浙江省湖州市2024-2025学年高一年级下册6月期末数学试题（含解析）

浙江省湖州市2024-2025学年高一下学期6月期末调研测试

数学试题

一、单选题

1.若集合A={1,2,4,8,16,32},B^{X\X2EA\,则AB=()

A.{1,4,16}B.{1,2,4)C.{2,8,32}D.{8,16,32}

1

2.己知〜(2-ip'其中i为虚数单位，贝1J|z|=()

A.正B.—C.正D.-

252555

3.直线/，平面a,直线〃?ua,贝IJ/与加的位置关系一定不成立的是（）

A.平行B.相交C.异面D.垂直

4.已知a,。是两个单位向量，则“03=0"是“K+.=卜_可”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

5.已知样本数据4，x2,x3,乙，%的平均数为方差为d,若样本数据g+6,办2+6,L,axn+6

的平均数为元，方差为4s,则7=()

A.3B.-3C.1或3D.-1或3

6.sinx+cosx=2coscr,siiucosx=sin2^,贝。()

A.cos2dz+2cos2；0=0B.2cos2a+cos2尸=0

C.cos2c-2cos24=0D.2cos2a-cos2/7=0

7.在正三棱柱ABC-4耳G中，。为棱AC的中点，A8=AA=2,则异面直线和所成角的余弦值

为（）

A.姮B.叵正

c.D.0

555

8.在VABC中，已知a+c=3b,则cosB=()

昱

A.1B,C.2D.3

2268

二、多选题

9.已知尸（A）=0.5,P（B）=0.4,P（Ac8）=0.2,则（）

A.P（A）=0.5B.P（AuB）=0.9

C.尸（Ac耳=0.3D.P（A豆）=0.8

10.已知"logzS,b=log31,贝。（）

2b-a

A.ab>0B.40-9*=1C.1-1>1D.log12=

ab6b-a

11.在正方体A3CD—A耳CQ］中，点石、F、G分别是棱Ad、CC］、AD的中点，点M是线段AC上一

个动点（不含端点），则（）

A.与M与EG异面B.瓦加〃平面EFG

C.BMLEGD.与平面砂G所成角正弦值的最大值为还

3

三、填空题

12.已知一个圆锥的底面半径为4,其体积为16兀，则该圆锥的侧面积为.

7T

13.函数y=sin（2x+§）的图象向右平移。（0＜。＜无）个单位后可以得到函数、=$m2工的图象，贝1］。=.

14.在平面四边形A3CD中，E,尸分别为AD,BC的中点，若AB=4,CD=2,且EC=9,则,耳=.

四、解答题

15.随着暑假的临近，某市A景区将再次成为旅游的热门目的地.为更好地提升旅游品质，该市文旅局随

机选择100名青年游客对该景区出行体验进行满意度评分（满分100分），80分及以上为良好等级，根据评

分数据，制成如图所示的频率分布直方图.

（1）求直方图中x的值，并估计评分数据的第75百分位数；

⑵若采用分层随机抽样的方法从评分在［60,70）,［80,90）的两组中共抽取4人，再从这4人中随机抽取2人

进行单独交流，求选取2人的评分等级都为良好的概率.

16.如图，在三棱台A3C-A4c［中，平面ABC,AB=BC=BB1=2^=2,AB±BC.

⑴求三棱台ABC-AB©的体积；

(2)证明：平面ABB,A1平面BCCA.

⑶求AC与平面ABB^所成角的正弦值.

17.记VABC的内角A,B,C的对边分别为。，b,c,已知c=6(l+2cosA).

⑴证明：A=2B;

(2)若〃=6,b=5,

(i)求cosA的值；

(ii)若点M,N分别在边BC和AC上，且CMN与VABC的面积之比为:，求线段长的最小值.

6

18.设函数/(x)=ln^^—+QX—人(a>O,b£R).

6-x

⑴判断函数“X)的单调性(无需证明)；

⑵证明：曲线y=/(x)是中心对称图形；

⑶若3a=b,解关于实数/的不等式/■卜2―力+3)+〃3+f)>0.

19.四边形ABC。中，AB^AD=4,连接3D,BC:BD.CD=3:4:5,将△ABD沿3D翻折至△尸3。，其

中点P为动点.

(1)若BD=4壶,且平面PBD_L平面BCD,

(i)求三棱锥P-BCD外接球的半径；

(ii)求二面角8-尸£>-。的正切值；

(2)在翻折过程中，若四边形尸BCO为平面四边形，求线段尸C长的最大值.

题号12345678910

答案BDACCBDCACBCD

题号11

答案ABD

1.B

根据给定条件，利用列举法表示集合3,再利用交集的定义求解.

【详解】集合A={1,2,4,8,16,32},由匹词/马},

得8={-1,1,夜,-2,2,-2A/2,2^,-4,4,-464回，

所以AB={1,2,4}.

