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文档简介

有关晶胞参数的计算

【方法与技巧】

1.晶体密度的计算

⑴晶体密度的计算流程

依据“均摊法”计算出每个晶胞实若1个晶胞中含有X个微粒,则晶胞的物质的量为:

第一步际含有各类原子的个数,确定物质Nx

的化学式,并计算出其物质的量

第二步计算出晶胞的质量晶胞的质量为:mg

第三步计算晶胞的体积V=a3cmf(a为晶胞的边长)

依据:〃=£计算

第四步inNAXM

〃一丫-7一必型cw

常用的换算方法为1nm=10-7cm,1pm=10-,0cm

【精准训练1】

1.ZnO立方晶胞结构如图所示。该晶胞中距离最近的两个Zn原子间的长度为anm,设NA为阿伏加

德罗常数的值,则ZnO晶体的密度为g-cn「飞用代数式表示)

2.杲种磁性氮化铁晶体的结构如图所示,设底面六边形的边长为anm,六楂柱的高为cnm,该晶体

的密度为gem?用含〃、c的代数式表示)

3.Bi和F形成的化合物晶胞结构为,设Bi和F的最近距离为apm,该化合物的化学式为

晶胞密度为g-cm3

4.某种金属卤化物无机钙钛矿的晶胞结构如图所示,晶胞的边长为apm,则该物质的化学式为

;晶体中Pb?+与C/最短距离为pm;晶体的密度.=g-cm一3(设阿伏加)

德罗常数的值为刈,用含人心的代数式表示;可能用到的相对原子质量:Cs-133Pb-2O7

I-127)

OCs*

•r

APb2

2.晶体中微粒半径或距离的计算

⑴晶胞参数(边长)与半径(距离)的关系

(2)晶体中微粒半径或距离的计算流程

依据“均摊法”计算出每个晶胞实际

若1个晶胞中含有X个微粒,则晶胞的物质的量为:

第一步含有各类原子的个数,确定物质的化Nx.

学式,并计算出其物质的量

第二步计算出晶胞的质量晶胞的质量为:

依据v=彳计算晶胞的体积,并计算

第三步V-厂NM晶胞边长。一步一

出晶胞边长3)

第四步根据品胞边长与微粒半径(距离)的关系,求出微粒当径或距离

(3)实例

己知CuH晶胞如下图所示,该晶体的密度为pg-cm-3,阿伏加德罗常数的值为

M\,则该晶胞中Cu原子与H原子之间的最短距离为乎x(唔cm

分析过程:CuH晶胞中,含有Cu原子数目为8x/+6x;=4,含有H原子数目为

4,则晶胞的边长为cm,则Cu原子与H原子之间的最短距离为体对角

线长的1为:.X:展

cm

【精准训练2】

1.某晶体的晶胞结构如图所示,X(O)位于立方体的顶点,Y[O)位于立方体的体心。设该晶体的摩尔

质量为晶体的密度为〃g・cn「3,阿伏加德罗常数的值为M,则晶体中两个距离最近的

X之间的距离为—cm

.0

2.Zn与S形成某种化合物的晶胞如图所示。已知晶体密度为dgcm、,S?一半径为〃pm,则ZM+半

径为pm

(写计算表达式)

