中考数学总复习《正方形背景下的长度与角度计算》专项检测卷（含答案）

中考数学总复习《正方形背景下的长度与角度计算》专项检测卷

（含答案）

学校:班级：姓名:考号：

1.如图，在正方形ABCD中，点E,F,G分别在边BC,AB,CD上，且AF=BE=CG.

连接EF、EG、FG点M在EC上，且BE=EM,连接DM并延长交FE的延长

线于点N,则ZN的度数为（）

B.55°C.50°D.45°

2.如图，在正方形A5C。中，点E,F分别是AB,8C边上的动点，连接BE,BF

分别与对角线AC交于点G,H,S.EF=AE+CF.若NGEF=a,则NGHF用含a的代数

式表示为（）

A.45°+aB.900+-aC.135°--aD.1800-cz

22

3.如图，在正方形ABC。中，E为边CD上一动点，£F，AC于点R连接AE并延长，交

3户的延长线于点若AB=3五,£＞石=石则9的长为（）

C.2D.6

4.如图，在正方形ABC。中，P,。分别是A。，8C上的点（不与点。，C重合），PQ//AB,

8。与尸。交于点E,取。E的中点下，连接4Q,FQ,则二的值为（）

5.如图，在正方形ABC。中，E是BC的中点，连接DE,将。E绕点E逆时针旋转90。得

至IJFE,FE交边AB于点、G,连接AF,则/E4G的度数为（）

6.在正方形ABCD中，M是边C。上一点，满足3C=3CW,连接交AC于点N,延长

7.在正方形ABC。的边C。上有一点E,连接8E,以BE为直角边作等腰直角三角形5砂,

r）fj

且所=90。，点H是班'的中点，连接则一的值为（）

AV2V2「2近n布

A.RD.C.------U.

2332

8.如图，正方形ABC。的边长为2,点E是BC边的中点，连接。E,将△OCE沿直线OE

翻折到正方形ABCD所在的平面内，得ADFE,延长O尸交A3于点G./ADG和/ZMG的

平分线D",AH相交于点H,连接GH,则OGH的面积为（）

9.若两个正方形ABCD与EC/G如图所示放置，并且2、C、尸三点共线，连接AG,过点

8作酸，AG交AG于点N,连接AC交成于点M,连接ME,若DE=2CE=2,则ME的

长度为（）

A.1B.2C.75D.V10

10.如图，在正方形ABC。中，点£是8C上一点，点尸是CD延长线上一点，连接AE,AF,

EF.点P是E尸的中点，连接CP,DP,若他=AF,ZCPD=a,则/EFC的度数为（）

C.2a-180°D.180°-<z

11.如图，正方形ABC。中，点E、F分别在CD、3c上，BC=4FC,连接AF、AE、EF,

若ZE4F=45。，则gg的值为（）

A.2后B.-C.y/l4D.-

12.如图，在正方形A3CD中，E/分别是上的点，连接”,以相交于点H,连接

8”并延长交C。于点G.若CE=DF,tanNAHE=g,则名的值为（）

2CG

A.75+1B.-C.且D.好

232

13.如图，在正方形ABCD中，点G是BC上的一点，且3G=3GC,DELAG于点E,

BFDE,且交AG于点b，则D告F的值为（）

14.如图，在正方形A3C。中，连接AC,点E在AC上，连接BE,过点E作8E的垂线交

CD于点产，交2C的延长线于点G.若AC=60，点/是EG的中点，则EG的长度为（）

A.8B.10C.46D.575

15.如图，在正方形中，AB=4,点尸，尸分别是边CD,AD上一点，连接3P,CF

交于点E,过点尸作FG〃AB,交BE于点G,若CP=。尸=3,则FG的长为（）

参考答案

1.D

【分析】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性

质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握各判定定理和性质定理是解题的关键.

