空间向量基本定理（人教A版选择性）

第02讲空间向量基本定理

【人教A版2019】

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・模块一空间向量基本定理

•模块二用空间向量基本定埋解决相关的几何问题

・模块三课后作业

1.空间向量基本定理

如果三个向量a,b,。不共面，那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实数组j,z),使得p

=M+)办+ZC.

我们把｛“，b,c｝叫做空间的一个基底，a,b,c都叫做基向量.

2.用基底表示向量的步骤：

(1)定基底：根据己知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底.

(2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合

相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果.

(3)下结论：利用空间的一个基底口，九2｝可以表示出空间所有向星.表示要彻底，结果中只能含

有"b,c,不能含有其他形式的向量.

3.空间向量的正交分解

(1)单位正交基底

如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1,那么这个基底叫做单位正交基底，常

用"，j,A｝表示.

(2)向量的正交分解

由空间向量基本定理可知，对空间任一向量。，均可以分解为三个向量yj,z&使得a=M+0+zA.像

这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解.

考点剖析

【考点1用空间基底表示向量】

【例1.1](2023春•高二单元测试)如图，在空间四边形。48c中，画=a,OB=b,OC=ct且0M=2M4

BN-NC,则丽等于()

A.-3aH•一3b+-2cB.-2aH--2b-2c

C.D.

--3a+2-b+-2c-2a--3b+2-c

【解题思路】根据空间向量的线性运算可得结果.

【解答过程】因为BN=NC,即N为BC的中点，所以而=：（而+瓦），

因为0M=2M/,所以而7=]万心

~MN=0N-OM=-COB+OC）--OA=--a+-5+-c.

2'73322

故选：C.

【例1.2]（2023春・江苏常州•高二校考阶段练习）已知空间四边形048c中，OA=a,OB=b,OC=c,

点M在BC上，且MB=2MC,N为04中点，则而等于（）

C.-^-d-^b+^cD.\d-\b-^c

232233

【解题思路】根据空间向量的线性运算，用万5、丽和沆表示出而即可.

【解答过程】解：因为点M在BC上，且M8=2MC,所以前二g沅，

所以而=MC+CO+ON

1一一1一

=-BC-OC+-OA

32

11

=-（0C-OB'）-OC+-0A

J乙

1一1一一1一

=-0C--0B-OC+-0A

332

2__,1___1___

=--0C--0B+-0A

2r1-1-

=--c-~b+-a

故选：D.

【变式1.1]（2023•江苏•高二专题练习）如图，在平行六面体40CD-4181c也中,P为力劣与分0的交点,

若48=a,AD=b,AA±=c,则CP=（）

B.-a-^b+^c

D.a-\b-\c

【解题思路】利用空间向最线性运算结合平行六面体的结构特征计算作答.

【解答过程】在平行六面体中，因。为与的交点，则点。是小劣中点,

所以乔=CD+DP=-AB+-（DA+西）=-AB--AD+-AA^=-a--b+-c.

2v1722122

故选：B.

【变式1.2］（2023秋・河南许昌•高二校考期末）如图所示，在平行六面体48CD-4B1G2中，AC与BC的

交点为M.设=d,A1D1=b,AxA=c,则下列向量中与281M相等的向量是（)

A

A.—a+b+2cB.a+b-V2cC.a-5+2cD.-a—b4*2c

【解题思路】根据题意用向量硒，而，中去表示瓦标再由硒*=五,而=£羽=号即可得出结果.

【解答过程】

由图可得瓦而=瓦且+丽=瓦石+1丽二瓦万+-（FX+BC）=c+-（-a+b）,

222

所以231M=2c-a+b.

所以而=:丽，

因为丽=瓦5+正，

所以丽=工丽、西+工布

222

1一1/I一1—2—\

=-PA+T:\7：PB-^--PC--PA]

22\333）

1一1—.1一1—

=-PA+-PD+-PC--PA

z663

=-P^4+-P^+-PC,

666

因为丽=xPA+yPB+zPC,

所以x=y=z=1,

6

所以（“，Z）为（3级）,

故选：B.

