圆锥曲线中的中点弦问题（3知识点+7大题型+思维导图+过关检测）原卷版-2025年新高二数学（人教A版）

圆锥曲线中的中点弦问题

（3知识点+7大题型+思维导图+过关检测）

知识点01：椭圆与双曲线的中点弦与点差法

1、根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数

的关系以及中点坐标公式解决；

2、点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐

标和斜率的关系,

22

具体如下：直线/（不平行于y轴）过椭圆二+台=1（。>6>0）上两点/、B,其中48中点为尸（X。，为），

ab

则有kABKp二一4。

上式减下式得上段+上^=0,二当二¥=-?,

ab-x2a

.2yo.%一%/二：廿,,_b2

，"kAB'kOP=-2

X]-x2X]+x2Xl-x22x0X]-x2xoQ2a

22

焦点在y轴：直线/（存在斜率）过椭圆4+「=l（a>b>0）上两点4、B,线段45中点为尸（%,为），则

ab

有以（）

8.kp=记

2

Ax

3、双曲线的用点差法同理，可得

aJo

知识点02：抛物线的中点弦与点差法

设直线与曲线的两个交点/（孙弘）、B&,%）,中点坐标为尸（%,九）

代入抛物线方程，y：=2pX[,y；=2px2,

将两式相减,可得（必一%）（必+%）=20（再一制2），

整理可得：%=9=2=旦

再一为2%为

知识点03：点差法在圆锥曲线中的结论

—

-2~:e2-lo焦点在x轴

a

1、椭圆：kAB

a

—=--o焦点在y轴

Fe—1

£=/_]0焦点在%轴

T

=a

双曲线：/，AB.~kB'k—<

2、AQM2

%a=一一O焦点在歹轴

e-1

左/R=二0开口向右

%

kAB=—―0开口向左

3、抛物线：，/0

左相=血0开口向上

X

心"=一开口向下

LP

【题型01：求中点弦所在直线方程（斜率）】

一、单选题

22

1.（24-25高二上•河北廊坊・期末）已知椭圆、■+?=：!,过点尸（L1）的直线交椭圆于48两点，且尸为

线段的中点，则直线的方程为（）

A.x+3y-4=0B.3x+y—4=0C.x-3y+2=0D.3x-y-2=0

2.（24-25高二上•江西赣州•期末）已知动点P到定点方（2,0）的距离比它到直线x+l=0的距离大1,直线/

与动点尸的轨迹交于B两点,且线段N8的中点为（4,2）,则直线/的方程为（）

A.x—2y=0B.x—y—2=0

C.2x-y-10=0D.2x—y—6=0

3.（23-24高二下・云南曲靖•期末）己知直线/交抛物线C:x2=_18y于两点，且的中点为（3,-2）,

则直线/的斜率为（）

c111

A.—3B.——C.-D.—

693

4.（24-25高二上・江苏•期中）已知椭圆［+4=1,直线/与椭圆在第二象限交于48两点，与两坐标轴分

63

别交于C,D两点，且|ZC|=|8必，则直线/的斜率为（）

A.—B.—C.—D.—

2424

二、填空题

5.（24-25高二上•上海・月考）已知双曲线C:/-1=1,若双曲线C的一条弦的中点为（-1,-4）,则这条

弦所在直线的斜率为.

2…2

6.（23-24高二上•云南•月考）已知双曲线C:二-匕=1,M,N是C上的两点，P是的中点，。为

24

坐标原点，直线OP的斜率为-g,则直线龙w的斜率为_______

【题型02：求弦中点的坐标】

一、单选题

22

1.（24-25高二上•湖北•期末）若斜率为1的直线与椭圆土+匕-=1交于48两点，则弦的中点坐标可

43

能是（）

A.B.C.（-3,4）D.（-4,3）

22

2.（24-25高二上•河南南阳•期中）椭圆工+2=1上的两点4,8关于直线2%一了-1=0对称，则弦的

84

中点坐标为（）

（）（）

A.1,1B.C.-1,1D-

二、填空题

3.（23-24高二上•山东泰安•月考）直线>=x-l被双曲线2x2-/=1所截得的弦的中点坐标是.

