第二章 函数（举一反三综合训练）（全国适用）（解析版）

2/30第二章函数（举一反三综合训练）（全国通用）（考试时间：120分钟；满分：150分）注意事项：1.本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第I卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1．（5分）（2025·广东·三模）下列函数中，既是奇函数又在(0,+∞)单调递增的是（A．y=x3 C．y=−x2+1【答案】A【解题思路】利用奇偶性及单调性逐项判断即可.【解答过程】对于A，函数y=x3是奇函数，在对于B，函数y=|x|+1是偶函数，不是奇函数，B不是；对于C，函数y=−x对于D，函数y=2故选：A.2．（5分）（2025·山东泰安·模拟预测）a=0.30.7,b=0.70.3A．c>b>a B．c>a>bC．a>b>c D．a>c>b【答案】A【解题思路】根据对数函数与指数函数的图象与性质，分别求得a,b,c的取值范围，即可求解.【解答过程】由幂函数y=x0.7为增函数，得由指数函数y=0.7x为减函数，得由对数函数y=log0.7x所以c>b>a.故选：A.3．（5分）（2025·广东茂名·一模）已知函数fx=x2−6x+5在区间a,+A．−∞,1 B．−∞,3 C．【答案】D【解题思路】求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性求解即可.【解答过程】由x2−6x+5≥0，可得x≤1或即函数f(x)的定义域为(−∞又因为t=x2−6x+5在[5,+y=t在[0,+由复合函数的单调性可知fx=xa≥5.故选：D.4．（5分）（2025·北京海淀·三模）历史上，在5月27日曾有多次地震记录．例如：2006年5月27日，印尼爪哇发生里氏6.3级地震，2024年5月27日，四川木里县发生里氏5.0级地震，经过科学家的研究发现，地震时释放出来的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE=4.8+1.5M．印尼爪哇地震所释放出来的能量约是四川木里地震的（

）倍．（精确到1．参考数据：lgA．87 B．88 C．89 D．90【答案】C【解题思路】设印尼地震的能量E1，震级M1=6.3，四川地震的能量E2，震级【解答过程】设印尼地震的能量E1，震级M1=6.3，四川地震的能量E因为地震时释放出来的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE=4.8+1.5M所以lgE且lg88.5≈1.947<1.95<1.952≈所以88.5<E根据精确度要求精确到1，所以E2故选：C.5．（5分）（2025·安徽合肥·模拟预测）函数f(x)=4−x2A． B．C． D．【答案】A【解题思路】根据函数解析式确定函数的图像性质，进而确定.【解答过程】由已知，fx定义域为−2,2，且f所以函数fx故fx图象关于y又f0当x→2时，fx故选：A．6．（5分）（2025·山东德州·三模）已知函数f(x)是定义在R上的增函数，且f(x+1)−2为奇函数，对任意的a∈[−3,2]，不等式f(2a+t)+fa2−1≤4恒成立，则实数A．(−∞,−5] B．(−∞,0] C．【答案】A【解题思路】设gx=fx+1−2，把f(2a+t)+fa2−1≤4转化成g2a+t−1+ga【解答过程】令gx=fx+1由f(2a+t)+fa可得g2a+t−1即g2a+t−1又因为gx为奇函数，所以g因为fx是定义在R上的增函数，所以gx也是定义在故2a+t−1≤2−a2，即因为a∈[−3,2]，所以−a+12+4所以t≤−5，即实数t的取值范围是(−∞故选：A.7．（5分）（2025·河北邢台·三模）已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)为偶函数，f(4+x)=−f(4−x)，则下列说法错误的是（

