浙江省金华十校2024-2025学年高二年级下册期末调研考试数学试题（含解析）

浙江省金华十校2024-2025学年高二下学期期末调研考试数学试题

一'单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.已知i为虚数单位，(1+y=()

A.-2iB.2iC.2-2iD.2+2i

2.已知集合A={1,2,3},B=(x\y=lg{x-1)],则ACB中元素的个数为()

A.0B.1C.2D.3

3.如图，等腰梯形2BCD为某圆台的轴截面，满足AB=2BC=2CD=4,则该圆台的体积为

()

「7^/3n8V5

J.-3~u-3~"

4.已知sin2a=贝！JsiM(戊+g=()

A1B1C3D9

A-To5C-5u-To

5.已知向量{五，耳是平面内的一组基底，则“落石的夹角为锐角''是2.b>0”成立的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

已知实数正方形满足||久轴

6.a>1,PQRSPQ,且P,Q,R分别在y=/。。。久，y-^logax,y=

5切坂久的图象上，若正方形PQRS的面积为36,贝!!a=()

A.V3B.V3C.V2D.^2

7.如图所示的九宫格中共有4X4=16个格点，若在其中任取3个格点，恰好能构成三角形的取法

共有()种.

A.528B.524C.520D.516

8.某平面四边形ABCD中，AB=2V2,BD=2,乙ABD=ZACD=J,设“AC=0,0G(。用•当

△BCD的面积取得最大值时，。的值为()

A-IB-IC.吉D•今

二'多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.

9.已知实数a>0,b>0,且a+b=2,贝ij()

11

A.a>l,b<1B.ab<1C.a-b>—2D.+-i<2

10.下列命题正确的是()

A.若事件A,B相互独立，则PQ43)=P(4)•P(B)

B.若P(4)=\P(B)=]PQ4B)=]贝!JP(B|A)=V

C.已知随机变量X〜N(2R2),且P(1.5WX<2)=0.36,则P(X22.5)=0.14

D.线性相关模型中，相关系数r越大，两个变量的线性相关程度越强

11.定义在R上的非常数函数/(%)满足/O+y)=/(%)f(l—y)+/'(l—%)f(y),且f(0)=0,则

()

A.f(1)=0B.久=1是门>)的一条对称轴

C.-%)<|D.f(l)+f(2)+f⑶+…+f(2025)=1

三'填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.95除以8的余数为.

13.若丫=%+a是曲线y=«的切线，则。=.

14.在正方体ABCD—中，AB=2,点E,F,G分别为DD「的中点，点P在线

段EF上运动(不包括端点)，过G,P,%的平面截正方体所得的截面周长的取值范围是.

四'解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明'证明过程或演算步骤.

15.2025年3月9日，国家卫生健康委员会在第十四届全国人大三次会议民生主题记者会上表示，

实施“体重管理年”3年行动.某公司为了响应国家号召，收集了总共100名30-40岁之间员工的BMI

指数(BMI=体重+身高2(切/血2)),绘制成如下图的频率分布直方图.若该公司超重的人数占40%.

(BMI>24为超重)

木频率/缅巨

0.4卜------r

/

S

S

12

OS.08

04

o\21222324252627BMI

(1)求实数s,t的值，并求该公司员工BMI指数的众数；

(2)该公司把超重的员工按性别单独做了统计，补全下面列联表，并根据小概率值a=0.1的独

立性检验，分析超重是否与性别有关.

性另u正常超重合计

男20

女20

合计100

2

附:列联表参考公式:2______7i(ad—bc)_____,其中九=a+b+c+d.

X—(a+b)(c+d)(a+c)(6+d)'八

临界值表:

P(z2

0.1000.0500.0250.0100.001

k。2.7063.8415.0246.63510.828

16.已知AZBC为锐角三角形，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a?+M一°2=.,

⑴求C；

(2)若a=2遮,求△ABC面积的取值范围.

17.如图1所示，四边形BCDE满足BC||DE,过点B作BA1DE,点4在线段DE上，且满足BC=

V3XB=340=3,将小4BE沿直线AB翻折到△PAB的位置(图2),PB1AC.

