重难点10 导数中的二阶导与洛必达法则（举一反三专项训练）全国适用（原卷版）

2/30重难点10导数中的二阶导与洛必达法则（举一反三专项训练）【全国通用】TOC\o"1-3"\h\u【题型1二阶导解决函数单调性问题】 3【题型2二阶导解决函数极值、最值问题】 3【题型3二阶导解决不等式恒成立问题】 4【题型4二阶导解决函数零点问题】 5【题型5二阶导证明不等式】 6【题型6利用二阶导解决其他问题】 7【题型7洛必达法则】 91、导数中的二阶导与洛必达法则导数是高中数学的重要考查内容，而导数中的二阶导与洛必达法则也是高考考查的一个重点内容.从近几年的高考情况来看，对于有些问题求一次导数之后无法求出导函数的根，甚至也不能直接看出导函数的正负，因此无法判断单调性，所以在高考中就可能用到二阶导数；“洛必达法则”是高等数学中的一个重要定理，用分离参数法(避免分类讨论)解决成立或恒成立命题时，经常需要求在区间端点处的函数(最)值，若出现型或型可以考虑使用洛必达法则，这类问题难度较大，复习是要加强这方面的训练.知识点1二阶导函数1．二阶导及其用法要想判断函数f(x)的单调性，则需要对函数f(x)进行求导，并判断f'(x)的正负，如果f'(x)的正负无法判断，则把f'(x)或者f'(x)中不能判断正负的部分(通常为分子部分)设为新函数g(x)，进而通过对函数g(x)进行求导，进而求g(x)的最值，如果有g(x)min>0或g(x)max<0，则可判断出f'(x)的正负，进一步可判断出函数f(x)的单调性，进而可继续求解问题.2．二阶导问题的解题步骤解决这类问题的一般解题步骤为：第一步，求函数f(x)的定义域；第二步，求函数f(x)的导数f'(x)，并且无法判断导函数f'(x)的正负；第三步，构造函数g(x)=f'(x)，对g(x)求导，得到g'(x)；第四步，找到x，g'(x)，g(x)的变化关系表；第五步，判断出f'(x)的正负，进而得出函数f(x)的单调性，进一步解答问题.知识点2洛必达法则“洛必达法则”是高等数学中的一个重要定理，用分离参数法(避免分类讨论)解决成立或恒成立命题时，经常需要求在区间端点处的函数(最)值，若出现型或型可以考虑使用洛必达法则.1．洛必达法则法则1若函数f(x)和g(x)满足下列条件：(1)及；(2)在点a的去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g'(x)≠0；(3)，那么.法则2若函数f(x)和g(x)满足下列条件：(1)及；(2)在点a的去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g'(x)≠0；(3)，那么.2．用洛必达法则处理型函数的步骤：(1)分离变量；(2)出现型式子；(3)运用洛必达法则求值.3．用洛必达法则处理型函数的步骤：(1)分离变量；(2)出现型式子；(3)运用洛必达法则求值.【注意】：1．将上面公式中的换成，洛必达法则也成立.2．洛必达法则可处理型求极限问题.3．在着手求极限前，首先要检查是否满足型定式，否则滥用洛必达法则会出错，当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限.4．若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止.，如满足条件，可继续使用洛必达法则.【题型1二阶导解决函数单调性问题】【例1】（2025·浙江杭州·模拟预测）定义在0, +∞上的可导函数fx，满足f′x+2fxx=lnxx2，且fe=A．a>b>c B．a>c>b C．b>c>a D．c>b>a【变式1-1】（2025·安徽蚌埠·三模）已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域都是R，若函数f(x)是偶函数，f′(x)+ex+xA．−∞,12 B．12,+【变式1-2】（2025·贵州黔东南·三模）设函数f(x)=ln(1)若a=1，试求函数f(x)的极值；(2)设g(x)=f1x，讨论【变式1-3】（2025·海南·模拟预测）已知函数f(x)=e(1)当a=2时，求f(x)的单调区间与极值点；(2)已知f(x)有两个极值点x1<2<x【题型2二阶导解决函数极值、最值问题】【例2】（2025·河北·模拟预测）已知函数fx=mlnx+x2−2mx，m∈R，若函数fx在A．−∞,−6 C．−∞,−ln【变式2-1】（2025·云南·三模）设函数f(x)=x+ex，g(x)=x+lnx，若存在x1,xA．−1 B．−2 C．−e D．【变式2-2】（2025·北京·二模）已知函数fx=ax−1(1)若曲线y=fx在点1,f1处的切线经过点2,2，求(2)证明：函数fx(3)记函数fx的最小值为ga，求【变式2-3】（2025·北京海淀·三模）已知fx(1)当a=0时，求函数fx(2)a∈−12,−1(3)若不等式fx≥1【题型3二阶导解决不等式恒成立问题】【例3】（24-25高三下·广东广州·阶段练习）∀x∈0,+∞，不等式exA．e2 B．e C．e−1 【变式3-1】（2025·辽宁·一模）已知函数fx=e2x−e−2x−ax，若A．−∞,2 B．−∞,4 C．【变式3-2】（2025·湖北·模拟预测）已知函数f(1)求fx在x=0(2)若关于x的不等式fx+f1−x【变式3-3】（2025·吉林延边·模拟预测）已知函数fx(1)当a=2时，求fx(2)若a≥0，f(x)≥−e22对x∈【题型4二阶导解决函数零点问题】【例4】（2025·湖北恩施·模拟预测）已知函数fx=2x−1−ln(1)若点P是函数y=fx图象上的一点，求点P到直线l(2)若gx=f(x)+te【变式4-1】（2025·北京海淀·三模）已知函数fx=alnx−sinx(1)求a的值．