用样本估计总体（附答案解析）-全国高考数学一轮复习（提高版）

用样本估计总体

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1.（人A必二P203例2改）某射击运动员7次训练的成绩分别为86,88,90,89,88,

87,85,则这7次成绩的第80百分位数为（B）

A.88.5B.89

C.91D.89.5

【解析】因为7次训练的成绩从小至U大排歹I为85,86,87,88,88,89,90,且7义80%

=5.6,所以第80百分位数为从小到大排列的数据中的第6个数据，即89.

2.（2024・南通一调）（多选）抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次成绩（单位：环），得到

如下数据：

运动员第1次第2次第3次第4次第5次

甲8791908993

乙8990918892

贝NBC）

A.甲成绩的样本极差小于乙成绩的样本极差

B.甲成绩的样本平均值等于乙成绩的样本平均值

C.甲成绩的样本中位数等于乙成绩的样本中位数

D.甲成绩的样本标准差小于乙成绩的样本标准差

【解析】甲成绩的极差为93—87=6,乙成绩的极差为92—88=4,故A错误；甲成

87+91+90+89+9389+90+91+88+92

绩的平均值为=90,乙成绩的平均值为故B

5-------------W-------------=90,

正确；甲成绩的中位数为90,乙成绩的中位数为90,故C正确；甲成绩的样本标准差为

/9+1+0+1+9„.,,a%I11+0+1+4+4/-,

7—5—=2,乙成绩的样本标准差为y——=也，故D错误.

3.（多选）已知一组样本数据尤1，XI,无3，尤4，X5,尤6的平均数是x,方差是S2,极差为R,

则下列判断正确的是（AC）

A.若ax2-\-b,办3+6，ax4+b,axs+b,的平均数是尤0，则xo=cz尤

+b

B.若xi，2x2，3*3，4x4，5那，6尤6的极差是Ri，则Ri>R

C,若方差$2=0,则尤1=X2=X3=X4=X5=X6

D.若无1<X2<X3<X4<尤5<天6，则第75百分位数是逑

【解析】对于A,xo=~^axi+b+ax2+b+ax3+b+ax4+b+ax5+b+ax6+b)=^[a(xi

+>2+%3+%4+%5+抵)+6切+%2+%3+入4+入5+%6)+6=。X+。，即X0=。X~\~b,所

以A正确；对于B,若样本数据为-10,-4,-3,-2,-1,0,可得极差为R=10,则

数据2X2,3X3,4X4,5X5,6x6的极差为尺1=10,此时R=R,所以B不正确；对于C,

s2=\[(xi—X)2+(X2—X)2+(X3—X)2+(X4—X)2+(^5-X)2+(^6-X)2],若可得

X1=X2=X3=X4=X5=X6,所以C正确；对于D,由6X75%=4.5,知这组数据的第75百分位

数为X5,所以D错误.

4.(人A必二P216习题T2)甲、乙两台机床同时生产一种零件，在10天中，两台机床

每天生产的次品数分别为：

甲0102203124

乙2311021101

分别计算这两组数据的平均数和标准差，从计算结果看，_乙_机床的性能更好.

—0+1+0+，・，+4

【解析】甲机床的平均数%甲=—~m~—=L5,标准差s甲=

l~i_2+3+…+1

A/^[(0-1.5)2+(1-1.5)2+•••+(4-1.5)2]1.28；乙机床的平均数无%=-----而----=1.2,

标准差s乙=寸土[(2—1.2)2+(3—1.2)2H——P(l—1.2)2]-0.87.比较发现乙机床的平均数较小

而且标准差也较小，说明乙机床生产的次品数比甲机床生产的次品数少，而且更为稳定，所

以乙机床的性能较好.

聚焦知识

1.总体平均数与样本平均数

名称定义

一般地，总体中有N个个体，它们的变量值分别为Fi，Y2,…，

YN，则称亍=H+与…+》=朋匕为总体均值.,又称

总体均值总体平均数

(总体平均数)若总体的N个变量值中，不同的值共有WtWN)个，不妨记

为H，Y2,--Yk,其中匕出现的频数为力：i=l,2,…，k),

则总体均值还可以写成加权平均数的形式Y=由手匕

若从总体中抽取一个容量为n的样本，它们的变量值分别为

样本均值

》,工，…，切，则称y——几吝y为一样本均值

(样本平均数)n

一，又称样本平均数

说明：(1)在简单随机抽样中，我们常用样本平均数y去估计总体平均数7；

(2)总体平均数是一个确定的数，样本平均数具有随机性(因为样本具有随机性);

(3)一般情况下，样本量越大，估计越准确

2.百分位数

一般地，一组数据的第%百分位数是这样一个值外，它使得这组数据中至少有左％的

数据小于或等于Pk,且至少有(100一6％的数据大于或等于ph如果将样本数据从小到大排

列成一行，那么第%百分位数0所处位置如图所示.

