2026年中考数学高频考点突破-圆的综合题（学生版+名师详解版）

2026年中考数学高频考点突破-圆的综合题1．数学课上，王老师画好图后并出示如下内容：“已知：AB为⊙O的直径，⊙O过AC的中点D，DE为⊙O的切线。”（1）王老师要求同学们根据已知条件，在不添加线段与标注字母的前提下，写出三个正确的结论，并选择其中一个加以证明。（2）王老师说：如果添加条件“DE=1，tanC=122．如图，已知以BC为斜边的Rt△ABC内接于☉O，∠BAC的平分线交☉O于点D，过点D作DE∥BC交AB的延长线于点E，连接DB，DC．（1）求证：ED为☉O的切线；（2）求证：BC（3）若tan∠ABC=2，AD=323．如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，M是BC延长线上一点，连接AM交⊙O于点D，延长BD至点N，使得BN=AM，连接CN，MN．（1）判断△CMN的形状，并证明你的结论；（2）求证：CN是⊙O的切线；（3）若等边△ABC的边长是2，求AD•AM的值．4．如图所示，AB是⊙O的直径，AE是弦，C是劣弧AE的中点，过C作CD⊥AB于点D，CD交AE于点F，过C作CG∥AE交BA的延长线于点G．（1）求证：CG是⊙O的切线．（2） 求证：AF=CF．（3） 若∠EAB=30°，CF=2，求GA的长．5．如图①，在⊙O中，弦CD垂直直径AB于点E.已知AC＝4，DB＝2.（1）求直径AB的长.（2）小慧说“若将题目条件中的‘直径AB’改为‘弦AB’，其余条件均不变（如图②），⊙O的直径仍不变”，你觉得小慧的说法正确吗？请说明理由.6．已知⊙O经过四边形ABCD的B、D两点，并与四条边分别交于点E、F、G、H，且EF=（1）如图①，连接BD，若BD是⊙O的直径，求证：∠A＝∠C；（2）如图②，若EF的度数为θ，∠A＝α，∠C＝β，请直接写出θ、α和β之间的数量关系．7．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠C＝90°，以AD为直径的⊙O与BC相切于点E，交CD于点F，连接DE.（1）证明：DE平分∠ADC；（2）已知AD＝4，设CD的长为x（2＜x＜4）.①当x＝2.5时，求弦DE的长度；②当x为何值时，DF•FC的值最大？最大值是多少？8．如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直平分半径OB，垂足为M，DE=4，连接AD，过E作AD平行线交AB延长线于点C.（1）求⊙O的半径；（2）求证：CE是⊙O的切线；（3）若弦DF与直径AB交于点N，当∠DNB=30°时，求图中阴影部分的面积.9．已知：如图，AB是⊙O的直径，AC为弦，P为AC延长线上一点，且AC＝PC，PB的延长线交⊙O于D．求证：AC＝DC．10．已知CD为Rt△ABC斜边AB上的高，以CD为直径的圆交BC于E点，交AC于F点，G为BD的中点。（1）求证：GE为⊙O的切线；（2）若tanB=21，GE=5，求AD的长。11．如图，四边形ABCD中，∠B＝∠D，AB＝CD，AB与DC不平行，过点A作AE∥DC，交△ABC的外接圆⊙O于点E，连接CE、OA．（1）求证：四边形ADCE为平行四边形；（2）求证：AO平分∠BAE．12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8cm，BC=6cm，点M是边AB的中点，连结CM，点P从点C出发，以1cm/s的速度沿CB运动到点B停止，以PC为边作正方形PCDE，点D落在线段AC上．设点P的运动时间为t（s）．（1）当t=时，点E落在△MBC的边上；（2）以E为圆心，1cm为半径作圆E，则当t=时，圆E与直线AB或直线CM相切．13．在圆O中，点A，B，C均在⊙O上，请仅用无刻度直尺按要求画图：（1）在图1中，以点C为顶点作一锐角，使该锐角与∠CAB互余；（2）在图2中，弦AD∥BC且AD≠BC，过点A作一直线将△ABC的面积平分．14．如图1，点C是半圆O的直径AB上一动点（不包括端点），AB=6cm，过点C作CD⊥AB交半圆于点D，连结AD，过点C作CE//AD交半圆于点E，连结EB.牛牛想探究在点C运动过程中EC与EB的大小关系.他根据学习函数的经验，记AC=xcm，EC=y1cm，EB=y2通过几何画板取点、画图、测量，得出如下几组对应值，并在图2中描出了以各对对应值为坐标的点，画出了不完整图象.x…0.300.801.602.403.204.004.805.60…y…2.012.983.463.332.832.111.270.38…y…5.604.953.952.962.061.240.570.10…（1）当x=3时，y1＝（2）在图2中画出函数y2的图象，并结合图象判断函数值y1与（3）由（2）知“AC取某值时，有EC=EB”.如图3，牛牛连结了OE，尝试通过计算EC，EB的长来验证这一结论，请你完成计算过程.15．如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F．（1）若∠E＝∠F时，求证：∠ADC＝∠ABC；（2）若∠E＝∠F＝42°时，求∠A的度数；（3）若∠E＝α，∠F＝β，且α≠β请你用含有α、β的代数式表示∠A的大小．16．如图，AB是⊙O的直径，C为圆周上的一点，过点C的直线MN满足∠MCA＝∠CBA.（1）求证：直线MN是⊙O的切线；（2）过点A作AD⊥MN于点D，交⊙O于点E，已知AB＝6，BC＝3，求阴影部分的面积.答案解析部分1．【答案】（1）正确的结论可以是：①∠A=∠C；②AB=CB；③△ABC是等腰三角形；④DE⊥BC；⑤DC²=CE·CB等选择结论“DE上BC”进行证明。证明：连结BD∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，又∵D为AC的中点，∴△ABD≌△CBD(SAS)∴△ABC是等腰三角形。∴∠A=∠C∵DE切⊙O于点D，∴∠A=∠BDE，∴∠BDE=∠C而∠BDE+∠EDC=90°，∴∠EDC+∠C=90°，∴∠DEC=90°，即DE⊥BC。（2）由(1)知，在Rt△DEC中，∵DE=1，tanC=12，∴由勾股定理得：DC=D∴AD=DC=5∵tanA=tanC=12∴tanA=BDAD∴BD=5∴AB=B∴⊙O的直径为5【知识点】圆的综合题【解析】【分析】（1）根据已知条件，结合图形，写出正确的结论；连结BD，利用圆周角定理可得到∠ADB=90°，再利用SAS证明△ABD≌△CBD，利用全等三角形的性质可推出△ABC是等腰三角形，就可得到∠A=∠C；然后证明∠DEC=90°，就可证得结论。

