1.1.3 积的乘方 教学课件 北师大版七年级数学下册

1.1.3积的乘方第一章

整式的乘除新2024北师大版数学七年级下册【公开课精做课件】授课教师：********班级：********时间：********买合苏迪古丽·买买提托克逊县第二中学159099548801.1.3积的乘方学习目标理解积的乘方的概念，明确其与同底数幂乘法、幂的乘方的区别。掌握积的乘方法则，能准确用文字和符号语言表述法则。熟练运用积的乘方法则进行计算，包括法则的正向应用和逆应用。经历法则的推导过程，进一步体会从特殊到一般的数学思想，提高运算能力。情境引入在前两节课中，我们学习了同底数幂的乘法和幂的乘方运算，解决了底数为单一数字、字母或多项式的幂运算问题。那么，当底数是一个乘积形式时，如\((2×3)^2\)、\((ab)^3\)这样的式子，该如何计算呢？它们是否也有简便的运算规律？本节课我们就来探究积的乘方的运算法则，解决这类运算问题。知识回顾乘方的意义：\(a^n\)表示\(n\)个\(a\)相乘，即\(a^n=\underbrace{a×a×…×a}_{n个a}\)。同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即\(a^m×a^n=a^{m+n}\)（\(m\)、\(n\)为正整数）。幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，即\((a^m)^n=a^{mn}\)（\(m\)、\(n\)为正整数）。积的乘方的概念积的乘方是指底数为乘积形式的乘方运算，即形如\((ab)^n\)的运算，其中\(ab\)是底数（\(a\)、\(b\)可以是数字、字母或单项式），\(n\)是指数。例如，\((2×5)^3\)、\((-3x)^4\)、\((ab^2)^5\)都是积的乘方运算。注意：积的乘方的底数是一个乘积，而同底数幂的乘法的底数是相同的数或字母，幂的乘方的底数是一个幂，三者运算对象不同，需注意区分。积的乘方法则推导我们通过具体例子探究积的乘方的运算规律：实例计算计算\((2×3)^2\)：根据乘方的意义，\((2×3)^2=(2×3)×(2×3)\)。根据乘法交换律和结合律，可变形为\((2×2)×(3×3)=2^2×3^2\)，计算得\(4×9=36\)。计算\((ab)^3\)（\(a\)、\(b\)为字母）：\((ab)^3=(ab)×(ab)×(ab)\)。根据乘法交换律和结合律，变形为\((a×a×a)×(b×b×b)=a^3×b^3\)。计算\((-2x)^4\)：\((-2x)^4=(-2x)×(-2x)×(-2x)×(-2x)\)。变形为\((-2)×(-2)×(-2)×(-2)×(x×x×x×x)=(-2)^4×x^4=16x^4\)。规律总结观察上述例子的结果：\((2×3)^2=2^2×3^2\)\((ab)^3=a^3×b^3\)\((-2x)^4=(-2)^4×x^4\)可以发现：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。法则的符号表示对于任意正整数\(n\)（\(n\)为正整数），积的乘方法则可表示为：\((ab)^n=a^n×b^n\)其中，\(a\)、\(b\)可以是任意有理数、单项式（数字与字母的乘积）或多项式。拓展：当底数是多个因式的乘积时，法则仍然成立，即\((abc)^n=a^n×b^n×c^n\)（\(a\)、\(b\)、\(c\)为任意因式，\(n\)为正整数）。说明：当\(n\)为\(0\)或负整数时，该法则同样成立（后续学习零指数幂和负整数指数幂时会进一步探讨）。法则的应用类型1：直接应用法则计算例1：计算下列各题（1）\((3×5)^2\)（2）\((-2a)^3\)（3）\((xy^2)^4\)解：（1）\((3×5)^2=3^2×5^2=9×25=225\)。（2）\((-2a)^3=(-2)^3×a^3=-8×a^3=-8a^3\)。（3）\((xy^2)^4=x^4×(y^2)^4=x^4×y^{2×4}=x^4y^8\)（先对每个因式乘方，其中\(y^2\)的乘方需用幂的乘方法则）。注意：底数中的每一个因式都要乘方，不能遗漏任何一个因式。当因式是负数时，要注意符号的处理：负数的偶次幂为正，奇次幂为负。当因式本身是幂的形式时（如\(y^2\)），乘方后需用幂的乘方法则计算指数。类型2：底数为多个因式乘积的积的乘方例2：计算\((-2x^2y^3)^3\)解：底数是\(-2\)、\(x^2\)、\(y^3\)的乘积，根据法则：\((-2x^2y^3)^3=(-2)^3×(x^2)^3×(y^3)^3=-8×x^{2×3}×y^{3×3}=-8x^6y^9\)。