3.平均数、中位数和众数

__1

(1)平均数：尤尤1+尤2H----l-x„).

(2)中位数：将一组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，处在最中间的一个数据

(当数据个数是奇数时)或最中间两个数据的.平均数一(当数据个数是偶数时)叫做这组数据的

中位数.

(3)众数：一组数据中出现次数一甚多一的数据(即频数最大值所对应的样本数据).

4.标准差与方差

设一组数据XI，X2,尤3,…，X”的平均数为三，则这组数据的标准差和方差分别是S=

yj~[(X1—X)2+(X2-X)2H-----F(x„—X)2],

1___1n一

$2=)24-----22

消制—%y+(X2-xH(xn—X)]=-g1A?—X.

5.常用结论

(1)若数据xi，xi，…，冗〃的平均数为x,则7nxi+o,mx2-\-a,mx3+a,…，的

平均数是机工+〃_.

(2)若数据即，必…,X〃的方差为则：

①数据Xl+〃，X2+a,•,,,〃的方差为_，；

②数据QX1，axi，…，QX〃的方差为。2§2.

研题型素养养成

举题说法

目标百分位数的估计

例1(1)(2024•苏州期末)棉花的纤维长度是棉花质量的重要指标.在一批棉花中随机

抽测了20根棉花的纤维长度(单位：mm),按从小到大排序结果如下：

25283350525859606162

8286113115140143146170175195

则估计这批棉花的第45百分位数为61.5.

【解析】由题意知20X45%=9,所以这批棉花的第45百分位数为从小到大排列的第

9个数与第10个数的平均数，即吗乌=615

（2）（2024・安庆二模）在一次学科核心素养能力测试活动中，随机抽取了100名同学的成

绩（评分满分为100分），将所有数据按[40,50],（50,60],（60,70],（70,80],（80,90],

（90,100]进行分组，整理得到频率分布直方图如图所示，则估计这次调查数据的第64百分

位数为（B）

（例M2））

A.80B.78

C.76D.74

【解析】由0.005X10+0.015X10+0.020^10=0.4,0.005X10+0.015X10+0.020X10

+0.030X10=0.7,故这次调查数据的第64百分位数位于（70,80],设这次调查数据的第64

.八业…M..x—700.64—0.4.

百力位效为X,3有10=0.7—04'解传X=78.

〈总结遑炼》

计算一组n个数据第p百分位数的步骤：

第一步，按从小到大的顺序排列原始数据：

第二步，计算i=wXp%;

第三步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为则第p百分位数为第/项数据；若i

是整数，则第p百分位数为第i项与第（i+1）项数据的平均数.

变式1（2024.日照一模）有一组按从小到大顺序排列的数据：3,5,7,8,9,10,则这

组数据的40%分位数为7.

【解析】因为该组数据共6个，且6X40%=2.4,所以这组数据的40%分位数为第三

个数，即为7.

目柄田总体集中趋势估计

例2（1）（2024•新高考II卷）某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型

水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg）并整理得下表：

亩产[900,[950,[1000,[1050,[1100,[1150,

量950)1000)1050)1100)1150)1200]

频数61218302410

根据表中数据，下列结论中正确的是(C)

A.100块稻田亩产量中位数小于1050kg

B.100块稻田中的亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80%

C.100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间

D.100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间

【解析】对于A,根据频数分布表知，6+12+18=36<50,所以100块稻田亩产量中

位数不小于1050kg,故A错误；对于B,亩产量不低于1100kg的稻田频数为24+10=34,

100—34

所以亩产量低于1100kg的稻田所占比例为100=66%,故B错误；对于C,亩产量的

极差最大值为1200—900=300,最小值为1150—950=200,所以极差介于200kg至300kg

——I

之间，故C正确；对于D,估计平均数为x=j^X(6X925+12X975+18Xl025+30X1

075+24X1125+10X1175)=1067,故D错误.