【变式2.1]（2022,全国•高二假期作业）如图，在三棱锥0-4BC中，点G为底面△ABC的重心，点M是线

段0G上靠近点G的三等分点，过点M的平面分别交棱04,OB,。。于点D,E,凡若丽=kOA,OE=mOB,

OF=nOC,则2+工=（）

kmn

【解题思路】由空间向量基本定理，用瓦?，丽，瓦表示丽，由O,E,F,M四点共面，可得存在实数尢〃，

使两二疝S+〃而，再转化为丽=（1-入-〃）而2+痴布+3沆，由空间向量分解的唯一性，分析

即得解.

【解答过程】由题意可知，=|（O4+=|[o7+|x|（^+^c）]

2r—、1—，—,1—►—»12—.2—,2—►

=-\OA+-（OB-OA）+-（OC-。4）]=^OA+-OB+-OC

因为Q,E,F,M四点共面，所以存在实数;1,〃，使两=2屁+〃方A

所以而一说=2（左一而）+〃（方一丽），

所以而=（1-A-n^OD+WE+面=（1-A-ii）kOA+AniOB+^nOC,

所以（Am=,

I4n号

所叶+5+；4IT-〃）+9+H

故选：D.

【变式2.2】（2022秋.河南.高二校考阶段练习）在棱长为1的正方体ABC。一万中,M,N,H分别

在棱BBi，BC,84上，且满足丽=；西,BN=河,~BH=:而，0是平面&HN,平面力CM与平面为8001

的一个公共点，设的=%丽+丫丽+z丽，Mx+y+3z=（）

A12BCD竺

5555

【解题思路】根据条件确定。点位置，再根据向量表示确定％y,z的值，即得结果.

【解答过程】

如图，Q为AC与BD交点、,P为BQ中点，。为MQ与81P的交点.过P作PT平行MQ交于7.

如图，则7为BM中点，所以MT=l8M=-x-BB=-x-x=-MB

2241242v

所以瓦5二I赤，

因此丽I西+|丽=建丽+冷画+丽)气丽+1丽+:而，

因为80=xBH+yBN+zBM,所以z=^,x=g,y=(,：•x+y+3z=募.

故选：C.

【考点3正交分解】

【例3.1](2023春•高二课时练习)已知伍玄丹是空间的一个单位正交基底，向量/=&+23+33

[a^-b,a-3,可是空间的另一个基底，向量力在基底｛d+b,a-£1｝下的坐标为()

A.(|,-1,3)B.(-1.1,3)C,Q,-1,3)D.

【解题思路】设p=%(五+B)+y0-B)+z*根据空间向量基本定理建立关于爸y,z的方程，解之即可得

解.

【解答过程】解：设p=x(a+»+y(a-b)+zc

=(x+y)a+(x-y)b+zc=a+2b+3c,

所以向量力在基底缶+b,a-b,/｝下的坐标为(I，一/3).

故选:A.

【例3.2](2023•全国•高二专题练习)设｛灯,竹是单位正交基底，已知五=i+=%+K若向

量力在基底｛五石，引下的坐标为(8,6,4),则向量/在基底｛订,修下的坐标是()

A.(10,12,14)B.(14,12,10)

C.(12,14,10)D.(4,3,2)

【解题思路】根据向量方在基底依族同下的坐标为(8,6,4)得到6=12i+147+10H即可得到向量力在基底

｛己或｝下的坐标.

【解答过程】因为向量方在基底值江码下的坐标为(8,6,4),所以方=8d+6b+4C=8(I+7)+60+k)4-

4(k+i)=12i+1474-10k,所以向量力在基底，J,1｝卜的坐标为(12,14,10).

故选：C.

【变式3.1](2023•高二课时练习)在棱长为1的正方体4%?以小£。/中用。/的中点为M,8。的中点为

N,若以｛砺，虎，西'｝为单位正交基底，则标的坐标为()

A.(尔)B.&y)

C.(0,蓊D・

【解题思路】根据正方体的性质，应用空间向量加减的几何表示可得mN=0・而+?觉+》西，即得

标的坐标.

DA

【解答过程】

由标=而-说=丽+印-而-D^M=DJV-DyM=加诉-iD^A=\(D^+布)-

*丽+硒=河+萍一河+2西=0.郎+]玩+?西，故而=(0,另).

故选：C.

【变式3.2](2023秋•黑龙江大庆・高二统考期末)但工碍是空向的一个单位正交基底，户在基底仅石,可下的

坐标为(2,1,5),则为在基底｛,+1»+己G+引下的坐标为()

A.(-1,2,3)B.(1,-2,3)C.(1,2,-3)D.(-3,2,1)

【解题思路】设向量万在基底拒+b,b+c,a+丹下的坐标为(%,yz),根据空间向量基本定理得到方程组，

解得即可.

