圆的基本概念及垂径定理 （9大类型专练+过关检测）附答案-2025年新九年级数学专项提升

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圆的基本概念及垂径定理(9大类型精准练+过关检测)

国内容导航一预习三步曲

第一步：学

:「二…:旬识教材精讲精析、全方位预习

9大核心考点精准练

第二步：记

串知识识框架思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握

第三步：测

过关测稳提升小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升

8析教材学知识

知识点1.圆

(1)动态：如图，在一个平面内，线段0A绕它固定的一个端点。旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成

的图形叫做圆，固定的端点。叫做圆心，线段0A叫做半径.以点0为圆心的圆，记作“。0”，读作“圆0”.

方法提示：

①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；

②圆是一条封闭曲线.

(2)静态：圆心为0,半径为r的圆是平面内到定点。的距离等于定长r的点的集合.

方法提示：

①定点为圆心，定长为半径；

②圆指的是圆周，而不是圆面；

③强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球

面，一个闭合的曲面.

知识点2.圆的有关概念

1.弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.

2.直径：经过圆心的弦叫做直径.

方法提示：

直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径.

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3.弧的有关概念：

圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作“，读作“圆弧AB”或“弧AB”.

半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；

优弧：大于半圆的弧叫做优弧；

劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.

注意：弦和孤的关系：弦是连接圆上任意两点之间的线段，孤是圆上任意两点之间的部分，是曲线，每条

孤对应一条弦，而每条弦对应的孤有两条。

4.同心圆与等圆

圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.

圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等.

名称西语音符号语言

垂直于弦的直径平分弦,并是直径,I

垂径定理•nAC=BC,

且平分弦所时的两条强CDLAB

AD=BD

CDLAB.

平分弦（不是苴径）的直径垂CO是直径，］

垂径定理AM=BM,卜

直于弦，并且平分弦所对的A

的推论（48不是直径）|

两条孤AD=^BD

平分弦所对的一条孤的直径CD1AB,

AC=^BC,

垂直平分弦，并且平分弦所卜n<AM-BM.

。是直径

对的另一条弧AD=BD

拓展

CO是直径，

弦的垂宜平分线经过圆心.CDLAB.I

AC^BC.

并且平分弦所对的两条弧z*-*s

AD=BD

对于一个圆和一条直线.如果具备下列五个条件中的任意两个，那么

归纳一定具备其他三个:①过圆心;②垂直于弦；③平分弦（非直径）；。呼

分弦所对的劣弧；⑤平分弦所对的优弧,简记为“知二推三”

2

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8练题型强知识

【类型】一、圆的基本概念

1.（24-25九年级下•上海•阶段练习）下列语句中正确的是（）

A.直径是经过圆心的直线B.经过圆心的线段是半径

C.半圆是弧D.以直径为弦的弓形是半圆

【答案】C

【分析】本题考查了圆的相关概念，掌握直径、半径、半圆和弧、弓形的定义是解题关键.由直径是线段

不是直线，可判断A选项；根据经过圆心的线段两个端点不一定在圆和圆心上，可判断B选项；根据半圆

是直径所对的弧，弓形是由弦及其所对的弧组成，可判断C、D选项.

【详解】解：A、直径是经过圆心的弦，选项错误；

B、经过圆心的线段不一定是半径，选项错误；

C、半圆是弧，选项正确；

D、以直径为弦的弓形不是半圆，选项错误；

故选：C.

2.（23-24九年级上•宁夏石嘴山•期中）如图，下列说法正确的是（）

B.线段/C经过圆心。，线段4c是直径

C.AD=BD

D.弦把圆分成两条弧，其中同是劣弧

【答案】B

【分析】本题考查圆的相关定义，根据弦的定义对A进行判断；根据直径的定义对B进行判断；不能确定

AD=BD,则可对C进行判断；根据劣弧和优弧的定义对D进行判断.

