线段计算技巧-2025-2026学年人教版七年级数学上册培优练

第20讲线段计算技巧

专题1线段计算⑴-------直接计算

题型一理解线段的和与差

【典例1］如图，已知AB=40,点C是线段AB的中点点D为线段CB上的一点点E为线段DB的中点,E

B=6,求线段CD的长.

ACDEB

变式如图,P是线段AB上一点,M,N分别是线段AB,AP的中点若AB=16,BP=6,求线段MN的长

1ill1

ANMPB

题型二理解线段的和差倍分

【典例2】如图，AE=；EB点F是线段BC的中点,BF=求线段EF的长.

EF

Ilill

ABC

变式.如图，点E是线段AB的中点,C是EB上一点,AC=12.

若EC:CB=1:4.

(1)求AB的长；

⑵若F为CB的中点，求EF长.

AFB

题型三数轴与线段中点

【中考演练】如图，在数轴上，点A,B表示的数分别是一19和3,点C为线段AD的中点，且BC=6BD,求

C点表示的数.

DB

专题2线段计算⑵方程的思想

题型一由比值关系引入未知数列方程

【典例1］如图，点C在线段AB上,M是AC的中点,N是BC的中点若AC:CB=3:2,且MC+NB=12.5cm,

求MC的长.

I1111

AMCNB

变式.如图，线段AB被点C,D分成了3:4:5三部分，且AC的中点M和DB的中点N之间的距离是40cm,

求AB的长.

IIII11

AMCDNB

题型二由倍分关系引入未知数列方程

【典例2］如图，点B在线段AC上点D在线段AB上，若BD=\AB=\CD^为线段AB的中点,EC=12,

求线段AC的长.

11111

AEDBC

变式.已知线段AB,反向延长线段AB至C,使BC=1AB,DBC的中点,E为BD的中点.

(1)①补全图形；

AB

②若AB=4,则AE=;

⑵若AE=2,求AC的长.

专题3线段计算⑶-------分类讨论(1)

题型一理解点在直线上、点在线段上的含义，多解画图

【典例】已知线段AB=6cm,P点在直线AB上，且AP=4BP,M是AB的中点，求PM长.

AB

变式1.已知线段AB=10cm,直线AB上有一点C,且BC=4cm,M是线段AC的中点，求AM的长.

变式2.已知点A,B,C,D在直线1上,AB=8,CD=4,A在B左侧,C在D左侧，若BC=2,求AD的长.

题型二注意分类讨论

变式3.如图，已知线段AB=4延长AB至C,使AB=2BC.反向延长AB到D点，使AC=2AD.

(1)求线段CD的长；

⑵若点Q为AB的中点,P为线段CD上一点，且BP=匏。,求PQ的长.

DABC

专题4线段计算(4)分类讨论⑵

题型一注意动点位置

【典例1］如图，线段AB=12点C,D,M,N在线段AB上且AC:CD:DB=1:2:3,AM=\AC,DN=\

瓦）,求线段MN的长.

ACDB

变式.如图，延长线段AB到C,使BC=；AB点D为AC的中点

⑴若AB=8画图并直接写出BD的长为;

⑵若F为BC的三等分点,求却勺值.

AB

题型二注意引入参数分类讨论

【典例2】点A,B,C在同一直线上.

⑴若AB=8,AC:BC=3:1,求线段AC的长度；

(2)若AB=m,AC:BC=n:l(n为大于1的整数)，求AC的长.

变式.已知点A,B,C都在直线1上，点C是线段AB的三等分点，D,E分别为AB,BC的中点，直线1

上所有线段之和为91,求AC的长.

专题5线段计算⑸-单中点分类讨论

题型一双中点，设一个参数

【典例】（2023•黄陂）如图，点C,D在线段AB上，点M为AD的中点点N为BC的中点,BD=5,AC=11,求

MN的长.

AMCDNB

题型二设两参数，用整体代换

变式L如图点C在AB上点M为BC的中点AB+AC=10,求AM的长.