先证明证明BFE均CEG（SAS）,FG交DN于点、P,过点C作C"〃/G交A8于点X,

得四边形F”CG是平行四边形，推出m=CG=A尸=8E,证明BCH^eCDM（SAS）,得

到/3C"=NCDM,根据余角的性质证得N3CH+NCMD=90。，推出CHLDMGDM,

由.BFE当-CEG知EF=GE,NBEF=NCGE,得到NFEG=90。，推出FEG是等腰直角三

角形，5.ZEGF=45°,即可求出NN=45。.

【详解】解：：四边形A2CD是正方形，

/.AB=BC,ZB=ZC=90°,

；AF=BE=CG,

：.BF=CE,

.BFE当一CEG（SAS）,

AEF=EG,/BEF=NCGE,

设FG交DN于点、P,过点C作CH〃尸G交AB于点H,

N

:在正方形ABCD中，AB//CD,

・•・四边形FHCG是平行四边形,

・•・FH=CG=AF=BE,

,:BE=EM,AB=BC,

:・BH=CM,

•・•正方形ABC。中，BC=CD,NB=NBCD=900,

：..BCg.CDM（SAS）,

:.ZBCH=ZCDM,

,：ZCDM+ZCMD=90°,

・•・ZBCH+/CMD=90°,

：.CHLDM,GF1DM,

・.・EF=GE,ZBEF=ZCGE,

•・•ZCGE+ZCEG=90°

：.ZBEF+ZCEG=90°,

：.ZFEG=90°

・•・FEG是等腰直角三角形，且NEFG=45。，

FGLDM,

NN=45。.

故选：D.

2.D

【分析】延长D4到M,使=连接3",则R0=M+CF=£F,先依据“SAS”判

定,BAM和NBCF全等得BM=BF,ZABM=N（W,进而依据“SSS”判定△EMB和/\BEF

全等得NEBM=NEBF,NBEM=NGEF=。,进而得NEBF=NCBF+ZABE=45。,由此:根

据三角形内角和定理得NBGH=NAGE=135。-再根据三角形外角性质即可求出NGHF

的度数.

【详解】解：延长ZM到M,使AM=C/，连接5”,如图所示：

B____________C

^AE+AM^AE+CF,

MAE

EF=AE+CF,

:.EM=EF,

四边形ABC。是正方形，

.\AB=CB,ABAD=ZBCD=ZABC=90°,ZCAD=45°,

/.ZBAM=ZBCF=90°,

在4M和V5CF中，

AM=CF,

<ZBAM=ZBCF=9Q0,

AB=CB,

/.BAM纣BCF(SAS),

/.BM=BF,ZABM=ZCBF,

在△EMB和中，

EM=EF,

<BM=BF,

EB=EB,

EMB沿EFB(SSS),

.\ZEBM=ZEBF,ZBEM=ZGEF=af

ZEBM=ZABM^ZABE=ZCBF-^ZABEf

ZEBF=ZCBFZABEf

ZABC=ZEBF+ZCBF+ZABE=90°,

/.ZEBF=ACBF+ZABE=45°,

在么AG石中，ZAGE=180o-(ZG4r>+ZB£M)=180°-(45o+6Z)=135°-6Z,

/.ZBGH=ZAGE=135。—。，

.NGHF是V/GH的外角，

:NGHF=NBGH+NEB尸=135。一。+45。=180。一。,

故选：D.

【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，熟练掌握全等三角形的

判定和性质，正方形的性质，正确地添加辅助线，构造全等三角形是解决问题的关键.

3.A

【分析】先由正方形的性质得线段长度相等，角相等，由勾股定理的AE长；以正方形ABCD

的顶点3为原点、BC所在直线为x轴，A3所在直线为y轴建立平面直角坐标系，过尸点

作尸GL3C于点G,过〃点作交AE）的延长线于点N；然后确定各点坐标，用待

定系数法求直线AE和直线9的解析式；联立两个解析式求出交点最后在RtAWN中

用勾股定理求出AM长，即可得出超0的长，得出结论.