【详解】解：A.线段Z8,NC都是。。的弦，CD不是，所以A选项不符合题意；

B.线段/C经过圆心。，线段/C是直径，所以B选项符合题意；

C.当点。为48的中点时，AD=BD,所以C选项不符合题意；

D.而为优弧，所以D选项不符合题意.

故选：B.

3

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3.（24-25九年级上•河南商丘・期中）早在两千多年前的战国时期，《墨经》一书中就给出了圆的描述性定

义：“圜（这里读yuan）,一中同长也”，这就是说，圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合.其中“定

长”指的是.

【答案】半径

【分析】本题考查了圆的认识.根据圆的集合定义直接回答即可.

【详解】解：圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合.其中，定点是圆心，定长是半径.

故答案为：半径.

4.（2025九年级下•全国•专题练习）如图，在QO中，

（1）半径有：.

（2）直径有：.

【答案】OA,OBAB/BA

【分析】本题主要考查了圆的相关定义，正确识别半径和直径成为解题的关键.

（1）根据半径的定义即可解答；

（2）根据直径的定义即可解答.

【详解】解：（1）如图，在QO中，半径有CM,OB.

（2）如图，在QO中，直径有

故答案为：OA.OB；AB.

【类型2】直径与弦长问题

5.（24-25九年级上•河南周口•期末）若A,3是半径为4的。。上的两个点，则弦的长不可能是（）

A.2B.6C.8D.10

【答案】D

【分析】此题考查了圆的弦的性质：直径是圆中最长的弦，求出圆的直径，根据直径是圆中最长的弦判断

即可.

【详解】解：•••圆的半径为4,

二圆的直径为8,

,/AB是半径为4的圆的一条弦,

.,.0<AB<8,

.•.弦的长不可能是10.

故选：D.

4

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6.（23-24九年级上•陕西渭南•期中）已知A、B为O。上的两点，若。。的半径为3,则的长不可能是

（）

A.1B.3C.5D.7

【答案】D

【分析】本题考查圆的知识，解题的关键是掌握圆的基本性质，根据题意，可得圆的直径为3x2=6,直径

是圆上最长的弦，即0</8V2r,即可得到答案.

【详解】解：：A、3为。。上的两点，若。。的半径为3,

/.0<AB<2r=6,

AD不符合题意.

故选：D.

7.（2024九年级上•安徽•专题练习）己知。。的半径是3,4、2是圆周上的两点，则两点间的最长距

离是（）

A.3B.6C.12D.不能确定

【答案】B

【分析】本题主要查了圆的基本性质.根据圆的基本性质解答，即可求解.

【详解】解：经过圆心的弦最长，即直径是最长的弦，

,/的半径是3,

两点间的最长距离是6.

故选：B.

8.（24-25九年级下•湖南长沙•开学考试）已知。。的半径为5,是。。的弦，则的长度。的取值范

围是.

【答案】0<a<10

【分析】本题考查了圆的相关知识，明确圆中最长的弦是直径是解题的关键.

利用直径是圆内最长的弦即可求解.

【详解】解：：。。的半径为5,

的弦48的长度的取值范围为：0<a42x5=10,

故答案为：0<aV10.

【类型3】圆有关周长与面积的计算

9.（24-25九年级上•云南玉溪•期中）如图，在OO中，乙403=60。，弦45的长为3,则OO的面积为（）

5

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A.3兀B.6兀C.87iD.971

【答案】D

【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，圆的面积公式，证明V/08为等边三角形得出

OA=OB=AB-3,再由圆的面积公式计算即可得解.

【详解】解：：O/=,ZAOB=60°,

.•.V/08为等边三角形，

OA=OB=AB=3,

QO的面积为兀x3?=9兀，

故选：D.

10.（23-24九年级上•江苏苏州•阶段练习）平面内，长为5cm的线段。尸绕着端点O旋转一周，线段。尸的

中点M所经过的路径长为

【答案】5兀cm

【分析】先分析出”的路径是圆，根据题意求出圆河的周长即可.本题考查圆的相关性质，得到”的轨

迹是解题的关键。

【详解】解：由题意得尸的路径是。为圆心，5为半径的圆，

则O尸中点M的路径是。为圆心，2.5为半径的圆，

所以圆M的周长为2X；TX2.5=5万（cm）,

故答案为：5^cm.

