（康德卷） 重庆市2026届高三9月开学考联考数学试卷（含答案解析）

2026年普通高等学校招生全国统一考试9月调研测试卷数学数学测试卷共4页，满分150分。考试时间120分钟。注意事项：1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名、班级填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答。若在试题卷上作答，答案无效。3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.计算(1-i)(1+i)=A.2 B.2 C.2 D.2i2.已知集合A={1,2,3,4}, B=x∣x2-2A.{1} B.{3} {1,3} D.{2,4}3.已知向量a=(-1,k),b=(2,1),若(a-b)⊥b,则实数k=A.7 B.5 C.3 D.24.已知(α,β∈0πB.2425C.1225C.127D.A.15.利用一只小白鼠进行的一项记忆功能试验中，训练次数x(x=1，2，3，4，5)与完成任务的时间y(单位：分)的一元线性回归方程为：∫=-2.9x+34.9，则这只小白鼠完成任务的平均时长约为A.23分 B.25分 C.26分 D.28分6.将一个底面直径与高相等的实心圆柱体挖去足够大的球，使得剩余部分最少，则球的体积与剩余部分体积之比为A.1:1 B.2:1 C.3:1 D.4:17.已知函数fx=22x-1,若A.f(-a)<7 B.f(-a)<0 C.f(-a)>5 D.f(-a)>39月调研测试卷(数学)第1页共4页8.若函数f(x)=sin(2x+φ)(0≤φ<2π)的图象关于x=5π8对称,且f(x)在A.π/4 B.3π4 C.5π4二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分。9.某年级东班有24名女生和30名男生，准备随机抽取9名学生参加学情调研，那么A.若采用抽签法进行抽取，可能抽到9名男生B.若采用抽签法进行抽取，男生甲被抽到的概率为1/30C.若采用按比例分层抽样进行抽取，女生乙被抽到的概率为1D.若采用按比例分层抽样进行抽取，男生甲和女生乙被抽到的概率不同10.已知函数f(x)=x(x-1)(x-2),则A.当x<0时,f(x)<0 B.f(x)的图象关于点(1,0)对称C.f12是f(x)的极大值 D.f(11.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1ab>0)的离心率e-2左、右焦点分别为F.A.C的长轴长与短轴长之比为4BC.当∠PF1F2=D.若∣PF1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.抛物线x2=213.函数.f(x)=xe'在点(0,f(0))处的切线方程为.14.口袋中有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5.从中有放回地随机抽取n次，每次取1个球.当n=5时，每个球恰都被取到1次的概率为；记Xn为这5个球中至少被取出1次的球的个数，则Xn的平均值为.9月调研测试卷(数学)第2页共4页四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.(13分)已知数列an满足a1=(1)证明:1na(2)求an的前n16.(15分)已知ABCD-(1)证明:平面ACD₁⊥平面BDD₁B₁;(2)若AB=1,AA₁=2,求平面AC与平面ABB，A夹角的余弦值.17.(15分)已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c,A(1)若b=3,(2)若cosBcosC=26 9月调研测试卷(数学)第3页共4页18.(17分)已知双曲线(C:x2a2-y2b2=1a(1)求C;(2)已知P，Q，R是C上的三个不同点.①若P(a,0),点C,R在C的同一支上,且△PQR是等边三角形，求|QR②若D(异于原点O)是△PQR外接圆的圆心,直线PQ,QR,RP,OD的斜率均存在,并分别记为k1,k219.(17分)设函数f(x)=xlnx.