函数与坐标轴的交点的求解方法是解题的关键.令

x=o,求出v的值，即可求出与了轴的交点坐标.

【详解】解：x=0时，y=0,

所以，图象与V轴交点的坐标是（0,0）.

故答案为：（0,0）.

3.（24-25九年级上•广东肇庆・期末）如图，抛物线y=-，+2x+3与y轴交于点8,与x轴交于点C（点/在

点C的右边）.求/点、8点、C点坐标.

【答案】2（3,0）,8（0,3）,C（-l,0）

【知识点】求抛物线与y轴的交点坐标、求抛物线与x轴的交点坐标

【分析】本题考查求抛物线顶点坐标，抛物线与坐标轴的交点，令v=o,求出x的值，可求出/、C的坐标，令x=0,

求出y的值，可求出8的坐标

【详解】解：令y=o,则-Y+2X+3=0,

解得X]=—1,々=3,

“（3,0）,C（-l,0）,

令x=0,贝Uy=3,

.-.5（0,3）.

【题型三】已知二次函数的函数值求自变量的值

【例3】（24-25九年级上•山西临汾・期末）点）（3,%）,以4,%）,。（-3,%）均在抛物线夕=幺—&（：+1上，则%,为,%的大

小关系是（）

A.y2<yt<y3B.%<%<%C.%<%<%D.%<%<必

【答案】B

【知识点】已知二次函数的函数值求自变量的值

【分析】本题主要考查了求二次函数的值，

分别将x的值代入关系式求出对应的函数值，再比较可得答案.

【详解】解：当x=3时，必=32-2x3+1=4；

当x=4时，,2=42-2x4+1=9；

当x=—3时，%=(-3)2-2x(-3)+1=16.

<%<%

故选：B.

【举一反三】

1.(24-25九年级上•山西吕梁•期中)已知二次函数y=(x-/z)2+1999的图象上的部分点的坐标如下表，其中6>0,

则b的值为()

Xaa+b

y20242024

A.5B.10C.15D.25

【答案】B

【知识点】利用平方根解方程、已知二次函数的函数值求自变量的值

【分析】此题主要考查了二次函数的性质，表格可知，当x=a,>=2024,当x=a+6,>=2024,代入解析式可得

(a-A)2=25,[a+b-h)2=25,由此即可求解.

【详解】解：由表格可知，当x=a,y=2024,当x=a+6,y=2024,

丫+1999=2024,(a+6-犷+1999=2024,

••.(a-/?)2=25,(a+6-人『=25,

.•.X]=a-h,x2=a+6_/z是方程/=25的两日艮，

■-b>0,

a—〃=-5,a+b-h=5,

b=(a+b-h)-(Q-h)=5—(—5)=10,

故选：B.

2.(24-25九年级上•全国•假期作业)二次函数了="+6x+c的图象经过点/(-4,4),8(2,4),则关于x的一元二次

方程-4=6(3-x)-c的解为.

【答案】玉=—1,x2=5

【知识点】已知二次函数的函数值求自变量的值

【详解】本题考查了二次函数与一元二次方程，根据二次函数了="2+版+。的图象经过点/(-4,4),8(2,4),可以得

到方程4=»2+6x+c解为%=-4,%=2,然后将所求方程变形，即可求得所求方程的解，熟练掌握二次函数与一元

二次方程的关系是解题的关键.

【解答】解：••・二次函数y="+6x+c的图象经过点/(-4,4),8(2,4),

:当V=4时，可以得至！J方程4=ax2+bx+c解为x=-4或苫=2,

:方程a(x-3『-4=6(3-x)-c可以转化为方程“X-3)2+“X-3)+C=4,

**•x—3——4x—3—2,

解得：玉=—1,x2=59

故答案为：石=-1,x2=5,

3.(24-25九年级上•浙江杭州•期中)已知二次函数》=/+及+。(6、。为常数)的图象经过点(1,0),(3,0),

(1)求该二次函数的表达式和顶点坐标；

(2)当了=8时，求x的值.