【解答过程】解：由题意向量方=26+3+5泊设向量力在基底低+/工+3G+H下的坐标为(x,y,z),

p=x(a+b)+y(b+c)+z(a+c),

：,2a+b+5c=x(a+B)+y(b+c)+z(a+c)

(x+z=2(x=-1

lx+y=1解得y=2,

(y+z=5z=3

所以向量力在基底｛a+£3+己五十可卜的坐标为(一1,2,3),

故选：A.

模块二用空间向量基本定理解决相关的几何问题

基础知识

1.证明平行、共线、共面问题

(1)对于空间任意两个向量。，Mb#。)，的充要条件是存在实数九使。=助.

(2)如果两个向量a,b不共线，那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),

使p=.ra+)力.

2.求夹角、证明垂直问题

(1)”为a,b的夹角，则COS。=而而.

(2)若0,。是非零向量，则力=0.

3.求距离(长度)问题

\a\=y[^a(\AB\=\IABAB).

4.利用空间向量基本定理解决几何问题的思路：

(1)平行和点共线都可以转化为向量共线问题；点线共面可以转化为向量共面问题；

(2)几何中的求夹角、证明垂直都可以转化为向量的夹角问题，解题中要注意角的范围；

(3)几何中求距离(长度)都可以转化为向量的模，用向量的数量积可以求得.

【注】用已知向量表示某一向量的三个关键点：

(1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键.

(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量

的始点指向末尾向量的终点的向量.

(3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立.

考点剖析

【考点4证明平行、共线、共面问题】

【例4.1](2023•全国•富二假期作业)如图，正方体—中，。为4c上一点，且项=：彳忑,

BD与AC交于点M.求证：JO,“三点共线.

【解题思路】取空间的基底，利用空间向量基本定理探求西,丽的关系，即可推理作答.

【解答过程】在正方体ABCD—aBiGDi中，令而=优而=行，丽＜=乙

布=|中，3。与AC交于点M,即点M是力C的中点，

于是丽=MC+CO=^AC+：淳；=\AC+^(AA^-AC)=2AC+否

=海+硒+河=)+笆

西=流+西＞=逐+标=/方+硒+标=匆+转+房

因此而1=3祈。，而直线MO1与直线M。有公共点M,

所以G，O,M三点共线.

【例4.2］（2023•江苏•高二专题练习）如图，正方体48CD-A&CD的棱长为1,E,F,G分别为C'。',

AD',D'D的中点.求证：EF//AC.

［解题思路】利用空间向量基本定理和空间向量共线定理证明.

【解答过程】证明：设刀=f,DC=j,丽=K

则｛i,j,k）构成空间的一个单位正交基底.

所以丽=市_既=3_打=3（了_；）,CA=DA-DC=t-j.

所以而二g瓦

所以EF〃人C.

【变式4.1］（2023秋•高二课时练习）己知A,B,C三点不共线，对平面A3c外的任一点O,若点M满足

0M=^（0A+0B+0C）.

（1）判断拓?，而瓦丽三个向量是否共面；

（2）判断点M是否在平面ABC内.

【解题思路】（1）根据空间向量的线性运算，结合平面向量基本定理证明即可；

（2）根据（1）结合平面向量的基本定理判断即可.

【解答过程】（I）由题知刀+丽+说=3丽，

・••溟-0M=0M-OB+0M-0C,

即拓5=BM+CM=-MB-流，

••・布5,而，沅共面.

（2）rh（1）如，而不，而，而共而且基线过同一点

:.M,A,B,。四点共面，从而点M在平面A8C内.

【变式4.2](2022秋・湖北武汉•高二校考阶段练习)在正四棱锥P-4BCD中，点M,N,S分别是棱P4,P8,PC

上的点，且丽=”再(，丽=、而，丙=zF?,其中羽y,zW(0,1].

⑴若％=l,y=｝且PD〃平面MNS,求z的值：

(2)若X=：,、=也且点。W平面MNS,求z的值.

【解题思路】(I)由PD〃平面MNS利用共面定理可得丽=万闲+〃市再将而、布转化为用可、两、

玩来表示，再利用空间向量的基本定理即可求解.

(3)由点DE平面MNS,可知0、M、N、S四点共面，再利用共面定理的推论即可求解.