4.定长为3的线段的端点A、B在抛物线，=》上移动，则NB的中点到V轴的距离的最小值为—

此时AB中点的坐标为.

5.已知尸为抛物线必=4x的焦点，过点尸的直线交该抛物线于A,8两点，若点A在第一象限，且

\FA^\FB\,则线段48的中点坐标为.

【题型03：弦中点的轨迹问题】

一、单选题

1.（24-25高二上•贵州黔东南•期末）已知斜率为2的直线与曲线C:必=8无交于43两点，则线段42的

中点加的轨迹方程为（）

A.y=4（x>2）B.x=4(-4y/2<y<4^2)

c.D.x=2(-4<y<4)

二、填空题

2.斜率为2的平行直线截双曲线/-丁=1所得弦的中点的轨迹方程是.

3.已知斜率为9的动直线与椭圆土+匕=1交于48两点，线段48的中点为则M的轨迹长度

554

为.

三、解答题

4.（2025高二•全国•专题练习）已知椭圆C:]+，=l（a>6>0）经过点（垃且离心率为弓，设直线/

与椭圆C相交于4台两点.

（1）求椭圆c的标准方程；

（2）若直线/的斜率为1,求线段N3中点M的轨迹方程；

5.（23-24高二上•河北沧州•期末）已知产为抛物线C：y2=2px（。＞。）上一点，且点尸到抛物线的焦

点F的距离为12,到了轴的距离为10.

⑴求〃的值；

（2）过点尸作直线/交C于4,8两点，求N5中点M的轨迹方程.

【题型04：利用中点弦求曲线方程】

一、单选题

22

1.（24-25高二上•福建莆田•期中）已知椭圆£:三+勺=1（。＞6＞0）的右焦点为尸（4,0）,过点尸的直线交

ab

椭圆E于48两点，若45的中点坐标为（3,-1）,则椭圆E的方程为（）

B.X=1

A.—+—=1

2483216

c.JD.JJl

40244832

2.（24-25高二上•广东梅州•月考）已知双曲线的中心在原点且一个焦点为厂（近,0）,直线V=x-1与其相

2

交于两点，若中点的横坐标为-则此双曲线的方程是（）

A-B-»

22

3.（23-24高二上•山西太原•期中）已知椭圆是1r+}=1（。>6>0）的右焦点为尸（3,0）,过点尸的直线

交椭圆于/,3两点，若M（1,T）且9+赤=2而，则E的方程为（）

C.D'”=1

二、填空题

4.已知抛物线/=2px（p>0）的焦点为尸，第一象限的A、8两点在抛物线上，且满足忸尸|-以刊=4,

|/日=4夜.若线段中点的纵坐标为4,则抛物线的方程为.

【题型05：利用中点弦求离心率】

一、单选题

22

1.（24-25高二上•辽宁丹东•期末）已知椭圆C:云+}=1（。>6>0）,过点（0,4）的直线/与C交于48两

点，若的中点坐标为（4,2）,则C的离心率为（）

3B.4C-1D-T

22

2.（24-25高二上•重庆•期中）已知双曲线C:5-与=l（a>01>0）,过点尸（-4,0）的直线与双曲线C交于

ab

48两点，若线段的中点是“（2,6）,则双曲线E的离心率为（）

A.孚B.加

C.2D.3

22

3.（24-25高二上•浙江宁波•期中）已知椭圆点尸为左焦点，点P为下顶点，平行

于尸尸的直线/交椭圆于48两点，且的中点为，则椭圆的离心率为（）

AB

-T-1c「D-T

4.（24-25高二下•黑龙江•月考）已知直线》=x+l与曲线加F+〃夕2=0（加〉0,〃<0）交于力，5两点，若同时

422

经过原点和线段N5中点的直线斜率为:，则双曲线二+匕=1的离心率为（）

2mn

A.-B.巫C.-D.而

2233

二、填空题

22

5.（23-24高二上・重庆・期末）已知椭圆C:?+}=1（。>6>0）的右焦点为尸，过点尸作倾斜角为）的直

PF1

线交椭圆C于N、8两点，弦的垂直平分线交x轴于点尸，若二右=£，则椭圆。的离心率为.