ACMB

变式2.如图,C为线段AB上一点,D为AC的中点,E为BC的中点，F为DE的中点.

⑴若AC=4,BC=6,求CF的长；_______,_____,

ADCFEB

⑵若AB=16CF,求一的值.

专题6线段计算(6}双中点与整体思想(参数问题)

题型一理解中点的含义

【典例】如图，线段AB上有四点M,C,D,N.其中M,N分别是线段AC,DB的中点.

⑴若AB=16,MN=10,求CD的长；

(2)若AB=a,MN=b(b<a<2b),求CD的长.

AMC-DNB

变式1.已知直线1上顺次三点A,B,C,AB=6,BC=m,点M是AC的中点.

⑴如图1,当m=4,求线段BM的长；

(2)在直线1上一点D,CD=n<m,求线段DM的长度(用含m,n的式子表示).

AM~BC*

题型二由特殊到一般，注意字母的代换

变式2.如图1,已知点C,D为线段AB上顺次两点，M,N分别是AC,BD的中点.

⑴若AB=a,CD=b(a>b),请用含有a,b的代数式表示MN的长；

⑵如图2,若D,C为线段AB上顺次两点,M,N分别是AC,BD的中点,AB=a,CD=b(a>b)请用含a,b

的代数式表示MN的长.

AMCDNB

图1

AD~MN~CB

图2

专题7线段计算⑺-------用数轴模型计算

题型一建立数轴模型，用坐标表示点的位置

【典例】(2021•江岸)如图1,点C是线段AB上一定点，点D从点A,点E从点B同时出发分别沿直线AB向

左，向右匀速运动，若点E的运动速度是点D运动速度的3倍，且整个运动过程中始终满足CE=3

CD.

⑴求帝勺值；

⑵如图2,若点E沿直线AB向左运动，其他条件均不变.在点D,E运动过程中点P,Q分别是A

E,CE的中点，若运动到某一时刻，恰好CE=4PQ,求此时暖的值.

AD

-DACBE-口彳CPQEB

图1图2

题型二用绝对值表示两点间的距离

变式.已知直线1上线段AB=8,线段CD=4(点A在点B的左侧，点C在点D的左侧).

(1)若线段BC=2,则线段AD=

(2)如图2,点P,Q分别为AD,BC的中点，求线段PQ的长度;

⑶如图3,若线段CD从点B开始以1个单位/秒的速度向右运动，同时，点M从点A开始以2个单

位/秒的速度向右运动，点N是线段BD的中点，若MN=2DN.求线段CD运动的时间.

ABABPQCDAMBCND

图1图2图3

专题8线段计算(8〉用数轴思想解决线段问题

题型用坐标表示线段长

【典例】数轴上有A,B,C三点，A,B表示的数分别为m,n(m<n)，点C在点B的右侧，AC-AB=2,

若点D是AC的中点.

⑴求点D表示的数(用含m,n的式子表示)；

(2)若AD+2BD=4,试求线段AB的长.

变式1.如图，线段AB的长为m,点C为线段AB的中点，D为线段AB上一点，且AD=\BD.

ADCB

⑴图中共有条线段；(直接写出结果)

(2)若m=12,求线段DC的长；

(3)若P为直线AB上一点，且请直接写出?的值________.

变式2.(2023•江岸)已知C为线段AB上的一点，点D,E分别为线段AC,BD中点

⑴如图1,若AC=4,BC=10,求CE的长；

(2攻口图2,若AB=5CE,,且点E在点C的右侧，探究线段AD与BE之间的数量关系.

A_DCEBADC-EB

图1图2

专题9线段与方程一定值问题

题型一注意范围求绝对值，以数助形

【典例】在数轴上，点A,B分别表示数a,b,且((cz+12)2+ni-24D=0,iSAB=|a-b|.