11.（2023•江苏镇江•模拟预测）如图，半径为〃的。。沿着边长为。的正方形N8CD的边作无滑动地滚动

【分析】本题主要考查圆的基础知识，根据正方形的边长可得正方形的周长，结合圆的周长计算，即可求

解，掌握圆的基础知识是解题的关键.

【详解】解：的周长为：2门,正方形的周长为：4a,

OO自身转动的圈数是¥+1=4+1,

2nrnr

“『ad2a1

故答案为：bl.

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【类型4】垂径定理的认识

12.（24-25九年级上•山东德州•期中）以下命题正确的是（）

A.任何一条直径都是圆的对称轴B.周长相等的圆是等圆

C.平分弦的直径垂直于弦D.直径是圆上任意两点所连的线段

【答案】B

【分析】本题考查了圆的有关概念和性质，垂径定理等相关知识；需要特别注意的是轴对称图形的对称轴

是一条直线.

根据圆的有关概念和性质，垂径定理等知识对各个命题进行分析，从而得到答案.

【详解】解：A、圆的直径是一条线段，而圆的对称轴是一条直线，故此选项说法错误，不符合题意；

B、周长相等的圆的半径也相等，故是等圆，故此选项说法正确，符合题意；

C、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，故此选项说法错误，不符合题意；

D、通过圆心并且两端都在圆周上的线段叫做圆的直径，故此选项说法错误，不符合题意.

故选：B.

13.（23-24九年级上•江苏南通•期中）如图，C。是。。的直径，是弦，CDLAB,垂足为则下列

结论中母牛的是（）

A.AM=BMB.AC=BCC.OM=MDD.AD=BD

【答案】C

【分析】垂直于弦的直径平分弦及弦所对的两条弧，根据垂径定理即可进行判断，熟练掌握垂径定理的内

容是解题的关键.

【详解】解：：CD是。。的直径，48是弦，CD1AB,垂足为

/.AM=BM,AC=BC>茄=前,

无法判断（W=MD,

故选：C

14.（21-22九年级上•全国•课后作业）如图，CD是。。的直径，弦于点E,则下列结论不一定成

立的是（）

7

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A.AE=BEB.OE=DEC.AC=BCD.AD=BD

【答案】B

【分析】根据垂径定理即可判断.

【详解】解：是。。的直径，弦4BLCD于点、E,

AE=EB,AC=BC>AD^BD-

故选：B.

【点睛】本题主要考查垂径定理，掌握垂径定理是解题的关键.

【类型5】垂径定理的计算

15.（24-25九年级下•浙江杭州•阶段练习）如图，点/,B,C在。。上，垂直平分43于点D.现测得

N8=8dm,DC=2dm,则圆的半径为（）

A.5dmB.10dmC.4dmD.6dm

【答案】A

【分析】本题考查勾股定理和垂径定理，关键是利用垂径定理解答.

连接04OD,利用垂径定理解答即可.

【详解】连结如图，设半径为『，

8

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CD垂直平分AB于点D,

：.CDLAB,AD=DB=-AB=4

2f

ODLAB,

・・・点。，D,。三点共线，

CD=2,

OD=r-2,

在RtZ\4DO中，

-：AO2=AD2+OD1,即/=4?+（-2）2

解得：r=5,

则圆的半径为5dm.

故答案为：A.

16.（2025•贵州遵义•二模）如图，OO的半径为10,/8=16,尸是弦4g上的一个动点（不与48重合）,

【答案】D

【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，垂线段最短等知识.取的中点C,分别连接OC、OB,由

垂径定理及勾股定理可求得OC的长，根据垂线段最短，则O尸的值介于。C与。3之间，由此可求得结果.

【详解】解：如图，取43的中点C,分别连接。C、OB,则OCLN8,且8C=LNB=8,

2

•*-oc=-JOB2-BC2=VIO2-82=6，

9

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点尸线段8C上（不与B重合），则OC4OP<O3,即64。尸<10,

5.5<6,

二选项D符合题意；

故选：D.