(2)(2024•泰安三模X多选)某灯具配件厂生产了一种塑胶配件，该厂质检人员某日随机抽

取了100个该配件的质量指标值(单位:分)作为一个样本,得到如图所示的频率分布直方图，

则(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)(ACD)

A.机=0.03

B.样本质量指标值的平均数为75

C.样本质量指标值的众数小于其平均数

D.样本质量指标值的第75百分位数为85

【解析】由题意知(0.010+0.015+0.035+根+0.010)义10=1,解得加=0.030,故A正

确;样本质量指标值的平均数为55X0.1+65X0.15+75X0.35+85X0.3+95X0.1=76.5,

70+80

故B错误；样本质量指标值的众数是=75<76.5,故C正确；前3组的频率之和为

(0.010+0.015+0.035)X10=0.60,前4组的频率之和为0.60+0.030X10=0.90,故第75百

分位数位于第4组，设其为g(Z-80)X0.030+0.60=0.75,解得f=85,即第75百分位

数为85,故D正确.

<总结提炼A

频率分布直方图中的数字特征

(1)众数估计值：最高矩形的底边中点的横坐标.

(2)中位数：中位数左边和右边的矩形的面积和应该相等.

(3)平均数：平均数在频率分布直方图中等于各组区间的中点值与对应频率之积的和.

变式2(2023・新高考I卷X多选)有一组样本数据为，尬，…，配，其中xi是最小值，林

是最大值，贝4(BD)

A.X2，13，%4，X5的平均数等于X1，12，…，入6的平均数

B.X2，%3，M，%5的中位数等于幻，兀2，…，％6的中位数

C.X29%3，%4，%5的标准差不小于Xl，X2，…，无6的标准差

D♦刀2，入3，%4,X5的极差不大于XI，12,…，死的极差

【解析】对于A,设必X3,X4,X5的平均数为相，为，X2,…，尤6的平均数为小则几

为+检+为+仙+整+配尬+为+也+乃2(X1+X6)-(%2+X3+X4+X5)苗、,丁旺“

—m=-4=12,因为无法确走

2(xi+x6),%2+X3+X4+X5的大小关系，所以无法判断相，〃的大小，如1,2,3,4,5,6,

可得加=〃=3.5；如1,1,1,1,1,7,可得机=1,〃=2；如1,2,2,2,2,2,可得相

=2,〃=¥，故A错误.对于B,不妨设X1WX2WX3WX4WX5WX6,可知X2,X3,X4,右的中

位数等于为，X2,…，X6的中位数，均为承受，故B正确.对于C,因为为是最小值，X6

是最大值，则X2,X3,X4,X5的波动性不大于为，X2,…，肤)的波动性，即X2,X3,%4,X5的

标准差不大于Xi,X2,…，X6的标准差，如2,4,6,8,10,12,则平均数〃=%义(2+4+

6+8+10+12)=7,标准差si=

^|X[(2-7)2+(4-7)2+(6-7)2+(8-7)2+(10-7)2+(12-7)2]=^^,4,6,8,10的平

均数m=1x(4+6+8+10)=7,标准差[(4—7>+(6—7>+(8—7>+(10—7>]=

小,显然>小,即S1>S2,故C错误.对于D,不妨设M1WX2WX3WX4WX5WX6,则X6

—为2%5—、2,当且仅当Xl=%2,%5=%6时，等号成立，故D正确.

目总体离散程度估计

例3(2023•全国乙卷理)某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进

行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工

艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率.甲、乙两种工艺处理后的

橡胶产品的伸缩率分别记为孙％。=1,2,-10),试验结果如下：

试验

序号12345678910

i

伸缩

545533551522575544541568596548

率沏

伸缩

536527543530560533522550576536

率yi

记Z尸2,•••,10),记Zl，Z2，…，Z10的样本平均数为Z,样本方差为$2.

(1)求Z,§2;

—1—

【解答】X=正义(545+533+551+522+575+544+541+568+596+548)=552.3,y

1———

=JQX(536+527+543+530+560+533+522+550+576+536)=541.3,z=x—y=

552.3—541.3=11,Zi=Xi-yi的值分别为9,6,8,-8,15,11,19,18,20,12,故s?=

-^X[(9-ll)2+(6-ll)2+(8-ll)2+(-8-ll)2+(15-ll)2+0+(19-ll)2+(18-ll)2+(20

-11)2+(12-11)2]=61.