故选：B

2.D

先应用复数的四则运算，化简复数，最后再求模长即可.

1134.

【详解】=/=五+三

故选：D.

3.A

根据给定条件，利用线面垂直的性质及线线位置关系逐项判断.

【详解】由直线平面直线根ua,得/_Lm,A错误,D正确；

令/I当Awm时，/与加相交；当人仁加时，/与加是异面直线，BC正确.

故选：A

4.C

由单位向量、向量的数量积与模长结合充分必要条件的概念判断即可.

【详解】因为a,b是两个单位向量，所以向=|力|=1

充分性:若a-b=O,则卜+同=|a|2+|z?|,卜—可=闷~+忖,所以归+在卜卜叫,

必要性:若k+/=卜_q,则卜+或=,一万「，

即同+2a-/?+1/?|=|a|-2（z-Z?+|/?|,所以a.B=O，

所以，“a-6=0”是++。|=—中的充分必要条件.

故选：C.

5.C

根据平均数和方差的计算公式计算即可.

【详解】因为样本数据X],尤2，对，X4，%的平均数为（，方差为S2,

则样本数据g+6,ax2+6,L,以“+6的平均数为。1+6,方差为a2s"

fdx+6=4x[a=2[a=-2

所以24，解得一w或一..

[a=4[x=3[x=l

故选：C.

6.B

利用同角三角函数的基本关系和二倍角公式探索。、夕的三角函数的关系.

【详解】因为（sinx+cosxj=l+2sinxcosx,

所以（2cosdz）2=1+2sin2（3=>4cos2a=1+2sin?万，

所以2（l+cos2a）=l+（l-cos2（3）n2cos2a+cos2/7=0.

故选：B

7.D

先利用线线平行确定异面直线4。与所成角的角，再利用勾股定理结合中点求得。耳。民5石，从而利用

余弦定理即可得解.

【详解】记4A的中点为E,连接皿,石8,如图，

因为。为棱AC的中点，E为AA的中点，所以。E//4C,

所以NED3为异面直线AC与3。的所成角（或补角）,

因为在正三棱柱ABC-ABC1中，AB=44,=2,

所以AC=JM+AC?=20,BE7AB2+AE?=5BD=ylAB2-AD2=73-ED——A.C—A/2,

2

b,3八qED-+DB2-BE22+3-5

所以在/\EDB中，cosZEDB=-----------------------=0,

ZED-DB2x75x1

所以异面直线AC与所成角的余弦值为0.

故选：D.

8.C

根据给定条件，利用余弦定理边化角，再利用和差角的正弦及二倍角的余弦公式求解.

【详解】在VABC中，由a+c=3Z?,得sinA+sinC=3sin3,

./A+C+生工）+（如一生）

Bnnpsin（-------sinCt=3sin8,

222

整理得2sinW^cos41c=3sin8,而A—C=],则否sing-gxSsinB,

于是6cos0=6sin0cos0,而cosO>0

解得sin—=—,

222226

所以cos2=l—2sin2'=l-2（B^）2=：.

故选：C

9.AC

根据对立事件的概率公式，可判断A的真假；根据概率的加法公式，可判断B的真假；根据互斥事件的概

率公式，可判断C的真假，根据摩根定律和对立事件概率公式，可判断D的真假.

【详解】对A：根据对立事件的概率公式，可得：尸（可=1-P（A）=l-0.5=0.5,故A正确；

对B：根据概率的力口法公式，可得：P（AuB）=P（A）+P（B）-P（AnB）=0.5+04-0.2=0.7,故B错误;

对C：因为A=（ACB）U（AC国，且Ac3与AcX互斥，根据互斥事件概率加法公式，

可得P（A）=P（AcB）+P（Ac与）nO.5=O.2+P（Ac豆），所以P（Ac5）=0.3,故C正确；

对D：根据摩根定律，AUB=Ar^B，所以尸（ZC耳）=P（NUZ）=1—P（AU3）=1-0.7=0.3,故D错误.

故选：AC.

10.BCD

应用指对数互化、对数运算法则、换底公式及对数函数的性质分别判断各个选项即可.

【详解】对于A,a=log25>log2l=0,b=log31<log3l=0,所以念<0,故A不正确;

对于B,由a=logz5,8=log3；得2"=5,3"=g,40-9*=（2°）2.（3fc）2=52=1,故B正确;

对于C,：一丁32-1。包3=1鸣2+1叫3=1嗝6>1,故c正确;

121g5lg521

2b-a_21吗§_log?5_+垣_扇+说「gQ。义3）_lgl2

对于D,-故D正确.

…一logj-log25姮+姮-X+X-lg（2x3）-lg6-='

562lg3lg2lg3lg2

故选：BCD.