【答案】⑴尸X2-4X+3,顶点坐标(2,-1)

⑵X1=5,X]=

【知识点】待定系数法求二次函数解析式、把丫=2*2+6*+。化成顶点式、已知二次函数的函数值求自变量的值

【分析】本题考查求二次函数的解析式，求自变量的值：

(1)直接利用两点式，写出函数解析式，转化为顶点式，求出顶点坐标即可；

(2)把丁=8代入二次函数解析式，解一元二次方程即可.

【详解】(1)解：•••二次函数广/+反+。"、c为常数)的图象经过点(1,0),(3,0),

y=(x-1)(x-3)=/一4x+3=(x-2)2-1,

・•・顶点坐标为(2,-1)；

(2)当歹=8时，工2一4%+3=8,

—

解得：再=5,x2—1.

【题型四】抛物线与X轴的交点问题

【例4】（24-25九年级上•北京•期中）已知抛物线了=4+加+以"0）与直线y=2x+2的交点横坐标分别是T和1,

抛物线与x轴的其中一个交点的横坐标加满足3＜机＜4,那么。的取值可能是（）

3

A.-3B.1C.2D.

4

【答案】D

【知识点】抛物线与x轴的交点问题、y=ax?+bx+c的图象与性质

【分析】本题抛物线与x轴的交点和抛物线上点的坐标特征，熟悉函数的图象和性质是解题的关键.求出抛物线的表

n—2

达式V=〃/+21+2—。，可得加=----，再1艮据3〈机＜4求解.

【详解】解：当x=—1时，y=2x+2=0,当％=1时，y=2x+2=4f

即抛物线过点（-1,0）、（L4）,

a-b+c=Q

由题意得:

a+b+c=4

b=2

解得:

c=2-a

则抛物线的表达式为：y=ax2+2x+2-a,

2

令尸°,得ax+2X+2-Q=0,

解得：玉=-1,%2=-----，

a

n—2

••・抛物线与X轴的其中一个交点的横坐标为~,另外一个交点的横坐标为-1,

a

抛物线与X轴的其中一个交点的横坐标m满足3＜加＜4,

d—2

/.m=------,

a

即3c巴工＜4,

a

2

解得：-1＜“＜-],

故选：D.

【举一反三】

1.（24-25九年级上•陕西渭南•期中）如图，二次函数y=x2+x-”的图象与x轴的一个交点的横坐标为-2,则关于x

的一元二次方程/+3》+2-加=0的解是（）

A.X]=0,无？=3B.占=—l,x?=2

C.&=_1,X?=-4D.再=0,X]——3

【答案】D

【知识点】抛物线与x轴的交点问题、因式分解法解一元二次方程

【分析】本题考查的是求二次函数图象与x轴的交点坐标和求一元二次方程的根，先求出〃，的值，然后把加代入

x?+3x+2-机=0,并解方程即可.

【详解】解：•••二次函数y=Y+x-加的图象与x轴的一个交点的横坐标为-2,

.•.（-2）2-2-m=0,

・•・加=2,

••・Y+3%+2-加=0化简为/+3]=0,

解得再=0,X2=-3,

故选：D.

2.（24-25九年级上•黑龙江大庆•期中）如果一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为“二倍点”，如：M（3,6）,

N（-l,-2）,尸（0,0）都是“二倍点”.若关于x的二次函数V=（"l*+（a+2）x+b（。，6为常数，awl）总有两个不

同的二倍点，则方的取值范围是—.

【答案】0<&<1

【知识点】抛物线与x轴的交点问题、根据一元二次方程根的情况求参数

【分析】本题考查反正比例函数，二次函数的图象上点坐标的特征，新定义，二次函数与一元二次方程的关系，一元

二次方程根的判别式.根据新定义得“二倍点”所在直线为y=2x,再联立两函数解析式，得方程（a-l）x2+ax+b=0,

再根据抛物线上有两个不同的“二倍点”，得方程总有两个不相等的实数根，然后由根的判别式求解即可.

【详解】解：由“二倍点”定义知，该点在直线>=2x,

联立jy=（a-l）x?+（a+2）x+6'

整理得：（a-l）x2+ax+b=0,

则A=（a）2-4b（a-1）>0,即a?-4a6+46>0，

v1>0,该抛物线开口向上，

△=16〃一166<0,

解得：0<6<1,

故答案为：0<6<1.