（2）在Rt△DEC中，利用解直角三角形求出EC的长，利用勾股定理求出DC的长，从而可求出AD的长；再利用解直角三角形求出BD的长，然后利用勾股定理求出AB的长。2．【答案】（1）证明：如图①，连接OD．∵BC为⊙O的直径，∴∠BAC=90°．∵AD平分∠BAC，∴BD=∴OD⊥BC．∵DE∥BC，∴OD⊥ED．∴ED为⊙O的切线．（2）证明：由（1）可得△BCD为等腰直角三角形．∵DE∥BC，∴∠E=∠ABC=∠ADC，∠BDE=∠DBC=∠DCB=45°．∴△BED∽△FDC．∴BD即BD又BC=2∴BC（3）解：如图②，过点D作DG⊥AD交AC的延长线于点G．∴∠CDG+∠ADC=90°，∠DGC=∠DAG=45°．又∠ADB+∠ADC=90°，∴∠ADB=∠GDC∵DB=DC，∠BAD=∠DGC=45°，∴△ABD≌△GCD．∴AB=CG，AD=DG．∴△ADG为等腰直角三角形，∴AB+AC=AG=2∵tan∠ABC=2∴设AB=x，则AC=2x．∴3x=3，x=1．即AB=1，AC=2．∴BC=5【知识点】切线的判定；圆的综合题【解析】【分析】（1）先证明OD⊥BC，再结合DE∥BC可得OD⊥ED，即可得到ED为⊙O的切线；