⑴求AB的直

(2)如图，点P,Q分别从点A,B同时出发沿数轴向右运动，点P的速度是每秒2个单位长度，点Q

的速度是每秒4个单位长度，当BQ=2BP时，P点对应的数是多少？

⑶在⑵的条件下，点M从原点与P,Q点同时出发沿数轴向右运动，速度是每秒x个单位长度(2<x<

4),若在运动过程中，2MP-MQ的值与运动的时间t无关，求x的值.

AOB-

题型二设时间用距离法求线段长，列式或列方程

变式.在数轴上，点A,B分别表示数a,b,且|□0+6口+油6-10口=0,,记AB=|a-b|.

⑴求AB的值；

(2)如图，点P,Q分别从点A,B出发沿数轴向右运动，点P的速度是每秒4个单位长度，点Q的速

度是每秒1个单位长度，点C从原点出发沿数轴向右运动，速度是每秒3个单位长度.经过多少秒，

点C与点P,Q的距离相等？

(3)在(2)的条件下，点M从对应-8的点出发沿数轴向左运动，速度是每秒4个单位长度，在运动过程中，

MP+MC-3MQ的值是否为定值?若是，求出其值，若不是，请说明理由.

AOBk

专题1线段计算(1)------------直接计算

【典例1］解:：点c是AB的中点，

UCB=-AB,

VAB=40,ACB=20

・・•点E是DB的中点，

DB=2EB,EB=6,DB=12,

1•CD=CB-DB=20-12=8

变式.解:AP=AB-BP=10,

・・・AM=8,AN=5,

AMN=AM-AN=3.

【典例2】解：口5b=；4。=1.5,口4。=7.5

丁点F是BC的中点,・・・BC=2BF=3,

・・・AB=AC-BC=7.5-3=4.5,

UAE=\BE,UAE=\AB=\,5,

253，

・・・BE=2AE=3.

・・・EF=BE+BF=3+1.5=45

变式.解:设CE=x，则BC=4x.

(l)AE=5x,5x+x=12,x=2,

・・・AB=20;

(2)CF=4,，EF=6.

【中考演练】解：设D点表示的数为x,则C点表示的数为三，3-平=6(3-x)产1故C点表示的数为-9.

专题2线段计算⑵-------方程的思想

【典例1］解:设AC=3xcm,CB=2xcm,则1.5x+x=12.5,x=5,MC=1.5x=7.5cm.

变式.解:设AC=3xcm,则CD=4xcm,DB=5xcm.

・・・M是AC的中点，

13

nCM=-AC=-xcm,

VN是DB的中点，

\JDN=gDB=|xcm.

22

〈MN二MC+CD+DN,又MN=40cm,

35

□-x+4x+-1=40,81=40产5.

31

.*.AB=AC+CD+DB=12x=12x5=60(cm)

【典例2］解:设BD=x,贝！］AB=4BD=4x,CD=3BD=3x,AC=AB+BC=AB+CD-BD=4x+3x-x=6x,AE=gAB=2x,，EC=

AC-AE=4x=12,1.x=3,AC=6x=l8.

变式.解:⑴①如图所示;②15

।______________1i।_______।

CDAEB

⑵设AB=2x,则AC=3x,

；BD=CD=2.5x,

AD=0.5x,；.DE=0.5x+2,

2(0.5x+2)=2.5jc;x=g,U/C=8.

专题3线段计算⑶一分类讨论⑴

［典例］解:①点P在AB上,.AP=4BP=、AB=cm^4M=^AB=3cm,PM=AP-AM=cm;

②点P在AB延长线上,AP=4BP=^AB=%cm,

AM=；AB=3cm,PM=AP-AM=5cm.

变式1.解：/^=卜(10+4片7c机或4M=gx(10-4)=3cm.

变式2解10或14.

变式3.解:(1)AB=4,AB=2BC,；.BC=2,

AC=AB+BC=6,；AC=2AD,

AD=3,CD=AC+AD=6+3=9;

⑵：点Q为AB的中点，

□8。="8=2网43c=1,()当P在B,C之间时,PQ=BP+BQ=3;②当P在A,B之间时,PQ=BQ-BP=1;

；.PQ=1或3.

