著名的不等式应用问题 重点练-2026年高考数学复习

专题--著名的不等式应用问题重点练

2026年高考数学复习备考

一、单选题

1.若+…B=xlx2+x2xi+...+xn_ixn+xnxl,其中打x2,...,［都是正数,则A与台的

大小关系为（）

A.A>BB.A<BC.A>BD.A<B

2.设q,g,%,肉是L2,3,4的一个排列,则+2a2+3a3+4%的取值范围是（）

A.（0,30]B.（20,30]

C.[20,30]D.[20,30）

222

3.已知a+Z?+c=l,且a,Z?,c>0,贝！J--+-------+-------的最小值为（）

a+bb+ca+c

A.1B.3C.6D.9

4.若实数x+2y+3z=l,则/+/+z2的最小值为（）

A.14B.—C.29D.—

1429

5.在，ABC中，sinA+sin3+sinC的最大值是（）

A.-B.3C.BD.还

222

,44-|

/-Ufr-7CI—tSinXCOSX1rrl.lJLL[七日

6.右0<x<—,且----1---------=—，贝Utunx的彳直TH

29413

A.JB.—C.1D.一

232

7.柯西不等式的三元形式如下：对实数%,出，生和仿也也,有

（a；+al+©仅；+用+公）2（她+a2b2+磔3）2,当且仅当，=，■=U等号成立，已知f+/+z?=14,

4“3

请你用柯西不等式，求出x+2y+3z的最大值是（）

A.14B.12C.10D.8

8.权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：

设a,b,x,y＞0,则式+生2代也，当且仅当时等号成立.根据权方和不等式，函数

xyx+yxy

291

/（元）=-+「；一（0＜尤＜彳）的最小值为（）

xl-2x2

A.16B.25C.36D.49

9.柯西不等式是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应

用.二维柯西不等式为(片+62)(/+储”(改+㈣2,当且仅当ad=加时等号成立.已知a>0,6>0,

直线y=2x-3a与曲线y=ln(2x+。)相切，则夜+孚的最大值为()

A6R"r2#>NA/6

3332

二、填空题

10.VA3C中角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知q=3,D为BC的点，MBD=2CZ),AD=1,

则6+c的最大值为

X222

11.已知正数X,y,z满足无+y+z=l,贝|j—^+上v^+—z丁的最小值为

y+2zz+2xx+2y

12.已知平面向量a,b,<?满足同=1,忖=2,(<7-b).c=0且“g=o.记平面向量％在a,6方向

上的数量投影分别为x,兀向量才-d在。方向上的数量投影为z,则对任意满足条件的向量e,代

数式V+产+z?的最小值是.

13.在锐角VABC中，」：+—^+」大的最小值为___.

tanAtanBtanC

14.设a,夕，y分别为长方体的对角线与共顶点的三个侧面所成的角，则sin”方的取值范围为一.

4

15.已知VABC面积为1,边AC,AB上的中线为8£>,CE,且3D=1CE,则边AC的最小值为

三、解答题

16.若%⑸7均为锐角，且满足sin2a+sir?/?+sin2y=1.求证::+si"'+为2]

sinpsin/sma

17.已知函数〃力=卜+7|g(力=|2%+2|,M%)=/(%)+g(%)的最小值为加，且正实数〃泊满足

a+b+c=m,证明：J4a+1+J4L+1+J4c+1W9.

18.已知/(x)=|2x-3|+|2x+l|.

(1)解不等式/⑺<1。；

⑵若M为了(X)的最小值，设4(a+6+c)=M,求―二+丁二+」二的最小值.

Q+1b+2c+3

19.已知羽y^R,3x2+2y2<6,求2%+y的最值?

参考答案

题号123456789

答案CCDBDDABB

1.C

【分析】利用排序不等式来比较大小即可.

【详解】依序列｛玉｝的各项都是正数，不妨设。<玉4龙”，

则孙三，…，X,,很为序列｛初｝的一个排列.