【解答过程】(1)V丽=%用?,丽=、丽,丙=2无且％=l,y=1,

:.PM=PA,PN=^PB,

在正四棱锥P一力BCD中丽=瓦？+丽，

可得而-PB=PA-PB+PC-PB,

即而二西一丽+丽，

乂PD〃平面MNS.•.所以存在实数;I、〃使得丽=AMN+uMS,

即而=A(PN-PM)+n(PS-PA?)=(-A-n)PA+]而+〃z无，

又而=瓦？一而+而旦刀.PB.无不共面，

f—X—/z=1

)=-1解的z=1.

、〃z=1

(2)由(2)可知而=瓦？一方+正

又丽=xPA,PN=yPB.'PS=z无且％=\,y=

可得而=之丽一2丽+工方

2z

又点DG平面MNS,即0、M、N、S四点共面

所以|—2+；1解得z二|.

【考点5几何中的求夹角、证明垂直问题】

【例5.1](2023♦江苏•高二专题练习)如图，在平行六面体ABCD-ABiCiDi中，以顶点A为端点的三条棱

长都为1,且两两夹角为60。，求8Di与AC的夹角的余弦值.

【解题思路】设出基向量，然后根据图形，结合几何关系用基向量表示出西=-6+3+冷AC=a+b.

进而根据数量积的运算律求出向量的模以及数量积，即可根据数量积的定义公式得出西以及祀夹角的余

弦值,即可得出答案.

【解答过程】设AB=a,AD=b,AAr=c,

由已知可得Gb=a-c=bc=\.xlxcos60°=J.

因为西=BA+BC+西=-AB+AD+标=-d+b+c,

AC=AB4-AD=a+b,

所以，月。12=(—n4-h4-c)2=a2+ft2+r2—2n•/)+?!)-c—2n-c=14-14-1—2x^4-2x^—2x1=

2,

AC2=(a+b)=d2+b2+2d-b=l+l+2x1=3,

BD；•=(—d+b+c)­(d4-5)=—a2—d-b+a-b+b2+d-c-l-b-c=-1—1+|+1+|+|=1,

所以|西|=V2,\AC\=遮，

所以，3s〈BDi，AC)=禺禽=/宗=存

故直线映与力C的夹角的余弦值为半.

6

【例5.2](2023•江苏•高二专题练习)已知空间四边形OA8C中，乙A08=乙BOC=乙AOC,且OA=OB=OC,

M，N分别是OA,8C的中点，G是MN的中点，求证：OG上BC.

【解题思路】取定基底向量府，丽，瓦，并分别记为五工,3再用基底表示出而和说，然后借助数量积即可

计算作答.

【解答过程】在空间四边形OA8C中，令函=6,而=3,瓦=3则@=|瓦=|可，

^-AAOB=^BOC=^AOC=6,G是MN的中点，如图,

0

M

B

则而=\(OM+ON)=^OA+1(OB+OC)]=^(a+5+c),BC=0C-OB=c-b,

于是得OG-5C=^(a+b+c)-(c-5)=^(d-c—a-b+d-c-P+c2-6-c)

=^(|a|2cos0-|a|2cos0-\a\2+|a|2)=0,

因此，OGIBC,

所以OGLBC.

【变式5.1](2023•全国•校联考一模)如图所示，已知空间四边形A8CO的每条边和对角线长都等于1,点

E,F,G分别是A8,AD,CD的中点.设而=五，AC=b,AD=c.

(1)求证£6_1_48：

(2)求异面直线AG和CE所成角的余弦值.

【解题思路】(1)作出辅助线，利用三线合一证明出CE1/18,DE148,从而得到线面垂直，进而证明线

线垂直；

(2)用表达而与瓦，利用空间向量央角公式求解异面白线AG和C七所成角的余弦值.

【解答过程】(1)证明：连接OE,

因为空间四边形八BC。的每条边和对角线长都等于I,且£G分别是人从CO的中点，

所以4c=BC,BD=AD,

^.CELAB.DE1AB,

又因为CECDE=E,

所以48_L平面CDE,

因为EGu平面CDE,

所以481EG.