专题4线段计算(4)--------分类讨论⑵

【典例1］解:AC=2,CD=4,BD=6.

①当点N在D右边时，MN=6；;

32

②当点N在D左边时,MN*.

变式.解:(1)如图所示2(2)

AD~BC

【典例2】解:⑴①当点C在线段AB上时.因为AB=8,AC:BC=3:1,所以AC=6;

②当点B在线段AC上时，因为AB=8,AC:BC=3:1,所以BC=4,AC=AB+BC=12,

综上,AC=6或12;

(2)①当点C在线段AB上时，因为AB=m,AC:BC=n:l,所以AC=当；

«+1

②当点B在线段AC上时，因为AB=m,AC:BC=n:1,所以BC=々,AC=AB+BC=m+^=9.

综上，或告口

n+ln~\

变式.解：所有线段条数为：竽=10(条)，如图1.

ACDEB

图1

ADCE~B

图2

设CE=x，则x+0.5x+0.5x+x+x+1.5x+2x+3x+1.5x+2x=91,x=6.5,AC=6.5;如图2,

设BE=x,

贝!](3x+4x+5x+6x)+(x+2x+3x)+(x+2x)+x=91/=i2C=13,综上AC=6.5或13.

专题5线段计算⑸-------单中点分类讨论

【典例】解:设CD=x，点M为AD的中点，点N为BC的中点，口2,B'N2，

□MN=5+ll+x---—=8.

22

变式1.解:设AC=x,CM=y,x+2y+x=10,x+y=5,/.AM=5.

变式2.解:⑴；D为AC中点口/。=8=尔2=2,；£为BC中点,；.CE=BE=:BC=3,；.DE=DC+CE=5,又：F

为DE中点,□DF=；DE=”CF=DF-DC=^~2=^;

⑵①当点F在点C右侧时.设AD=CD=x,CE=BE=y，则DF=；DE=；(x+y),CF=DF-DC=^(y-x),XAB=16CF可

得2(x+y)=8(y-x),5x=3%口卷=等=(;

33

②当点F在点C左侧时,CF=DC-DF=；(尤-y),□霁=g；

2£>CJ

综上端三或I

专题6线段计算(6)------------双中点与整体思想(参数问题)

［典例］解:(1)AM+BN=16-10=6,CD=MN-6=4;

(2)AM+BN=a-b,MC+DN=a-b,CD=MN-(MC+DN)=b-(a-b)=2b-a.

变式1.解:⑴BM=1;

(2)W=3+g-"或3+g+”.

变式2.解:⑴AC+BD=AB-CD=a-b则CM+£W=：(/。+8。)=拶，故MN=CD+CM+DN=b+;

⑵由题意得:AM+MN+NB=AB=a，因为M,N分别是AC,BD的中点，所以AM=MC,BN=DN,所以MC+MN+DN=

AB=a.又因为MC=MN+NC,DN=DM+MN,所以3MN+NC+DM=a.因为DM+MN+NC=CD=b，所以CD+2MN=b+2MN=a.

所以MN=g

专题7线段计算⑺--------用数轴模型计算

【典例】解：(1)设AD=t,BE=3t,CD=x,CE=3x,则CA=x-t,AB=3x-3t+x-t=4x-4t,J—=-^-!-=1；

AB4x-4t4

(2)点E在运动过程中均有尸。=：AC,贝1|CE=4PQ=2AC,令AC=1,贝UAB=4,BC=3,EC=2,

①当E在C右侧时,BE=\AD=\,口.=1；

5AD12

②当E在C左侧时，BE=5^LD=l，*

变式解:⑴10或14.

(2)；P,Q分别为AD,BC中点,

QPD=\AD,QC=\BC.

".•PQ=PD-QD,

nPQ=^AD-(QC+CD>)=^AB+BC+CD)-&BC+CD)=^^.

又：AB=8,CD=4,

8-4

DPQ=—=2.

34

(3)假设A为原点，则A:0