2024-2025学年安徽省池州市贵池区高一下学期4月期中教学质量检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1安徽省池州市贵池区2024-2025学年高一下学期4月期中教学质量检测数学试题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.若，则实数（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】依题意，，解得.故选：B2.如图，已知，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由，得，而，所以.故选：A.3.在三角形中，，，，则（）A. B. C.或 D.或【答案】B【解析】由可得：，所以，又，所以，结合内角和定理，所以.故选：B4.在中，角的对边分别为，若，，且，则的面积为（）A.3 B. C. D.【答案】D【解析】因，，且，所以，化为.所以，解得.所以.故选：D.5.中，分别是内角的对边，若且，则的形状是（）A.有一个角是的等腰三角形B.等边三角形C.三边均不相等的直角三角形D.等腰直角三角形【答案】D【解析】如图所示，在边、上分别取点、，使、，以、为邻边作平行四边形，则，显然，因此平行四边形为菱形，平分，而，则有，即，于是得是等腰三角形，即，令直线交于点，则是边的中点，，而，因此有，从而得，所以是等腰直角三角形.故选：D6.“勾3股4弦5”是勾股定理的一个特例.根据记载，西周时期的数学家商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，毕达哥拉斯发现勾股定理早了500多年，如图，在矩形ABCD中，满足“勾3股4弦5”，且，为上一点，.若，则的值为（）A. B. C. D.1【答案】B【解析】由题意建立如图所示直角坐标系因为，则，，，设，因为，所以，解得.由，得，所以解得所以，故选：B.7.在中，点在边上，且满足，点为上任意一点，若实数满足，则的最小值为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由，可得，由三点共线可得，且，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.故选：C.8.若的三个内角均小于，点满足，则点到三角形三个顶点的距离之和最小，点被人们称为费马点.根据以上性质，已知是平面内的任意一个向量，向量满足，且，则的最小值是（）A.9 B. C.6 D.【答案】D【解析】设，，，，，，，则，，，所以，因为为等边三角形，由题意，等边的费马点为的中心，此时取最小值，所以，故选：D．二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.设复数在复平面内对应的点为Z，原点为O，为虚数单位，则下列说法正确的是（）A.若，则或B.若点Z的坐标为，且是关于的方程的一个根，则C.若，则的虚部为D.若，则点的集合所构成的图形的面积为【答案】BD【解析】A中，令，则，故A错误；B中，若点Z的坐标为，则，所以，整理得，所以，解得，所以，故B正确；C中，易知的虚部为，故C错误；D中，记，则，所以，圆的面积为，圆的面积为，所以点的集合所构成的图形的面积为，故D正确.故选：BD10.已知，是两个单位向量，时，的最小值为，则下列结论正确的是（）A.，的夹角是 B.，的夹角是或C.或 D.或【答案】BC【解析】设的夹角为，由题可知，，∵，是两个单位向量，且的最小值为，∴的最小值为，则，解得，∴与的夹角为或，∴或，∴或.故选:BC11.已知三个内角的对应边分别为，且.则下列结论正确（）A.面积的最大值为B.的最大值为C.D.的取值范围为【答案】AC【解析】由余弦定理得：，解得：，由基本不等式得：，当且仅当时，等号成立，所以，故，故A正确；，其中由正弦定理得：，所以，因为，所以，故最大值为，，所以的最大值为，故B错误；，故C正确；，因为，所以，所以，故D错误.故选：AC.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若实数满足，其中为虚数单位，则__________.【答案】【解析】由，可得，解得，所以.故答案为：.13.如图，在海面上有两个观测点B，D，点B在D的正北方向，距离为2km，在某天10:00观察到某航船在C处，此时测得，5分钟后该船行驶至A处，此时测得，，，，则该船行驶的距离为_______km【答案】【解析】依题意，,，在中，，，则，又，则km，在中，，，则，由正弦定理，得AB=km，在中，，由余弦定理得，所以该船行驶的距离km.故答案为：14.我国南宋著名数学家秦九韶发现了“三斜”求积公式，即的三个内角所对的边分别为，则的面积.已知在中，，则面积的最大值为__________.【答案】3【解析】因为，又，则，所以（当且仅当时取等号）.则，所以面积的最大值为.故答案为：.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知复数，且为纯虚数（是的共轭复数）.（1）求实数的值；（2）设复数，求；解：（1）因为，则，所以，又为纯虚数，所以，解得；（2），所以.16.已知.（1）求与的夹角；（2）若向量为在上的投影向量，求.解：（1）因为，所以，即，解得，设与的夹角为，则，所以，故与的夹角为；（2）向量为在上的投影向量，则，故.17.的角的对边分别为，已知.（1）求角A；（2）从三个条件：①；②；③的面积为中任选一个作为已知条件，求周长的取值范围.解：（1）因为，所以，得，所以，因为，所以.（2）分三种情况求解：选择①，因为，由正弦定理得，即的周长，因为，所以，即周长的取值范围是.选择②,因为，由正弦定理得即的周长，因为，所以，所以，即周长的取值范围是.选择③.因为，得，由余弦定理得，即的周长，因为，当且仅当时等号成立，所以.即周长的取值范围是.18.已知在中，为中点，，，.（1）若，求；（2）设和的夹角为，若，求证：；（3）若线段上一动点满足，试确定点的位置.解：（1）因为，则，可得，因为，，，由平面向量数量积的定义可得，所以，.（2）因为为的中点，则，由平面向量数量积的定义可得，所以，，又因为、均为非零向量，故，即.（3）因为点在线段上的一点，设，其中，则，所以，，又因为，且、不共线，所以，，解得，此时，点为线段的中点.19.