）A．f(x)的图象关于(4,0)中心对称B．f(x)的周期为8C．f(2025)=f(1)D．当x∈[0,2]时，f(x)=x2−2x，则【答案】D【解题思路】根据题意推理论证周期性、奇偶性、对称性逐一求解判断各项【解答过程】因为f(4+x)=−f(4−x)，所以f(x)的图象关于(4,0)中心对称，故A正确；因为f(x+2)为偶函数，所以f(−x+2)=f(x+2)所以f(x)=f(4−x)，又因为f(4+x)=−f(4−x)，所以f(x)=−f(4+x)，所以f(4+x)=−f(8+x)，所以f(x)=f(8+x)，所以f(x)的一个周期为8，故B正确；f(2025)=f(253×8+1)=f(1)，故C正确；由f(4+x)=−f(4−x)，得f(7)=f(4+3)=−f(1)，又当x∈[0,2]时，f(x)=x2−2x，所以f(1)=故选：D.8．（5分）（2025·山东临沂·三模）已知函数fx=lnx,x>0−x2A．a>1 B．a<0 C．−1<a<0 D．a<−1【答案】D【解题思路】根据题意对实数a进行讨论，分a≥0，a<0，再利用函数零点问题，结合函数图象进行分析求解.【解答过程】⑴当a≥0，x≤0时，fx=−x所以fx在−令fx=t，y=ffx=f即fx=t=0或fx=t=1，根据图象所以此时y=ff当a<0，x≤0时，fx=−x所以fx在−∞,a令fx=t，y=ffx=ft=0根据图象fx=t=2a<0有2个解，又y=ffx有8个零点，所以即a<0fa=故选：D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．（6分）（2025·安徽六安·模拟预测）已知a=log210，b=A．ab<−6.5 B．4a⋅9b=1 【答案】ABD【解题思路】利用对数式与指数式的互化，换底公式，对数的运算性质和对数函数的单调性逐一判断即可.【解答过程】对于A，ab=1lg2⋅−1对于B，由a=log210，b=log3110对于C，由B项可得1a=lg对于D，因b−aab−b故选：ABD.10．（6分）（2025·甘肃定西·模拟预测）声音由物体的振动产生，以波的形式在一定的介质（如固体､液体､气体）中进行传播.在物理学中，声波在单位时间内作用在与其传递方向垂直的单位面积上的能量称为声强IWcm2.但在实际生活中，常用声音的声强级DdB来度量，声强级DdB声强I1010m声强级D102030已知烟花的噪声的声强级一般在90,100，其声强为I1；鞭炮的噪声的声强级一般在100,110，其声强为I2；飞机起飞时发动机的噪声的声强级一般在135,145，其声强为I3A．b−a=110 B．m=C．1100<I【答案】ACD【解题思路】首先代入表格数据中的前2组数据，求a,b，判断A，再根据解析式，代入D=30求m，判断B，根据解析式，结合100<D2<110【解答过程】由题意可得10=alg10−11+b20=alg10因为D=10lgI+120，所以30=10lg由100<10lgI2设烟花噪声､鞭炮噪声和飞机起飞时发动机噪声的声强级分别为D1,D2,D3，由题意知90<D1<100，100<D2<110故选：ACD.11．（6分）（2025·山东泰安·模拟预测）函数f(x)对于任意的x,y∈R，满足f(x−y)−f(x+y)=f(x−1)f(y−1)，且f(0)=2，则（

A．y=xf(x)为偶函数 B．4是函数f(x)的一个周期C．点2025,0是f(x)图象的对称中心 D．i=0【答案】BCD【解题思路】根据给定条件，利用赋值法，结合函数奇偶性、周期性及对称性的意义逐项判断即得.【解答过程】由题知，f(x−y)−f(x+y)=f(x−1)f(y−1)对于选项A：令x=y=0，得f(0)−f(0)=f(−1)f(−1)，所以f(−1)=0，令x=0，得f(−y)−f(y)=f(−1)f(y−1)=0，即f(−y)=f(y)，所以f(x)为偶函数，所以函数ℎ(x)=xf(x)为奇函数，故选项A不正确；对于选项B：令x=1，f(1−y)−f(1+y)=f(0)f(y−1)=2f(y−1)，即f(y+1)=−f(y−1)，f(y+2)=−f(y)=f(y−2)，所以f(x)周期为4，故选项B正确；对于选项C：由B中f(y+1)=−f(y−1)，即f(y+1)+f(y−1)=0，所以f(x)关于1,0对称，且f(1)=0，又f(x)周期为4，所以f(2025)=f(1)=0，故选项C正确；对于选项D：令x=y=1，得f0−f2令x=1,y=2，得f(−1)−f(3)=2f(1)，所以f(3)=0，所以f0故i=02026f(i)故选：BCD.第II卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）（2025·江西萍乡·三模）已知x0ex0【答案】ln【解题思路】利用对数的运算法则计算即可求解.【解答过程】依题意，lnx0e故答案为：ln313．