（2）由题意得：△43。0力以）°430均为等边二角形且边长为1,

所以AG=EC=^

布=逆+0,及'=［（前+而）（而-而+硝=b-\a,

所以4G-EC=1（54-c）-（5-1a）=^b2—^ab+^c-b—^ac

=:-；|d|•|/?|cos60°+|c|•|S|cos60°|a|•|c|cos60°

*乙*

=一1一一1+,—1——11,

28482

设异面直线AG和CE所成角为仇

则cos。=|cos丽，硝|=瑞霸=品=提

22

【变式5.2］（2022秋・天津滨海新•高二校考阶段练习）已知平行六面体力BCD-4BCD1的底面是边长为

1的菱形，且“iCB=（CD=乙BCD=/DDi=2.

«J

（1）证明：DDi180；

（2）求异面直线。4i与4B夹角的余弦值.

【解题思路】（1）由题，选定空间中三个不共面的向量为基向量，只需证明西•前二0即可；

（2）用基向量求解向量直；刀的夹角即可，先计算向量的数量枳，再求模长，代值计算即可.

【解答过程】设CO=五，CB=h,CCX=c

由题可知：G,反己两两之间的夹角均为%且@=1=|瓦，|c|=2

（1）由而•丽=苑•（而一询

=c-(a—b)=c-d—c-b=l-1=0

所以DZ）iJ_8C即证.

（2）由西=而+而+何=a+3+乙又而=一。

所以|琮7|=/（五+3+丹2=41,|而|=1

又C4；-AF=-a-(d+6+c)=-^

则cos<CAltAB>=j=ii=^=

又异面直线夹角范围为（0,乡

所以异面直线夹角的余弦值为空.

【考点6几何中的求距离（长度）问题】

【例6.1]（2023秋•高二课时练习）如图所示，在平行六面体4BCD-4BiGDi中，底面4BCD是边长为1

的正方形，AAi=2,=乙％40=120。，求西的长.

【解题思路】设而=a,AD=bfAA；=c,计算|西|=|a-b+c|=J|a-5+4?可得答案.

【解答过程】设荏=a,AD=b,AA；=c,

则同=扬|=L|c|=2,a-b=0,c-a=cb=2xlxcosl20°=—1»

因为西=成+标+^7^>=d-b+c,

所以|万瓦|=\a—b+c\=J|a—b+c\=>1a2+b2+c2-2d-b+2d-c-2b-c=瓜.

【例6.2]（2023秋♦高二课时练习）如图所示,在平行六面体ABCD-AiBQDi中,底面ABCD是边长为1

的正方形，力4=2,LAXAB=^AD=120°.求线段AG的长.

【解题思路】设荏=乙AD=b,标=乙由|西|二忖+3-日=几71二1计算可得答案.

【解答过程】设力B=d,AD=b,AAr=c,

则|矶=|同=1,|c|=2,a-b=0♦

c-a=C'b=2xlxcosl20°=—1,

•・•宿=AC+CC^=AB+AD+AA^=a+b+c,

|.4C；|—|a4-b+c|-4-b+c）

=Jlaf2+|S|24-\c\2+2（a•S+b•c+c-a）

="2+12+22+2（0-1-1）=V2.

・•・线段AG的长为位.

【变式6.1］（2023•高二课时练习）如图所示，在平行四边形4BCD中，AB=AC=1,=90°,沿它

的对角线4c将△ACD折起，使AB与CD成60°角，求此时8,D两点间的距离.

【解题思路】利用空间向量线性运算可得而二瓦5+照+而，结合数量积的运算律可求得|而「，进而得

到所求结果.

【解答过程】•.•四边形/18C0为平行四边形，.•・又乙4CD=90。，Z.CAB=90°,

.•.元•方=0,宿熬=0,

•••在空间四边形48。0中，与C。成60°角，.•・<瓦（，）>=60。或120。，

2222

又访=数+与+而，|西=|明+国+|函++2BA-CD+2ACCD=3+2xlx

1xcos<BA,CD>,

当<BA,CD>=60。时，|丽『=4,/.\BD\=2,即此时B,D两点间的距离为2；

当<既而>=120。时，|丽广二2,二|丽|二&，即此时8,。两点间的距离为近；

综上所述：8,0两点间的距离为2或企.

【变式6.2］（2022秋.河南洛阳•高二校考阶段练习）如图，在平行六面体人中，人4=八£）=4人尸1,

ZBAD=ZBAA!=60°,NDM产120°.求：

⑴行•标的值.