(1)求证：AB1PD；

(2)若PD=2,求平面PBC与平面ZBCD夹角的余弦值.

18.已知函数/'(K)=(1-a)lnK+§+K，其中a>0.

(1)当a=2时，求/(%)的单调递增区间；

(2)若/■(久)22恒成立，求a的取值范围；

(3)试比较2.8与em4的大小并证明.

19.某实验室对某二进制数码串传输进行测试，初始二进制数码串是长度为"5CN*)的且全部由0

组成的数码串.传输过程中，每位数码以概率P传输记为3以概率1-p传输记为I,其中0<p<

1,每位数码的传输相互独立，并设事件4为“传输结果各位数字之和为偶数”的事件.

(1)当P=1时，求P(4);

(2)证明：对任意的正整数n,有p(/)=1+(2尸71；

(3)在传输结果中任取一位数码，记“取到1”的事件为B,问：P(B|是否存在最大值？若存

在，求出使P(BI4J取到最大值的正整数期若不存在，请说明理由.

答案解析部分

L【答案】B

【解析】【解答】解：(1+M展开得:

(1+i)2=I2+2x1xi+i2

因为产=-1

所以f+zxlxi+i2=2i

故答案为：B.

【分析】本题考查虚数的运算，利用完全平方公式展开复数表达式，再结合虚数单位i的基本性质

』=-1进行化简，从而得出结果.

2.【答案】C

【解析】【解答】解：由对数型复合函数的定义域概念可得：%-1>0,即久>1,

所以B={x\y-lg(x-1)}={%I%>1),

所以4nB={2,3},两个元素，

故答案为：C.

【分析】先根据对数函数的定义域求出集合B,再通过交集运算求出4CB,最后确定其中元素的个

数.

3.【答案】C

【解析】【解答】解：易知上底面圆的半径r=/CD=1,下底面圆的半径R=/48=2,

设圆台的高为h,则八=qAD?—(R—r)2=,22—(2—1)2=8.

故答案为：C.

【分析】首先要计算圆台的体积，需先根据轴截面(等腰梯形)确定圆台的上、下底面半径和高，

再代入圆台体积公式求解.

4.【答案】D

【解析】【解答】解：由s讥2a=则s讥2卜+勺=1-吗2a+勺=l+s；n2a='=益

故答案为：D.

【分析】本题需要利用三角函数的降嘉公式和诱导公式，将sin2(a+》进行转化，再代入已知条件

sin2a=［计算.

5.【答案】C

【解析】【解答］解:•向量{区可是平面内的一组基底，.•.向量市至不共线.

由落石的夹角为锐角可得cos优可＞0,所以五7=|讣问cos但》＞0,所以北,加的夹角为锐角”

是，7＞0”成立的充分条件；

由苍.1＞0可得方,石=|如同cos但后)〉0,即cos何3)＞0.

又向量优加不共线，所以济石的夹角为锐角，“落3的夹角为锐角“是"不＞0”成立的必要条件.

综上，“济B的夹角为锐角”是先不＞0”成立的充要条件.

故答案为：C.

【分析】由基底性质得区后不共线，再依据数量积公式五4=I画面cos值同，分别推导“夹角为锐

角”与“本方＞0”的互推关系，判断条件类型.

6.【答案】A

【解析】【解答】解：因为PQ〃无轴，点P,Q,R分别在y=logax,y=2\ogax,y=51ogax±,

所以10ga孙=21ogaX0,化简得久p=哈

而％Q=xR,因为正方形的边长相等，所以PQ=QR,

即阵一税|=|51ogaxR-21ogax(3|,

化简得用一税|=|51ogaXQ-21ogax(?|=|loga%||.

因为正方形的面积为36,所以边长为6,

所以用-XQ\-|logax^|=6,解得和=3,

所以|loga3|=2,又a＞l,所以a=旧.

故答案为：A.

【分析】设出P、Q、R的坐标，根据PQ11%轴得纵坐标关系，结合对数运算化简得到坐标间联系，

然后利用正方形边长相等(PQ=QR)和面积求出边长，建立关于和和a的方程，进而求解a.