（2）先证明△BED∽△FDC可得BDDE=FCCD，即BD2=DE⋅FC，再结合BC=2BD，即可得到BC2=2ED⋅FC；

（3）过点D作DG⊥AD交AC的延长线于点G，先证明△ADG为等腰直角三角形，可得3．【答案】（1）解：△CMN为等边三角形．理由如下：∵△ABC为等边三角形，∴CB=CA，∠ABC=∠ACB=60°，在△BCN和△ACM中BC=AC∠CBN=∠CAM∴△BCN≌△ACM，∴CN=CM，∠BCN=∠ACM，∴∠ACB+∠ACN=∠ACN+∠MCN，∴∠MCN=∠ACB=60°，∴△CMN为等边三角形（2）证明：连接OC，如图，∵CA=CB，∴CA=CB，∴OC⊥AB，∵∠ABC=∠MCN=60°，∴AB∥CN，∴OC⊥CN，∴CN是⊙O的切线（3）解：连接CD，如图，∵∠ADC+∠ABC=180°，∠ACM+∠ACB=180°，而∠ABC=∠ACB=60°，∴∠ADC=∠ACM，而∠DAC=∠CAM，∴△ACD∽△AMC，∴AC：AD=AM：AC，∴AD•AM=AC2，∵等边△ABC的边长是2，∴AC=2，∴AD•DM=4．【知识点】圆的综合题【解析】【分析】（1）利用等边三角形的性质得到CB=CA，∠ABC=∠ACB=60°，再证明△BCN≌△ACM得到CN=CM，∠BCN=∠ACM，则∠MCN=∠ACB=60°，于是可判断△CMN为等边三角形；（2）连接OC，如图，利用CA=CB得到CA=CB，则根据垂径定理的推论得到OC⊥AB，再证明AB∥CN，则OC⊥CN，然后根据切线的判定方法可判断CN是⊙O的切线；（3）连接CD，如图，证明△ACD∽△AMC，利用相似比得到AD•AM=AC2，然后利用等边△ABC的边长是2可得到AD•DM的值．4．【答案】（1）证明：连结OC，如图，

∵C是劣弧AE的中点，

∴OC⊥AE，

∵CG∥AE，

∴CG⊥OC，

∵OC是半径

∴CG是⊙O的切线；（2）证明：连结AC、BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90∘，∴∠2+∠BCD=90∘，∵CD⊥AB，∴∠B+∠BCD=90∘，∴∠B=∠2，∵C是劣弧AE的中点，∴AC⏜=CE⏜，∴∠1=∠B，（3）在Rt△ADF中，∠DAF=30°，FA=FC=2，

∴DF=12AF=1，

∴AD=AF2−DF2=22−12=3【知识点】圆的综合题【解析】【分析】（1）连结OC，由C是劣弧AE的中点，根据垂径定理可证得OC⊥AE，再由CG∥AE，易证CG⊥OC，然后根据切线的判定定理即可得到结论。

（2）连结AC、BC，根据圆周角定理及垂直饿定义可证得∠ACB=90°，∠CDB=90°，再根据等角的余角相等可得到∠B=∠2，由C是劣弧AE的中点，利用等弧所对的圆周角相等，可证得∠1=∠B，从而可证得∠1=∠2，然后根据等角对等边可证得结论。