技巧：对于多个因式乘积的乘方，将每个因式分别乘方，再将结果相乘，注意系数的符号和幂的乘方的指数计算。类型3：积的乘方与其他幂运算的混合运算例3：计算\((2a^2)^3×a^4\)解：先算积的乘方，再算同底数幂的乘法。\((2a^2)^3×a^4=2^3×(a^2)^3×a^4=8×a^6×a^4=8×a^{6+4}=8a^{10}\)。注意：混合运算中，要先算积的乘方和幂的乘方，再算同底数幂的乘法，遵循“先乘方，后乘法”的顺序。类型4：法则的逆应用积的乘方法则可逆用，即\(a^n×b^n=(ab)^n\)（\(n\)为正整数）。当遇到指数相同的幂相乘时，可逆用法则简化计算。例4：计算\(2^3×5^3\)解：逆用积的乘方法则，\(2^3×5^3=(2×5)^3=10^3=1000\)。例5：计算\((-0.125)^{2023}×8^{2023}\)解：逆用积的乘方法则，\((-0.125)^{2023}×8^{2023}=(-0.125×8)^{2023}=(-1)^{2023}=-1\)。三种幂运算的区别与联系运算类型形式法则关键区别联系同底数幂的乘法\(a^m×a^n\)底数不变，指数相加指数运算为加法均为幂的运算，需遵循运算顺序，混合运算时先算乘方，再算乘法幂的乘方\((a^m)^n\)底数不变，指数相乘指数运算为乘法积的乘方\((ab)^n\)每个因式分别乘方，再把幂相乘对每个因式进行乘方示例对比：同底数幂的乘法：\(a^2×a^3=a^{5}\)幂的乘方：\((a^2)^3=a^{6}\)积的乘方：\((ab)^3=a^3b^3\)易错点警示遗漏部分因式的乘方：例如，误将\((2a)^3\)计算为\(2×a^3=2a^3\)，正确结果应为\(2^3×a^3=8a^3\)；或将\((xy)^2\)计算为\(x×y^2=xy^2\)，正确结果应为\(x^2×y^2=x^2y^2\)。符号处理错误：例如，\((-3x)^2\)应计算为\((-3)^2×x^2=9x^2\)，而不是\(-3^2×x^2=-9x^2\)；\((-a^2b)^3\)应计算为\((-1)^3×(a^2)^3×b^3=-a^6b^3\)，注意系数和每一个因式的符号。混淆不同幂运算的法则：例如，误将\((a+b)^2\)用积的乘方法则计算为\(a^2+b^2\)（积的乘方法则适用于乘积形式，不适用于和的形式），正确结果应为\((a+b)(a+b)=a^2+2ab+b^2\)（后续将学习）。逆用法则时指数不统一：例如，逆用积的乘方法则时，要求相乘的幂的指数必须相同，如\(2^3×3^2\)不能直接逆用\((ab)^n=a^nb^n\)，而\(2^3×5^3=(2×5)^3\)可以逆用。课堂练习计算下列各题：（1）\((2×7)^2\)（2）\((-3b)^4\)（3）\((a^2b^3)^5\)（4）\((-2x^3y^2)^3\)（5）\((3m^2)^3×m^4\)（6）\((-a)^2×(ab)^3\)填空题：（1）\((ab)^\)\(=a^4b^4\)（2）\((-2xy)^3=\)\(x^3y^3\)（3）\(a^5b^5=(\)______\()^5\)利用法则的逆运算计算：（1）\(3^5×4^5\)（2）\((-\frac{1}{2})^{2024}×2^{2024}\)判断下列计算是否正确，若不正确，请改正：（1）\((2a^2)^3=2a^6\)（2）\((xy^2)^2=xy^4\)（3）\((-3a)^2=-9a^2\)（4）\(a^3×b^3=(ab)^6\)方法总结积的乘方法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即\((ab)^n=a^nb^n\)（\(n\)为正整数）。应用法则的关键是明确底数的因式组成，确保每个因式都分别乘方，不遗漏任何一个因式（包括系数和符号）。计算步骤：确定运算类型为积的乘方。将积的每一个因式分别乘方（系数的乘方注意符号，幂的乘方注意指数相乘）。将所得的幂相乘（系数相乘，同底数幂可结合乘法运算）。法则可逆用：\(a^nb^n=(ab)^n\)（\(n\)为正整数），适用于指数相同的幂相乘，可简化计算（如将\(2^n×5^n\)转化为\(10^n\)）。通过本节课的学习，我们掌握了积的乘方的运算法则，理解了法则的推导过程，并能区分积的乘方与同底数幂的乘法、幂的乘方运算。这一法则是幂运算的重要组成部分，在后续学习整式的乘除、因式分解等知识中有着广泛的应用，需要熟练掌握并灵活运用。5课堂检测4新知讲解6变式训练7考试考法8小结梳理学习目录1复习引入2新知讲解3典例讲解1.经历探索积的乘方的运算性质的过程，进一步体会幂运算的意义及类比、归纳等方法的作用，发展运算能力和有条理的思考和表达能力.2.了解积的乘方的运算性质，并能解决实际问题.3.从数的相应运算入手，类比过渡到式的运算，从中探