7.【答案】D

【解析】【解答】解：从16个点中取3个点共有C；6=1黑&4=560种情况，

①四点共线的有10种情况，从共线的4个点中取3个点都不能构成三角形，

所以在四点共线的情况下不能构成三角形的取法共有10盘=40种情况，

②三点共线的共有4种情况，所以不能构成三角形的取法共有4回=4种情况，

所以能够成三角形的取法共有560-40-4=516种情况.

故答案为：D.

【分析】本题通过间接法计算能构成三角形的格点取法，先求出从所有格点中任取3个点的总取

法，再减去不能构成三角形(即三点共线或四点共线中取3点)的取法，从而得到结果.

8.【答案】B

B,

【解析】【解答】解:

在AABD中，由余弦定理得,

AD2=AB2+BD2-2AB-BD-cos^ABD=8+4—2x2鱼X2X^=4

所以40=2,

因为48=2V2,BD=2,

所以AB?=BD2+人。2,所以

CD_AD

在△ACD由正弦定理得,

sinzCXD-sinZ-ACD

2xsin6

所以。C=2V2sin0

S呜

因为ZBZJC=7i-0-^-^=^-8

4Z4

所以S"CD=《DC•BD•sinZ-BDC=2V2sin0-sin

=2sin*s”2sin2”sin2”2x匕詈空

=sin20+cos20-1=V2sin(2d+勺一1,

因为ee（0用所以26+1C（京竽）所以当2。+1=（即”（时,

sin（26+=1此时△BCD的面积取得最大值.

故答案为：B.

【分析】本题需通过解三角形（余弦定理、正弦定理），将△BCD的面积表示为关于。的三角函数,

再利用三角函数的性质求面积最大时。的值.关键步骤：先在△48。中求4。及角的关系，再在△4CD

中用正弦定理表示OC,最后推导面积表达式并求最值.

9.【答案】B,C

【解析】【解答】解：A、取a=0.5/=1.5,满足a>0,b>0,且a+b=2,不符合aNLb〈

1.A错误.

B、由a>0,b>0,且a+b=2,由基本不等式可得.=（竽）=1，当且仅当a=b=1取到等

号，B正确.

C、由a+b=2可得a=2—b,结合a>0,故0<b<2,—4<—2b<0,则a—b=2-2b>

—2>C正确.

D、工+：>2结合就〈1,故*晨2工>2,当且仅当a=b=l取到等号，D错误.

故答案为：BC.

【分析】A、通过构造具体的a、力值(满足a+b=2但不满足a'l且),利用举反例法否定

结论.

B、依据基本不等式abW(竽y(a,b>0,等号当且仅当a=b时成立)，代入a+b=2,直接推

导ab的最大值，判断不等式是否成立.

C、先由a+b=2变形得到a=2-b,结合a>0确定匕的取值范围(0<b<2),再通过代换将

a-b转化为关于b的表达式(2-26),最后利用不等式性质推导a-b的范围，判断结论.

D、先对工+看通分变形为缥，结合a+b=2转化为与，再依据选项B中的结论，利用不等

ababab

式性质推导工+1的范围，判断不等式是否成立.

ab

10.【答案】A,C

【解析】【解答】解：A、若事件A,B相互独立，则P(AB)=P(A)-P(B),A选项正确；

1

1-1

11则

⑻W力6

2-1-6-=---

yp(p(5)JJp((B13

-

2

C、已知随机变量X〜N(2R2),且P(1.5wX<2)=0.36,所以P(XW1.5)=0.5-0.36=0.14,

所以P(X>2.5)=P(X<1.5)=0.14,C选项正确；

D、若变量％,y的样本相关系数⑶越接近于1,则久，y的线性相关度越大，D选项错误；

故答案为：AC.

【分析】A、根据独立事件的定义，判断其概率乘法公式是否成立.

B、运用条件概率公式P(B|A)=2黑，代入数据计算并验证.

C、借助正态分布的对称性(以均值〃=2为对称轴)，结合已知概率推导目标概率.

D、明确线性相关系数|r|与线性相关程度的关联(|川越趋近于1,线性相关越强)，判断命题正误.