（3）在Rt△ADF中，根据含30度的直角三角形三边的关系求出DF的长，再利用勾股定理求出AD，再由AF∥CG，根据平行线分线段成比例得到DA：AG=DF：CF，然后代入就可求出AG的长。5．【答案】（1）解：连接AD，如图所示：∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，∵弦CD垂直直径AB于点E，∴由垂径定理可知：AD＝AC＝4，在Rt△ADB中，AB＝A（2）解：小慧的说法不正确，理由如下：因为若将题目条件中的“直径AB“改为“弦AB”，则不具备垂径定理条件，无法求出⊙O直径，所以小慧说法不正确【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理；圆的综合题【解析】【分析】（1）连接AD，根据圆周角定理可得∠ADB=90°，由垂径定理可得AD=AC=4，然后在Rt△ADB中，应用勾股定理求解即可；

（2）根据垂径定理的条件判断即可.6．【答案】（1）解：连接DF、DG∵BD是⊙O的直径∴∠DFB＝∠DGB=90°，∵EF∴∠EDF＝∠HDG，∵∠DFB＝∠EDF+∠A∠DGB＝∠HDG+∠C，∴∠A＝∠C（2）解：连接DF，BH∵EF∴∠ADF=∠HBG=12又∵∠DFB=∠A+∠ADF，∠DHB=∠C+∠HBG∴∠DFB+∠DHB=∠A+∠ADF+∠C+∠HBG根据圆内接四边形对角互补，可得∴α+β+θ=180°【知识点】圆的综合题【解析】【分析】(1)根据圆周角定理及同弧所对的圆周角相等，得到∠EDF＝∠HDG，然后利用外角的性质即可求证；

(2)利用外角性质及圆内接四边形对角互补即可得证。7．【答案】（1）证明：如图，连接OE，∵BC是⊙O的切线，∴OE⊥BC，∵AB∥CD，∠C＝90°，∴∠B＝90°，∴AB⊥BC，CD⊥BC，∴AB∥OE∥CD，∴∠OED＝∠CDE，∵OD＝OE，∴∠OED＝∠ODE，∴∠ODE＝∠CDE，∴ED平分∠ADC；（2）解：①连接AF交OE于H，∵AB∥OE∥CD，AO＝OD，∴BE＝EC，∴OE＝12∵OE＝2，CD＝2.5，∴AB＝1.5，∵AD是⊙O的直径，∴∠AFD＝90°，∵∠B＝∠C＝9°，∴四边形ABCF是矩形，∴AF∥BC，∵OE⊥BC，∴OE⊥AF，∴AH＝FH，AB＝CF＝HE＝1.5，∴OH＝OE﹣EH＝0.5，∴AH＝AO2−OH2∴AH＝FH＝CE＝152∴DE＝CD2+EC2②设AB＝CF＝m，∵OE＝12∴x+m＝4，∴m＝4﹣x，∴DF•CF＝（（4﹣x）（2x﹣4）＝﹣2x2+12x﹣16＝﹣2（x﹣3）2+2，∵﹣2＜0，∴x＝3时，DF•CF的值最大，最大值为2.【知识点】圆的综合题【解析】【分析】（1）连接OE，根据已知可推出AB∥OE∥CD，可得∠OED＝∠CDE，再根据OD＝OE，可得∠OED＝∠ODE，即可证明；

（2）①连接AF交OE于H，由现有条件可推出AB＝1.5，然后可证四边形ABCF是矩形，可得AH＝FH，AB＝CF＝HE＝1.5，OH＝OE﹣EH＝0.5，可得AH＝AO2−OH2=22−8．【答案】（1）解：连接OE.∵DE垂直平分半径OB，∴OM=12∵OB=OE，∴OM=12OE，ME=1∴∠OEM=30°，∴OE=EMcos30°=（2）证明：由（1）知：∠BOE=60°，弧BE，∴∠A=12∴∠ADE=60°∵AD∥CE，∴∠CED=∠ADE=60°，∴∠CEO=∠CED+∠OEM=60°+30°=90°，∴OE⊥EC，∴EC是⊙O的切线（3）解：连接OF.∵∠DNB=30°，∵∠DMA=90°，∴∠MDN=60°，∴∠EOF=2∠EDF=120°，∴S阴影=S扇形EOF-S△EOF=120·π×（433）2【知识点】圆的综合题【解析】【分析】（1）连接OE，根据垂径定理可得OM=12OB，ME=12DE=2，利用直角三角形的性质可得∠OEM=30°，由cos∠OEM=cos30°=EMOE，即可求出OE的长.