3.（24-25九年级上•广东广州•期中）己知抛物线了=/+4x+左-1.若抛物线与x轴有两个不同的交点，求左的取值

范围.

【答案】k<5

【知识点】抛物线与x轴的交点问题

【分析】本题考查二次函数与坐标轴交点问题，解题的关键是熟练掌握抛物线与x轴有两个交点判别式大于0.

根据抛物线与X轴有两个交点，判别式大于0列不等式求解即可得到答案.

【详解】解：•.•抛物线y=，+41+"1与彳轴有两个交点，

...A=42-4（＞l-l）＞0,

解得：k＜5.

【题型五】根据二次函数图象确定相应方程根的情况

【例5】（24-25九年级上•安徽合肥•阶段练习）下列图中尸、。两点横坐标是方程办2+bx+c=0两根的有几个？（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】D

【知识点】根据二次函数图象确定相应方程根的情况

【分析】本题主要考查了二次函数的有关知识，解题关键是熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系.根据直线与二

次函数的关系式得出方程，再整理并进行判断即可.

【详解】解：A.由题意得：ax2=-bx-c,整理得：ax2+bx+c=O则尸、。两点横坐标是方程尔+反+°=0两根,

故图（1）符合题意;

B.由题意令得：ax2++c=0,贝！J尸、。两点横坐标是方程办之+及+C=0两根，故图（2）符合题意;

C.由题意得：ax2+bx+l=l-c,整理得：ax2++c=0,贝4尸、。两点横坐标是方程ax?+乐+。=0两根，故图（3）

符合题意;

D.由题意得：ax2+c=-bx,整理得：ax2+bx+c=O则尸、。两点横坐标是方程尔+6%+o=0两根，故图（4）符

合题意;

故选：D

【举一反三】

1.（24-25九年级上•重庆巫山•期中）对于代数式M、N定义一种新运算：M\/N=M--?）MN+N1.

①若X=l,则lV(5x)=24；

②若不，&是一元二次方程f-4x-3=0的两个根，则X1V%=1；

③若y=|(x-l)Vl|的函数图象与直线y=x+6(方为常数)有三个交点时，则6=-1或容.

其中正确的个数是()

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【知识点】根据二次函数图象确定相应方程根的情况、一元二次方程的根与系数的关系、新定义下的实数运算

【分析】本题考查了新定义的概念，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，二次函数的图象与性

质，根据新定义得到正确的函数，且能准确理解题意是解题的关键.根据新定义的概念，利用一元二次方程根与系数

的关系，二次函数的性质，逐一对选项进行判断即可解答.

【详解】解：当工1时，1V(5X)=1V5=『-3x1x5+52=11^24,故①不正确；

由题意可得X］Vx2=xf-3石无2+考=(%+x2-5X］无2>

bc

2—

木艮据x—4x—3=0>可得再+%2==4,x^x=—=3,

a2a

，原式=42—5x(—3)=31wl,故②错误；

y=|(x-l)Vl|=|x2-5x+5|,

当X2-5工+5=0时，解得x=--%=§+石,

1222

存在两种情况，使得直线V='+人与歹=|(工T)V】有三个交点，

①当y=x+6经过点［三叵时，直线>=x+6与了=卜-1)\/1|有三个交点，

把5，,0代入y=x+6,可得0=囱+b,

I2)2

解得/,=避二2；

2

②当天=%+6与歹=--+5%-5只有一个交点时，直线＞=x+b与V=|（x-1）D1|有三个交点，

可得-x2+5x-5=x+b,

经整理可得-，+4x—5-6=0,

2

;.A=Z）-4^=16-4X（-1）X（-5-Z））=0,

解得6=-1,

综上所述，了=卜-1）列的函数图象与直线了=》+6（6为常数）有三个交点时，则6的值为年或-1,故③正确，

故正确的有1个，

故选：B.

