23.3.2相似三角形的判定（2）（难点练）原卷版

23.3.2相似三角形的判定（2）（难点练）一、单选题1．（2020·山东德州市·）如图，正方形，点、分别在边、上，且，把绕点沿逆时针方向旋转90°得到，连接交、于点、，连接，并在截取，连接．有如下结论：①；②始终平分；③；④；⑤垂直平分．上述结论中，所有正确的个数是（）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个2．（2021·东营市胜利第三十九中学九年级）如图，正方形ABCD中，AB=12，点E在边BC上，BE=EC，将△DCE沿DE对折至△DFE，延长EF交边AB于点G，连接DG、BF，给出下列结论：①△DAG≌△DFG；②BG=2AG；③△EBF∽△DEG；④S△BEF=.其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．43．如图，在等腰梯形ABCD中，，，对角线AC，BD相交于点O，有如下四个结论：①梯形ABCD是轴对称图形；②；③；④.其中正确结论的个数为（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个4．（2020·全国九年级课时练习）如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，和的顶点都在格点上(小正方形的顶点).，，，，是边上的5个格点，请在这5个格点中选取2个作为三角形的顶点，使它和点D构成的三角形与相似，所有符合条件的三角形的个数为()A．2 B．3 C．4 D．55．（2020·东阿县实验中学）将矩形OABC如图放置，O为坐标原点，若点A（﹣1，2），点B的纵坐标是，则点C的坐标是（）A．（4，2） B．（3，） C．（3，） D．（2，）6．（2020·山东）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=45°，AE、AF分别交BD于M、N，连按EN、EF，有以下结论：①△ABM∽△NEM；②△AEN是等腰直角三角形；③当AE=AF时，；④BE+DF=EF．其中正确的个数有()A．1个 B．2个 C．3个 D．4个7．（2021·新疆阿勒泰·）如图所示，、分别是正方形的边、上的点，且，，，现有如下结论：①；②；③；④．其中，正确的结论有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个二、填空题8．（2021·山东九年级期末）如图，已知正方形ABCD的边长为12，BE=EC，将正方形边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于G，连接DG，现在有如下4个结论：①△ADG≌△FDG；②GB=2AG；③△GDE∽△BEF；④S△BEF=．在以上4个结论中，其中一定成立的_______________（把所有正确结论的序号都填在横线上）9．如图，、是的边上的两点，以为边作平行四边形，经过点，且．试写出四对相似三角形________．10．如图，▱ABCD中，AB＞AD，AE，BE，CM，DM分别为∠DAB，∠ABC，∠BCD，∠CDA的平分线，AE与DM相交于点F，BE与CM相交于点N，连接EM．若▱ABCD的周长为42cm，FM=3cm，EF=4cm，则EM=