（2）利用（1）条件可得∠BOE=60°，根据垂径定理及圆周角定理可得出∠A=30°，即得∠ADE=60°，根据平行线的性质可得∠CED=∠ADE=60°，从而求出∠CEO=90°，根据切线的判定可证EC是⊙O的切线.

（3）连接OF，根据在等圆或同圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可得∠EOF的度数，由S阴影=S扇形EOF9．【答案】解：连接BC，∵AB是直径，∴BC⊥AC，∵AC＝CP，∴AB＝BP，∴∠P＝∠A，∵∠A＝∠D，∴∠P＝∠BDC，∴CP＝DC，∵AC＝PC，∴AC＝DC．【知识点】圆的综合题【解析】【分析】连接BC，利用直径所对的圆周角为直角，可得出BC⊥AC，结合条件得出∠P＝∠A，由同弧所对的圆周角相等可得∠A＝∠D进而∠P＝∠BDC，根据等角对等边可得结论。10．【答案】（1）证明：连DE、OE，∵CD为OO的直径，∴∠CED=∠BED=90°，∵G为BD的中点，∴GE=GD，∴∠GED=∠GDE，∵OE=OD，∴∠OED=∠ODE，∴∠GEO=∠GDO，∴CD⊥AB，∴∠GEO=∠GDO=90°，∴GE为⊙O的切线；（2）解：∵CD⊥AB，∴∠ACD=90°-∠A，∵∠BCA=90°，∴∠B=90°-∠A，∴∠B=∠ACD，∵tanB=12=∴BD=4AD，∵EG=5，∴BD=10，AD=5【知识点】圆的综合题【解析】【分析】（1）连DE、OE，先利用圆周角定理证出∠CED=∠BED=90°，利用直角三角形斜边上的中线的性质证出GE=GD，进而证出∠GED=∠GDE；再利用圆的半径相等证出∠OED=∠ODE，从而可得∠GEO=∠GDO=90°，从而得证；