2.（24-25九年级上•北京•期中）已知二次函数歹=办2-2以+。-4的图象与x轴的一个交点坐标是（3,0）,则关于x的

一元二次方程ax2-2ax+a-4=Q的两个实数根是

【答案】X]=3,£=T

【知识点】根据二次函数图象确定相应方程根的情况

【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，求出对称轴，对称性，求出抛物线与x轴的另一个交点的坐标，

根据抛物线与x轴的交点的横坐标即为对应的一元二次方程的解，即可得出结果.

【详解】解：,•■夕="2-2依+。-4,

・••对称轴为直线x=-3=l,

2a

•二次函数y=a--2亦+。-4的图象与x轴的一个交点坐标是（3,0）,

・•・另一个交点的坐标为：（-1,0）,

••・关于x的一元二次方程o?一2办+0-4=0的两个实数根是X1=3,%=-1；

故答案为：玉=3,乙=-1

3.(24-25九年级上•广西河池•期中)函数y=-，+2x+3的图象如图所示，结合图象回答下列问题:

/X]I\

-jra_I_\?

(1)方程一/+2工+3=0的两个根为一；

(2)当了>0时，则x的取值范围为_；当-l<x<2时，则变量>的取值范围为_；

(3)若方程-/+2工+3=左有实数根，则左的取值范围是_.

【答案】⑴西=-1,乙=3

(2)-1<x<3；0<y<4

(3)A<4

【知识点】根据交点确定不等式的解集、根据二次函数图象确定相应方程根的情况、产ax?+bx+c的图象与性质

【分析】本题考查了二次函数与x轴的交点问题，二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想是解此题的关键.

(1)根据函数图象即可得出答案；

(2)根据函数图象结合当x=l时，y=4,即可得出答案；

(3)根据函数图象即可得出答案.

【详解】⑴解：由图象可得：方程-f+2x+3=0的两个根为XI=T,%=3.

故答案为：X1=-l,x2=3；

(2)解：由图象可得：当丁>0时，贝口的取值范围为-l<x<3,

y=+4,

.•.当x=l时，y=4,

.•.当-l<x<2时，自变量V的取值范0<>44.

故答案为：—1<x<3；0<y<4；

(3)解：由图象可得：若方程--+2x+3=左有实数根，左取值范围是《44.

故答案为：k＜4.

【题型六】求X轴与抛物线的截线长

【例6】（2023•广东梅州•一模）已知抛物线＞=与一次函数y=2x+6交于48两点，则线段N5的长度为（）

4

A.20cB.20gC.4073D.20

【答案】A

【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、求x轴与抛物线的截线长、已知两点坐标求两点距离

【分析】根据题意，联立方程组求解，消元得到J--2X-6=0,利用根与系数的关系，再运用两点距离公式变形求出

4

长度即可得到答案.

【详解】解：.•・抛物线＞=与一次函数y=2x+6交于43两点，

4

f1

y—_%2j

•••联立v4,消兀得-2、-6=0,

y=2x+6

xx+x2=8,xxx2=-24,

N8=加1-4+（乂-%）2

=J（X[-x2）+[（2X]+6）-（2x2+6）]

=j5x[8-x（一24）]

20班

故选：A

【点睛】本题考查平面直角坐标系中求线段长问题，涉及函数图像交点问题、一元二次方程根与系数的关系、两点之

间距离公式及完全平方公式等知识，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系及两点之间距离公式是解决问题的关键.

【举一反三】

1.(22-23九年级上•吉林长春•期中)在平面直角坐标系中，将二次函数＞=(X+D(X-3)+3的图象沿了轴向下平移3

个单位后，所得函数图象与x轴的两个交点之间的距离为()

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【知识点】二次函数图象的平移、求x轴与抛物线的截线长

【分析】求出抛物线平移后的解析式可得抛物线与x轴的交点坐标，进而求解.

【详解】解：将二次函数y=(x+i)(x-3)+3的图象沿y轴向下平移3个单位后所得的函数解析式为

y=(x+l)(x-3)+3-3,即为了=(x+l)(x—3),

此抛物线与x轴的两个交点坐标为(-1,0),(3,0),

则此抛物线与无轴的两个交点之间的距离为3-(-1)=4,

故选：D.

【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移规律和二次函数的交点式是解题关键.

