高考数学（理科）人教版1轮复习练习第五章平面向量第2讲分层演练直击高考

一、选择题1.如图，在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，则eq\o(BE,\s\up6(→))等于()A．b－eq\f(1,2)a B．b＋eq\f(1,2)aC．a＋eq\f(1,2)b D．a－eq\f(1,2)b解析：选A.eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→))＝－a＋b＋eq\f(1,2)a＝b－eq\f(1,2)a.2．在平面直角坐标系中，已知向量a＝(1，2)，a－eq\f(1,2)b＝(3，1)，c＝(x，3)，若(2a＋b)∥c，则x＝()A．－2 B．－4C．－3 D．－1解析：选D.因为a－eq\f(1,2)b＝(3，1)，所以a－(3，1)＝eq\f(1,2)b，则b＝(－4，2)．所以2a＋b＝(－2，6)．又(2a＋b)∥c，所以－6＝6x，x＝－1.故选D.3.已知向量eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))和eq\o(AB,\s\up6(→))在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，若eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AD,\s\up6(→))，则λ＋μ等于()A．2 B．－2C．3 D．－3解析：选A.如图所示，建立平面直角坐标系，则eq\o(AD,\s\up6(→))＝(1，0)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(2，－2)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1，2)．因为eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AD,\s\up6(→))，所以(2，－2)＝λ(1，2)＋μ(1，0)＝(λ＋μ，2λ)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2＝λ＋μ，,－2＝2λ，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝－1，,μ＝3，))所以λ＋μ＝2.故选A.4．在平面直角坐标系xOy中，已知A(1，0)，B(0，1)，C为坐标平面内第一象限内一点且∠AOC＝eq\f(π,4)，|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝2，若eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))，则λ＋μ＝()A．2eq\r(2)B.eqB.eq\r(2)C．2 D．4eq\r(2)解析：选A.因为|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝2，∠AOC＝eq\f(π,4)，所以C(eq\r(2)，eq\r(2))，又eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))，所以(eq\r(2)，eq\r(2))＝λ(1，0)＋μ(0，1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝eq\r(2)，λ＋μ＝2eq\r(2).5．已知平面直角坐标系内的两个向量a＝(m，3m－4)，b＝(1，2)，且平面内的任一向量c都可以唯一地表示成c＝λa＋μb(λ，μ为实数)，则m的取值范围是()A．(－∞，4) B．(4，＋∞)C．(－∞，4)∪(4，＋∞) D．(－∞，＋∞)解析：选C.平面内的任意向量c都可以唯一地表示成c＝λa＋μb，由平面向量基本定理可知，向量a，b可作为该平面所有向量的一组基底，即向量a，b是不共线向量．又因为a＝(m，3m－4)，b＝(1，2)，则m×2－(3m－4)×1≠0，即m≠4，所以m的取值范围为(－∞，4)∪(4，＋∞)．6.如图，A，B，C是圆O上的三点，CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O外一点D，若eq\o(OC,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋neq\o(OB,\s\up6(→))，则m＋n的取值范围是()A．(0，1) B．(1，＋∞)C．(－∞，－1) D．(－1，0)解析：选D.由点D是圆O外一点，可设eq\o(BD,\s\up6(→))＝λeq\o(BA,\s\up6(→))(λ＞1)，则eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋λeq\o(BA,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋(1－λ)eq\o(OB,\s\up6(→)).又C，O，D三点共线，令eq\o(OD,\s\up6(→))＝－μeq\o(OC,\s\up6(→))(μ＞1)，则eq\o(OC,\s\up6(→))＝－eq\f(λ,μ)eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\f(1－λ,μ)·eq\o(OB,\s\up6(→))(λ＞1，μ＞1)，所以m＝－eq\f(λ,μ)，n＝－eq\f(1－λ,μ)，则m＋n＝－eq\f(λ,μ)－eq\f(1－λ,μ)＝－eq\f(1,μ)∈(－1，0)．二、填空题7．设向量a＝(x，1)，b＝(4，x)，若a，b方向相反，则实数x的值为________．解析：由题意得x2－1×4＝0，解得x＝±2.当x＝2时，a＝(2，1)，b＝(4，2)，此时a，b方向相同，不符合题意，舍去；当x＝－2时，a＝(－2，1)，b＝(4，－2)，此时a，b方向相反，符合题意．答案：－28．已知点A(2，3)，B(4，5)，C(7，10)，若eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋λeq\o(AC,\s\up6(→))(λ∈R)，且点P在直线x－2y＝0上，则λ的值为________．