11.【答案】B,C,D

【解析】【解答】解：A、赋值y=0,原等式变为：f(x+0)=f(%)f(1-0)+/(I-x)f(0),代入

/(0)=0,得:=因fO)是“非常数函数”(不恒为0),故f(l)=l(若)(%)不恒

为0,等式两边约去fQ)),A错误；

B、赋值y=1,原等式变为：/(%+1)=-1)+f(l-%)f(l),代入f(0)=0、f(l)=1,

得/(%+1)=/(I-%)

由函数对称性定义：若+%)=f(a-x),则x=a是对称轴。此处。=1,故％=1是对称轴，B

正确；

C、令y=1—x,得f(1)=/2(x)+f2(1—x)=1,

则/(久)/(1—x)W乙”¥止回吴，当且仅当f(x)=f(17)=土?时等号成立，C正确；

ZZ乙

D、令y=—x,得/'(0)=/(x)f(l+x)+f(1-%)/(—%)=0,

因为/(久+1)=/(I-x)»所以/(I+%)-[/(%)+f(-x)]=0,

则/(久)+/(-%)=0,=-/(%),

则/(久+2)=/(-x)=-fix),故/(%+4)=-/(x+2)=/(x),

所以函数八支)是一个周期为4的周期函数，

由/(%+2)=-/(%),/(0)=0,/(I)=1,

则〃2)=f(0)=0,♦⑶=-/(I)=-1,八4)=一/⑵=0,

则f(l)+f(2)+f(3)+/(4)=0,

则/⑴+/(2)+/(3)+-•­+/(2025)=506-[/⑴+f⑵+f(3)+/⑷]+/(I)=1,D正确.

故答案为：BCD.

【分析】A：通过赋值y=0,结合“非常数函数不恒为0”推导f(l)；

B：赋值y=1,利用“/(a+x)=f(a-%)”判断对称轴;

C、赋值y=1-%,可得尸(久)+尸(1-久)=1,进而结合重要不等式即可判断C；

D、赋值y=-x可得/(-久)=-f(x),进而得到函数〃久)是周期为4的周期函数，进而求解判断D.

抽裳见：|改版F足

12.【答案】1

【解析】【解答】解：由二项式定理可知：95=(8+I)5=85+d84+C?83+Ch2+C58+1=

.••95除以8的余数为1.

故答案为：1.

【分析】本题要计算95除以8的余数，可将9转化为8+1,然后利用二项式定理展开，根据展开

式中各项与8的倍数关系，确定余数.

13.【答案吟

【解析】【解答】解：设直线y=x+a与曲线y=«相切的切点为Oo,A），

由y=«,求导得y'=々%则2^^-1,解得久o=：,

由切点在直线y=x+a上，得J而=%o+a,所以a=J焉一%（）=今

故答案为：!

【分析】本题要解决直线是曲线切线时求参数a的值，需利用导数的几何意义（函数在切点处的导

数等于切线的斜率），先设出切点坐标，通过求导得出切线斜率，结合已知切线斜率列方程求出切

点横坐标，再将切点代入切线方程求出a.

14.【答案】（5+低4V可

如图所示，当点P为线段EF中点时，截面为DiGBH,其中月为Z4中点，周长为4强；

当点P为线段PoE内部时，截面为。母〃，其中G/,DJ平行且相等，平行且相等，2=GE<

GI<GB=近,1]=后

周长取值范围是（4+2返,4V5）,

当截面为GKLDi（其中GK,DiL平行，且K,L分别在棱CB,DA上）时，周长大于且可以任意接近于四

边形GCDQ的周长5+而，

但小于等于四边形GMADI的周长.

当截面为GNRQ4（其中GN,OiQ平行，N,Q分别在线段MB,/M上，R在线段AB上，NR,D]Q交于DA

延长线上的一点。）时，

方法一：

如图所示，利用初中几何知识可证路径GNRQA长度在路径GAMA和路径GBHDi之间,

截面GNRQ4的周长介于四边形GAMDi的周长与截面DiGBH的周长之间，

综上，过G,P,Oi的平面截正方体所得的截面周长的取值范围是（5+遮,4世].