(2)求fx在0,2(3)证明：f′x在0,π2上存在两个零点【变式4-2】（2025·重庆·三模）已知函数fx=x−1ex−ax+b，函数(1)求a，(2)讨论fx【变式4-3】（2025高三·全国·专题练习）已知函数fx(1)当m=2时，求曲线y=fx在点1,f(2)若fx≥−1，求(3)当m>1时，证明：gx【题型5二阶导证明不等式】【例5】（2025·湖南娄底·模拟预测）已知函数fx=lnx−12x(1)若函数f′x的图象与gx的图象的交点的横坐标x(2)当a=1时，证明：fx【变式5-1】（2025·山东·模拟预测）已知函数fx=x+aex−b，曲线y=f(1)求实数a,b的值(2)证明：fx【变式5-2】（2025·海南海口·模拟预测）已知函数f(x)=(x+m)lnx，当x=1时，f(x)的切线斜率(1)求f(x)的单调区间；(2)已知x≥y≥12，若f(x)+f(y)lnx+ln【变式5-3】（2025·海南·模拟预测）已知函数fx(1)若m=1，判断并证明fx(2)当x∈0,+∞时，若函数fx（ⅰ）求m的取值范围；（ⅱ）证明：x1【题型6利用二阶导解决其他问题】【例6】（2025·甘肃白银·模拟预测）已知函数fx=mx−2ex(1)求m的值及fx(2)若存在x∈R，使得fx≤2【变式6-1】（2025·河北张家口·一模）已知f(x)=lnx−a(x+1)，(1)若a=2，求曲线f(x)在x=1处的切线方程；(2)若∃x0∈(0,2]，使f【变式6-2】（2025·江苏扬州·三模）已知函数f(x)=e(1)若b=0，且f′x≥0(2)证明：曲线y=f(x)是中心对称图形；(3)若f(x)>e2−1当且仅当1<x<2【变式6-3】（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知函数f(x)=kx(1)当k>2时，求函数f(x)的单调递增区间；(2)若函数f(x)图象上有三个点A，B，C并且从左到右横坐标成等差数列，判断曲线f(x)在点B处的切线斜率与A，C两点连线斜率的大小关系．【题型7洛必达法则】【例7】（2025高三·全国·专题练习）已知函数fx=ax−2ex−e【变式7-1】（2024高三·全国·专题练习）已知函数fx=lnxx+1+1x，如果当【变式7-2】（2025高三·全国·专题练习）设函数fx(1)若f0=0，f−1=1(2)在（1）条件下，若当x≥0时，fx≥0，求【变式7-3】（2024·浙江·二模）①在微积分中，求极限有一种重要的数学工具——洛必达法则，法则中有结论：若函数fx，gx的导函数分别为f′x，limx→a②设a>0，k是大于1的正整数，若函数fx满足：对任意x∈0,a，均有fx≥fxk成立，且limx→0结合以上两个信息，回答下列问题：(1)试判断fx=x(2)计算：limx→0(3)证明：sinxx−π一、单选题1．（24-25高二下·辽宁沈阳·阶段练习）已知fx=ax−a−1ex+x，若0是A．0,+∞ B．1,+∞ C．−∞2．（2025·四川成都·一模）已知a为常数，函数fx=x−alnxA．0,a B．1,a C．a,1 D．0,13．（2025·江苏常州·模拟预测）函数f(x)=(x−5)ex+A．1 B．3 C．5 D．74．（24-25高二下·吉林长春·期中）1696年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造了一种算法，用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，法则的大意为：在一定条件下通过对分子､分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.如：limx→0sinxx=A．2 B．1 C．0 D．-25．（2025·黑龙江佳木斯·三模）已知不等式xex−x≥lnx+m+3，对∀x∈A．m≤−12 B．m≥−12 C．6．（24-25高二下·新疆伊犁·期中）我们把分子､分母同时趋近于0的分式结构称为00型，比如：当x→0时，ex−1x的极限即为00型.两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子､分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.如：limA．38 B．12 C．17．（2025·云南曲靖·二模）已知函数fx=ax+A．1 B．1e2 C．1e8．（2025·江西新余·模拟预测）若关于x的不等式aex+lnx2≥A．e,+∞ B．0,e C．1二、多选题9．（2025·海南·模拟预测）设函数fx=x+aA．当a=0时，fx的最小值为B．当0<a<1e2C．若fx为增函数，则D．若fx≥010．（2025·四川乐山·三模）已知函数fx=ln4−x−lnx+axA．a=43 C．f'e−111．（2025·湖南常德·模拟预测）已知函数fx=eA．对任意a≥0，fx≥0在B．存在a<0，fx是RC．存在a<0，fxD．任意a<−1，fx在0,+三、填空题12．（2025高三·全国·专题练习）已知函数f(x)=x2lnx−a(x2−1)，a∈R.若当13．（2025·山东泰安·模拟预测）已知函数f(x)=(x−1)(x2+mx+1)既有极大值又有极小值，且f(x)在区间(1,2)上单调，则m的取值范围是14．（2025·全国·二模）若函数fx=axlogaxa>0,a≠1，∀x1,四、解答题15．（2025·湖南长沙·三模）已知函数f(x)=ln(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线经过原点，求a；(2)若a=−1e316．（2024高三·全国·