(2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否

有显著提高(如果，三2\^,则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的

橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高).

【解答】由(1)知z=11,2^6?1=^/24.4,故有z所以认为甲工艺

处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.

v总结提炼》

标准差(方差)反映了数据的离散与集中、波动与稳定的程度.标准差(方差)越大，数据

的离散程度越大；标准差(方差)越小，数据的离散程度越小.

分层随机抽样的均值与方差

视角1分层随机抽样中的均值

例4-1记样本为，X2，…，第2的平均数为X,样本yi，丁2，…，%的平均数为y(%

Wy)1，…，yi，…，%D)

.若样本九必xm,yi，的平均数为z=~^x+^y,则[的值为(

A.3B.4

C』D1

。4u3

【解析】由题意知x\+X2+•••+xm=mx,yi+/+…+%=〃y,z=

(羽+初^---bxQ+Oi+y2H------mmx/y]_3—斫,m1

m-\~nm+nm~\-nm-\-n4"4''m~\-n4'

言4可得3%=〃，所以：=g.

V总结提炼〉

/，、八1、,一样本容量各层样本容量

（1）抽样比=总体容量=各层个体总量.

（2）如果第一层的样本量为m,平均值为x;第二层的样本量为n,平均值为y,则样

mx+ny

本的平均值为----T----

m+n

视角2分层随机抽样中的方差

例4-2（2024•荆州模拟节选）某果园产苹果，其中一堆苹果中大果与小果的个数比例为

4：1.若选择分层随机抽样，抽出100个苹果，其中大果的单果平均质量为240克，方差为

300,小果的单果平均质量为190克，方差为320,则可估计果园苹果的单果平均质量为230

克，方差为704.

【解析】因为大果与小果的个数比例为4：1,所以100个苹果中，大果的个数为100

=80,小果的个数为方X100=20.设大果的单果平均质量为xi克，方差为底，小果的单果平

均质量为工2克，方差为s3,设100个苹果的单果平均质量为万克，方差为S2,则又1=240,

5?=300,~2=190,^=320,所以100个苹果的单果平均质量方=8°X24%，）X19°=

8020

230（克），100个苹果质量的方差s2=而X[300+（240—230）2]+mjX[320+（190—230）2]=

704,故估计果园苹果的单果平均质量为230克，方差为704.

，总结提炼〉

设样本容量为〃，平均数为工，其中两层的个体数量分别为"1,〃2,两层的平均数分别

为尤1,X2,方差分别为S?,S3,则这个样本的方差为$2=低回+（X1—X『]+箓s3+（尤2

一x）2].

变式4-2（2024•南昌一模）（多选）某环保局对辖区内甲、乙两个地区的环境治理情况进

行检查督导，若连续10天，每天空气质量指数（单位：Ng/nP）不超过100,则认为该地区环

境治理达标，否则认为该地区环境治理不达标.已知甲、乙两地区连续10天检查所得数据

特征是：甲地区平均数为80,方差为40,乙地区平均数为70,方差为90.则下列推断一定

正确的是（ACD）

A.甲、乙两地区这10天检查所得共20个数据的平均数是75

B.甲、乙两地区这10天检查所得共20个数据的方差是65

C.甲地区环境治理达标

D.乙地区环境治理达标

【解析】甲地区平均数为80,乙地区平均数为70,则甲、乙两地区这10天检查所得

共20个数据的平均数是8°义1°=75,故A正确.?^^[（80-75）2+40]+|?[（70-

75)2+90]=90,故B错误.甲地区平均数为80,方差为40,如果这10天中有一天空气质

量指数大于100,那么它的方差就一定大于七X(100—80)2=40,所以能确定甲地区连续10

天，每天空气质量指数不超过100,所以甲地区环境治理达标，故C正确.乙地区平均数为

70,方差为90,如果这10天中有一天空气质量指数大于100,那么它的方差就一定大于强

X(ioo—70炉=90,所以能确定乙地区连续10天，每天空气质量指数不超过100,所以乙地

区环境治理达标，故D正确.

随堂内化

1.(2024•苏中苏北八市三调)某同学测得连续7天的最低气温(单位：℃)分别为1,2,2,

m,6,2,8,若这组数据的平均数是中位数的2倍，则根=(D)

A.2B.3

C.6D.7

【解析】这组数据的平均数为1+2+2+；+6+2+8=&要,除根外，将数据按升序

21+m

排列可得1,2,2,2,6,8,结合机的任意性可知中位数为2,则一q—=2X2,解得加=

7.