【详解】解：在正方形ABC。中，AB=BC=CD=AD=3y/5,

ABAD=ZABC=Z.BCD=ZADC=90°,ZACD=ZACB=45°,

DE=yf5,

:.CE=CD-DE=25

在RtADE中，由勾股定理得：

AE=VAD2-DE2=肩=5枝,

EFlAC,

ZCFE=90°,

在RtZXCE尸中，CF=CE-cosNACD=2g^=M,

2

以正方形ABC。的顶点8为原点、BC所在直线为x轴，A8所在直线为y轴建立平面直角

坐标系，过尸点作FG,3c于点G,过M点作肱V/AD交A。的延长线于点M如图：

7DN

6一口

5।

4E।

3

2

1

।।hiCI_

-1051234G567

-1

则3（0,0）,C（360）,A（0,3«）,£＞（3如,3如），E（352⑹,

在RtZkC/G中,

FG=CF-sinZACB=y/10x也一

2一

w

CG=CF•cos/ACB=Mx、------

2

BG=BC-CG=2s/5,

・•/点坐标为R"有),

设直线的解析式为y=%x+36(匕*0),把E点代入，得:

2亚=3艮+34,解得：K=—g，

.■.设直线AE的解析式为y=-白+3后，

设直线,的解析式为y=&x(&HO),把F点代入，得：

加=2凤,解得：&=g，

直线BF的解析式为V=gx，

联立,解得：，

y=——x+3-^5

’18君9非

55

在RtAWN中，由勾股定理得：AM=JAM+MN2==6A/2,

:.EM=AM-AE=6近-5应=血.

故答案为：A.

【点睛】本题主要考查的是正方形性质、坐标系的应用、待定系数法求直线解析式，直线方

程的求解及两点间距离公式的运用.建立合适的平面直角坐标系是解题的关键.

【分析】本题考查了正方形的性质，平行线分线段成比例，全等三角形的性质与判定，勾股

定理；过点歹作AB的平行线，分别交A£),8C于点M,N,连接AF.证明四边形ABMW,

四边形PQNM是矩形，进而证明府是一DEP的中位线，得出=则DA/=NQ,

证明空△PQV,进而证明NAFQ=90。得出△AF0是等腰直角三角形，即可求解.

【详解】解：如图，过点尸作A3的平行线，分别交AD,BC于点M,N,连接AF.

BQNC

ZBAD=ZABC=90°,

MN\AB,PQAB,

，四边形ABMW,四边形尸QVM是矩形,

AM=BN,PM=QN,ZAMF=NFNQ=90°,

：.QP//MF

尸是OE的中点,

.FD_MDi

DM=PM,

DM=NQ,

由正方形性质可知NCBD=ZADB=45°,

■■■BFN,DRW是等腰直角三角形,

BN=NF,MF=DM,

:.AM=NF,NQ=MF,

在/\AFM和*FQN中,

AM=FN

NAMF=ZFNQ

FM=QN

:.AAFMmAFQN,

AF=FQ,ZAFM=ZFQN,

ZFQN+ZNFQ=90°,

:.ZAFM+NNFQ=90°,

:.ZAFQ=90°,

AFQ是等腰直角三角形,

•・小・

故选：c.

5.B

【分析】本题主要考查了旋转的性质，正方形的性质，等腰三角形的性质与判定，全等三角

形的性质与判定，连接AE,证明△ABE四△DCE得到/场=DE,由旋转的性质可知

FE=DE,NDEF=90。,则AE=DE=FE,进而得到/04£=/位比，ZFAE=ZAFE.根

据四边形内角和定理可得到ZFAD=135°,则ZFAG=ZFAD-/BAD=135°-90。=45°.

【详解】解：如图，连接AE.

,/E是BC的中点.

:.BE=CE.

:四边形ABC。是正方形，

:.AB=DC,/B=NC=NBAD=90。,

：.AABE乌ADCE,

AE=DE.

由旋转的性质可知FE=DE,ZDEF=90°,

AE=DE=FE,

ZDAE=ZADE,AFAE=ZAFE.