17.（2025•河北唐山•二模）如图，将一把宽为2cm的刻度尺（单位：cm）放在一个圆形茶杯的杯口上，

刻度尺的一边与杯口外沿相切，另一边与杯口外沿相交的两个交点的读数恰好是2和10,则茶杯的杯口外

【分析】本题考查了垂径定理，切线的性质，勾股定理的应用.作8,于C,OC的延长线交圆于

其中点。为圆心，04OB为半径，CD=2cm,AB=8cm；设茶杯的杯口外沿半径为「，在RM/OC中，

由勾股定理知「=后可不，进而得出结果.

【详解】解：作于C,OC的延长线交圆于。，其中点。为圆心，0402为半径，

由题意可知C0=2cm,AB=10-2=8cm；

\ODLAB

AC=BC=4cm,

设茶杯的杯口外沿半径为厂

则在RbU。。中，由勾股定理知r=-2,+4?

解得r=5

故答案为：5cm.

18.（24-25九年级上•重庆永川•期中）如图，NB是。。的直径，弦于点E,连接。C,若BE=2,

CD=8.

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⑴求CE的长度；

(2)求OC的长度.

【答案】⑴4

(2)5

【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，关键是由垂径定理得到CE=1CD；由勾股定理求出OC长.

2

(1)由垂径定理得到CE=-CD=4-

2

(2)设。。=火，得OE=R-2,由勾股定理可得4?+(火-2)2=灭2,求出尺的值即可.

【详解】(1)解：：直径48LCD,

C£=-CD=-x8=4；

22

(2)解：CDVAB,

：.ZOEC=90°,

设OC=A,

'：BE=2,

：.OE=R-2,

在RtZkOEC中，CE?+OE2=OC?,

：.42+(7?-2)2=7?2,

解得R=5,

OC=5.

【类型5】垂径定理与同心圆问题

19.(22-23九年级上•浙江杭州•阶段练习)如图，在两个同心圆OO中，大圆的弦NB与小圆相交于C,D

两点.

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⑴求证：AC=BD.

（2）若/C=2,3C=4,大圆的半径R=5,求小圆的半径八

【答案】（1）证明见解析

（2）小圆的半径，为J万.

【分析】（1）过。作于点E,由垂径定理可知E为。和NB的中点，则可证得结论；

（2）连接。C,CM,由条件可求得C。的长，则可求得CE和/E的长，在Rt^/OE中，利用勾股定理可求

得OE的长，在RMCOE中可求得OC的长；

【详解】（1）证明：过。作于点£,如图1,

图1

由垂径定理可得AE=BE,CE=DE,

AE-CE=BE-DE,

：.AC=BD.

(2)解：连接。C,。/,如图2,

AB=2+4=6,

JAE=3,

：.CE=AE-AC=\,

在RtZ\49E中，由勾股定理可得。炉=0/2_4炉=52-32=16,

在中，由勾股定理可得OC?=。炉+。炉=16+俨=17,

：.0C=后,即小圆的半径r为而

【点睛】本题考查了垂径定理与勾股定理的知识.此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用,

注意辅助线的作法.

20.（24-25九年级上•河南驻马店•期末）如图，两个圆都是以。为圆心，大圆的弦48交小圆于C,。两点.

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⑴求证：AC=BD；

(2)若/8=8,AD=1,小圆的半径为5,求大圆的半径五的值.

【答案】(1)见解析

(2)大圆的半径为4后

【分析】本题考查垂径定理，勾股定理；

(1)作于E,根据垂径定理得到4£=8旦以=。£,即可得到4?=8。；

(2)连接。。,。8,在RtA。8E和Rt△。。£中根据勾股定理得到O£>2-。炉=O32-8炉，代入求值计算即

可.