AB3

22

6.（23-24高二上•河南开封•期末）已知点48,C是离心率为2的双曲线T:三-卓=1（。>0,6>0）上的三

点，直线的斜率分别是配优劣，点。，瓦尸分别是线段的中点，O为坐标原点，直

111,

线。D,。£,。尸的斜率分别是发后，履，^—+—+—=\贝|.

kxK2归3

【题型06：求直线与曲线相交中点弦长】

一、单选题

I.（24-25高二下•山西•期中）已知尸为抛物线C:/=8x的焦点，过尸的直线交C于A,8两点，若弦

的中点的横坐标为4,则“同=（）

A.8B.10C.12D.16

2.已知双曲线。：2--/=2,过点尸（1,2）的直线/与双曲线C交于M、N两点，若尸为线段跖V的中点，则

弦长崔M等于（）

34

3.（23-24高二上・重庆•期末）已知直线/：x-叼-1=0与抛物线C：/=4x交于/,台两点，若线段的

中点为（x°,2）,贝小/切=（）

A.4B.6C.8D.10

22

4.（24-25高二上•河北石家庄•期末）若椭圆"+号=1的弦的中点尸（2,1）则弦长即|=（）

A.4B.5/C.2D.2石

二、多选题

5.（23・24高二上•河南开封•期末）已知椭圆C:土+/=1与直线歹+加=0相交于两个不同的点48,

4

点M为线段48的中点，则（）

A--75<m<B.m<-V5或m>下

c.弦长|/用的最大值为竽

D.点M一定在直线x+4y=0上

【题型07：其他有关中点弦问题】

一、单选题

22

1.（24-25高二下•山西•开学考试）己知椭圆C:〉条=1伍＞6＞0）的焦距为4,直线%-了+3=0与椭圆

相交于A,3两点，若点0（-2,1）是线段的中点，则椭圆C的短轴长为（）

A.2B.4C.6D.8

22

2.（23-24高二上•重庆・期末）己和双曲线=与直线V=2x+1相交于/、8两点，

若弦43的中点河的横坐标为1,则双曲线C的渐近线方程为（）

A.y=+^6xB.y—i6xC.y—i—xD.y=+^-^-x

66

23

3.（24-25高二上・贵州贵阳•期中）已知斜率为左的直线/与椭圆C:土r+/=i交于4,5两点，线段々的

4

中点为〃（1,加）（加〉0）则实数左的取值范围是（）

22

4.（24-25高二上•江西抚州•期中）己知直线尤-3了+7=0与椭圆=+2=1（。＞痛）相交于4,2两点，椭

a6

圆的两个焦点是与，F2,线段的中点为C（-l,2）,则△邙月的面积为（）

A.2A/2B.472C.273D.4百

5.（24-25高二上•河北沧州•月考）已知直线＞=x+l与椭圆C:7+r=i交于两点，直线N=f+根与

椭圆C交于M,N两点，若直线N2垂直平分线段则%=（）

1245

A.——B.——C.——D.——

3333

6.（2024•江西宜春•三模）已知抛物线C：，=4x的焦点为尸，动直线/与抛物线。交于异于原点。的/,

2两点，以线段04为邻边作平行四边形0/尸2,若点尸（4,加）（m＞0）,则当以卸取最大值时，加=

()