⑵线段A。的长

【解题思路】（1）直接套用向量的内积公式即可；

（2）选取｛丽，AC,福｝作为一组基底，福用基底表示，|福阳『=J（何尸

二］〔彳万+西+函尸代入求解.即可得出答案.

【解答过程】（1）ABAD=\AB\•|^D|cos<AB,AD>

=1xlcos60°

_i

~2,

（2）选取｛X5,AC,福｝作为一组基底，

则宿=荏+西+电,

则砥上晒子=辰^

=］（而+西+跖*）2

"西尸+（西尸+（当。1）2+2-AB-西+2•而•+2•西•8^

二Jl荷十|西广十I瓦司2+2,AB,BB[+2,AB•81cl+2•B,B]C]

=V1Z+l2+l2+2xlxlcos60e+2x1xlcos600+2x1xlcosl20"

=V4

=2.

模块三课后作业PJ

1.（2023春•甘肃天水.高二校考期中）已知空间向量五,£乙下列命题正确的是（）

A.若五与B共线，B与1共线，则五与1共线

B.若五万非零且共面，则它们所在的直线共面

C.若不共面，那么对任意一个空间向量力，存在唯一有序实数组（x,y,z）,使得p=xd+yB+zA

D.若乙族不共线，向量,=府+4（尢〃6RJU〃H0）,则｛&3,外可以构成空间的一个基底

【解题思路】根据共线向量、共面向量、空间向量的基本定理、基底等知识对选项进行分析，由此确定正

确答案.

【解答过程】A选项，若，与彼共线，本与1共线，当族为零向量时,

d与0不一•定共线，所以A选项错误.

B选项，若G,£5非零且共面，则它们所在的直线不一定共面，

比如正方体上底面的两条对角线，和下底面的一条对角线，

对应的向量共面，但直线不共面，所以B选项错误.

C选项，根据空间向量的基本定理可知，C选项正确.

D选项，若,,3不共线，向量F=4G+（尢〃€R且加00）,

则5万,1共面，所以d石，［不能构成基底，D选项错误.

故选：C.

2.（2023秋•高二课时练习）已知五行"是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（）

A.3d,a—b,a+2bB.2b,b—2d,b+2d

C.a,2b,b-cD.c,d+c,a-c

【解题思路】利用空间向量的基底的定义，逐项判断作答.

【解答过程】向量乙瓦，是不共面的三个向量，

对于A,3五=2伍-B)+伍+2杨，则向量3五,五一3,五+2反共面，A不能构成空间基底：

对于B,25=(b-2a)+(5+2d),则向量涕是一2G石+2五共面，B不能构成空间基底；

对于D,2c=(a+c)-(a-c},则向量己G+dG—m共面，D不能构成空间基底；

对于C,假定向量匕2百族一才共面，则存在不全为0的实数A％，使得&=2/1》+小色一斗

1=0

整理得d-(2%+%"+也不=祝而向量乙♦［不共面,则有211+^2=0，显然不成立，

12=o

所以向曷a231-o不共面，能构成空间的一个基底，c能构成空间基底.

故选：C.

3.(2023春•而二课时练习)若依了,口构成空间的个基底，则下列向量共面的是()

A.2d-b,a+b-c,7d4-5?+3c

B.2a+b,a+b+c,7a+5?4-3c

C.2a4-b,d+b+c,6a+2?+4c

D.2a-b,a+b-c,6a+4b+2c

【解题思路】根据空间向量基本定理以及空间基底逐一判断四个选项的正误即可得正确选项.

【解答过程】解：对于A,设7a+5b+3c=4&Q-b)+〃(a+b-c)=(22+〃)a+(〃--〃c,

22+〃=7

所以〃—入=5,此方程组无解1所以2d—b,o+b—c»7G+5匕+不共面；

f=3

对于B,因为2(2G+»+3(d+N+F)=76+5^+33所以2G+B,a+b+c,7d+5^+31共面：

对于C,设6G+2b+4c=A(2a+h)+g(a+b+c)=(2A+g)a-(〃+%)5+〃冷

2/l+〃=6

所以〃+2=2,此方程组无解，所以*+5,a+b+c,6G+2B+4F不共面；

〃=4

对于D,设6Q4-4b+2c=1(2Q-b)+〃+b-2)=(24+〃)Q+(〃-A)b-〃之，

22+〃=6

所以〃—2=4,此方程组无解：所以2&—b,a+b—c6@+4b+2l不共面；

一〃=2

故选：B.