索、归纳式的运算法则，使新的运算规律自然而然地同化到原有的知识之中，使原有的知识得到扩充、发展.重点：理解并掌握积的乘方的运算法则.难点：掌握积的乘方的推导过程，并能灵活运用.学习目标1.计算：（1）10×102×103=______；（2）(x5)2=______.x101062.（1）同底数幂的乘法：am·

an

=

(m，n

都是正整数).am+n（2）幂的乘方：(am)n=

(m，n

都是正整数).amn知识链接

地球可以近似地看作是球体，地球的半径约为6×103

千米，它的体积大约是多少立方千米?V球

=

πr3，其中

V是球的体积，r是球的半径.

V球

=

πr3=

π×(6×103)3那么，(6×103)3=？合作探究1.计算下列各式，并说出每一步的依据：(3×5

)2幂的乘方法则＝(3×5)×(3×5)＝(3×3)×(5×5

)(

)乘方的意义(

)＝32×52(

)乘法交换律、结合律同底数幂的乘法

(2×5)2＝_____________＝_______________＝_________；

(xy)4＝__________________＝___________________＝

.

2.按照以上方法，完成填空：(2×5)×(2×5)议一议：观察计算结果你能发现什么规律?(2×2)×(5×5

)22×52(xy)·(xy)·(xy)·(xy)(x·x·x·x)·(y·y·y·y)x4y4积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.追问：你能用符号表示你发现的规律吗?(ab)n＝an·bn(n

为正整数).你能证明这个猜测吗？一般地，对于任意底数

a，b

与任意正整数

n

，(ab)n

=(ab)·

(ab)·

…

·(ab)

个

(ab)=

(a·

a·

…

·a)·(b·

b·

…

·b)

个

a=

anbn.

个

b(乘方的意义)(乘法的交换律、结合律)(同底数幂的乘法)证一证nnn

积的乘方，等于把积的每一个因式分别_______，再把所得的幂________.运算法则：文字说明：(ab)n=anbn

(n

是正整数).乘方相乘积的乘方法则知识要点追问：三个或三个以上因式积的乘方，是否依旧具有这样的运算性质?(abc)n＝an·bn·cn(n

为正整数).例1

计算：(1)

(3x)2；(2)(-2b)5；

(3)(-2xy)4；(4)(3a2)n.解：(1)原式＝(2)原式＝＝9x2.＝－32b5.

(3x)·(3x)＝(－2)5b5＝32x2＝(3×3)·(x·x

)(-2b)·(-2b)·(-2b)·(-2b)·(-2b)＝[(-2)×(-2)×(-2)×(-2)×(-2)]·(b·b·b·b·b)典例精析(3)原式=(4)原式==16x4y4.=3na2n.(－2)4x4y43n(a2)n注意：(1)在运用积的乘方法则时，要注意积的每一项都要乘方，不要遗漏任一项.(2)解题时先确定系数(包括正确确定它们的符号)，再确定每个字母的指数.(3)含有“－”号的字母底数看成－1乘以这个字母，再运用积的乘方法则.(3)(-2xy)4；(4)(3a2)n.例2

填空：(1)a3b6=(

)³；(2)36x6y¹0

=(

)².ab²±6x3y5例3

计算：

解：原式==12024=1.解：原式逆用幂的乘方的运算法则幂的乘方的运算法则逆用同底数幂的乘法运算法则逆用积的乘方的运算法则计算：

提示：可利用

简化运算拓展提升幂的运算法则的逆用an·bn=(ab)n

am+n=am·anamn=(am)n作用：可使运算更加简便快捷！知识要点回顾导入那么，(6×103)3=？(6×103)3=63×(103)3

=216×109

=2.16×1011一、选择题1.

计算

(ab)2的结果是（

C

）A.

2abB.

a2bC.

a2b2D.

ab2C2.

下列计算正确的是（

D

）A.(xy)3＝xy3B.(2xy)3＝2x3y3C.(－2x3)3＝－6x9D.(－xy2)4＝x4y8D

A.

B.5C.1D.520C二、填空题4.

计算：(1)－(3m2nh3)2＝

⁠；(2)(2×102)3×(－10)2＝

⁠.5.

若(ambn)2＝a8b6，则m＝

，n＝

⁠.－9m4n2h6

8×108

4

3

三、解答题6.

若xn＝2，yn＝3，求

(xy)n与

(x3y3)n的值.