（5分）（2025·山西朔州·模拟预测）已知函数f(x)是定义在R上周期为4的奇函数，若f(1)=1，则f(2)+3f(399)=．【答案】−3【解题思路】根据给定条件，利用函数的奇偶性和周期性求出函数值.【解答过程】函数f(x)是定义在R上周期为4的奇函数，故f(−x)=−f(x)且f(x+4)=f(x)，故f(−2)=−f(2)=f(2)，解得f(2)=0，f(399)=f(399−400)=f(−1)，又f(1)=1，所以f(2)+3f(399)=0+3f(−1)=−3f(1)=−3.故答案为：−3.14．（5分）（2025·河北秦皇岛·三模）已知函数fx满足对∀x∈R都有fx+f−x=0成立．当x≥0时，【答案】−【解题思路】根据f(x)+f(−x)=0得到函数fx是R上的奇函数，继而求出x<0时，fx的解析式并判断fx【解答过程】因为对∀x∈R都有fx+f−x=0，所以又x≥0时，fx=x2+2x=故函数fx在R当x<0时，−x>0，则f−x=x由ffx+f故得fx则有x≥0x2+2x<−x−1即x≥0x2+3x+1<0或x<0所以不等式ffx+f故答案为：−∞四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。15．（13分）（24-25高一上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知函数f(x)=ax+b(1)判断f(x)的奇偶性，并用定义进行证明；(2)若b=2a，试讨论f(x)在(2【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析【解题思路】（1）分a=b=0和a，b不同时为0两种情况讨论可得结论；（2）由已知得f(x)=ax+2ax=ax+2x，分a=0和a≠0两种情况讨论，当【解答过程】（1）当a=b=0时，f(x)=0(x≠0)既是奇函数也是偶函数；当a，b不同时为0时，f(x)是奇函数，证明如下：函数f(x)的定义域为xx≠0，对于∀x∈xx≠0且f(−x)=a(−x)+b故f(x)为奇函数．综上：当a=b=0时，f(x)既是奇函数也是偶函数；当a，b不同时为0时，f(x)是奇函数.（2）当b=2a时，f(x)=ax+2a当a=0时，f(x)=0在(2当a≠0时，任取x1，x2∈(则fx∵x1，x2∴x1−x2若a>0，则fx1−f∴f(x)在(2若a<0，则fx1−f∴f(x)在(216．（15分）（2025·上海金山·三模）如图所示是函数y=Fx的图象，由指数函数fx=(1)已知m+4−b<3−2m(2)若方程Fx−2025−t【答案】(1)−(2)−【解题思路】（1）将点14,12的坐标分别代入函数fx=ax、gx=xb的解析式，求出a、（2）分析可知t2+12t的取值范围即为函数F【解答过程】（1）由题意可得a14=12因为函数y=x−b=由m+4−12<3−2m因此，实数m的取值范围是−1（2）因为方程Fx−2025−t则t2+1由题图可知，函数Fx的值域为12,+∞，故函数所以t2+12t≥12因此，实数t的取值范围是−∞17．（15分）（2025·上海·三模）已知函数f(x)=a⋅(1)当a=−1时，解不等式fx(2)已知函数f(x)为偶函数，且函数g(x)=m⋅f(2x)−f(x)在区间0,log23【答案】(1)(−∞(2)15【解题思路】1根据函数单调性的性质判断fx2根据fx是偶函数求出a，令t=2x+2【解答过程】（1）当a=−1时，函数fx函数是y=−2x和y=2−x都是所以不等式fx2−4解得x<−1或x>5，即原不等式解集为(−∞（2）由于f(x)是偶函数，则f(−x)=f(x)，代入化简得(a−1)2x−令t=2x+2−x所以m⋅t2−22−因为函数y=x−2x在2,10解得m∈1541,1，故m18．（17分）（24-25高二下·河北保定·阶段练习）已知函数fx(1)求b的值.(2)判断函数fx在−1,1上的单调性并说明理由，并求f(3)若函数fx满足不等式ft−1+f【答案】(1)b=1(2)增函数，理由见解析，最大值为12，最小值为(3)0,【解题思路】（1）根据奇函数的定义可求得b的值；（2）判断出函数fx=xx2+1是区间−1,1上的增函数，然后任取x1（3）由ft−1+f2t<0变形得出ft−1<f−2t【解答过程】（1）因为fx在−1,1是奇函数，则f即−x+b−1−x2+1=−x+b−1x2（2）fx=x任取x1、x2∈则f=x因为−1≤x1<x2≤1所以所以fx1−f所以fx=x所以函数fx的