【详解】(1)证明：如图：作OE_L/B于E,

由垂径定理，得：

AE=BE,CE=DE,

:.BE-DE=AE-CE,

即AC=BD；

(2)解：如图，连接00,03,

AB=S,

BE=AE=4,£>£,=4-1=3

在RtAOBE和Rt/XODE中，由勾股定理，得:

OE2=OD2-DE2,OE2=OB2-BE2,

:.OD--DE2=OB2-BE2,

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即52-32=（952-42,

解得：OB=A6

大圆的半径为4夜.

【类型6】平行弦问题

21.（11-12九年级上•安徽芜湖•阶段练习）已知。。的半径为13cm,弦N8〃CD,^5=24cm,CD=10cm,

则CD之间的距离为（）

A.17cmB.7cmC.12cmD.17cm或7cm

【答案】D

【分析】此题考查了垂径定理，勾股定理.过点。作于点E,延长交于点区连接OBOD,

由48〃。得到。尸_1/8,利用垂径定理得到。E=5cm,8尸=12cm,利用勾股定理求出OE,OF,再

分当4B,8在圆心同侧时，当48,。在圆心两侧时求出答案.

【详解】解；如图所示，当平行弦48,CD在圆心。的同侧时，

过点。作垂足为E,延长OE交CD于点连接。4,OC,

则/E==AS=12cm,CF--CD=5cm.

22

在RtZX/OE中，OE=y/OA2-AE2=5cm-

在RtACOF中，OF=sl0C2-CF2=12cm.

故EF-OF-OE=7cm.

如图所示，当平行弦/B,CD在圆心。的异侧时，

m

过点。作OEL/8，垂足为E,延长E。交CD于点尸,连接CM,OC,

则/£=4A8=12cm,CF^-CD=5cm.

22

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在RtZX/OE中，OE=>JOA2-AE2=5cm-

在RtACOF中，OF=yj0C2-CF2=12cm.

故EF=OE+OF=17cm.

综上，AB,CD之间的距离为7cm或17cm,

故选：D.

22.（22-23九年级上•天津和平・期末）O。半径为5,弦AB〃CD,AB=6,CD=8,则48与CO间的距

离为（）

A.1B.7C.1或7D.3或4

【答案】C

【分析】过。点作OEL4B,E为垂足，交CD与F,连CM,OC,由48〃CD,得到。尸，CD,根据垂

径定理得/E=3,CF=4,再在Rt^QNE中和在RtZXOCF中分别利用勾股定理求出OE,OF,然后讨论:

当圆。点在/B、CD之间，与CA之间的距离=。石+。尸；当圆。点不在ZB、CA之间，AB与CD之

间的距离=。£-。尸.

【详解】解：过。点作£为垂足，交CD与F,连CM,OC,如图，

AB//CD,

OFCD,

AE=BE,CF=DF,

而AB=6,CD=8,

AE=3,CF—4,

在RtZkCME中，OA=5,OE=yJo^-AE2=A/52-32=4；

在RtzXOC尸中，OC=5，OF=^OC2-CF2=752-42=3；

当圆。点在NB、CO之间，/B与CO之间的距离=OE+O尸=7；

当圆O点不在48、CD之间，NB与CD之间的距离=。£-0尸=1：

所以与CD之间的距离为7或1.

故选：C.

【点睛】本题考查了垂径定理，即垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧.也考查了勾股定理以及

分类讨论的思想的运用.

23.（23-24九年级上•浙江温州•阶段练习）如图，。。的两条弦N3〃CD（N3不是直径），点E为中

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(1)求证：直线EOL/3；

(2)求证：EC=ED.

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【分析】(1)依据垂径定理的推论平分弦(不是直径)的直径垂直于弦可得结论;

(2)证明EF1CD,由垂径定理可得结论.

E为AB的中点,

EOLAB.

(2)证明：延长交CO于万.

EOYAB,AB//CD,

EFLCD.

•••E/过点O,

CF=DF,

.1E尸垂直平分CO,

EC=ED.

【点睛】本题考查了垂径定理，灵活利用垂径定理及其推论是解题的关键.