OZn

3,晶体中微粒空间占有率的计算

⑴空间利用率的定义及公式

①空间利用率(〃):指构成晶体的原子、离子或分子总体积住整个晶体空间中所占自的体积百分比

4

②公式:空间利用率杵晶画制雅体积

⑵晶体中微粒空间占有率的计算流程

第一步依据“均摊法”计算出每个晶胞实际含有各类原子的个数

第二步找出原子半径r与晶胞楂长a的关系

利用公式计算微粒原子的空间利用率:n=/胞喘常本枳x1oo%

第三步

'HR电的体枳

⑶五类典型晶体空间利用率分类简析

类型晶体结构示意图图示关系

原子的半径为八立方体的棱长为2r,则V产翡3,5=(2r)3

简单

立方

vq兀厂

堆积=8凡空间利用率=帚1。。%=之100%哈52%

原子的半径为八体对角线c为4八面对角线〃为W。,由(4厂产

=序+从得。=%广。1个晶胞中有2个原子,故空间利用率=4

体心

73VAAW

立方44

2守户2x铲八国

晶胞X100%=—3—X100%=-7—X100%=七=68%

ciqq5

原子的半径为九面对角线为4r,a=2yf2r,匕招胞="=(26「户

面心

=16小厂3,1个晶胞中有4个原子,则空间利用率=7—xl00%

立方%,胞

最密4

4叼九,[5

堆积=高尹|°°%=芋

原子的半径为一底面为菱形(棱长为2-,其中一个角为60。),

则底面面枳S=2rx5r=2小户,。=华八V4,映=Sx2/?=2小

六方

/x2x半==8/?,1个晶胞中有2个原子,则空间利用率=普

最密

•5YK;闻

堆积

4

2守/5

x10。%=8"x100%=22^74%

⑴如图1所示,晶胞的空间利用率为(用含71的式子表示)

(2)已知图2中六棱柱边长为xcm,高为ycm。该钛晶胞密度为dg・cm、,NA为mol1(用含

x、y和d的式子表示)

4.利用新制的Cu(OH)2检验酹基时,生成红色的Cm。,其品胞结构如图所示。若CsO晶体的密度

为dg-cmCu和O的原子半径分别为/tupm和,opm,阿伏加德罗常数值为M\,列式表示Cu?。

晶胞中原子的空间利用率为_________________

【课时精练】

1.MgSzCM^H?。的晶胞形状为长方体,边长分别为〃nm、bnm、cnm,结构如图所示。晶胞中的

[Mg(H2O)6F+个数为。已知MgSzOGHzO的摩尔质量是阿伏加德罗常数

2.超高热导率半导体材料一硫化硼(BAs)的晶胞结构如图所示。已知阿伏加德罗常数的值为NA,若

晶胞中As原子到B原子最近距离为apm,则该晶体的密度为g-cm一十歹J出含〃、

NA的计算式即可)

2+

3.(CH3NH3)PbI3的晶胞结构如图所示,其中B代表Pb,则(填字母)代表Fo已知

(CFhNHDPbh的摩尔质量为Mg・molINA为阿伏加德罗常数的值,则该晶体的密度为gem

-3

O

(I)该超导材料的最简化学式为

(2)Fe原子的配位数为

(3)该晶胞参数a=b=0.4nm、c=1.4nm。阿伏加德罗常数的值为NA,则该晶体的密度为

g・cmF(列出计算式)

5.我国科学家发明了高选择性的二氧化碳加氢合成甲醉的催化剂,其组成为ZnO/ZrO?固溶体。四方

ZrCh晶胞如图所示。Zr"+离子在晶胞中的配位数是,晶胞参数为。pm、apm、cpm,该

晶体密度为g-cm-3(写出表达式)。在ZrOz中掺杂少量ZnO后形成的催化剂,化

学式可表示为ZnAZn-xOv,则y=(用x表达)

O<>OZr

6.卜图是Mg、Ge、O三种元素形成的某化合物的晶胞示意图。

•X

©Y

OZ

⑴已知化合物中Ge和0的原子个数比为1:4,图中Z表示原子(填元素符号),该化合物的

化学式为____________

(2)己知该晶胞的晶胞参数分别为anil】、bnm、cnm,«=/?=y=90°,则该晶体的密度p=

g・cnT3(设阿伏加德罗常数的值为附,用含。、b、c、心的代数式表示)

7.一定条件下,CuCL、K和F?反应生成KQ和化合物X。己知X属于四方晶系,晶胞结构如图所

示(晶胞参数a=h^c,a=H=>=90。),其中Cu化合价为+2。上述反应的化学方程式为

。若阿伏加德罗常数的值为NA,化合物X的密度p=

gem—3(用含NA的代数式表示)。

8.Cii2SnS3属于立方晶体,如图所示,其晶胞参数a=0.5428nm,阿伏加德罗常数的值为NA,S原

子填充在

CuxSm-x构成的正四面体空隙中,则晶胞中正四面体的空|隙填充率为一,Cu2SnS3的密度为

gem3(列出计算式)