11.ABD

先证旦G,C，4共面，再根据异面直线的判定可判断A；先由线线平行，得到线面平行，进而得到面面平行,

再利用面面平行的性质即可判断B,先得到与平面期C所成角即为与平面EFG所成角，设正方

体ABCD-4BGR的棱长为1,则8。=百，令BDJ平面AB,C=0，则ZD.MO为D.M与平面AB.C所成角，

由等体积法求得DQ,当航为AC中点时，DtM±AC,此时4M最小，从而求得sin/，MO=^的最大

值，即可判断D.

(详解】对于A,如图①,正方体ABCD-ABC"中，E、G分别是9、AD的中点，所以EG〃A。//与C,

所以E,G,C,q共面，由EGu平面EGC耳，耳€平面成?(?四,

EG,Mg平面EGCB],得与M与EG异面，故A正确;

对于B,如图②，正方体A8CO-4gG2中，令4c的中点为H,又因为E、F、G分别是4人、CG、AD

的中点,

所以ABJ/GH,FH//B、C,AqZ平面EFG,平面£FG,GH,FHu平面EFG,

故AB"/平面E尸G,8〈//平面EFG,4月c耳C=耳,4月,8夕u平面AB0,

所以平面EGFH//平面做C,B|Mu平面做C,所以4M〃平面跳G,故B正确;

对于C,如图②，由选项A,知EG//BQ,所以为EG与片M的所成角，在正△△4c中,

ZMBtC<ZABtC=60°,故C不正确;

对于D,由选项B,知平面EGM//平面做C,故与平面做C所成角即为RM与平面EFG所成角,

如图③,

设正方体ABCD-A耳G2的棱长为1.贝I台2=百，令8。；平面AB。=O,因_L平面ABXC,

sinZD.MO=^~

则ZD.MO为D.M与平面AB.C所成角,

DXM

由匕3-A向C=^BX-ABC得SAfi1c.BO=SABC•BtB,与x附.BO=g,

得B0=®,2。=友，

313

在正ARC中，当M为AC中点时，D.M1AC,此时RM最小，的最小值为3=立,

22

2」

此时sin/RMOu/g的值最大，最大值为sin/RMO=q^=3^,故D正确.

u\iV1，63

③

故选：ABD.

12.20K

根据圆锥的体积公式可得〃=3,即可根据勾股定理求解母线/,由圆锥的侧面积公式代入计算即可.

【详解】由题意可知：圆锥的底面圆半径为r=4,则丫=16兀，解得力=3,

故圆锥的母线I="+后=“2+32=5，故侧面积为S=兀力=20兀.

故答案为：2071.

13.-

6

利用图象平移变换求出函数式，进而求出。值.

【详解】函数y=sin(2x+§)的图象向右平移。个单位得y=sin[2(x-⑼+1=sin[2.x+(--20)]的图象,

依题意，sin[2%+(--2^)]=sin2x,而0＜。＜兀，所以。=—.

36

故答案为：~~

6

14.46

结合三角形中位线的性质，根据向量数量积的运算律可得AB.CD=-2,进而可得同

【详解】如图所示，连接AC,取AC中点为G,连接GE,GF,则GE=1C£＞,GF=^AB,

贝!JEF=GF—=工。。，

22

因为AB=4,CD=2,AB2=16^CD2=4

(11、121

EFAB=\-AB——CD\AB=-AB——ABCD=9,

u2J22

整理可得ABCD=-2,

则|用=^AB-^CD^=^AB-^ABCD+^CD=娓,

故答案为：V6.

15.（l）x=0.03,93.75

⑵之

（1）根据频率和为1求X的值，利用品频率分布直方图估计百分位数.

（2）利用列举法求古典概型的概率.

【详解】（1）由频率分布直方图可知，

0.005xl0+0.010xl0+0.015xl0+10x+0.040xl0-l,

解得x=0.03.

因为［90,100］的频率为10x0.040=0.4>0.25,且［90,100］为最后一组，

所以评分数据的第75百分位数位于区间［90,100］中，

04-025

所以上四分位数为：90+———xl0=93.75.

0.4

（2）评分在［60,70）与［80,90）两组的频率分别为0.1,0.3,

采用分层随机抽样的方法，在［60,7。）内抽取人数为4*S九=1,

na

在［80,90）内抽取人数为4x万黑百=3，

故4人中评分等级不良好的有1人（记为卬），评分等级良好的有3人（记为4，%,4），

试验的样本空间。=｛（«,，4）,（«1也）,（。1也），（伪也），（伪也），（62也）｝，

设事件A=“选取2人的评分等级都为良好”，

则4=｛（4也卜（4也）,但也）｝,

31

所以P（A）=Z=W.