24.(2023•河南驻马店•二模)如图，在。。中，48是直径，弦EF//AB.

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（1）在图1中，请仅用不带刻度的直尺画出劣弧跖的中点尸；（保留作图痕迹，不写作法）

（2）如图2,在（1）的条件下连接OP、PF,若。尸交弦好于点。,△尸。尸的面积6,且防=12,求O。

的半径；

【答案】（1）见解析

⑵10

【分析】（1）由圆的对称性，连接）尸、BE交于点、M,连接■并延长交O。于P点即可；

（2）连接。尸，如图，根据垂径定理得到OP1EF,EQ=FQ=^EF=6,再利用三角形面积公式计算出PQ=2,

设。。的半径，则。。=-2,OF=r,利用勾股定理得到6?+（一2）2=/,解方程即可.

【详解】（1）解：连接4尸、BE,它们相交于点连接并延长交。。于尸点，如图1,

（2）连接。尸，如图2,

；点尸为劣弧防的中点,

OP1EF,EQ=FQ=^EF=6,

•••△P0尸的面积为6,

1

—XPQx6=6

2

解得PQ=2,

设。。的半径r,贝！］OQ=r-2,OF=r,

在Rt^OQT7中，62+(r-2)2=r2,

解得r=10,

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即。。的半径为10.

【点睛】本题考查了作图-复杂作图，涉及垂径定理和勾股定理，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形

的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作.

【类型7】垂径定理的推论

25.（2025•广东湛江•二模）如图，A,B,C在OO上，AC,OB交于点、D.若4D=CD=8,OD=6,

A.2A/13B.6C.8D.10

【答案】D

【分析】本题考查了垂径定理的推论以及勾股定理，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键.

根据垂径定理的推论得到ODYAC,再对VX/\OAD运用勾股定理即可求解半径.

【详解】解：:02为半径，AD=CD=S,

：.OD1AC,

'：OD=6,

0A=yj0D2+AD2=10，

故选：D.

26.（2025•河南新乡•三模）如图，A、B在O。上，连接CM,OB,AB.NNO5的平分线交N8于点C,

A.AC=BCB.ODLABC.OC=CDD.AD=BD

【答案】C

【分析】该题考查了垂径定理，根据垂径定理解答即可.

【详解】解：://OB的平分线交48于点C,OD是半径，

ZAOD=ZBOD,AD=BD,AC=BC,ODVAB,故A、B、D正确;

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选项C不能证明,

故选：C.

27.（21-22九年级上•北京•阶段练习）如图，是。。的弦，C为48的中点，OC的延长线与。。交于

求O。的半径.

【答案】O。的半径为10.

【分析】本题考查了勾股定理和垂径定理及推论的应用，连接由C为的中点，则故有

…=耕=6,然后由勾股定理即可求解,掌握知识点的应用是解题的关键.

：.AC=BC=-AB=6,ZACO=90°,

2

设OO的半径为，，则OC=r-2,

在RtA/CO中，由勾股定理得：OA2=AC2+OC2,

：.r2=62+（r-2）2,解得r=10,

。。的半径为10.

28.（2025•安徽滁州•三模）如图，N8是。。的直径，弦CD交于点£,点8是劣弧的中点.

19

人教版九年级教学

(1)求证：AC=AD.

⑵若/C4D=60。，。。的半径为1,求弦C£＞的长.

【答案】（1）证明见解析

⑵百

【分析】本题考查了垂径定理，等腰三角形的性质，勾股定理，解题的关键是求出/OCE=30。.

（1）根据垂径定理可得答案;

（2）先求出/OCE=30。，再求出OE='OC=!，最后根据勾股定理可得答案.

22

【详解】（1）解：•••点2是劣弧CD的中点，48是。。的直径,

ACE=ED,ABVCD,

：.AC=AD.