（2）先证出∠B=∠ACD，从而得tan∠DCA=tanB，进而得BD=4AD，然后利用直角三角形斜边上的中线的性质求出BD，即可求出结论。11．【答案】（1）证明：由圆周角定理得，∠B=∠E，又∠B=∠D，∴∠E=∠D，∵AE∥DC，∴∠D+∠DAE=180°，∴∠E+∠DAE=180°，∴AD∥CE，∴四边形AECD为平行四边形；（2）作OM⊥BA于M，ON⊥AE于N，∵四边形AECD为平行四边形，∴AE=CD，又AB=DC，∴AE=AB，又OM⊥BA，ON⊥AE，∴AN=AM，而O∴OM=ON，∴AO平分∠BAE．【知识点】平行四边形的判定；圆的综合题【解析】【分析】（1）根据平行线的性质得出∠E+∠DAE=180°，等量代换得出∠D+∠DAE=180°，根据平行线的判定定理得出AE∥DC，由平行四边形的判定定理得出四边形AECD为平行四边形；（2）作OM⊥BA于M，ON⊥AE于N，根据平行四边形的性质得出AE=CD，求得AE=AB，根据垂径定理得出AN=AM，即可得出结论。12．【答案】（1）24（2）197；29【知识点】圆的综合题【解析】【解答】解：（1）如图1，∵四边形PCDE是正方形，∴DP∥AC，∴EPAC=BP即t8=C解得t=247AB，且EF=1时，连接AE、BE、CE，∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，∴AB=10，12×AB×EF+12×AC×DE+112×10×1+12×8×t+12解得t=197如图3，当点E在△ABC的外部时，圆E与直线AB相切，EG⊥AB，且EG=1时，∵∠EGH=∠BPH，∠EHG=∠BHP，∴∠GEH=∠PBH，∴cos∠GEH=cos∠ABC=BCAB=3∴EH=53∵HPAC=BPBC，∴HP=则53+24−4t解得t=297如图4，当圆E与直线CM相切时，EN=1，作MR∥BC，则MR=12BC=3，CR=1∵点M是边AB的中点，∴CM=12tan∠ACM=MRRC=3∴QRCD=3则QD=34t，EQ=1∵∠NEQ=∠ACM，∴ENEQ=114解得t=5．【分析】（1）根据DP∥AC得到成比例线段，代入计算即可；（2）分点E在△ABC的内部、点E在△ABC的外部与AB相切和圆与CM相切三种情况进行分析，运用三角形的面积和锐角三角函数的概念进行解答即可．13．【答案】（1）解：如图1，∠BCE为所作；理由：∵∴∠CAB=∠BEC，∵CE是直径，∴∠BEC+∠BCE=90°，∴∠BCE+∠CAB=90°，∴∠BCE与∠CAB互余；（2）解：如图2，直线AF为所作．理由：∵AD∥BC，∴∠C=∠DCB，∵AC∴∠B=∠D，∴∠DCB=∠B，∴JF垂直平分BC，则AF是△ABC的中线，∴AF将△ABC的面积平分．【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆的综合题【解析】【分析】（1）根据CB⌢=CB⌢，可得∠CAB=∠BEC，再结合∠BEC+∠BCE=90°，可得14．【答案】（1）3（2）解：函数y2的图象如图2所示，过两图象的交点M作x轴的垂线，垂足为N，则垂足N表示的数x≈2.∴从图象可以看出：当x≈2时，y1当0<x<2时，y1当x>2时，y（3）解：如图3，连结OD，过点E作EH⊥AB于点H.由（2）的初步判断，当x≈2时，y1不妨取AC=x=2，此时，OC=1，OD=3.∵DC⊥AB，∴在Rt△ODC中，CD=O设OH=m，则CH=1+m，EH=O∵AD∥CE，∴∠DAC=∠ECO.又∵∠DCA=∠EHC=90°，∴△DAC∽△ECH.∴DCAC∴22∴9−m两边平方并整理得，3m解得，m1∴OH=m=1.∴HC=OH+OC=1+1=2，EH=9−∴EC=C又∵HB=OB-OH=3-1=2，∴EB=B∴EC=EB.∴通过以上计算可知，当取AC=2时，（2）中的结论EC=EB成立.【知识点】圆的综合题；相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解：（1）当x=3时，动点C与圆心O重合，此时，y1=OE=3.故答案为：3【分析】（1）当x=3时，动点C与圆心O重合，即可求出OE（y1）的值.（2）过点M作MN⊥x轴于点N，可得到点M的横坐标约等于2，分情况讨论：当x≈2时;当0<x<2时;当x>2时，利用函数图象，可得到y1与y2的大小关系.

（3）连结OD，过点E作EH⊥AB于点H，利用（2）的判断可知EC=BE，取AC=x=2，此时，可求出OC，OD的长；利用勾股定理求出CD的长，设OH=m，可表示出CH的长，利用勾股定理表示出EH的长；再证明△DAC∽△ECH，利用相似三角形的性质可建立关于m的方程，解方程求出符合题意的m的值；由此可求出HC，EH的长；然后利用勾股定理求出EC的长及EB的长，由此可证得结论.15．【答案】（1）解：在△CDE与△CBF中，∵∠E=∠F，∠ECD=∠FCB，∴∠CDE=∠CBF，∴180°-∠CDE=180°-∠CBF，即∠ADC=∠ABC，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ADC+∠ABC=180°，∴∠ADC=∠ABC=90°；（2）解：∵∠E=∠F=42°，由（1）可知∠ABC=90°，∴∠A=90°-∠E=48°；（3）解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ADC+∠ABC=180°，∴∠EDC+∠FBC=180°，∵∠E+∠EDC+∠ECD=180°，∠F+∠F