________cm，AB=

________cm．11．（2021·上海）定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似但不全等，我们就把这条对角线叫做这个四边形的相似对角线，在四边形ABCD中，对角线BD是它的相似对角线，∠ABC=70°，BD平分∠ABC，那么∠ADC=____________度12．（2021·内蒙古呼和浩特市·九年级）如图，正方形的边长为2，连接，点是线段延长线上的一个动点，，点是与线段延长线的交点，当平分时，______（填“>”“<”或“=”）：当不平分时，__________.13．（2020·全国九年级课时练习）在中，，，D是AC上一点，，在AB上取一点E，使A、D、E三点组成的三角形与相似，则AE的长为_______.14．如图，已知△AOB是直角三角形，∠AOB＝90°，∠B=30°，点A在反比例函数y=的图象上，若点B在反比例函数y=的图象上，则的k值为_______．15．（2020·江西吉安·九年级期中）等腰被某一条直线分成两个等腰三角形，并且其中一个等腰三角形与原三角形相似，则等腰的顶角的度数是____．16．（2020·广东广州·）如图，在中，，在的外部和内部（不在边上）分别取一点，，若，，，的补角等于，则下列结论：①点在线段的垂直平分线上；②；③；④的最大值是14．其中正确的结论是_________．（填写所有正确结论的序号）17．（2020·江苏九年级月考）如图，点D、E在△ABC的边AB、AC上，请添加一个条件：____，使△ADE∽△ACB．18．（2021·黑龙江九年级期中）已知在中，，点分别在边上，将沿直线对折后，点正好落在对边上，且折痕截所成的小三角形（即对折后的重叠部分）与相似，则折折痕__________三、解答题19．（2020·山西）综合与实践将矩形和按如图1的方式放置，已知点在上（），，连接，．特例研究（1）如图1，当，时，线段与之间的数量关系是_______；直线与直线之间的位置关系是_______；（2）在（1）条件下中，将矩形绕点旋转到如图2的位置，试判断（1）中结论是否仍然成立，并说明理由；探究发现（3）如图3，当，时，试判断线段与之间的数量关系和直线与直线之间的位置关系，并说明理由；知识应用（4）如图4，在（3）的条件下，连接，，若，请直接写出的值．20．（2020·枣庄市薛城舜耕中学九年级月考）如图，矩形中，，，动点以每秒个单位的速度从点出发沿着向移动，同时动点以每秒个单位的速度从点出发沿向移动．几秒时，的面积为？几秒时，由、、三点组成的三角形与相似？21．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是△ABC内一动点（不包括△ABC的边界），连接AD．将线段AD绕点A顺时针旋转90°，得到线段AE．连接CD，BE．（1）依据题意，补全图形；（2）求证：BE=CD．（3）延长CD交AB于F，交BE于G．①求证：△ACF∽△GBF；②连接BD，DE，当△BDE为等腰直角三角形时，请你直接写出AB：BD的值．22．已知在△ABC中，∠A=45°，AB=7，，动点P、D分别在射线AB、AC上，且∠DPA=∠ACB，设AP=x，△PCD的面积为y．（1）求△ABC的面积；（2）如图，当动点P、D分别在边AB、AC上时，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）如果△PCD是以PD为腰的等腰三角形，求线段AP的长．23．爱好思考的小茜在探究两条直线的位置关系查阅资料时，发现了“中垂三角形”，即两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．如图（1）、图（2）、图（3）中，AF、BE是△ABC的中线，AF⊥BE于点P，像△ABC这样的三角形称为“中垂三角形”．设BC=a，AC=b，AB=c．（特例探究）（1）如图1，当tan∠PAB=1，c=2时，a=，b=；如图2，当∠PAB=30°，c=4时，a=，b=；（归纳证明）（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想a2、b2、c2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你的结论．（拓展证明）（3）如图4，▱ABCD中，E、F分别是AD、BC的三等分点，且AD=3AE，BC=3BF，连接AF、BE、CE，且BE⊥CE于E，AF与BE相交点G，AD=6，AB=6，求AF的长．24．已知，，，是的中点，是平面上的一点，且，连接.（1）如图，当点在线段上时，求的长；（2）当是等腰三角形时，求的长；（3）将点绕点顺时针旋转得到点，连接，求的最大值．25．（2020·贵州贵阳·九年级期末）如图，在中，，，垂足为点，点是上的一点，连接，作，且交于点.（1）求证：；（2）除（1）中的相似三角形外，图中还有其它的相似三角形吗？若有，请将它们全部直接写出来.26．（2021·江西九年级）如图，在中，E是DC上一点，连接AE、F为AE上一点，且.求证：.27．如图1，在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E在AB上，点F在BC的延长线上，且AE＝CF，连接EF交AC于点P，分别连接DE，DF，DP（1）求证：△ADE≌△CDF；（2）求证：△ADP∽△BDF；（3）如图2，若PE＝BE，PC＝，求CF的值．28．（2020·扬州市梅岭中学九年级月考）如图，在中，点分别在边上，连接，且．（1）证明：；（2）若，当点D在上运动时（点D不与重合），且是等腰三角形，求此时的长．29．（2021·贵州九年级期末）如图，正方形的边长是4，，线段的两端点在上滑动，当为多长时，与以D，M，N为顶点的三角形相似？请说明理由．30．（2021·浙江绍兴·）在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OC、OA分别在x轴、y轴上，点A（0，m），点C（n，0），且m、n满足+＝0．（1）求点A、C的坐标；（2）如图1，点D为第一象限内一动点，连CD、BD、OD，∠ODB＝90°，试探究线段CD、OD、BD之间的数量关系，并证明你的结论；（3）如图2，点F在线段OA上，连BF，作OM⊥BF于M，AN⊥BF于N，当F在线段OA上运动时（不与O、A重合），的值是否变化？若变化，求出变化的范围；若不变，求出其值．31．（2021·福建宁德市·）如图，点E，F在正方形ABCD的对角线AC上，．（1）当BE=BF时，求证：AE=CF；（2）若AB=4，求的值；（3）延长BF交CD于点G，连接EG．判断线段BE与EG的数量关系，并说明理由．32．（2021·山东九年级）某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究：（1）问题发现：如图1，在等边中，点是边上任意一点，连接，以为边作等边，连接CQ，BP与CQ的数量关系是________；（2）变式探究：如图2，在等腰中，，点是边上任意一点，以为腰作等腰，使，，连接，判断和的数量关系，并说明理由；（3）解决问题：如图3，在正方形中，点是边上一点，以为边作正方形，是正方形的中心，连接．若正方形的边长为5，，求正方形的边长．33．（2021·河南）三角形的布洛卡点（Brocardpoint）是法国数学家和数学教育家克洛尔（A．LCrelle1780-1855）于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意．1875年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡（Brocard1845-1922）重新发现，并用他的名字命名．如图1，若内一点P满足，则点P是的布洛卡点，是布洛卡角．（1）如图2，点P为等边三角形ABC的布洛卡点，则布洛卡角的度数是______；PA、PB、PC的数量关系是______；（2）如图3，点P为等腰直角三角形ABC（其中）的布洛卡点，且．①请找出图中的一对相似三角形，并给出证明；②若的面积为，求的面积．34．（2020·浙江丽水·）如图，已知直线与x、y轴交于M、N，若将N向右平移个单位后的N，，恰好落在反比例函数的图像上．(1)求k的值；(2)点P为双曲线上的一个动点，过点P作直线PA⊥x轴于A点，交NM延长线于F点，过P点作PB⊥y轴于B交MN于点E.设点P的横坐标为m．①用含有m的代数式表示点E、F的坐标②找出图中与△EOM