4.（2023春•高二课时练习）在三棱锥。一力BC中，G是△力BC的重心，M是线段OG的中点，若而？=%万？+

yO3+zOC,则X+y+z=（）

11a

A.--B.-C.--D.I

244

【解题思路】根据空间向量的运算，用基底表示出相关向量，根据空间向量基本定理，即可求得答案.

【解答过程】如图在三棱锥。-ABC中，连接力G并延长交8c于。，

则D为8C的中点，

B

M是线段OG的中点，G是△ABC的重心,

则而？=3(-况+硝=--^4+-X-AD=--OA+-AD

2、722323

1一11一一1一1一一

=--OA+-x-(AB+AQ=--OA+-(AB+AQ

23226

=-^OA+^(OB-OA+OC-OA)

=--OA+-OB+-OC,

666

故x==：,z=；,故x+y+z=-;.

6662

故选:A.

5.（2023秋•高二课时练习）在四面体。48c中，点M在。4上，月.0M=2M4N为8C的中点，若赤=：刀+

^-OB+^OC,贝IJ使G与M.N共线的比的值为（）

44

24

A.IB.2C.-D.-

33

【解题思路】根据G,M,N三点共线，进行求解即可.

【解答过程】丽=：（而+况OM=^OA,

假设G,M,N三点共线，则存在实数＞1使得

OG=WN+（1-

A一一2(1-A)一

=-(OB+OC)+\JOA

Z*D

2(1-A)—.A-.a—

=--OA+-OB+-0C

322

=^OA+^OB^OC,

344

p(l-A)1

得《=7，解得％=1,A=

z4Z

4=土

l24

故选：A.

6.(2023春・江西南昌•高二校联考阶段练习)半正多面体又称号J基米德多面体”，它是由边数不全相同的

正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美.把正四面体的每条棱三等分，截去顶角所在的小正四面体，

得到一个有八个面的半正多面体，如图，点P,A,B,C,。为该半正多面体的顶点，若万？=*PB=h,

PC=c,则而=()

.——1a-+,nt+,-1c-n—CL-bk—Jc

A.22B.-22

ca-—ibr+।-icn1।rI-c

C.22D.-2a4-2o—

【解题思路】根据空间向量线性运算法则计算可得.

【解答过程】如下图所示丽=PA+AC=PA+2BD=PA+2PD-2PB,

所以而=一：同+而+：玩=一家+加+江.

故选:A.

7.（2023春•高二单元测试）己知A,B,C三点不共线，。是平面/WC外一点，下列条件中能确定点M与

点A,8,C一定共面的是（）

A.OM=OA+OB+OCB.OM=OA+2OB+3OC

C.OM=-OA+-OB+-OCD.OM=-OA+-OB+-OC

222333

【解题思路】首先利用坐标法，排除错误选项，然后对符合的选项验证存在九〃使得前=入而+〃尼，由

此得出正确选项.

【解答过程】不妨设。（0,0,0）,力（1。1）,8（0,0,1）,C（0,1,1）.

对干A选项，OM=OA+OB+OC=（1,1,3）»由于M的竖坐标3>1,故M不在平面48c上，故A选项错

误.

对于B选项，OM=OA+2OB4-3OC=（1,3,6）,由于M的竖坐标6>1,故M不在平面A8C上，故B选项

错误.

对干C选项，而=1雨+］砺+：沅=（：,；，，由于M的竖坐标;>1,故M不在平面ABC二，故C选项

错误.

对于D选项，OM=-OA+-OB-^-OC=由于M的竖坐标为1,故M在平面ABC上，也即A,B,C,M

333\33J

四点共面.下面证明结论一定成立：

由丽=3a+3而+:瓦，得而-初二3（而-西）+3（无一西），

即福二:而+：m，故存在=g使得前=2而+〃尼成立，也即4SGM四点共面.

故选：D.