2.(23-24九年级上•河北邢台•阶段练习)在平面直角坐标系中，抛物线了=/+阮+。的顶点坐标为(1,-4),若抛物线

与x轴相交于A,8两点，贝|6=.AB=.

【答案】-24

【知识点】待定系数法求二次函数解析式、求x轴与抛物线的截线长

【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与坐标轴的交点问题，先求得解析式，进而求得人的值，令＞=0,进

而得出的长.

【详解】解：：y=x2+6x+c中，a=1,顶点坐标为

••・抛物线解析式为V=(X-1)2-4=X?-2x-3,则b=-2,

令>=0,贝"一2x—3=0,

解得：为=-1,七=3

/8=3-（_1）=4,

故答案为：-2,4.

3.（24-25九年级上•辽宁铁岭•阶段练习）已知抛物线L的解析式为y=*_（2"-3）x+〃-4（〃为常数）

⑴当〃=2时，求抛物线L马x轴的两个交点分别为A和B之间的距离；

（2）求证：抛物线工与x轴必有两个交点.

【答案】（1）3

（2）证明见解析

【知识点】抛物线与x轴的交点问题、求x轴与抛物线的截线长

【分析】本题考查二次函数与％轴的交点问题，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键.

（1）当〃=2时，令y=0,得/_》_2=0,解方程即可得出抛物线工与x轴的两个交点A和3的横坐标，即可求解；

（2）令>=0,得/-（2力-3卜+"-4=0,利用根的判别式判断一元二次方程根的情况即可得出抛物线Z与x轴交点的情

况.

【详解】（1）解：5=2,

y=x2-x-2,

令>=0,

得：x2-x-2-O>

解得：西=2,x2=-1.,

：.AB=2-（-1）=3；

（2）证明：令y=0,

贝U：x2—（2/7-3）X+?;-4=0,

■■■a=\,b=-（2«-3）,c=n-4,

2

A=[-（2〃-3）]-4x1x（〃一4）

=4w2-12〃+9-4〃+16

=4及之-16^+25

=4（n-2）2+9,

:（〃一2『>0,

/.4（W-2）2+9>0,

・•・抛物线L与x轴必有两个交点.

【题型七】图象法确定一元二次方程的近似根

【例7】（24-25九年级上•江苏南通・期末）下表给出了二次函数y=a/+6x+c中的部分对应值，可以估计方程

ox?+6x+c=0的一个解x的取值范围是（）

X0.250.50.751

y-1.69-0.251.313

A.0<x<0.25B.0.25<x<0.5

C.0.5<x<0,75D.0.75<x<l

【答案】C

【知识点】图象法确定一元二次方程的近似根

【分析】本题考查了利用二次函数求一元二次方程的解，根据表中的数据可知当x=0.5时，丁=-0.25<0,当x=0.75

时，>=1.31>0,可知当y=0时，对应的x值的取值范围是0.5<x<0.75.

【详解】解：从表中可以看出：

当x=0.5时，y--0.25<0,

当x=0.75时，>=1.31>0,

二当丁=0时，对应的x值的取值范围是0.5<x<0.75.

故选：C.

【举一反三】

1.（24-25九年级上•海南省直辖县级单位•期中）如图，抛物线了=G2+。与直线N=冽x+〃交于8（3应）两

点，贝!1方程ax?+C=7WX+"的解为（）

A.x=-1B.x=3C.尤=-1或3D.x<-l或x>3

【答案】C

【知识点】根据二次函数图象确定相应方程根的情况、图象法确定一元二次方程的近似根、y=ax2+k的图象和性质

【分析】本题主要考查二次函数与一次函数的交点问题，熟练掌握二次函数与一次函数的交点是解题的关键.根据抛

物线昨加+c与直线>=蛆+〃交于/（Tp）,8（3,q）两点，即可得到答案.

【详解】解：,•,抛物线yX+c与直线尸妙+〃交于/（一1,0,8（3。两点，

'1'ax2+c-mx+n的解为x=-1或3,

故选：C.

2.（24-25九年级上呐蒙古呼和浩特•期末）已知二次函数了=尔+为+。（"0）的变量的部分对应值如表：

X-3-2-101

y1361-2-3

根据表中信息，可得一元二次方程a?+6x+c=0的一个近似解天的范围是.