2.(2025•苏州期初)“绿水青山就是金山银山”的理念深入人心，人民群众的生态环境获

得感、幸福感、安全感不断提升.某校高一年级举行环保知识竞赛，共500人参加，若参赛

学生成绩的第60百分位数是80分，则关于竞赛成绩不小于80分的人数的说法正确的是

(D)

A.至少为300人B.至少为200人

C.至多为300人D,至多为200人

【解析】由题意，500义60%=300,因此竞赛成绩不小于80分的人数至多为500—300

=200.

3.(2024•福州质检X多选)在一次射击比赛中，甲、乙两名选手的射击环数如下表，则下

列说法正确的是(ABC)

甲乙

87909691869086928795

A.甲选手射击环数的极差大于乙选手射击环数的极差

B.甲选手射击环数的平均数等于乙选手射击环数的平均数

C.甲选手射击环数的方差大于乙选手射击环数的方差

D.甲选手射击环数的第75百分位数大于乙选手射击环数的第75百分位数

【解析】甲选手射击环数从小到大排列：86,87,90,91,96,则甲选手射击环数的

极差等于96—86=10；平均数等于^X(86+87+90+91+96)=90；方差等于1X[(86—90户

+(87-90)2+(90-90)2+(91-90)2+(96-90)2]=12.4；第75百分位数等于91.乙选手射击

环数从小到大排列：86,87,90,92,95,则乙选手射击环数的极差等于95—86=9；平均

数等于卷X(86+87+90+92+95)=90；方差等于权[(86—90)2+(87—90)2+(90—90)2+(92

-90>+(95—90月=10.8；第75百分位数等于92.

4.(2024•常州期末)(多选)已知一组样本数据xi，xi,•­­,%一(心4)，其中尤若由

以=2决+1(%=1,2,〃)生成一组新的数据yi,小，…，力,则这组新数据与原数据可能

相等的量有(BC)

A.极差B.平均数

C.中位数D.标准差

【解析】对于A,不妨设—则样本数据Xl,X2,…，x〃(w》4)的极差为

yi=(2

xn-x\,样本数据yi,”，…，y”的极差为y“一尤”+1)—(2xi+l)=2(x“一xi).因为X”一xi

>0,则为一力=2(尤”-xi)>x“一无1,故A错误.对于B,设样本数据xi,血，…，即,(〃24)的

平均数为丁，即生=Xl+&：…十4,所以样本数据yi,y2,…，%的平均数为了=

yi+y2H-----\-y(2XI+1)+(2X+1)H------F(2x〃+1)2(XI+%2H------\-Xn)一一一「山一

：------------------n=------------------2-------------------------=------------------------4-1=9v-k1当Y=

—1时，y—2x~\-1——1,即两组样本数据的平均数相等，故B正确.对于C,当n—2m

l(m£N*)2,>2,

一时,设样本数据为，工…，心("]4)的中位数为无篦，则样本数据yi,…，yn

的中位数为2%+1.同理可知当天”=—1时，中位数相等.当〃=2m(加金N*)时，设样本数据

xi,%2,…，/(〃24)的中位数为'"蓝"1=9,则样本数据y,以，…，y〃的中位数为沏

2Xm+i+Xm+l+i1+

=^=xm+xm+1=2？+1,同理可知当g=—1时，两组数据的中位数相等，

故C正确.对于D,设样本数据Xl,X2,…，X〃(九24)的标准差为取,样本数据>1,丁2,…，

22222

y〃的标准差为号,则胫=%(xi—x)+(X2—x)H------F(xw—x)],^^^[(yi-y)+(y2~y)

222

+-+Cy,--)]=^{[(2xi+l)-(2T+l)]+[(2x2+l)-(2T+l)]+-+[(2x„+l)-(2T

A______

+1)]2}=/(X1—尤)2+(X2—尤)2H------F(x„—X)2]=4SL又Xl<Q<Xn,所以Sx=

)2+(%2-X)2H-----2

-I(X1—X\-(xn-X)

\------------------------------------------------->0,故号=2s*>Sx,故两组样本数据的标准差不可

能相等，故D错误.

温馨提示--------------------------------------------------------------

练案❶趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们及时完成《配套精练》.