+…+X.X,；/2+xx+...+

由排序不等式，得玉玉+尤23xnxA,

即M+x；+…+X；尤3+…+X,X1,当且仅当玉=%=—=%时，取等号,

故选：C.

2.C

【分析】由排序不等式可得答案

【详解】因为4，。2，%，。4是L2,3,4的一个排列，

由排序不等式得4+2a2+3%+4a4<I2+22+32+42=30,

%+2%+3%+4%>1x4+2x34-3x2+4x1=20,

%+2%+3%+4%的取值范围是［20,30］

故选：C.

3.D

【分析】利用柯西不等式即可得解.

【详解】a+〃+c=l,a,b,c>0,

;.^+3+2=2（a+b+c）（，+-L+-q

a+bb+cc+a\a+bb+cc+a）

=M+b）+（"c）+（c+a）｝［士+£+W（l+l+l『=9,

\CvIUUICC*ICrJ

当且仅当。=6=c=g时等号成立，

222

则—7+1—+——的最小值为9.

a+bb+ca+c

故选：D.

4.B

【分析】直接利用柯西不等式得到答案.

2

【详解】根据柯西不等式：(f+y2+zB(l+4+9)N2+2y+3z=l,gp++z>.L,

113

当且仅当x弋，y=y,z=\时等号成立.

故选：B.

【点睛】本题考查了柯西不等式，意在考查学生对于柯西不等式的应用能力.

5.D

【分析】运用琴生不等式计算即可.

【详解】因为y=sinx在区间(0,兀)上是凸函数，根据琴生不等式可得,

sinA+sinB+sinC,A+B+C

<sin

3-------------32

得sinA+sinB+sinC<，

2

TT

当且仅当A=3=C=§时等号成立，

即sinA+sinB+sinC的最大值是各8.

2

故选：D

6.D

/.44、

【详解】由柯西不等式(9+4)［号+亨卜(sin\+cos2%)2,

由取等条件知—=—^taru=-.

81162

7.A

【分析】根据柯西不等式的三元形式，构造(f+,2+22乂12+22+32)之@+2,+32)2求解即可.

【详角军】因为f+y+z2=i4,

根据题目中柯西不等式的三元形式可知(x2+/+z2)(l2+22+32)>(x+2y+3z)2,

所以(x+2y+3zj<14x14,x+2y+3z«14

x=l

当且仅当;即y=2时等号成立，

z=3

所以x+2y+3z的最大值是14,

故选：A

8.B

【分析】将给定函数式表示成已知不等式的左边形式，再利用该不等式求解作答.

则"+生2（。+可ah

【详解】因4,b,x,y>0,当且仅当一=一时等号成立,

xyx+yxy

又0<x」，BPl-2x>0,

2

2232(2+3)2231

于是得f(%)-----1-----------2=25,当且仅当丁=即'/时取“="，

2xl-2x2x+(l-2x)2x

291

所以函数/（X）=—十一］（0<%<彳）的最小值为25.

xl-2x2

故选：B

9.B

【分析】首先根据函数的导数求出切点横坐标，再结合切点在函数图象和直线上得到。与。的关系,

然后对所求式子进行变形，利用柯西不等式来求解最值即可.

【详解】设直线y=2x-3a与曲线y=ln（2x+6）相切的切点为（瓦,%）,

o2

由y=ln（2x+.得3；=；;~则T^7=2,即2%+b=1,

2x+b

则［I：=公'）'得2"。-3“=叱2-lnl=O,

所以尤。=子，代入2%+6=1得勿+6=1,

因为所以

因为［(信『+(扬『+y-=(3a+Z?)x|=|,

所以5邛2&+用当且仅当限A

即a=等号成立.

62

故选：B.

10.遇

2

【分析】根据在ABD，ADC中根据ZAOB,ZAOC互补，余弦和为0,由余弦定理可得2〃+c?=9,

再结合柯西不等式或者利用三角换元方法求得.