,：ZDEF+ZDAE+ZADE+ZFAE+ZAFE=360°,

2ZDAE+2ZFAE=270°,

AFAD=135°,

：.ZfXG=ZE4D-ZK4r)=135o-90°=45°,

故选：B.

6.A

【分析】此题考查了正方形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角

形的判定与性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键.

连接交AC于点E,由正方形的性质得AB=3C=OC,BE=CE=DE,AC=2CE,

CM1

ZCED=90°,由A6=5C=3cM,得——由CM〃AB证明CMNABN,得

AB3

CNCM1

——=——=—,推导出AC=4C7V,则2CE=4CN,可证明OV=硒，进而证明

ANAB3

CPN与EBN,则2。=/£=。石，/PCN=/BEN,所以PC〃。石，则四边形尸CED是

正方形，所以CP=CE=^2C,于是得到结论.

2

【详解】解：连接8。交AC于点E,

,四边形ABC。是正方形，

；.AB=BC=DC,AE=CE=-AC,BE=DE=-BD,且AC=3L>,ACJ.BD,

22

；.BE=CE=DE,AC=2CE,NCED=90。,

;AB=BC=3CM,

,CM1

••—―,

AB3

'：CM//AB,

・・.、CMNs.ABN,

.CN_CM1

・•AN-AB-3'

•：CN=-AC=-AC,

1+34

・・・AC=4CNf

：.2CE=4CN,

：.CE=2CN,

：.CN=EN,

在△CPN和AEBN中,

"CN=EN

<ZPNC=/BNE,

PN=BN

：.CPN^EBN(SAS),

:.PC=BE=DE,ZPCN=ZBEN,

：.PC//DE,

・・・四边形PCED是正方形,

・•・CP=CE=—BC,

2

・CPy/2

••沃一~T'

故选：A.

7.A

【分析】如图所示，连接3。，DF,EH,证明出△3ECSAB即，得到方=/。=90。,

然后求出=即可得到里=些=也.

EFEF2

【详解】解：如图所示，连接8D,DF,EH

:四边形ABCD是正方形

△38是等腰直角三角形

V八8跖是等腰直角三角形

,NCBD=NEBF=45°

BDBF

：.ZCBE=ZDBF

：./XBECs^BFD

：.NBDF=/C=90°

:点》是哥'的中点

/.DH=FH=BH=-BF

2

是等腰直角三角形，点//是所的中点

HE=FH=BH=-BF

2

:.DH=HE

.DHHE^2

,•EF-EF一2•

故选：A.

【点睛】此题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判

定等知识，解题的关键是掌握以上知识点.

8.A

【分析】本题考查了正方形与折叠问题，勾股定理，全等三角形的判定和性质，角平分线的

性质，连接GE,证明Rt^EFGZRtz\EBG（HL）,可得Gb=GB,设GB=GF=x,贝U

AG=2-x,OG=2+x,根据勾股定理可得尤=（，再利用角平分线的性质得到点打到

AD,AG,GD的距离相等，利用面积之比即可解答，正确作出辅助线，利用勾股定理列方程

解得=］是解题的关键.

2

【详解】解：如图，连接GE,

四边形ABCD是正方形,

B1-----y......:C

ZB=ZC=ABAC=ZADC=90°,AB=BC=CD=DA=2,

•点E是BC边的中点，

:.BE=CE=\,

将4DCE沿直线DE翻折得ADFE,

ZEFD=ZC=90°,CE=FE=BE=1,DC=DF=2,

:.ZGFE=ZGBE=90°,

GE=GE,

RtAEFG^RtAEBG(HL),

:.GF=GB,

设GB=GF=x,贝AG=2-x,OG=2+x,

根据勾股定理可得AG2+AD?=DG\

即(2-域+22=(2+x『，

解得x=g

53

•..•DG-=-_,A，1G=--_，

22

.NAOG和NDAG的平分线OH,AH相交于点H,

•••点H到AD,AG,GO的距离相等，

GD+AG+AD

故选：A.