【答案】-1<^<0

【知识点】图象法确定一元二次方程的近似根

【分析】本题考查了图像法求一元二次方程的近似解，根据表格中的数据计算即可.

【详解】解：根据表格中的数据可知：当x=T时，y=0且当x=0时-，了=-2

一元二次方程办2+法+c=0的一个近似解玉的范围是-1<占<0

故答案为：-1＜玉＜0.

3.(24-25九年级上•浙江嘉兴•阶段练习)如图1,在直角坐标系中画出抛物线了=/和直线y=x+2的图象，利用图

象可以直接得到一元二次方程/-x-2=0的解.

⑴根据图1,直接写出一元二次方程/一工-2=0的解;

(2)请参考上述方法，再给出两种作图法求方程无2-x-2=0的解(分别画在图2和图3).

【答案】⑴尤2-x-2=0的解是玉=-1,-2=2.

(2)画图见解析

【知识点】图象法确定一元二次方程的近似根

【分析】本题考查的是利用图象法求解一元二次方程的解，掌握数形结合的方法是关键；

(1)由图1可得：抛物线了=/和直线7=尤+2的图象的交点的横坐标为：

-1,2,即方程小，「无一2=0的解;

(2)由方程x2-x-2=0可得其解是函数函数y=与直线了=2的交点的横坐标；或函数y=/一2与直线V=x的

交点的横坐标；再画图即可.

【详解】(1)解：由图1可得：抛物线夕=/和直线＞=x+2的图象的交点的横坐标为：

-1,2,

x=-1,x=2是方程x?=x+2的解；

二3-x-2=0的解是否=-1,x2=1.

(2)解：如图，方程--工-2=0的解是函数了=Y-x与直线了=2的交点的横坐标;

如图，方程炉-x-2=0的解是函数了=f-2与直线V=X的交点的横坐标;

【题型八】图象法解一元二次不等式

【例8】（24-25九年级上•河南开封•期末）二次函数y=--x-2的图象如图所示，则函数值>>0时，自变量x的取值

范围是（）

A.x<-1B.x>2C.-1<x<2D.x<-l或x>2

【答案】D

【知识点】图象法解一元二次不等式

【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系.根据题意，当函数值了>。时，自变量x的取值范围，就是求当函数图

象在x轴上方时，对应的x取值范围，由此得到答案.

【详解】观察图象知，当函数值>>0时，自变量x的取值范围是或x>2,

故选：D.

【举一反三】

1.（24-25九年级上•湖北宜昌•期中）已知函数了=+6的图象如图所示，当丁>0时，则于x的取值范围是（）

A.-1<x<3B.尤<-1或x>3C.x<0或x>3D.0cx<3

【答案】B

【知识点】图象法解一元二次不等式

【分析】本题考查二次函数与不等式，根据函数图象写出X轴上方部分的X的取值范围即可.

【详解】解：由图象可知，当y>0时，x<-l或x>3,

故选：B.

2.（24-25九年级上•青海西宁•期中）如图，已知关于x的一元三次方程办3+云2+°工+42+1=0的解为玉=-3,x2=l,

X3=2,请运用函数的图象，数形结合的思想方法，判断关于X的不等式"3+云2+/+上2+1>。的解集.

【答案】-3<x<l或x>2

【知识点】图象法解一元二次不等式

【分析】本题考查数形结合，利用数形结合的思想，找到图象在x轴上方时的自变量的取值范围即可.

【详解】解：由图象可知：关于x的不等式办3+队2+审+/+1>0的解集为：一3<x<l或x>2；

故答案为：-3Vx<1或x>2.

3.（24-25九年级上•北京海淀•期中）如图，已知二次函数％=ad-2x+c经过点和点C（0,-3）,

(1)求c的值和点B的坐标；

⑵若一次函数为=依+6经过3、C两点，直接写出不等式办2-2x+c<fcc+b的解集.

【答案】⑴c=-3；2(3,0)

(2)0<x<3

【知识点】待定系数法求二次函数解析式、图象法解一元二次不等式

【分析】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数与不等式，熟练掌握以上知识点是解题的关键.