解析：设P(x，y)，则由eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋λeq\o(AC,\s\up6(→))，得(x－2，y－3)＝(2，2)＋λ(5，7)＝(2＋5λ，2＋7λ)，所以x＝5λ＋4，y＝7λ＋5.又点P在直线x－2y＝0上，故5λ＋4－2(7λ＋5)＝0，解得λ＝－eq\f(2,3).答案：－eq\f(2,3)9.如图，设Ox，Oy是平面内相交成60°的两条数轴，e1、e2分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量，若eq\o(OP,\s\up6(→))＝3e1＋4e2，则|eq\o(OP,\s\up6(→))|＝________．解析：由题意知，四边形ONPM为平行四边形，且|eq\o(OM,\s\up6(→))|＝3|e1|＝3，|eq\o(ON,\s\up6(→))|＝4|e2|＝4，且∠PMx＝60°，过P作PQ⊥x轴，垂足为Q(图略)，则|PQ|＝|PM|sin60°＝4×eq\f(\r(3),2)＝2eq\r(3)，|MQ|＝|PM|cos60°＝4×eq\f(1,2)＝2.所以|OQ|＝|OM|＋|MQ|＝3＋2＝5，所以|OP|2＝|OQ|2＋|QP|2＝52＋(2eq\r(3))2＝37，即|eq\o(OP,\s\up6(→))|＝eq\r(37).答案：eq\r(37)10.如图，O点在△ABC的内部，E是BC边的中点，且有eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OB,\s\up6(→))＋3eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，则△AEC的面积与△AOC的面积的比为________．解析：取AC的中点D，连接OE，OD.因为D，E分别是AC，BC边的中点，所以eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝2eq\o(OD,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝2eq\o(OE,\s\up6(→))，因为eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OB,\s\up6(→))＋3eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，所以2eq\o(OD,\s\up6(→))＋4eq\o(OE,\s\up6(→))＝0，所以O，D，E三点共线，且eq\f(|DE|,|OD|)＝eq\f(3,2).又因为△AEC与△AOC都以AC为底，所以△AEC的面积与△AOC的面积的比为3∶2.答案：3∶2三、解答题11．已知a＝(1，0)，b＝(2，1)．(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线？(2)若eq\o(AB,\s\up6(→))＝2a＋3b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝a＋mb且A、B、C三点共线，求m的值．解：(1)ka－b＝k(1，0)－(2，1)＝(k－2，－1)，a＋2b＝(1，0)＋2(2，1)＝(5，2)．因为ka－b与a＋2b共线，所以2(k－2)－(－1)×5＝0，即2k－4＋5＝0，得k＝－eq\f(1,2).(2)法一：因为A、B、C三点共线，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))，即2a＋3b＝λ(a＋mb)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2＝λ,3＝mλ))，解得m＝eq\f(3,2).法二：eq\o(AB,\s\up6(→))＝2a＋3b＝2(1，0)＋3(2，1)＝(8，3)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝a＋mb＝(1，0)＋m(2，1)＝(2m＋1，m)．因为A、B、C三点共线，所以eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(BC,\s\up6(→)).所以8m－3(2m＋1)＝0，即2m－3＝0，所以m＝eq\f(3,2).12.如图，G是△OAB的重心，P，Q分别是边OA，OB上的动点，且P，G，Q三点共线．M为AB的中点．(1)设eq\o(PG,\s\up6(→))＝λeq\o(PQ,\s\up6(→))，将eq\o(OG,\s\up6(→))用λ，eq\o(OP,\s\up6(→))，eq\o(OQ,\s\up6(→))表示；(2)设eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OQ,\s\up6(→))＝yeq\o(OB,\s\up6(→))，证明：eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)是定值．解：(1)eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(PG,\s\up6(→))＝eq\o(OP,\s\up6(→))＋λeq\o(PQ,\s\up6(→))＝eq\o(OP,\s\up6(→))＋λ(eq\o(OQ,\s\up6(→))－eq\o(OP,\s\up6(→)))＝(1－λ)eq\o(OP,\s\up6(→))＋λeq\o(OQ,\s\up6(→)).(2)证明：由(1)得eq\o(OG,\s\up6(→))＝(1－λ)eq\o(OP,\s\up6(→))＋λeq\o(OQ,\s\up6(→))＝(1－λ)xeq\o(OA,\s\up6(→))＋λyeq\o(OB,\s\up6(→))；①因为G是△OAB的重心，所以eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)×eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→