方法二：

设CN=KC[1,2],DO=2X,AO=2X-2,NB=2—x,GN=+久2,

。1。=2GN=2〃+/,

21£-2A-A-12旧口业=丝=在二=七1_2(%-1)

DyO~DO~2x~x'DrQ=—'DD1OD2xx'QA—---

ARAO2%—2AR2.x-2.n4%—4nno4n4-2.x

RB=NB=^'AB=^T'AR=k'RB=2—AR=M，

NR=<NB2+RB2=J(2-%)2+=(2—%)

/4-4x\2+4(X-1)2_2/5(x—1),

RQ=J/M2+Q42

\xJx2-x

2

截面GNRQA周长为£)iG+GN+NR+RQ+QD1=VS+Jl+x+(2-久)Jl+今+2店广)+

/(x)=V5+Vl+x2+(2-x)J1+++2气T)+2J；久2,

'/rx——/r——/

f(%)=X(X2+1)2+2(/+1x)2—(1+

2

=+JX+1

X+

J#+1_|_1

X2%2+1

i+2

X2+1x+l%

支2+2%一久2—1+

xjx2+1

函数〃久）单调递增，所以截面GNRQD1的周长介于四边形GAL4D1的周长与截面D1GBH的周之间,

所以，过G,P,%的平面截正方体所得的截面周长的取值范围是（5+强,4A/同.

故答案为：（5+V5.4V5].

【分析】本题围绕正方体截面周长取值范围，需结合正方体结构，分析点P运动时截面的变化情

况，然后利用几何直观与函数单调性，通过研究特殊位置（中点、端点附近）的截面形状，推导周

长的最值，确定取值范围.

15.【答案】(1)解：由该公司超重的人数占40%可得(t+0.12+0.08)X1=04,解得t=0.2,

由频率分布直方图可得(0.04+s+0.4+0.2+0.12+0.08)X1=1,解得s=0.16,

由频率分布直方图可知BMI指数为(23,24］时频率最高，则众数为235

综上所述:s=0.16,t=0.2,众数为23.5.

(2)解：由(1)可知超重的总人数为100x0.4=40,则补全列联表可得下表:

性别正常超重合计

男402060

女202040

合计6040100

零假设为Ho：性别与超重无关联，根据残联表中的数据,

2

经计算得至—$*=畀2.777>2.7。6

根据小概率值a=0.1的独立性检验，我们推断/不成立，即认为性别与超重有关联.

【解析】【分析】(1)由频率分布直方图的性质，根据题目中所给的频率，建立方程，可得答案;

(2)先由超重频率求出超重总人数，补全列联表，再代入独立性检验公式计算与临界值比较，判

断超重与性别是否有关.

(1)由该公司超重的人数占40%可得(t+0.12+0.08)X1=04,解得"0.2,

由频率分布直方图可得(0.04+S+0.4+0.2+0.12+0.08)X1=1,解得s=0.16,

由频率分布直方图可知BMI指数为(23,24］时频率最高，则众数为235

(2)由(1)可知超重的总人数为100X0,4=40,则补全列联表可得下表：

性别正常超重合计

男402060

女202040

合计6040100

零假设为Ho：性别与超重无关联，根据残联表中的数据,

经计算得到「黑磊心普=2.777>2.7。6

根据小概率值a=0.1的独立性检验，我们推断为不成立，即认为性别与超重有关联.

16•【答案】(1)解：由余弦定理，c2=a2+b2—2abcosC^

结合题意得cosC=I，

解得：c=*

7T0<A<^仃

⑵解：由题意得，△力BC为锐角三角形，。=今贝必27rz=1<力<

§（0<3=等_4<,。

rh正狂牛押彳早a_b_.即2点=b=_c_h=竺吧置刊

寸sin/-sinB~sinC,sinAs讥俘―/）si吗sinA，

cosA+，sin4

3V39

sinA2+2tanA

■■■AE^,^.-.tanAe停+8”0<焉<点

（等6到

S^ABCe

【解析】【分析】（1）用余弦定理，结合已知边的关系，直接求解角C；

（2）由正弦定理，可得入=2月s讥停刊,贝瓦楹=^absinC=孥+方工，然后由人G，刍可得

答案.