9.非金属僦化物在生产、生活和科研中应用广泛。XeF2晶体属四方晶系,晶胞参数如图所示,晶胞

棱边夹角均为90。,该晶胞中有个XeF?分子。已知Xe-F键长为/-pm,则B点原子的分

数坐标为;晶胞中A、B间距离d=pm。

10.一种铜的澳化物晶胞如图所示。该化合物的化学式为,在晶体中与Cu距离最近且相等

的Cu有个,若该晶体密度为〃g/cui*化合物式量为M,则该晶体中Cu原了与Bi原了的最

小核间距为pm(写出表达式,阿伏加德罗常数为NQ。

•Br

O(JI

11.我国科学家发展了一种理论计算方法,可利用材料的晶体结构数据预测其热电性能,该方法有助

于加速新型热电材料的研发进程。化合物X是通过该方法筛选出的潜在热电材料之一,其晶胞结

构如图1,沿X、),、z轴方向的投影均为图2。

图I

(DX的化学式为_____________________

⑵设X的最简式的式量为Mr,晶体密度为〃g-cm汽则X中相邻K之间的最短距离为

nm(列出计算式,NA为阿伏加德罗常数的值)

12.一种由Cu、In、Te组成的品体属四方品系,品胞参数如图所示°

⑴晶胞棱边夹角均为90。,晶体中Te原子填充在Cu、In围成的四面体空隙中,则四面体空隙的占有

率为;该晶体的化学式为

(2)以晶胞参数为单位长度建立的坐标系可以表示晶胞中各原子的位置,称为原子的分数坐标,如A

点、B点原子的分数坐标分别为(0,0,0)、(;,;),则C点原子的分数坐标为;晶

胞中C、D间距离d=pm

13.在能源逐渐匮乏的形势下,超导材料显得尤为重要。Li、Fe、Se三种元素组成的某新型超导材

料的晶胞结构如图所示,1个品胞中的Se原子数为o晶胞的部分参数如图所示,且晶

胞棱边夹角均为90。,晶体密度为dg-cm、,则阿伏加德罗常数的值为(列式表

15.氮化钛晶体的晶胞结构如织所示,则氮化钛晶体化学式为,该晶体结构中与N原子距

离最近且相等的N原子有个:该晶胞的密度为dg-cn「3,则晶胞结构中两个氮原子之间的

最近距离为pm。(M为阿伏加德罗常数的数值,只列计算式)

16.已知Mg、Al、O三种元素组成的晶体结构如图所示,其晶胞由4个A型小晶格和4个B型小晶

格构成,其中AH'和一都在小晶格内部,Mg?f部分在小晶格内部,部分在小晶格顶点。该物质

的化学式为,Mg2+的配位数为_____,两个Mg2+之间最近的距离是pm

B

△-Al"O-O2-

17.碳化铝是耐高温耐磨材料。如图为碳化铅晶体的部分结构,碳原子嵌入金属的晶格间隙,并不破

坏原有金属的晶格,形成填隙化合物。

U-<o钙库子

罩”

⑴在该结构中,每个铝原子周围距离其最近的碳原子有个

⑵假设该部分晶体的体积为Vcm3,碳化铛的摩尔质最为密度为dg・cm、,见阿伏加德

罗常数的值NA用上述数据表示为

18.硼化钙晶胞结构如图所示,B原子组成B6八面体,各个顶点通过B—B键互相连接成三维骨架,

八个B6多面体围成立方体,中心为Ca2+,晶胞密度为pgcmlNA表示阿伏加德罗常数的值。

⑴硼化钙的化学式为

(2)晶胞边长为nm

19.Co的一种化合物为六方品系晶体,晶胞结构如图所示。以晶胞参数为单位长度建立佗坐标系可

以表示晶胞中各原子的位置,称作原子坐标。己知晶胞含对称中心,其中1号氧原子的原子坐标为

(0.6667,0.6667,0.6077),则2号氧原子的原子坐标为。为阿伏加德罗常数的值,

该晶体的密度为g/cnA用计算式表示)

20.图(a)是MgCuz的拉维斯结构,Mg以金刚石方式堆积,人面体空隙和半数的四面体空隙中,填入

以四面体方式排列的Cu0图(b)是沿立方格子对角面取得的截图。可见,Cu原子之间最短距离工=

pm,Mg原子之间最短距离),=pm。设阿伏加德罗常数的值为刈,则MgC^的

密度是g・cm_3(列出计算表达式)。

【有关晶胞参数的计算】答案

【精准训练1】

8161021

LMu?