练案❷1.补不足、提能力，老师可增加训练《抓分题•高考夯基固本天天练》（提高版）

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2.为提高高考答卷速度及综合应考能力，老师可适时安排《一年好卷》或《抓分卷・高

考增分提速天天练》（提高版），成书可向当地发行咨询购买.

配套精练

A组夯基精练

一、单项选择题

1.（2024・临沂二模）一组数据按从小到大的顺序排列为1,4,m,12,14,21,若该组数

2

据的中位数是极差的方，则该组数据的第45百分位数是（A）

711+12

【解析】根据中位数的定义，该组数据的中位数是一—.根据极差的定义，该组数据

12D

的极差是21—1=20.依题意得不一=20*亍解得相=4,6X0.45=2.7（Z,根据百分位数

的定义，该组数据的第45百分位数是从小到大排列的第3个数，即4.

2.（2024・莆田四检）已知数据xi，孙知…，x”的平均数为三，方差为S2,数据如一1,

3汹一1，3尤3—1，…，3居一1的平均数为工1，方差为而，贝U（C）

A.无i=3x，S?=952

B.xi=3x,5i=9i2—1

C.xi=3x—1,si—9s2

D.x1=3x5I=952—1

3.（2024・赣州二模）已知甲、乙两组数据分别为22,21,24,23,25,20和25,22,a,

26,23,24.若乙组数据的平均数比甲组数据的平均数大2,贝久C）

A.甲、乙两组数据的极差不同

B.乙组数据的中位数为24

C.甲、乙两组数据的方差相同

D.甲组数据的第一四分位数为21.5

【解析】由乙组数据的平均数比甲组数据的平均数大2,设甲、乙两组数据平均数分

,——、乂八口…,,22+21+24+23+25+20—

别为尤1,X2,方差分别为51,S2,则X1=7=22.5,X2=

25+22+4+26+23+2425+22+^+26+23+24

,.由X2=X1+2,即,=22.5+2=24.5,解得

a=27,所以两组数据极差均为5,故A错误；乙组数据按从小到大排列为22,23,24,25,

24+251

26,27,则中位数为一一=245,故B错误；对于C,s仁制(22—22.5)2+(21—22.5>+(24

351

-22.5A+(23-22.5)2+(25-22.5)2+(20—22.5)2]=五，=邪25—24.5)2+(22—24.5)2+(27

35

—24.5)2+(26—24.5)2+(23—24.5)2+(24—24.5)2]=五，所以所以甲、乙两组数据的

方差相同，故C正确；对于D,甲组数据按从小到大排列为20,21,22,23,24,25,由，

=6x1=1.5,知第一四分位数为21,所以D错误.

4.(2024・鹰潭一模)某单位为了解职工体重情况，采用分层随机抽样的方法从800名职工

中抽取了一个容量为80的样本.其中，男性平均体重为64千克，方差为151；女性平均体

重为56千克，方差为159,男、女人数之比为5：3,则单位职工体重的方差为(D)

A.166B.167

C.168D.169

—53

【解析】依题意，单位职工平均体重为x=964+"56=61(千克)，则单位职工体

OO

53

重的方差为?=Q[151+(64-61)2]+Q[159+(56-61)2]=169.

OO

二、多项选择题

5.(2025・惠州二调)某公司为保证产品生产质量，连续10天监测某种新产品生产线的次

品件数，得到关于每天出现的次品的件数的一组样本数据：3,4,3,1,5,3,2,5,1,

3,则关于这组数据的结论正确的是(AD)

A.极差是4

B.众数小于平均数

C.方差是2

D.数据的第80百分位数为4.5

【解析】数据从小到大排列为1,1,2,3,3,3,3,4,5,5.对于A,该组数据的极

差为5—1=4,故A正确；对于B,众数为3,平均数为工/±102工2—=3,所以

众数与平均数相等，故B错误；对于C,方差为强[(1—3)2义2+(2—3)2义1+(3—3pX4+(4

-3)2Xl+(5-3)2X2]=1.8,故C错误；对于D,由10X80%=8,8是整数，则这组数据

4+5

的第80百分位数为第8个数和第9个数的平均数，即丁=4.5,故D正确.

