2026年中考备考数学中难题综合复习二（共三辑）（学生版+名师详解版）

初三数学中难题综合复习二1．（江苏常州·二模）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l经过二、三、四象限，且还经过点（0，m），（2，n），（p，1）和（3，﹣2），则下列判断正确的是（）A．m＜n B．m＜﹣3 C．n＜﹣2 D．p＜﹣12．（江苏·苏州高新区实验初级中学一模）如图，反比例函数的图象和二次函数图象交于点，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．或3．（江苏·泰州中学附属初中三模）在平面直角坐标系中，一次函数（b为常数）的图像与x、y轴分别交于点A、B，直线AB与双曲线分别交于点P、Q，则AP·BP的值是（

）A．4 B．8 C．10 D．与b的取值有关4．（江苏·南师附中树人学校一模）二次函数y＝﹣x2+2mx+n（m，n是常数）的图象与x轴两个交点及顶点构成等边三角形，若将这条抛物线向下平移k个单位后（k＞0），图象与x轴两个交点及顶点构成直角三角形，则k的值是________．5．（江苏南通·二模）已知抛物线过点，与轴和直线分别相交于点A、B，点为抛物线上A，B两点之间（包含A，B两点）的一个动点，若，则b的取值范围为____________．6．（江苏南京·二模）如图，线段的端点都在正方形网格的格点上，它们相交于点M．若每个小正方形的边长都是1，则的值是_________．7．（江苏泰州·中考真题）如图，游客从旅游景区山脚下的地面A处出发，沿坡角α＝30°的斜坡AB步行50m至山坡B处，乘直立电梯上升30m至C处，再乘缆车沿长为180m的索道CD至山顶D处，此时观测C处的俯角为19°30′，索道CD看作在一条直线上．求山顶D的高度．（精确到1m，sin19°30′≈0.33，cos19°30′≈0.94，tan19°30′≈0.35）8．（江苏南通·中考真题）如图，为的直径，C为上一点，弦的延长线与过点C的切线互相垂直，垂足为D，，连接．求∠B的度数；（2）若，求的长．9．（江苏·盐城）如图，点O是正方形ABCD的中心．（1）用直尺和圆规在正方形内部作一点E（异于点O），使得EB＝EC；（保留作图痕迹，不写作法）（2）连接EB、EC、EO，求证：∠BEO＝∠CEO．10．（江苏南京·中考真题）甲、乙两人沿同一直道从A地去B地，甲比乙早出发，乙的速度是甲的2倍．在整个行程中，甲离A地的距离（单位：m）与时间x（单位：）之间的函数关系如图所示．（1）在图中画出乙离A地的距离（单位：m）与时间x之间的函数图；（2）若甲比乙晚到达B地，求甲整个行程所用的时间．11．（江苏镇江·二模）已知抛物线交x轴于点和点，其对称轴为直线l，点C在l上，坐标为，射线沿着直线翻折，交l于点F，如图（1）所示．（1）______，_______；（2）如图（2），点P在x轴上方的抛物线上，点E在直线l上，且，求证：．（3）在（2）的条件下，直接写出的值=______；直接写出点P的坐标（____，____）．12．（江苏连云港·一模）定义：若一个圆内接四边形的两条对角线互相垂直，则称这个四边形为圆美四边形．（1）请你写出一个你学过的特殊四边形中是圆美四边形的图形的名称__________；（2）如图1，在等腰中，，经过点A、B的⊙O交边于点D，交于点E，连结．若四边形为圆美四边形，求的值；（3）如图2，在中，经过A、B的⊙O交边于点D，交于点E，连结，交于点F．若在四边形的内部存在一点P．使得，连结交于点G，连结，若，．①求证：四边形为圆美四边形；②若，，，求的最小值．初三数学中难题综合复习二解析1．（江苏常州·二模）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l经过二、三、四象限，且还经过点（0，m），（2，n），（p，1）和（3，﹣2），则下列判断正确的是（）A．m＜n B．m＜﹣3 C．n＜﹣2 D．p＜﹣1【答案】D【解析】【分析】设直线l的解析式为y=kx+b（k≠0），根据经过二、三、四象限判断出k，b的符号，再根据直线l过点（0，m），（2，n），（p，1）和（3，-2），由一次函数的图象性质，逐项判定即可．【详解】如图，设直线l的解析式为y＝kx+b（k≠0），∵直线l经过二、三、四象限，∴k＜0，b＜0，y随x的增大而减小，A选项，∵0＜2，y随x的增大而减小，∴m＞n，故该选项不符合题意；B选项，∵0＜3，y随x的增大而减小，∴m＞﹣2，故该选项不符合题意；C选项，∵2＜3，y随x的增大而减小，∴n＞﹣2，故该选项不符合题意；D选项，由图象可知：当y=1时，x=p<-1正确，故该选项符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了一次函数图象性质以及一次函数图象与系数的关系，依照题意画出图形，利用数形结合找出m，n的取值范围是解题的关键．2．（江苏·苏州高新区实验初级中学一模）如图，反比例函数的图象和二次函数图象交于点，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．或【答案】A【解析】【分析】根据得出，然后分和分别对应图像求解即可．【详解】解：∵，∴，当时：，由图得：，当时，，有图得：(舍去)，∴，故选：A．【点睛】本题考查了反比例函数与二次函数综合，根据题意得出然后根据图形判断解集范围是解本题的关键．3．（江苏·泰州中学附属初中三模）在平面直角坐标系中，一次函数（b为常数）的图像与x、y轴分别交于点A、B，直线AB与双曲线分别交于点P、Q，则AP·BP的值是（