解析:晶胞中Zn的个数为4,O的个数为8x1+6x:=4,所以有4个ZnO,该晶胞中距离最近的两

,tn4x31

个Zn原子间的长度为anm,所以晶胞的边长为6a皿,则〃=尸心(隹冈07)3'陋''

81也Xl()21

必/-cm。

728x1021

,3小a%NA

3-BiF3邸'I。划

解析:由晶胞结构可知,Bi位于晶胞顶点和面心,F位于晶胞体内和12条棱上,则Bi原子的个数为

8x1+6x%4,F原子的个数为12x1+9=12,化学式为BiF“Bi和F的最近距离为体对角炭的丸则

4x(209+19x3)

晶胞边长为pm。晶胞密度〃=£=-g-cm-3=IO30g-cm-3

竽冈。T。)A

4CsPbh0—Z21_

,L32(GX10T0)3.NA

解析:Cs+位于顶角,个数为8x1=l;「位于面心,个数为6X4=3,Pb”有1个位于体心,则该晶

胞的化学式为CsPbb,晶体中Pb?+与Cs+最短距离为体对角线长的一半,即为甘pm;晶胞质量为

721721

而■g,晶胞体积为3x10-1。)3cm3,则晶体密度为(”x[010)3./gcm-3。

【精准训练2】

1.V2

解析:由题意知,该晶胞中含有g个XY2(或Y?X),设晶胞的边长为acm,则有小37人=/%4=

则晶体中两个距离最近的X之间的距离为陋cm。

解析:已知晶体密度为dg・cm-3,锌离子的个数为8x*+6x;=4,硫离子位于晶胞内部,个数为4,

/4x65+32x4

则晶胞参数=y-----西----XIO10pm=IO10pm,由分析可知其体对角线长度为2个锌离子

直径与2个硫离子直径之和,其体对角线长度=4§xS2-半径为apm,Zd+半径为

小xxlOlo-4«

4-------------pm=xlO'°-«pm。

【精准训练3】

1.0)12

解析:该晶胞是面心立方晶胞,故Re原子的配位数为12,该晶胞实际含有原子数为8x/+6x:=4;假

4

4x铲,3

设原子的半径为,,晶胞的边长为“,则4/=也许〃=2小人故晶胞中原子的空间利用率为cg.)-

Xl00%=-*7-7TX|00%o

4/10-加xN,w(总+乩)

2.共价晶体共价xlOO%

3(MGa+M's)

解析:GaAs的熔点很高,则其晶体为共价晶体,Ga和As以共价键键合。由晶胞结构可知一个晶胞

"Ga+M\s,

中含有As、Ga原子的个数均为4个,则晶胞的体积为*M*,又知二者的原子半径分别为「Gapm

4

4x-n(启a+Xs)xlO-30

和rAspm,则GaAs晶胞中原子的体积占晶胞体积的百分率为「------------------x!00%=

麻X(MGa+M\$)

P

4610-30x7#(居a+/)

----777^一1wA-----x100%o

3(MGH+MAJ

87r(2心+加

3..一嬴-xlOO

解析:已知AK>2具有体心四方结构,黑球个数为8$+1=2,灰球个数为8x:+2=4,结合化学式

AlCrz可知,灰球为Cr,黑球为A1,即处于顶角位置的是AI原子。设Cr和A1原子半径分别为侬

4兀京「47r丛8兀(2咫+其1)

和卬,则金属原子的体积为"0x4+寸^2=------------,故金属原子空间占有率为

8兀(2电十小)

38兀(2忌r+Rl)

xlOO%=萩■xlOO%。

3.(1)瘟xlOO%

0

解析:(1)由图1可知,晶胞中钛原子的数目为1+8x|=2,设原子半径为r,则晶胞的体对角线为4r,

4

42x-?rr3

晶胞的棱长为崇,则空间利用率为-----x!00%=100%。

木®

116x48

⑵图2晶胞中钛原子的数目为3+2x]+&xl2=6,晶胞的质量为六棱柱边长为xcm,高为y

22-1

cm,则晶胞的体积为邛^r),cm,,则邛Wv*/g=$,%:—,由此计算得必=^^mol0

7rJ7VA(2rf;u+r?))xlO-3o

4.加---------xlOO%(答案合理即可)