A.2B.272C.3D.2A/3

;□t口□

过关测稳提升

一、单选题

I.（23-24高二上•广东茂名•期末）过抛物线V=2x的焦点作直线/,交抛物线于/、8两点.若线段N5的

中点横坐标为2,则M同=（）

A.3B.4C.5D.6

2.（24-25高二上•湖北襄阳•月考）直线＞=x-l被抛物线/=4x截得的线段的中点坐标是（）

A.（2,6）B.（3,2）C.（6,4）D.（4,6）

2

3.（24-25高二上•四川成都・期末）设48为双曲线/一5=1上的两点，线段的中点为M（2,2）,则网=

（）

A.75B.2石C.VlOD.2^/10

4.已知双曲线C:/-/=2,过右焦点的直线交双曲线于48两点，若48中点的横坐标为4,则弦长

为（）

A.372B.472C.6D.6及

5.（23-24高二上•福建莆田•月考）已知椭圆E的中心在原点，焦点为£（-2月,0）,FQ瓜0）,且离心率

e=^~.过点尸（2厂1）的直线/与椭圆E相交于A,8两点，且尸为N5的中点，则弦长以同=（）

A.2百B.2/C.2后D.2yf6

6.若双曲线的中心为原点，尸（。,-2）是双曲线的焦点，过产的直线/与双曲线相交于A/,N两点，且ACV

的中点为尸（3,1）,则双曲线的方程为（）.

2222

A.-/=1B.y2--=1C.^--x2=1D.x2-^=l

3333

7.（23-24高二上•湖北武汉•期末）已知/,8为双曲线/-产=1上不同两点，下列点中可为线段的中

点的是（）

A.（1,1）B.（2,3）C.（V2,l）D.

JT

8.（23-24高二下•安徽・月考）已知抛物线C:/=28（2〉0）,过。的焦点尸且倾斜角为I的直线交。于

4

A,B两点,线段45的中点为忆\FW\=-f则2=（）

A.1B.2C.3D.4

22

9.（24-25高二上•陕西西安•月考）已知椭圆^+==1（。>6>0）的右焦点为尸（3,0）,过尸的直线与椭圆

相交于M,N两点，线段中点的坐标为（1,-1）,则此椭圆的方程为（）

22

AfuXy,

A.——+—=1B.——+—=1

45363627

2222

C.二+匕=1D.土+匕=1

2718189

10.如图，已知抛物线氏必=28（0>0）的焦点为尸，过尸且斜率为1的直线交E于/,2两点，线段

的中点为"，其垂直平分线交x轴于点C,九轴于点N.若四边形。CMV的面积等于8,则E的方

程为（）

22

11.（23-24高二上・重庆•期末）直线/:x-2y+g=0经过椭圆鼻+方=l（a>6>0）的左焦点尸，且与椭圆

交于48两点，若"为线段45中点，|"刊=|<W],则椭圆的离心率为（）

12.（2024•江西鹰潭•一模）已知椭圆E：+方=1（。>6>0）的左焦点为尸，如图，过点尸作倾斜角为60。

的直线与椭圆E交于A,8两点，川为线段的中点，若5忸M=|W|（。为坐标原点），则椭圆E的离

272277

3.7

-x2y2

13.已知椭圆E:—+l（«>^>0）的右焦点为尸（3,0）,过点厂的直线交椭圆E于43两点，若N8的中

aF

点坐标为(1,-1),则弦长|AB|=()

A.5V2B.2V5C.学D.Vio

22

14.（23-24高二上•湖北武汉•期末）已知椭圆£:[+与=1（°>6>0）的左焦点为尸，如图，过点尸作倾斜

ab

角为60°的直线与椭圆E交于48两点，/为线段48的中点，若4忸7图=|0升（。为坐标原点），则椭圆£

的离心率为（）

「岳D,迈

V/•-----

57

（24-25高二上•江苏扬州•期中）已知斜率为正的直线/过双曲线C:/2

15.-匚=1（加>0）的左焦点尸，

5m

且与C的左，右两支分别交于A,B两点，设。为坐标原点，P为N8的中点，若△<?£?是以尸尸为底边的

等腰三角形，则双曲线的离心率为（）

A.2B.V2C.3D.V3

二、填空题

16.（23-24高二上•安徽合肥•月考）已知抛物线必=4x的弦斜率为1,则弦48中点新的轨迹方

程.

122

17.（24-25高二上•江苏淮安・期中）过点"（1,1）作斜率