）A．4 B．8 C．10 D．与b的取值有关【答案】C【解析】【分析】如图，过向轴作垂线，垂足分别为，由于点在上，设，代入一次函数解析式，得到关系式，根据，由正切的定义可知，勾股定理求得，结合已知关系式，即可求得答案．【详解】如图，过向轴作垂线，垂足分别为，，点在上，设，代入得：，，一次函数（b为常数）的图像与x、y轴分别交于点A、B，令，，则，令，，则，，，，，，，，，，，．故选C．【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，勾股定理，正切的定义，掌握以上知识是解题的关键．4．（江苏·南师附中树人学校一模）二次函数y＝﹣x2+2mx+n（m，n是常数）的图象与x轴两个交点及顶点构成等边三角形，若将这条抛物线向下平移k个单位后（k＞0），图象与x轴两个交点及顶点构成直角三角形，则k的值是___．【答案】2【解析】【分析】先利用配方法得到抛物线的顶点坐标为（m，m2+n），根据抛物线与x轴的两交点的连线段的长度公式得到抛物线y＝﹣x2+2mx+n（m，n是常数）的图象与x轴两个交点的距离为2，根据等边三角形的性质得m2+n＝•2，解得m2+n＝3，则此时抛物线的顶点的纵坐标为3；根据等腰直角三角形的性质得m2+n＝•2，解得m2+n＝1，则此时抛物线的顶点的纵坐标为1，从而得到k的值．【详解】解：∵y＝﹣x2+2mx+n＝﹣（x﹣m）2+m2+n，∴抛物线的顶点坐标为（m，m2+n），抛物线与x轴的两交点的连线段的长度＝＝＝2，当抛物线与x轴两个交点及顶点构成等边三角形时，m2+n＝•2，所以m2+n＝3，此时抛物线的顶点的纵坐标为3；当抛物线与x轴两个交点及顶点构成等腰直角三角形时，m2+n＝•2，所以m2+n＝1，此时抛物线的顶点的纵坐标为1；∴k＝3﹣1＝2．故答案为：2．【点睛】此题主要考查二次函数综合运用，解题的关键是熟知抛物线的图象特点及等边三角形的性质．5．（江苏南通·二模）已知抛物线过点，与轴和直线分别相交于点A、B，点为抛物线上A，B两点之间（包含A，B两点）的一个动点，若，则b的取值范围为____________．【答案】【解析】【分析】先将点代入抛物线解析式求出的值，再求出点的坐标，然后根据点的位置、建立不等式，解不等式即可得．【详解】解：将点代入得：，整理得：，，，解得，则抛物线的解析式为，当时，，即，当时，，即，点为抛物线上A，B两点之间（包含A，B两点）的一个动点，且，，解得，故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，利用待定系数法求出是解题关键．6．（江苏南京·二模）如图，线段的端点都在正方形网格的格点上，它们相交于点M．若每个小正方形的边长都是1，则的值是_________．【答案】【解析】【分析】在网格上找到点，构造相似三角形即可求得的值．【详解】如图，设与格点的交点为，所在网格线与所在的网格线的交点分别为．又．故答案为．【点睛】本题考查了格点中的相似三角形的判断与性质，利用相似三角形对应边成比例及格点中的数据求线段长是解题的关键．7．（江苏泰州·中考真题）如图，游客从旅游景区山脚下的地面A处出发，沿坡角α＝30°的斜坡AB步行50m至山坡B处，乘直立电梯上升30m至C处，再乘缆车沿长为180m的索道CD至山顶D处，此时观测C处的俯角为19°30′，索道CD看作在一条直线上．求山顶D的高度．（精确到1m，sin19°30′≈0.33，cos19°30′≈0.94，tan19°30′≈0.35）【答案】114m【分析】过点C作CE⊥DG于E，CB的延长线交AG于F，在Rt△BAF中可求得BF的长，从而可得CF的长；在Rt△DCE中，利用锐角三角函数可求得DE的长，从而由DG=DE+CF即可求得山顶D的高度．【详解】过点C作CE⊥DG于E，CB的延长线交AG于F，设山顶的所在线段为DG，如图所示在Rt△BAF中，α＝30°，AB=50m则BF=(m)∴CF=BC+BF=30+25=55(m)在Rt△DCE中，∠DCE，CD=180m∴(m)∵四边形CFGE是矩形∴EG=CF∴DG=DE+EG=DE+CF=59+55=114(m).即山顶D的高度为114m．【点睛】本题考查了解直角三角形在实际测量中的应用，题目较简单，但这里出现了坡角、俯角等概念，要理解其含义，另外通过作适当的辅助线，把问题转化为在直角三角形中解决．8．