【详解】

A

22

1+4_r1_L1_A

由cosZADB+cosZADC=0得+=0,BP2b2+c2=9,

2x2x12x1x1

解法一：柯西不等式法

由柯西不等式可得(2〃+C2>(b+c)2,得伍+c)2«g,

当且仅当6=c=6时，等号成立.

2

故人+C的最大值为助.

2

解法二：三角换元方法

y[lb-3cos仇c=3sin9，

j3nQ-nB""n'in\3^6.

b+c=—j=cos〃+3sin〃=+9sm(〃+°)=sin

最大值为班.

2

故答案为：巫.

2

11.-

3

【分析】根据权方和不等式可得解.

【详解】因为正数x,y满足x+y+z=l,

所以上+上+-2a+y+z『

y+2zz+2xx+2yy+2z+z+2x+x+2y3

当且仅当即％=y=Z=]时取等号.

y+2zz+2xx+2y

故答案为：—.

12.-/0.4

5

【分析】设。=(1,0),6=(0,2),<?=。〃,"),，由平面向量的知识可得2尤+y土君z=2,再结合柯西不等

式即可得解.

【详解】令a=(l,O),b=(O,2),c=(;〃,〃)，因为=。，故(1,一2>(m,")=。，.•.〃L2〃=0,

令e=(2〃,〃),平面向量)在方向上的投影分别为X,y,

设d=（x,y）,则：d_Q==2〃（工一1）+孙=石同,

从而：z==M磬*,故2x+y土君z=2

同V5|n|

由柯西不等式可得2x+y-7^z=2W"+/+卜扃.7%2+y2+z2

化简得V+y2+z2z±=|,当且仅当2=，=二叵，

105xyz

即X=2,y=±z=-@时取等号，故V+V+z?的最小值为

5555

2

故答案为：!

13.J3

【分析】构造函数〃尤）=去=霁，xe（0,5,利用二阶导函数的符号判断函数〃x）在鼻上

为下凸函数，根据琴生不等式可求最小值.

【详解】构造函数〃元）=」一=里叱1

X€(sinx)2，

tanxsinx

令租（X）=「（X）=_、，,贝|J"/（X）=2cos%

/1>0

3t

（sinx­）)(sinx)

所以函数"X）在［0,3上为下凸函数.

/⑷+/⑻+〃C)A+B+C

由琴生不等式得Nf

33

111

即tanAtanBtanC717,当且仅当NA=4B=NC时等号成立.

tan—

3

因此在锐角VABC中,高+京+京的最小值为6

故答案为：6

14.n万

［分析］在长方体中有cos2a+cos23+cos27=1,证明cos（/7+7）＞。，证明0＜。+尸＜方，0＜。+7＜^,

根据琴声不等式证明3cos"）+一（"”证明sm行"日’据此即可求解.

【详解】设长方体的一个顶点出发的长、宽和高分别为“，6,C,相应对角线长为/,

a

则1=ylcr+^+c2'COS2a+cos2+cosV=(y)2+(y)2+(y)2=1，

注意到sin2a=l-sin2y0-sin2y=cos2/}-sin2y

=；(1+cos2月)一;(1-cos2/)=；(cos2y0+cos2%)

=；.2cos(尸+7)cos(尸_/)

=cos(y0+/)cos(>0-X)>0,

因为夕,7均为锐角,所以cos(6_y)>0,从而cos(/+7)>0,

Ji

即0<〃+7<5，同理0<a+尸<5,0<a+y<-,

又丁=85］在(。片］上为凸函数，

由琴生不等式有3cos(♦+】)+(>；))+。+。)>cos(0+〃)+cos(夕+7)+cos(y+a)

>cos(6r+y5)-cos(cr-y0)+cos(y5+/)-cos(/?-7)+cos(/+6Z)cos(/-cr)

=si•n2/+s•m2a+s•m2pc=1,

2a+23+2y1口口.a+8+y也

则niIcos----?—即sin—

3333

另一方面，

sin2a=cos(力+/)•cos(/?-/)=(cos/?cos/—sin/?sin7)(cos/?cos7+sin尸sin/)

=cos2Pcos2y-sin2/3sin2y>cos2(尸+7)=sin2

TTTT

由ar,£+7均为锐角，则-4一7，从而&+£+7>,,

又1-()+,£-。+时/一：,有弋叱一卜

236

综上，：<sin"纥生包

233

故答案为：；，与.