8.（2023春•江西抚州•高一统考期末）把边长为2企的正方形为BCD沿对角线8D折起，使得平面ABD与平

面CBD所成二面角的大小为60。，则异面直线4D与BC所成角的余弦值为（）

D-7

【解题思路】画出图形，利用空间向量基本定理转化求解即可

【解答过程】如图，取的中点，连接，

因为48=BC=CD=AD=2VL^BAD=乙BCD=90%

所以。4=OB=OC=OD=2,OC1BD,OA1BD,

所以4/WC为平面48。与平面所成二面角的平面角，即乙4UC=60",

所以△4。。为等边三角形，所以4c=2,

因为彳？=而+而+近，

2

所以前2=（而+而+近），

所以4=同2+丽2+近2+2AD•~DB+2AD•BC+2DB•BC,

所以4=8+16+8+2x2或x4cos多+2x2&x2yf2cos（ADfBC）+2x4x2A/2COS^,

即16cos（而函=4,得cos（而西=p

所以异面直线力。与8c所成角的余弦值为：，

4

故选:A.

A

9.（2023春•江苏淮安・高二统考期中）如图，在平行六面体48CC—&BiGDi中，E,”分别在棱和

上，且OF=20。1.记EF=x/18+y力D+z«i，若％+y+z=L则色=()

24

1

c

-

3D.

【解题思路】设署=九由空间向量的线性运算可得加=-而+而+（;a）丽*,由空间向量基本定理

即可求解.

【解答过程】设煞=4，因为苏=丽+瓦5+而+而=一人西-彳豆+而+：西

=-入猛-AB+AD+=-AB+而+G-入）诟，

所以％=—1,y=1,z=1-A.

因为x+y+z=：—2=；,所以a="

244

故选:B.

10.（2023春•黑龙江牡丹江•高一校考期末）如图，在平行六面体ABC。-A】BiG。］中，底面是边长为1的

正方形，若乙MB=乙4"。=60。,且441=2,则AQ的长为（）

A.V5B.2&C.V10D.715

【解题思路】将彳瓦而，而作为基底，利用空间向量基本定理用基底表示福*，然后对其平方化简后，再开

方可求得结果

【解答过程】由题意得|而|二|而|二1,|京|=2,（而，而）=90。,（而，而）=（而，京）=60。，

因为碣=而+近+西

=ABAD+力力1，

所以温之二（而+而+丽*）2

=AB2+AD2+ZT2+2AB-AD+2AB-XT+2AD-ZT

=14-l+4+2xlxlcos90°+2x1x2cos60°+2x1x2cos600

=10,

所以I福l=m,

故选:c.

11.（2023秋•高二课时练习）已知｛评,五瓦｝为空间的一个基底,且而=国+2筱一耳，砺=-3可+直+2瓦,

沆=瓦+五一瓦，能否以｛瓦5,而，沆｝作为空间的一组基底？

._.―.｛1=-3m4-n

【解题思路】假设存在不全为0的实数m,n,使得a=小丽十几无成立，则2=m+n,通过此方程

I—1=2m—n

组的解即可判断出结论.

【解答过程】假设存在不全为0的实数m，n,使得=m赤十/沆成立，

即瓦+2孩一瓦=m（-3e7+互+2瓦）+〃（瓦+石一瓦），

1=—37n+n

所以2=m+〃，此方程组无解，

—1=2m-n

即不存在不全为0的实数m,九，使得西=m砺+n近成立，

因此假设不成立.所以赤，而，而不共面，

所以能以用,OB,反｝作为空间的一组基底.

12.（2023秋•高二课时练习）如图所示,在平行六面体4BCD-4$iCiDi中,E,F分别在BBi和DD1上,

RBE=DF=^DD1.

（1）证明：小E、C］、?四点共面.

（2）若EF=xAB4-yAD+zAAt,求x+y+z.

【解题思路】（1）在CG上取一点G.使得CG=：CQ,连接EG、DG,根据平行六面体的性质OG〃尸G、4£〃DG,

«5

即可得到AE〃尸G，即可得证；

（2）结合图形，根据空间向量线性运算法则计算可得.

【解答过程】（1）证明：在CQ上取一点G,使得CG=：CQ,连接EG、DG,

在平行六面体ABCD-4181Goi中，BE=初1，D尸二|oo/CG=^CC^

DF〃GG且0尸=GG,BE〃CG比BE=CG,

所以四边形OFGG为平行四边形，四边形8EGC为平行四边形，

所以DG〃FG，EG//BCnEG=BC,

y.AD//BCRAD=BC,

所以EG//4D且EG=40,

所以四边形4EG。为平行四边形，

所以力E//0G,

所以AE〃尸G，

••・4、E、G、尸四点共面.

（2）解：因为丽二西+帝=西+瓦E+帝

2______1____2______M____

=二BB[+B[4]+B]C]一百DO1=