(1)先把点A和C的坐标分别代入弘=a/_2x+c中得到方程组，解之即可得到。、c的值，从而得到抛物线解析式,

然后解方程--2x-3=0可得B点坐标；

(2)结合函数图象，写出直线在抛物线上方所对应的自变量的取值范围即可.

【详解】(1)解：.•・二次函数％=a/-2x+c经过点和点C(0,—3)

JQ+2+C=0

・1c=-3

\a=\

解得：,

[c=-3

，二次函数解析式为丁=/-2x-3

当歹=0时，/-2x-3=0

解得：再=-1,X2=3

.­.5(3,0)

••.c的值为-3；点3的坐标为(3,0).

（2）解：观察图象可知，当0<x<3时，必<%

不等式尔一21+。<履+6的解集为0<x<3.

【题型九】利用不等式求自变量或函数值的范围

【例9】（24-25九年级上•江苏无锡•阶段练习）已知、=/,当-IVxV2时，y的取值范围是（）

A.-1<J^<4B.0<_y<1

C.0<y<4D.i<y<4

【答案】C

【知识点】y=ax?+bx+c的图象与性质、利用不等式求自变量或函数值的范围

【分析】此题是二次函数图象上的点的坐标特征，主要从图象上看到关键的信息，解本题的关键是自变量的范围内包

括对称轴x=0,要特别注意.根据x=-l和x=2时的函数值，再确定出抛物线的最低点的函数值，即可.

【详解】解：当x=-l时，>=1,

当x=2时，y=4,

而抛物线的对称轴为x=0时，y=0,

,-.0<y<4

故选：C.

【举一反三】

1.（24-25九年级上•湖北武汉•期末）已知二次函数y=亦2+瓜+°（。W0）图象的一部分如图所示，点（-2,0）在该函数

图象上，其对称轴为直线x=-；.则当了>0时，自变量x的取值范围正确的是（）

A.-2<x<0B.X<-2或x>lC.x<lD.-2<x<l

【答案】D

【知识点】利用不等式求自变量或函数值的范围、根据二次函数的对称性求函数值

【分析】本题考查了二次函数的图象性质，熟练掌握二次函数图象对称性是解题的关键.根据二次函数图象的对称性,

由图象过点(-2,0),对称轴为直线x=-;，可得图象与x轴的另一个交点坐标为(1,0),再由二次函数图象性质得出函

数值>>0时，自变量x的取值范围.

【详解】解：•••图象过点(-2,0),对称轴为直线x=-g,且言L-g,

・•.图象与x轴的另一个交点坐标为(1,0),

由二次函数图象性质可知，

当函数值丁>0时，

自变量x的取值范围是-2<x<l.

故选：D.

2.(22-23九年级上•北京•期中)如图，直线％=如+〃与抛物线为=/+云+。交于A,8两点，其中点/(2,-3),点

3(5,0),当%>%时，x的取值范围是.

X|]I/

【答案】2Vx<5

【知识点】利用不等式求自变量或函数值的范围、根据交点确定不等式的解集

【分析】本题考查了根据直线和抛物线交点确定不等式的解集.解题的关键在于对知识的熟练掌握与数形结合.

由题意知，当必>%时，则x的取值范围是抛物线图象在直线图象下方对应的所有的x的取值，然后数形结合求解即可.

【详解】解：由题意知，当必>%时，则x的取值范围是抛物线图象在直线图象下方对应的所有的x的取值，

・•・图象交于点4(2,-3),点8(5,0),

当%>%时，2<x<5,

故答案为：2<x<5.

3.(24-25九年级上•河南濠河・期末)已知抛物线>=(》-1)。-5).

(1)用配方法求该抛物线的顶点坐标；

⑵填空：

①点A(m,5)和B(n,5)在抛物线上，则线段AB的长为；

②当04x46时，则y的取值范围是.

【答案】⑴(3,-4)

⑵①6;②-4"W5

【知识点】线段周长问题(二次函数综合)、利用不等式求自变量或函数值的范围、y=ax?+bx+c的图象与性质、把

y=ax2+bx+c化成顶点式