【分析】设AGO石交点为S,根据正方形的性质得到。£="=1,0石=2,AB=3C=AO=3,

利用勾股定理求出AC=3后，证明ABR^ZM5（AAS）,推出4?=DS,再证明

ADSs,GES,推出学=与==，求出ES=2,r>S=1,利用勾股定理求出AS=逆,

ADDS3222

再证明⑷磔sCWB,推出空=当=2，进而推出%=],结合

BCCM2AC3

CF2MF2

——=-,ZACS=ZMCE=45°,证明MCE^ACS,进而得到一=—,即可求解.

CS3AS3

【详解】解：如图，设AG,£>E交点为S,

ARD

CF

:四边形ABCD与四边形ECPG都是正方形，DE=2CE=2,

CE=EG=1,DE=2,AB=BC=AD=3,/BAD=/D=90°,

•*-AC=y/AB2+BC2=372，

•：BR1AG,

：.ZANR=90。,

：.ZARN+ZRAN=/RAN+AASD=9b。,

：.ZARN=ZASDf

・.,AB=AD,ZBAD=ZD=90°,

・・..,ABRWZMS（AAS）,

AR=DS,

ZD=/GED=90。,

ADEG,

ADS^GES,

EGES_1

AD~^S~3f

13

ES=—,DS=—,

22

AS=y/AD2+DS2=3非,AR=—,

22

ADBC,

AMR^CMB,

ARAM

BC-CM-2

CM_2

^AC-3

=ZMCE=45°

MCE^^ACS,

ME_2

^S~3f

ME=—AS=A/5,

3

故选：C.

【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质,

勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.

10.B

【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形

内角和定理,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.综合运用以上知识点是解题的关键.

根据正方形的性质证明RtABE竺RtAZ)P(HL),APD四一CPD(SSS),再通过角的等量代

换得到/PE4=/PAE=45。，ZAEB=ZDAE=180°-a,再根据三角形的外角性质得出

ZAEB+ZPEA=ZBCD+ZEFC,最后代入计算即可求出NE/C的度数.

【详解】解：连接AP,

四边形ABCD是正方形,

•.ZB=ZDAB=ZADC=ZADF=ZBCD=90°,AB=AD,

在RtA4BE与RtAD厂中,

AB=AD

AE=AF

,RtABE^RtAZ)F(HL),

..ZBAE=ZDAF，AE=AF.

ZBAE^ZEAD=ZDAB=9Q°f

AZDAF^ZEAD=ZEAF=90°.

点尸是族的中点，

/.AP=^EFfAP=EP,

ZPEA=ZPAE=45°

NECF=90。，点尸是Eb的中点,

CP=PF=-EF,

2

AP=CP.

在△APD与△CTO中,

AP=CP

<AD=CD,

PD=PD

.APD^CPD(SSS),

•.NDAP=NDCP,ZADP=NCDP,ZAPD=ZCPD=a

NADC=90。，

・•.ZCDP=ZADP=45%

・•.ZDAP=ZDCP=l^°-ZCPD-ZCDP=1350-af

ZDAE=ZPAE+ZDAP=45°+135°-a=180°-a,

四边形ABCD是正方形，

AD//BC,

：.ZAEB=ZDAE=180°-a,

ZAEB+NPEA=Z.BCD+/EFC,

..ZEFC=ZAEB+ZPEA-/BCD=180°-a+45°-90°=135°-«.

故选B.

11.B

【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，掌握“半角模型”

的辅助线构造是解题的关键.

延长CB至点K,使得BK=DE,连接AK,先证明ABK且ADE(SAS),再证明

4任一AE厂(SAS),则跖=DE+3尸，设/C=a,则BC=CD=4a,BF=3a,没DE=x,

则CE=4a-x,EF=x+3a,在RtECF中，由勾股定理得(皿一可？+〃=(x+3a)2,解得

x三a,即可求解比值.