15.叵

3

【分析】设即3G,CG=3x,ZCGD3由三角形面积公式得到八小,再由余弦定

13-12cose令，=13—12cos6

理得到AC=2,，得到13=12cos9+zsin，，结合柯西不等式进而可

18sin。sin。

求解.

【详解】设的CE=G,

易知G为VABC的重心,

44

又BD、CE,由重心为中线三等分点可得:BG=-CG,

3

211

同1时SRCC=—SBCD=—S

77ijC/Cz3LJY^U3ADB\C^~3

设CG=3x,NCGD=9,

则BG=4x,G£)=2x,

2

则SBGC=(3x)(4x)sin(7i-=6xsin6=；,

、1

所以炉=——,

18sin/9

13-12cos6*

由余弦定理可得：AC=2CD=2A/4X2+9X2-12X2COS6>=2.

18sin8

人13-12cos0曰,*口n―

令2=-----------，求其取小值即可r,

sin”

上式化简可得：13=12cos6»+zsin0<^(122+z2

也即Z2>132-122=25当且仅当5sin夕+12cos9=13时取得等号,

13-12cos8〉2

所以AC=2,

18sin。

故答案为：叵

3

16.证明见解析

【分析】利用长方体构造。血九记对角线AG与面AC,面42,面A片所成角分

.3•3n•3

别为名⑸人再求出空二+吧0+吧Z,结合不等式/+62+°22必+税+这和柯西不等式化简即

sinpsin/sma

可.

【详解】如图，设仇C为长方体45"-A与G2的3条棱长,

其对角线AG与面AC，面AQ,面A片所成角分别为a,广,7,

则a=ZQAC,(3=/GAR,y=ZQAB,,且Ag=A/«2+b2+c2

b

则sina=4G

/a2+b2~AQ~4a2+b2+c2

BG

AGyla2+b2+c2

H(6Z-Z?)2+(Z?-C)2+(6i-c)2>0,等号成立时a=b=c,

则〃2+/+(?>ab+bc+ac,等号成立时a=b=c,

sin%sin3/?sin37b3a3

故----+...-+----

sin尸sin/sincr。(〃2+。2+。2)

33333

1cba}1ba.(〃+/+°2)

一十一十一+—+—

2222

a+b+cbac?、bac

1(c3b3a3

>----------------•——+——+——•[bc+ab+ca)

(片+^+^2)2、bac

当且仅当a=Z?=c,即&=△=7时取等号.

【分析】根据已知条件，先求出加，再结合柯西不等式，即可求解.

【详解】当xv—7时，由/z(x)=—(JV+7)—(2%+2)=-3x一9,

当—7W%v—1时,由/z(x)=|x+7|+|2x+2|=x+7—(2%+2)——x+5,

当x2—1时，由/z(x)=x+7+2x+2=3x+9.

~3x—9,x<一7

贝lj/z(x)=<5-x,-7<x<-l,

3x+9,x>-1

当了<—7时，/z(x)=-3x-9>12；当一7Kxv-l时，/Z(X)=5-XG(6,12]；

当了之一1时，/z(x)=3x+9>6.

所以当％=-1时，根=%(%).=6,a+b+c=6.

因为a+6+c=6,所以4a+l+46+l+4c+l=27.

由柯西不等式可得[(4a+1)+(46+1)+(4c+1)]-(12+12+12)>(