解析:空间利用率是晶胞中球的体积与晶胞体积的比值,晶肥中球的体积为(4号兀丸+2x表R)x10-3。

7x144

cn?,晶胞的体积可以采用晶胞的密度进行计算,即晶胞的体积为g57cm)因此空间利用率为

兀龙卬2是u+R)xlO30

-xlOO%。

108

【课时精练】

144Mxl02i

,・《Nxabc^

解析:由晶胞结构可知,1个品胞中含有8x1+4xg+2x;+l=4个[Mg(H2O)6产,含有4个SzOl;

该晶体的密度〃一两嬴荷尹g©】】7—而反RO'gcm-\

86x4

2.------

N,\x|

解析:根据晶胞结构可知,距离最近的As原子和B原子即为1号种原子距离坐标原点B原子的距离,

4A5

所以晶胞体对角线的长度为4apm,则晶胞的被长为寸力pm、则晶胞的体积V=pm=

xlO-3Ocm\根据均摊法该晶胞中As原子个数为4,B原子个数为8x/+6x1=4,所以晶胞的质量小

86x4

黑件g,所以密度为-g-cm-3

3x1()一30

Mx1()30

解析:B代表Pb2+,化学式中Pb?+和厂的数量比为1:3,则晶胞中有3个厂,因此C表示I,C

I1、A/X10*)

位于右侧面心处,原子分数坐标为(I,2>5)。该晶胞的体积为〃3x|(T30cm3,则其密度为(jxN>g,cm

4.(DKFeiSei

(2)4

2x39+56x2+79x2

⑶NAX0.4X0.4XL4xl()T

解析:(1)由平面投影图可知,晶胞中位于顶点和体心的钾原子个数为8x/+l=2,位于棱上和体内的

硒原子个数为8X/+2=4,均位于面上的铁原子个数为8X;=4,则超导材料最简化学式为KFezSe?。

(2)由平面投影图可知,铁原子的配位数为4。(3)设晶体的密度为dg-cm7,由晶胞的质量公式可得:

2x39+56x2+79x2、2x394-56x2+79x2

瓦=abcxlO一xd,解得公NAX0.4X0.4X|.4XI0-2I。

4x914-8x16

5,8AXNAXIO-302~X

解析:以晶胞中右侧面心的ZN+为例,同一晶胞中与Z「4+距离最近且等距的。2-数为4,同理可知右

侧晶胞中也有4个。2-与ZJ+相连,因此Z/+离子在晶胞中的配位数是4+4=8;I个晶胞中含有4

4molx91g-moi_1+8molx]6gmol-1

个ZrO2微粒,1个晶胞的质量用=----------------瓦----------:------,I个晶胞的体积为V=a2cx\0

4x91+8x16

,八,niMg4x91+8x16,

===2_30

'cnr,因此该晶体密度"~yfl2cX|Q-3Ocm3^cx^AxlOgem;在中掺杂少量Zn。后

形成的催化剂,化学式可表示为Zn.2ri_.Qy,其中Zn元素为+2价,Zr为+4价,O元素为一2价,

根据化合物中各元素化合价代数和为0可知2v+4x(l-x)=2y,解得y=2—x°

6.(1)0Mg2GeO4

740

(2),..xlO21

''abcN、

解析:(1)由晶胞结构可知,晶胞中位于顶点、面上、棱上和体内的X原子数为8xt+6x;+4x(+3=

8,位于体内的Y原子数和Z原子数分别为4和16,由Ge和O原子的个数比为1:4可知:X为Mg

4x185

原子、Y为Gc原子、Z为O原子,则该化合物的化学式为Mg2GcO40(2)由晶胞的质量公式可得一片

-213740

g=^cxl0cmxp,解得夕=aYcN\X[()2ig.cm-3o

30

436x1()3°v436x10"'436x10

7.CuCh+4K4-2F2=K2CuF4+2KCI或^或^

解析:一定条件下,CuChsK和F2反应生成KQ和化合物X。已知X属于四方晶系,其占Cu化合

价为+2。由晶胞结构图可知,该晶胞中含有黑球的个数为8$+2=4、白球的个数为16$+4x/+2

=8、灰球的个数为8x1+1=2,则X中含有3种元素,其个数比为1:2:4,由于其中Cu化合价为

+2、F的化合价为一1、K的化合价为+1,根据化合价代数和为0,可以推断X为K2cuR,上述反

应的化学方程式为CUC12+4K+2F2=K2CUF4+2KC1。若阿伏加德罗常数的值为NA,晶胞的质量为

2x218,

7x718NAg436x10^

二^丁g,晶胞的体积为42cpm3=a2cx|(r30cm3,化合物X的密度力=苏510->cm产ICNAGCM

e一立1丁,o436xlO307*436x1()3。、

因。=屏〃故p也可以为JcN.%gsi,或其阳一gem

4

铲343

8,50%NAX(0.5428X10-7)3

解析:由晶体的晶胞结构可知,CuSnjx构成的正四面体空隙有8个,其中4个被S原子占据,所以

空隙填充率为50%;晶胞中含有4个S原子,Cu.Sn「x处于顶点位置上的有8个,处于面心位置上的

11?1

有6个,故晶胞中Cu.vSniT的个数为8xg+6xg=4,Cu.iSniT中含有§个Cu,§个Sn,因此晶胞中含

^x343

有?个Cu2SnS3,故〃=”(0.5428x10…8廿。

正+g—,

9.2(0,0,夕

解析:图中大球的个数为8x£—l=2,小球的个数为8x;+2=4,根据XeF2的原子个数比可知大球是

Xe原子,小球是F原子,该晶胞中有2个XeFz分子;由A点坐标可知该原子位于晶胞的体心,且

每个坐标轴的单位长度都记为1,B点在棱的;处,其分数坐标为(0,0,p;图中y

y[2

22

是底面对角线的一半,y=2aPm,x=pm,所以d=yjj(+y=

10.CuBr12g寸黑X101。

解析:由晶胞结构可知Br有8个位于顶点,6个位于面心,个数为8X£+6X;=4,Cu位于晶胞内,

个数为4,两种原子的个数比为I:1,则该晶体的化学术为CuRr;由晶胞结构可知,晶体占Cu原子

14M4M

与Br原子的最小核间距为体对角线的不晶胞的质量为砥■g,晶胞的体积为而cm3,晶胞的边长为

cm,则该晶体中Cu原子与Br原子的最小核间距为1xlO10pm。

11.(l)K2SeBr6

与1。7

解析:(1)根据晶胞结构知,K有8个,SeB%有8x/+6x3=4个,则X的化学式为KzSeBg

丁x4

(2)设X的最简式的式量为M,晶体密度为鹏5『设晶胞参数为。nm,得到p=§=(i

vVc7x1U)

107,X中相邻K之间的最短距离为晶胞参数的一半,即/x、y^xi()7

=pg-cm-3,解得q=

nm0

12.(1)50%CuInTez

,4>8)t+16

解析:(1)由晶胞结构可知,钿原子形成的四面体空隙有8个,形成的八面体空隙也有8个,则四面

8I|

体空隙的占有率为1^xl00%=50%;晶胞中位于顶点、面上和体内的铜原子个数为8x-+4x-+l=4,

o+o

位于棱上、面心和面上的钿原子个数为6X£+4X:=4,位于体内的蹄•原子个数为8,则铜、钿、蹄的

原子个数比为4:4:8=1:1:2,故晶体的化学式为CuInTe2o(2)由位于顶点A点和体心B点原子

的分数坐标可知,晶胞边长为1pm,则位于体对角线的]处、面对角线的(处的C点原子的分数坐标

分别为|);由晶胞中C、D形成的直角三角形的边长为?pm、:pm可知,C、D间距离d=

40Pm)2+e

pm木pm。

2x277x1021

13.4

dcrb

l=2、Fe原子数为8x1

解析:根据均摊原则,1个晶胞中的Se原子数为8x4+2=4、Li原子数为

4x79+7x2+56x4

=4,且晶胞棱边夹角均为90。,晶体密度为dg・cm-3,即1=/)xlO,刈\h,则阿伏加德罗常数

2x277x|021

的值NA=

dcrb

3x434

14.LaNis•(其他合理写法也可)

NAX乎6x“2cx10-21

解析:晶胞中La原子个数为:*12+表2=3,Ni原子个数为:x6x2+%6+6=15,该合金的化学式可

表示为LaNis;该晶胞体积V=6*(ax|()一)卜平(〃xIO-7)x(cxl(厂7)cn?=^x6xa2cxi(厂21cm3,晶胞质

3x434m3x434

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