【详解】解：延长CB至点K,使得6K=D石，连接AK,

AAB=BC=CD=DA,ZABF=ZADE=ZC=ZDAB=ZABK=90°,

.「ABK=Ar）£（SAS）,

・•.AK=AE,Z1=Z4,

VZ3=45°,

・•・N1+N2=90。—45。=45。=N2+N4=ZKAF=Z3,

AF=AF,

：.^AKF^AAEF（SAS）,

：.KF=EF=BK+BF=DE+BF,

设/C=a,•:BC=4FC,

\BC=CD=4a,BF=3a

设。石=无，则CE=OC—OE=4a—x,EF=DE+BF=x+3a,

・・•在RtEC厂中，由勾股定理得：EC2+CF2=EF2,

2

(4<7—X)+[2=(]+，

4

解得：x”a，

4

EF_3a+ya_25,

C尸一a~7

故选：B.

12.B

【分析】根据题意可判定处厂(乩)，得至IJNC〃D=9O°,即CEL小，点

A,E,H,D四点圆，圆心设为。，直径为ED,如图所示，由此得到

AE1

tanZAHE=tanZADE=——=-,设AE=x,AD=2x=AB=BC=CD,

AD2

CE=dBE?+BC。=次+(24=&,可证，CEHjCEB,得至|」后=五，解得，

_3小x

C“=?=29，再证.BEHs：CGH,得生=瞿=彳好=4，由此即可求解.

755CGCH2j5x2

5

【详解】解：・・•四边形A3CD是正方形，

AAB=BC=CD=AD,ZABC=ZBCD=ZCDA=ZDAB=90°,ABCD,

在册BCE^\RtCD尸中，

(CE=DF

\BC=CD"

：.RtBCE2RtCDF(HL),

：・/BCE=/CDF,BE=CF,

'：ZBCE^ZDCE=9Q0,

：.NCDF+ZDCE=9。。,

：.ZCHD=90°f即CE_L£IF,

9：ZEAD=ZEHD=90°,

・••点AEH,。四点圆，圆心设为。，直径为ED,如图所示，

/

X

7

'

，

；

；

£

/

ZAHE=ZADE,

AE1

tanNAHE=tanZADE==—,

AD2

设=AD=2x=AB=BC=CD,

BE=AB-AE=2x—x=x,

CE=yjBE2+BC2=G+(2X『=0,

.,.点E是AB的中点，

：.CF=x,BF=BC—CF=2x—x=x,即点尸是BC的中点,

ZFCH=ZECB,ZFHC=ZEBC=90°,

CFHsCEB,

即*=尊，

CECB-j5x2x

解得，CH嘘一喈

一S3一半=手,

ABCD,

：.BEHs£GH,

.BEEH3

**CG-CH_2^-2

5

":BE=CF,

.CFBE_3

**CG-CG_2*

故选：B.

【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，共圆的确定，相似三角形的

判定和性质，解直角三角形的计算，掌握共圆的确定，相似三角形的判定和性质是关键.

13.C

【分析】设AB=4。，由正方形性质可求出BG的长,进而求出AG的长,证,

利用相似三角形对应边成比例可求得AE、DE的长，证&A即3D4E,得AF=DE,根据

线段的和差求得跖的长即可.

【详解】解：设AB=4a,

四边形ABC。是正方形，AB=4,

：.BC=CD=DA=AB=4a,ZBAD=ZABC=90°,AD//BC,

:.ZDAE=ZAGB,

BG=3CG,

BG=3a,

「•在RtAABG中，AB1+BG2=AG2,

则由勾股定理可得AG=J(4a『+(3〃)2=5a,

QDE1AG,

/./DEA=/DEF=ZABC=90°,

:.AADES^GAB,

.\AD:GA=AE:GB=DE:ABf

4aAEDE

即nn一=丁=，

5a3a4a

[2]6

/.AE-Q,DE-a,

又QBF〃DE,

:.ZAFB=ZDEF=90°,

又AB=AD,ZDAE=ZABF,

ABF^ZME(ASA),

/.AF=DE