（江苏南通·中考真题）如图，为的直径，C为上一点，弦的延长线与过点C的切线互相垂直，垂足为D，，连接．求∠B的度数；（2）若，求的长．【答案】（1）55°；（2）．【分析】（1）连接OC，如图，利用切线的性质得到OC⊥CD，则判断OC∥AE，所以∠DAC=∠OCA，然后利用∠OCA=∠OAC得到∠OAB的度数，即可求解；（2）利用（1）的结论先求得∠AEO∠EAO70°，再平行线的性质求得∠COE=70°，然后利用弧长公式求解即可．【详解】解：（1）连接OC，如图，∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD，∵AE⊥CD，∴OC∥AE，∴∠DAC=∠OCA，∵OA=OC，∠CAD=35°，∴∠OAC=∠OCA=∠CAD=35°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠B=90°-∠OAC=55°；（2）连接OE，OC，如图，由（1）得∠EAO=∠OAC+∠CAD=70°，∵OA=OE，∴∠AEO∠EAO70°，∵OC∥AE，∴∠COE=∠AEO=70°，∴AB=2，则OC=OE=1，∴的长为．【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，弧长公式等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线．9．（江苏·盐城）如图，点O是正方形ABCD的中心．（1）用直尺和圆规在正方形内部作一点E（异于点O），使得EB＝EC；（保留作图痕迹，不写作法）（2）连接EB、EC、EO，求证：∠BEO＝∠CEO．【分析】（1）作BC的垂直平分线，在BC的垂直平分线上（正方形内部异于点O）的点E即为所求；（2）根据等腰三角形的性质和角的和差关系即可求解．【解析】（1）如图所示，点E即为所求．（2）证明：连接OB，OC，∵点O是正方形ABCD的中心，∴OB＝OC，又∵EB＝EC，∴OE垂直平分BC，∴∠EFB＝∠EFC．∵EB＝EC，∴∠EBC＝∠ECB，∴∠OEB＝∠OEC．10．（江苏南京·中考真题）甲、乙两人沿同一直道从A地去B地，甲比乙早出发，乙的速度是甲的2倍．在整个行程中，甲离A地的距离（单位：m）与时间x（单位：）之间的函数关系如图所示．（1）在图中画出乙离A地的距离（单位：m）与时间x之间的函数图；（2）若甲比乙晚到达B地，求甲整个行程所用的时间．【答案】（1）图像见解析；（2）12【解析】【分析】（1）根据甲乙的速度关系和甲比乙提前一分钟出发即可确定乙的函数图像；（2）设甲整个行程所用的时间为x，甲的速度为v，利用甲乙的路程相同建立方程，解方程即可．【详解】解：（1）作图如图所示：；（2）设甲整个行程所用的时间为x，甲的速度为v，∴，解得：，∴甲整个行程所用的时间为12．【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，要求学生能根据问题情境绘制出函数图像，能建立相等关系，列出方程等．11．（江苏镇江·二模）已知抛物线交x轴于点和点，其对称轴为直线l，点C在l上，坐标为，射线沿着直线翻折，交l于点F，如图（1）所示．（1）______，_______；（2）如图（2），点P在x轴上方的抛物线上，点E在直线l上，且，求证：．（3）在（2）的条件下，直接写出的值=______；直接写出点P的坐标（____，____）．【答案】（1），；（2）证明过程见解析；（3），【解析】【分析】（1）把A，B代入解析式求解即可；（2）根据已知条件证明，即可得解；（3）设l与x轴交于H，求出HC，根据折叠的性质得到，，根据正切的定义求解即可；【详解】（1）把和代入中得，，解得，故；（2）∵，∴，∵点F在直线l上，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴；（3）设l与x轴交于H，作CM⊥AF，垂足为M，设MF=a，对称轴x=，∴HC=0-（-3）=3，AH=-4-（-10）=6，∴，∵射线AB沿着直线AC翻折得到AF，∴∠BAC=∠CAF，∠BAF=2∠BAC，∵CM=CH=3，∴AM=AH=6，∵∠MFH=∠HFA，∠FMC=∠FHA=90°，∴△FMC∽△FHA，∴，即，∴，∴，即，∴，∴，∴，∴，∴，连接PA交直线l于K，∵∠ABF=∠PBE，∴∠ABP=∠FBE，∵，∴△ABP∽△FBE，∴∠PAB=∠BFE，∵∠BFE=∠AFH，∴∠KAH=∠AFH，∵∠AHK=∠AHF=90°，∴△AHK∽△FHA，∴，∴，∴KH=，∴K（-4，），∴直线AK的解析式为y=，由解得（即点A）或∴P（，）．故答案为：，，．【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用、相似三角形的判定与性质、正切的定义，准确计算是解题的关键．12．（江苏连云港·一模）定义：若一个圆内接四边形的两条对角线互相垂直，则称这个四边形为圆美四边形．（1）请你写出一个你学过的特殊四边形中是圆美四边