（1）由余弦定理,c2=a2+b2—2abcosC9

结合题意得cosC=J,即。=冬

°<^<?兀…兀

⑵由题意，AABC为锐角三角形，c=条则

0<B=竽_4<厂汗牙.

abc即2丹_b_cI_275s讥俘-4）

由正弦定理得

sinA-sinB-sinC'sinA~s现冬-4）一s看一sinA

—A7T-A

S^ABC"八另行•sin-^

乙乙sinAsinA

cosA+^sinA

9

sinA2+2tanA

7T卫'停+8）n0<焉<8:C

・・・A6・•・tanAES"BC

6'Z

17.【答案】（1）证明：由翻折的性质，可得力314。，且4B14P

因为ADCAP=4且AD,APu平面ADP,所以ABJ■平面ADP,

又因为PDu平面ADP,所以AB1PD.

(2)方法一：解：连接AC,BD交于点4,

在直角△ABC中，可得tanzBAH=船=VL

在直角△4BC中，可得tan乙4DH==暂，

所以ZB力"=60°,^ABH=30°,所以4C1BD,

又因为4clpB,且PBCiBD=B,PB,BDu平面POB,所以ZC1平面PCB,

因为PDu平面PDB,所以4C1PD

由（1）知：AB1PD,^.ABC\AC=A,AB,ACc^-^ABCD,所以PD1平面4BCD,

因为BCu平面ABCD,所以PD1BC,

作DEIBC,连接PE,因为PDCDE=。，且PD,DEu平面PCE,

所以BC1平面PDE,又因为PEu平面PQE,所以BC1PE,

所以乙PED为平面PBC与平面ABC。所成二面角的平面角，

在直角APDE中，可得tanzPEZ)=器=专，所以coszPED=g=

方法二;解：以点4为原点，以所在直线分别为%轴和y轴，建立空间直角坐标系,

如图所示，可得4（0,0,0）,B（V3,0,0）,C（V3,3,0）,D（0,1,0）,

由(1)知的工平面/小，所以平面ABCD的法向量为五=(0,0,1),

9(0"，则黑霭°，即解得心，即PE,

设平面PBC的法向量为无=(x,y,z),且前=(0,3,0)，BP=(-V3,1,2)

则倒汇:’即｛-岳fz=。,取”=2,可得y=0,z=倔所以芯=(2,。,⑹,

设平面PBC与平面4BC。所处二面角的平面角为d则IcosOI=缁颦=祟=璋.

I几111几2l1-V7/

【解析】【分析】(1)利用翻折性质(垂直关系不变)，结合“线面垂直判定定理”(力B1平面

ADP),推导ZB1PD.

(2)通过空间直角坐标系，确定各点坐标，利用“向量垂直条件”(PB1AC)求P点，再求两平

面法向量，用法向量夹角公式计算二面角余弦值.

M^见：|改版F足

(1)证明：由翻折的性质，可得4B140,且ZB14P

因为ADnAP=4且AD,APu平面ADP,所以AB1■平面ADP,

又因为POu平面ZCP,所以1PD.

(2)解：方法一：连接AC,BD交于点H,

在直角△ABC中，可得tcmZBAH=黑=旧，

在直角△ABZ)中，可得tcmZADH=券=,，

所以NB4H=60。，AABH=30°,所以4C1BD,

又因为ACJ_PB,且PBC)BD=B,PB,BDu平面PDB,所以4C_L平面PDB,

因为POu平面PDB,所以ZC1PD

由(1)知：AB1PD,且力BClAC=A,AB,ACu平面ABCD,所以PD_L平面ABC。，

因为BCu平面ABC。，所以PD1BC,

作OE1BC,连接PE,因为PDCDE=D,且PD,DEu平面PDE,

所以BC1平面PDE,又因为PEu平面PDE,所以BC1PE,

所以ZPED为平面PBC与平面力BCD所成二面角的平面角，

在直角APDE中，可得tcm/PEO=黑=套，所以COSNPED=*=妥

法二：以点A为原点，以48,4。所在直线分别为K轴和y轴，建立空间直角坐标系，

如图所示，可得4(0,0,0),B(V3,0,0),C(V3,3,0),D(0,1,0),

由(1)知AB1平面4DP,所以平面4BCD的法向量为汨=(0,0,1),

设P(OMb)，则｛至：°，即愕生家口解嘴片，即尸(°」2),

设平面PBC的法向量为族=(x,y,z),且尻=(0,3,0)，BP=(-V3,1,2)