（2）解：如图，连接。C,

ACAD=60°,

ACAB=-ACAD=3cp，/ACD=60?,

2

AO=OC,

ZOAC^ZOCA=30°,

ZOCE=30°,

•••CO=1,

,0£=6。£=也

:.OE^-OC^~

222

:.CD=2CE=@

【类型8】垂径定理的实际应用

29.（2025・陕西汉中•二模）工人师傅在检查排污管道时发现淤泥堆积，如图，排污管道的横截面是直径为

1m的测得淤泥（阴影部分）横截面的最大宽度”N为0.8m,则淤泥的最大深度Q?为（）

D

20

人教版九年级教学

A.0.5mB.0.4mC.0.3mD.0.2m

【答案】D

【分析】本题考查了垂径定理的实际应用，掌握垂径定理，勾股定理是解答本题的关键；连接。河，可得

OM=OD=r=-1=0.5,MN=Q8,OCLMN,在RtaOCA/中，通过勾股定理求得。C,然后即可求解;

2

【详解】解：连接ON,如图：

由题可得：OM=OD=r=-1=0.5,MN=0.S,OC1MN,

2

：.CM=-MN=-0.8=0.4,

22

在RtAOGW中，OC2+CM2=OM2,

22

OC=yloM-CM=J(O.5)2-(0.4)2=Q3，

，CD=OD-OC=0.5-0.3=0.2,

故选：D.

30.（2025・陕西榆林•三模）石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一，它的主桥拱是圆弧形.如图是某地

的石拱桥局部，其跨度为24米，：所在圆的半径为20米，则这个弧形石拱桥的拱高（荔的中点C

到弦的距离）。为（）

ADB

A.8米B.6米C.4米D.2米

【答案】C

【分析】此题主要考查了垂径定理的应用以及勾股定理，正确应用垂径定理是解题关键.

点。为々所在圆的圆心，连接04。。，根据题意构造直角三角形，进而利用勾股定理求出答案.

【详解】解：如图所示，点。为蕊所在圆的圆心，连接。4。。，

21

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由题意得：AD=BD=-AB=12,0D1AB,AO=20,

2

设CD=x,则。O=20-x,

根据题意可得：AD2+DO2=AO2,

§P122+（20-X）2=202,

解得：巧=4,x2=36（舍去），

即CD=4米.

故选：C.

31.（2025・广东中山•一模）如图1,平底烧瓶是实验室中使用的一种烧瓶类玻璃器皿，主要用来盛液体物

质，它的截面图可以近似看作是由。。去掉两个弓形后与矩形N8C。组合而成的图形，其中3c〃瓶N,若O。

的半径为25mm,AB-36mm,8c=14mm,MN=30mm,求该平底烧瓶的高度.

【答案】该烧瓶的高度为80mm.

【分析】本题考查的是垂径定理的应用.连接。3,OM,过点。作EF13C,交BC于点E,交MN于点、F,

由垂径定理得出BE,九田的长，再根据勾股定理得出。£,。尸的长，进而可得出结论.

【详解】解：如图，连接08,OM,过点、。作EF工BC,交BC于点、E,交.MN于点、F,

:.EFLMN,

:.EF平分BC,MN,

"：BC=14mm,MN=30mm,

22

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BE=7mm,MF=15mm,

'：QO的半径为25mm,AB=36mm,

在R35EO和RtZkMO产中，O5=OM=25mm,

由勾股定理得OE=4OB--BE1=24mm，

OF=y/OF2-MF220mm-

•••该烧瓶的高度为48+。石+。万=36+24+20=80(mm).

32.(23-24八年级下•江苏盐城・期中)如图①，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观

又实用，彰显出中国元素的韵味.图②是这一款拱门的示意图，已知拱门所在圆的半径为L7m,拱门最下

端AB=1.6m.

图①图②

⑴求拱门最高点到地面的距离；

(2)现需要给房间内搬进一个直径为3m的圆桌面(桌面的厚度忽略不计)，已知搬桌面的两名工人在搬运时

所抬高度相同(桌面与地面平行)，通过计算说明工人将桌面抬高多少(即桌面与地面的距离)就可以使

该圆桌面通过拱门.