在平面直角坐标系中，对于非零向量，，定义这两个向量的“相离度”为，容易知道，平行的充要条件为．（1）已知，，求；（2）①已知，的夹角为和，的夹角为，证明：的充分必要条件是；②在中，，，且，若，求．解：（1）．（2）①因为，且，，则，所以．若，等价于，即，所以的充分必要条件是；②因，则，可得，即，可得，又因为，可知点为的重心，则，可得，，则，，，可得，所以．安徽省池州市贵池区2024-2025学年高一下学期4月期中教学质量检测数学试题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.若，则实数（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】依题意，，解得.故选：B2.如图，已知，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由，得，而，所以.故选：A.3.在三角形中，，，，则（）A. B. C.或 D.或【答案】B【解析】由可得：，所以，又，所以，结合内角和定理，所以.故选：B4.在中，角的对边分别为，若，，且，则的面积为（）A.3 B. C. D.【答案】D【解析】因，，且，所以，化为.所以，解得.所以.故选：D.5.中，分别是内角的对边，若且，则的形状是（）A.有一个角是的等腰三角形B.等边三角形C.三边均不相等的直角三角形D.等腰直角三角形【答案】D【解析】如图所示，在边、上分别取点、，使、，以、为邻边作平行四边形，则，显然，因此平行四边形为菱形，平分，而，则有，即，于是得是等腰三角形，即，令直线交于点，则是边的中点，，而，因此有，从而得，所以是等腰直角三角形.故选：D6.“勾3股4弦5”是勾股定理的一个特例.根据记载，西周时期的数学家商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，毕达哥拉斯发现勾股定理早了500多年，如图，在矩形ABCD中，满足“勾3股4弦5”，且，为上一点，.若，则的值为（）A. B. C. D.1【答案】B【解析】由题意建立如图所示直角坐标系因为，则，，，设，因为，所以，解得.由，得，所以解得所以，故选：B.7.在中，点在边上，且满足，点为上任意一点，若实数满足，则的最小值为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由，可得，由三点共线可得，且，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.故选：C.8.若的三个内角均小于，点满足，则点到三角形三个顶点的距离之和最小，点被人们称为费马点.根据以上性质，已知是平面内的任意一个向量，向量满足，且，则的最小值是（）A.9 B. C.6 D.【答案】D【解析】设，，，，，，，则，，，所以，因为为等边三角形，由题意，等边的费马点为的中心，此时取最小值，所以，故选：D．二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.设复数在复平面内对应的点为Z，原点为O，为虚数单位，则下列说法正确的是（）A.若，则或B.若点Z的坐标为，且是关于的方程的一个根，则C.若，则的虚部为D.若，则点的集合所构成的图形的面积为【答案】BD【解析】A中，令，则，故A错误；B中，若点Z的坐标为，则，所以，整理得，所以，解得，所以，故B正确；C中，易知的虚部为，故C错误；D中，记，则，所以，圆的面积为，圆的面积为，所以点的集合所构成的图形的面积为，故D正确.故选：BD10.已知，是两个单位向量，时，的最小值为，则下列结论正确的是（）A.，的夹角是 B.，的夹角是或C.或 D.或【答案】BC【解析】设的夹角为，由题可知，，∵，是两个单位向量，且的最小值为，∴的最小值为，则，解得，∴与的夹角为或，∴或，∴或.故选:BC11.已知三个内角的对应边分别为，且.则下列结论正确（）A.面积的最大值为B.的最大值为C.D.的取值范围为【答案】AC【解析】由余弦定理得：，解得：，由基本不等式得：，当且仅当时，等号成立，所以，故，故A正确；，其中由正弦定理得：，所以，因为，所以，故最大值为，，所以的最大值为，故B错误；，故C正确；，因为，所以，所以，故D错误.故选：AC.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若实数满足，其中为虚数单位，则__________.【答案】【解析】由，可得，解得，所以.故答案为：.13.如图，在海面上有两个观测点B，D，点B在D的正北方向，距离为2km，在某天10:00观察到某航船在C处，此时测得，5分钟后该船行驶至A处，此时测得，，，，则该船行驶的距离为_______km【答案】【解析】依题意，,，在中，，，则，又，则km，在中，，，则，由正弦定理，得AB=km，在中，，由余弦定理得，所以该船行驶的距离km.故答案为：14.我国南宋著名数学家秦九韶发现了“三斜”求积公式，即的三个内角所对的边分别为，则的面积.已知在中，，则面积的最大值为__________.【答案】3【解析】因为，又，则，所以（当且仅当时取等号）.则，所以面积的最大值为.故答案为：.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知复数，且为纯虚数（是的共轭复数）.（1）求实数的值；（2）设复数，求；解：（1）因为，则，所以，又为纯虚数，所以，解得；（2），所以.16.已知.（1）求与的夹角；（2）若向量为在上的投影向量，求.解：（1）因为，所以，即，解得，设与的夹角为，则，所以，故与的夹角为；（2）向量为在上的投影向量，则，故.17.的角的对边分别为，已知.（1）求角A；（2）从三个条件：①；②；③的面积为中任选一个作为已知条件，求周长的取值范围.解：（1）因为，所以，得，所以，因为，所以.（2）分三种情况求解：选择①，因为，由正弦定理得，即的周长，因为，所以，即周长的取值范围是.选择②,因为，由正弦定理得即的周长，因为，所以，所以，即周长的取值范围是.选择③.因为，得，由余弦定理得，即的周长，因为，当且仅当时等号成立，所以.即周长的取值范围是.18.已知在中，为中点，，，.（1）若，求；（2）设和的夹角为，若，求证：；（3）若线段上一动点满足，试确定点的位置.解：（1）因为，则，可得，因为，，，由平面向量数量积的定义可得，所以，