则愣言二:’即｛-岳f=0,取久=2,可得y=0,z=g，所以五=(2,0,8),

设平面PBC与平面力BCD所处二面角的平面角为仇则|cos0|=燃鬻=疤=浮.

lnirln2l177/

ZA

FL

18.【答案】(1)解：函数/(%)=(l—a)ln%+羡+%的定义域为(0,+8),当。=2时，/(%)=

7H--2FX9

-ITIXX

求导得f'(%)=-1一今+1=一久二1+久2=("―2J"+D，

由，(久)>0，得久e(2,+8),

所以函数〃久)的单调递增区间是(2,+8).

(2)解：由题意得，/(%)=上工_刍+1=避土(1丁)尤-。=8―吗尤+1),。>0,

xx乙x乙x乙

当0<%<。时，/(%)<0;当工〉。时，/'(%)>0，函数/(%)在(0,a)上递减，在(a,+oo)上递增,

/(%)min=/(")=(1-a)lna+1+a,由/(%)>2恒成立，得(1-a)lna+1+a>2恒成立，

贝(J(1—a)lna+a—1>0,即(a—l)(Zna-1)<0,解得1<a<e,

所以。的取值范围是[1,e].

(3)2.8<e104,

证明：由(2)知，当a=e时，/(x)=(1—e)lnx+^+x>2,即仇久〈百字

e+2.8—2e2f+0，8_1],0.8.

令x=2.8,有机2,8<番而e>2.71,

e—1e-1-2.8十2.8(e—l)十e—]

克+W=l)+翳(表+募m+益<6358+0.209+0.468=1,035<1.04,

贝IJm2.8<1.04,两边取对数得2.8<e104,所以2.8<e104.

【解析】【分析】(1)代入a=2,求导后解导数大于0的不等式，确定单调递增区间.

(2)求导分析函数单调性，得最小值表达式，结合恒成立条件解不等式，确定a的范围.

(3)利用(2)中结论，取特定a值得到不等式，代入久=2.8放缩证明数值大小.

(1)函数/(%)=(1-a)lnx+：+x的定义域为(0,+8),当a=2时，/(x)=-Inx+-+X,

XX

求导得f'(%)=—/-5+1=-1)，

由/(久)>0，得久e(2,+8),

所以函数/(x)的单调递增区间是(2,+8).

(2)依题意，f(x)=_刍+]=二+qy_a=(七口)尹1),。>0,

'''%%2%2%2

当0<%<。时，/(%)<0;当光〉。时，/'(%)>0，函数fQ)在(0,a)上递减，在(见+8)上递增,

/(x)min=/(。)=(1-a)lna+1+a,由/(%)>2恒成立，得(1-a)\na+1+a>2恒成立，

则(1—a)lna+a—1>0,即(a—l)(Zna-1)<0,解得1<a<e,

所以。的取值范围是［1,司.

(3)由(2)知，当a=e时，/(%)=(1-e)lnx+^+%>2,即加％V茎上工

x—e—1

令久=有另+2，-2e2于+08_11,0・8.

2.8,m2.8<而e>2.71,

-e—1e-1—2.8十2.8(e-l)十e-1

11no-11no

Z8+W=l)+口<9+Z85CL7T+171<°.358+0.209+0.468=1,035<1.04,

贝lj仇2.8<1.04,两边取对数得2.8<e104,所以2.8<e104.