(1)讨论f(x)的单调性和极值；(2)证明:f(x)≥x-1;(3)已知C为常数,且C>1,α>0,若∀x1,月调研测试卷(数学)第4页共4页)2026年普通高等学校招生全国统一考试9月调研测试卷数学参考答案一、单选题1~8CBAA CBDC1题解析：1+2题解析:B={-1,3},所以A∩B-{3}.3题解析：a-b-(-3,k--1),由(a-b)」b,(-3,k-1)(2,1)=-6+k-1=0得k=7.4题解析：由β∈0π2和sinβ=45得cosβ=35,则cosβ=sin(5题解析：训练次数平均值x=3，由于(x，y)在线性回归方程上，则y=-2.9×3+34.9=26.2≈26.6题解析：设底面半径为r，由题意挖去球的半径最大为r，所以V球=7题解析： f-x=22-x-1=-2⋅2x2x-1,fx+f8题解析：由题意，sin5π4+φ=±1,=kπ-3π4,因为0≤φ<2π,所以=π4或=5二、多选题9.AC 10.ABD 11.BCD9题解析：A选项，采用抽签法可能抽到9名男生，正确，简单随机抽样中，每个人被抽到的概率为16,B错误,分层随机抽样中，男女比为5：4，每个男生被抽到的概率为16，每个女生被抽到的概率也是16,故C10题解析:A选项,x<0时,f(x)<0正确,B选项,由f(1+x)+f(1-x)=0,所以f(x)关于(1,0)对称,C选项，f'x=3x--5x+2,f'12≠0,12不是极值点,C错误,D11题解析：由e=ca=a2-b2a2=12,可得3a2=49月调研测试卷(数学参考答案)第1页共5页y=3x+a2,联立3x2+4y2=3a2,得到x1=0,x2=-45a,则y1=3a2,y2=-3310a,则S三、填空题12.1 13.y=x 14.12题解析：抛物线焦点到准线的距离为p=1.13题解析：有f'(x)=eˣ(x+1),f'(0)=1,f(0)=0,则切线方程y=x.14题解析：①当n=5时，总的取球方法数为5⁵，每个球恰都被取到1次的情形有5！，所以每个球恰都被取到1次的概率为5!55=24625.②若有放回地随机抽取n次，记这5个球至少被取出1次的球的个数为Xn，又记Xi={1,0,i号球至少被取出1次i号球未被取出(i=1,2,3,4,5四、解答题15.(13分)解:(1)由nan+1-n+1a1n+1an+1-1nan(2)由(1)及143 得1nan=n+2,S=1239月调研测试卷(数学参考答案)第2页共5页16.(15分)解:(1)由题意,DD₁⊥平面ABCD,因为AC⊂平面ABCD,所以DD₁⊥AC,在正方形ABCD中,AC⊥BD,因为BD,DD₁⊂平面BB₁D₁D且.BD∩DD1=D,所以AC⊥平面BB₁D₁D,又AC⊂(2)以D为坐标原点，DA,DC,DD1为x，y，z轴建立直角坐标系，所以有D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,1,0),D₁(0,0,2),则有AD1=-102,AC=-110,设平面ACD₁的法向量>为n₁-(所以平面ACD₁与平面ABB₁A₁夹角θ的余弦值为cosθ=∣cos<17.(15分)解：(1)由正弦定理，sinB因为0<B<π,所以B=π3当B=π3时， C=7π12;所以C=7π12或(2)由题意B+C=因为cos所以sinBsinC=23又由正弦定理=从而△ABC的面积S=1218.(17分)解:(1)由题意b=1,且ba=12, 所以a=2,从而(C:9月调研测试卷(数学参考答案)第3页共5页(2)①P(2,0),设Q(x₂,y₂),R(x₃,y₃),因为|PQ|=|PR|,所以x因为Q，R在曲线C上，所以x以上三个方程联立，解得x2=x当x2=x2时，y2--y3,此时∣当x2+x3=所以∣QR∣=83②根据条件k₁,k₂,k₃,k₄均存在知k₁,k₂,k₃,k₄均不为零,设点P(x₁,y₁),Q(x₂,y₂),R(x₃,y₃),外心D(x₀,y₀),则有两两相减有则PQ的中垂线为y-y1+y-y1又D点在直线上，所以有y0y1同理有QR的中垂线为y又D点在直线上，所以有y0y2由①-②得,整理得即k4则有k1k29月调研测试卷(数学参考答案)第4页共5页19.(17分)解:(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=lnx+1,当0<x<1e时，f'x<0;x>1e时，f'(x)>0.所以f(x)在(0(2)要证明f(x)≥x-1,即证明lnx∵1- 4分令gx=lnx当0<x<1时,g'(x)<0,g(x)单调递减;x>1时,g'(x)>0,g(x)单调递增,所以g(x)≥g(1)=0,得证. 8分(3)不妨设x1<x2,x1,x2∈01,令t=则|fx⇔-C令g(x)=xlnx-(x-t)ln(x-t),其中x∈(t,l),t∈(0,1),g'(x)=lnx-ln(x-t),显然g'(x)>0,所以g(x)在(t,1)上是增函数,要使-C则需满足{-对于②式,由(2)知,∀x∈(0,+∞)有x