6.(2024・武汉4月调研)(多选)如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形

态.图(1)形成对称形态，图(2)形成“右拖尾”形态，图(3)形成“左拖尾”形态，根据所给

图作出以下判断，正确的是(ACD)

图⑴

图(3)

(第6题)

A.图(1)的平均数=中位数=众数

B.图(2)的平均数〈众数〈中位数

C.图(2)的众数〈中位数〈平均数

D.图(3)的平均数〈中位数〈众数

【解析】图⑴的分布直方图是对称的，所以平均数=中位数=众数，故A正确；图⑵

众数最小，右拖尾平均数大于中位数，故B错误，C正确；图⑶左拖尾众数最大，平均数

小于中位数，故D正确.

7.(2024•嘉兴二模)已知一组数据1,3,5,7,9,其中位数为a,平均数为无，极差为

b,方差为S2.现从中删去某一个数，得到一组新数据，其中位数为优，平均数为X\极差

为〃，方差为则下列说法中正确的是(ACD)

A.若删去3,则a<a'

B.若删去9,则T<T,

C.无论删去哪个数，均有b^b'

D.若x=尤'，则s2<s'2

5+7

【解析】对于A,若删去3,根据中位数的定义，a=5,，=亍=6,满足故

—1+3+5+7+9—1+3+5+7

正确；对于若删去根据平均数的定义，，

AB,9,x=--------------------=5x4

=4,尤〉X、故B错误；对于C,根据极差的定义，若删去的数是3,5,7中的一个，显

然去掉前后极差都是9—1=8,满足b=，，若去掉1,b'=9~3=6<b=S,若去掉9,b'=

7—l=6<b=8.综上，bWb,故C正确；对于D,原数据平均数工=5,去掉一个数后平均

数保持不变，即x'=5,则剩下的四个数之和为5X4=20,显然去掉的数只能是5,由方差

的定义，S2=/(1—5)2+(3—5)2+(5—5)2+(7—5)2+(9—5)2]=8,5,2=1[(1-5)2+(3-5)2+(7

-5)2+(9-5)2]=10,满足S2<S，2,故D正确.

三、填空题

8.（2024・三明三模）已知从小到大排列的一组数据：1,5,a,10,11,13,15,21,42,

57,若这组数据的极差是其第30百分位数的7倍，则。=上.

【解析】由题知这组数据的极差是57—1=56.由于10义30%=3,故第30百分位数为

a~\~10,,a~\~10

-2-,故56=7X-2-，所以4=6.

9.（2024•深圳二模）已知样本为，X2,刈的平均数为2,方差为1,则才，好，焉的平均数

为工.

，缶刀+匚/.公用+一+冷r缶..（Xi-2）2+（%2—2）2+（%3-2）2

【斛析】由通知3—2,所以％1+刀2+为一6,由3—19

得焉+君+君=15,所以五普土反=5.

10.（2025•大同期初）中国跳水队素有“梦之队”称号.单人跳水比赛的计分规则为：运

动员做完一套入水动作后，由7位专业裁判进行打分，从打出的分数中按照高低去掉前两个

和后两个，剩余3个分数的总和再乘以这套动作的难度系数即为该运动员的最终得分.若某

位运动员在一轮比赛中入水动作的难度系数为3.2,7位裁判给他打出的分数分别为9.5,9.5,

2

9,8,9,9.5,8.5,则这7个数据的方差为该运动员本轮比赛的得分为88.

【解析】7位裁判给他打出的分数分别为9.5,9,5,9,8,9,9.5,8.5,则这7个数的

〒小拉，一9.5X3+9X2+8.5+8,12,,

平均数x=--------------}--------------=9,方差S2=天（9.5—9>9X3+（8.5—9>9+（8—9）29］=］.从

打出的分数中按照高低去掉前两个和后两个，则剩下的3个分数为9,9,9.5,则该运动员

本轮比赛的得分为（9+9+9.5）X32=88.

四、解答题

11.随着老年人消费需求从“生存型”向“发展型”转变.消费层次不断提升，“银发

经济”成为社会热门话题之一，被各企业持续关注.某企业为了解该地老年人消费能力情况,

对该地年龄在［60,80）的老年人的年收入按年龄［60,70）,［70,80）分成两组进行分层随机抽

样调查，已知抽取了年龄在［60,70）的老年人500人，年龄在［70,80）的老年人300人.现

作出年龄在［60,70）的老年人年收入的频率分布直方图（如图所示）.

S26

S20

18

O.15

O.

O8

O5

O4

O

1.52.53.54.55.56.57.58.59.5年收A/万元

（第11题）

（1）根据频率分布直方图，估计该地年龄在