19.【答案】⑴解：pg)=($管)+(|)(|)G)=lx捺+3x余芳

(2)证明：传输结果各位数字之和为奇数的概率为P(W；)=*pnT(l-p)+C沏n-3(i—p)3+

传输结果的数码个数为偶数的概率为P(An)=CM+C*2(1_p)2+…，

由「西+P(4J=1,

P(4)-尸(厩)=C.-盘pn-l(l_p)+d(l-p)2+…+L(1-p)n

=(p—(1—p))n=(2p—l)n

P6):小小

(3)解：当;<p<l时，P(BI不存在最大值；当「=凯寸，P(B|An)恒为常数；当0<p<2

时，P(B|4J在n=2时取到最大值.理由如下：

024

P(.BAn)=C°(l-p~)°pn-—+鬣(1一p)2pn-2—+C^(1-p)4pn-4—+•■•

_135

P(%)=喋(1一p>pnT--+C^(l-p)3pn-3--+臂(1-p)5pn-5-+•••

_n01nn

P(B4n)+P(BAn)=C°(l-p)°p-—+―(1-p)ipZ•—+••-+缢(1-p)p°•—

n卜n

=WC[(l-p)①….五=WCt二Ml-p)kpn-k

k=lk=l

n

=(1—p)W^n-1(1—p)fe-1pn-fe=1—p

k=l

01XL

n0

P(BAn)-P(BAn)=C0(l-p)°pP)9T•五+…+(-1严嬴(1-pVp--

n卜n

=WC《(p-,五=W然二t(P-l)kpn-k

k=lk=l

n

=(p—1)W^n-1(P—l)fc-1pn-/c=(p—l)(2p—l)n-1

k=l

l-(2p-1尸

P(BA—(l-p)+(p-l)(2p-l尸

=(1-p)2

r

尸(B4Qi—3l-(2p-1尸

P(B|A)n/(n)(1-p)-

n1+(2p-l)1+(2p-l)n

2

记/(n)=(1-p)•

l+(2p-l)n

J(n+1)=(l-(2p-l)”)(l+(2p-l)")=_____________l-(2p-l产_________

“f(n)(l2p—l尸)(l+(2p—l严)l-(2p-1产+(2p-l尸(2p-2)(2p)

①当p=‘时，/(n)=I，

②当J<p<1时，(2p-I)"-1>0,需J>1,即f5)单调递增，P(B|人力不存在最大值.

乙JI，I)

③当0<p<2时，(2p—l)nT正负无法确定，

当n为奇数时，与W>L当几为偶数时，笑?<1，

要使f(n)取到最大值，n应取偶数，记1-2p=4,Ae(0,1),

2-11

e,„、、1一(-;I产T1+A"r.、<+/"+1-^/I1-A\

/(2n)=(1—p)—~=(1—p)------=(1—P)-------------2^~~=(1一P)(7---------2?i+l，

1+(-a严i+rni+rnvza+铲

0<A<1,

.•"(2①单调递减，/(2n)<f(2)=(1—p)j；2P=笈宴,

l+(2p-l)2pz-2p+l

综上所述：

当;<p<l时，P(BI4J不存在最大值：

当p=:时，P(B|4)恒为常数会

当0<p<凯寸，P(B|An)在九=2时取到最大值宗警

【解析】【分析】(1)：利用独立重复试验概率公式，枚举“和为偶数”的情况(0个1或2个1)计

算.

(2)：通过二项式定理，构造P(4J与P(鼠)的和差关系，联立求解得通项.

(3)：用条件概率公式拆分P(B140,构造函数f(n),结合2p-l的符号分类讨论单调性，确定最

大值.

抽查意见：改编不足

⑴pg)Tiy+氟寸(吴芳

(2)传输结果各位数字之和为奇数的概率为人观)=盘「吩1(1_p)+C汕口1—「)3+…，

传输结果的数码个数为偶数的概率为=CnVn+C*2(i一「)2+…，

由P(%)+PQ4n)=l,

nn

P(An)-P(4n)=CnP~党严1(I一P)+鬣严2(1-p)2+…+-p)

=(p—(1—p))"=(2p—]严

叫)=半旦・

⑶P(BAn)=C°(l-p)°pn-^+f2(l_p)2n-2.Z_)4n-4-^+•••P(BA^)=

p+C4Qpp

1