【答案】⑴拱门最高点到地面的距离为3.2m

(2)工人将桌面抬高0.7m就可以使该圆桌面通过拱门

【分析】本题主要考查了垂径定理的实际应用，勾股定理，熟知垂径定理是解题的关键.

(1)设拱门所在圆的圆心为。，，作OCLN3于C,延长C。交圆于。，连接由垂径定理可得

AC=CB=Q.8m,则由勾股定理可得。C的长，据此求出。的长即可得到答案；

(2)设弦E尸=3m,且跖ICO,连接同理求出Q/的长，进而求出C7的长即可得到答案.

【详解】(1)解：如图②中，设拱门所在圆的圆心为。，，作于C,延长C。文圆于。，连接/O,

23

人教版九年级教学

9：CDLAB,8经过圆心。，

AC=CB=0.8m,

•*-OC=ylo^-AC2=1.5m，

CD=OD+OC=1.5+1.7=32m,

.••拱门最高点到地面的距离为3.2m；

（2）解：如图，设弦EF=3m,且EF1CD,连接OE.

,/CDLEF,CD经过圆心。，

EJ=JF=1.5m,

OJ=NOE?-EJ。=o.8m，

CJ=1.5-0.8=0.7m,

答：工人将桌面抬高0.7m就可以使该圆桌面通过拱门.

串知炽识框架

【类型】一、圆的基本概念

【类型9】垂径定理的实际应用

/【类型2】直径与弦长问题

【类型8】垂径定理的推论

圆的基本概念及垂径定【类型3】圆有关周长与面积的计算

【类型7】平行弦问题

理（9大类型精准练）【类型4】垂径定理的认识

【类型6】垂径定理与同心圆问题

【类型5】垂径定理的计算

过关测稳提升

一、单选题

1.（2025•河北沧州•模拟预测）如图，已知四条弧线/,&）,赢，质，点尸在其中一条弧线所在的圆上,

则点P在（）

24

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A.々所在的圆上B.而所在的圆上C.赤所在的圆上D.而所在的圆上

【答案】A

【分析】本题考查了圆的特征，把各弧延长即可判断.

【详解】解：如图，

故选A.

2.（24-25九年级下•湖北孝感・期中）如图，A为。。上一点，按以下步骤作图:

①连接。4,②以点A为圆心，40长为半径作弧，交于点3；

③在射线上截取6c=03；④连接NC.则乙4c。的度数是（）

【答案】B

【分析】本题主要考查圆的基本性质，等边三角形的性质和判定，三角形外角的性质等知识，熟练掌握圆

的基本性质是解题的关键.

由题意得△0/8是等边三角形，则NCM2=NO8N=NO=60。，进而可得NC=/R4C=30。.

【详解】解：如图所示，连接

25

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,?OA=OB=AB,

/\OAB是等边三角形，

ZOAB=ZOBA=ZO=60°,

■：BC=OA,

：.BC=BA,

：.ZC=ZBAC=30°.

故选：B.

3.（2025•河北邢台•三模）下列图形分别为正方形、圆、扇形、等边三角形（相关数据如图所示），长度

为1的线段可以在图形的内部及边界通过移转（即平移或旋转），自由地从竖放移转到横放，且图形面积

【答案】D

【分析】本题考查了对正方形、圆、扇形、等边三角形的理解和面积计算，熟练掌握以上知识点是解题的

关键.根据题意可知C选项长度为1的线段不可以在图形内竖放，然后再分别计算A、B、D选项图形的面

积比较即可.

【详解】解：A、边长为1,所以长度为1的线段可在图形内自由地从竖放移转到横放，其面积为1；

B、其直径为1,所以长度为1的线段可在图形内自由地从竖放移转到横放，其面积为无0.785；

C、长度为1的线段不可以在图形内竖放；

D、长度为1的线段可先旋转到边上，再通过平移和旋转即可在图形内从竖放移转到横放，其边长为

2,备咨所以面积为9¥、1=冬。.577;

故选：D.

9

4.（2025・四川南充・一模）如图，零件轮廓由一个半圆和一段抛物线围成.若AB=6,则

（）