OZ

16.⑴友

（2）证明见解析

(3)答

(1)利用线面垂直的性质，结合已知求出AA，再利用棱台的体积公式计算得解.

(2)利用线面垂直的判定、面面垂直的判定推理得证.

(3)利用线面角的定义求解.

【详解】(1)在三棱台ABC-AB©中，平面ABC,ABu平面ABC,贝ijA4,，AB,

在直角梯形ABBA中，由AB=83]=24q=2,得A4j=百，

而神3c=2,则SEC=；A*8C=2,^,=1SAABC=1.

所以匕BC-ABQ=3(SABC+SA0G+JrABC■二9口)‘怎1=g'

(2)由AA，平面ABC,3Cu平面ABC,得AAjJLBC,

又AB_L3C,MlAB=A,AApABu平面,则3C_L平面488出,

又3Cu平面BCC中,所以平面AB4A，平面BCC#.

(3)连接AB,

由(2)知，平面488出，则4c与平面AB4A所成角即为NR4。,

2

在Rt^ABC中，BC=2,AiB=ylAA^+AB=A/7,\C=^B^+BC'=V1T,

则sinNBAC=/==①,即AC与平面ABB^所成角的正弦值为也.

而1111

17.(1)证明见解析

7.4

(2)⑴一石；㈤J

(1)利用正弦定理，可得sinC=sinB(l+2cosA),再结合三角形内角和定理和三角恒等变换公式，即可得

到4=23.

(2)(i)结合二倍角公式与同角三角函数关系式，即可求解.

(ii)利用三角形的面积公式，结合基本不等式，可求线段长的最小值.

【详解】(1)因为c=b(l+2cosA),由正弦定理可得：sinC=sinB(l+2cosA),

则sin(A+B)=sinB+2sinBcosA=>sinAcosB+cosAsinB=sinB+2sinBcosA,

故sinAcos3-cosAsin3=sinB，即sin(A-B)=sinB,

而A氏4+8«0,兀)，则A—3=3(A—3+3=无不成立)，即A=2B.

(2)(i)因为A=2瓦则sinA=sin25,即sinA=2sin^cos5,

所以cosB=s'11^,贝UsinB=Jl-cos%=—,

2sinB2b55

7

所以cosA=cos2B=2cos2B-l=-云.

24

(ii)由sinA=sin2B=2sinBcosB=一,

25

「/人示人..73244117

cosC=—cosA+B]=-cosAcosBD+sinA4sinBD=——x—H-----X—=----.

v7255255125

117

设CM=根，CN=n,由(2)知cosC=j『

又SACMN=NS&ABC，BPmnsinC=7xabsinC,得〃m=5,

o262

所以MN2=m2+n2—2mHeosC>2mn—2mnxmn=—,

12512525

当且仅当m=n=旧时等号成立，线段MN长的最小值为g.

18.⑴函数f(x)在(0,6)上单调递增

(2)证明见解析

(3)-1</<0或1々<3

(1)根据基本函数的单调性判断函数/(x)的单调性.

(2)根据〃x)+〃6-力或〃3+力+〃3-尤)为常数，判断函数图象的对称性.

(3)根据函数的单调性和对称性，把函数不等式转化为代数不等式，求f的取值范围.

【详解】(1)的定义域为(。,6),

/(x)=lnx-ln(6-x)+ov-&,

当a〉0时，y=ln%、y=—ln(6—x)、、=狈一〃者K是增函数,

所以函数，(x)在(0,6)上单调递增.

(2)〃x)的定义域为(0,6),

由于/（x）+/（6—x）=ln——Fox-Z?+In-——+a（<6-x）-b=6a-2b,

a।丫3丫

（或/（3+x）+/（3-=In------FQ（3+%）-6+In-------FQ（3-1）-b=6。-2b）

3—x3+x

所以/'（x）关于点（3,3a—b）中心对称.

(3)当3a=6时，由(2)知，了⑺关于点(3,0)中心对称，

关于/的不等式F(产一2f+3)+/(3+f)>。等价于』一2/+3+3+/>6,

3^,0<产—21+3<6,0<3+才<6,

〃-/>0或01

由<0<%2-2/+3<6,解得一1<%<3,

0<£+3<6—3</<3

所以不等式解为_1</<0或1</<3.

19.(1)(i)求三棱锥P-BCD外接球的半径；

(u)也

4

(2)8

(1)(i)利用勾股定理逆定理得BC_LBD,利用面面垂直的性质定理证得尸D_LPC,从而得到三棱锥

尸—3C£)外接球的球心即为C。中点。，半径R=LC。，求解即可；

2

(ii)由(i)证得二面角B-PD-C的平面角为ZBPC,求解即可；

(2)由题意知尸，C两点在3D异侧，设NBPD=a,则/尸3。==2,NPBC=n-g利用正、余弦定