重难点突破02 线性代数背景下新定义（四大题型）解析版-2025年高考数学一轮复习（新高考）

重难点突破02线性代数背景下新定义

目录

01方法技巧与总结...............................................................2

02题型归纳与总结...............................................................2

题型一：行列式背景.............................................................2

题型二：矩阵背景...............................................................7

题型三：向量组背景............................................................15

题型四：特征向量背景..........................................................21

03过关测试....................................................................28

亡法牯自与.柒年

//\\

线性代数中处理新定义问题时，首要任务是准确理解新定义的本质。方法技巧上，可以采取以下步骤:

一、深入剖析新定义，明确其内涵与外延，把握关键要素。

二、尝试将新定义与已知概念、定理或性质建立联系，利用已有知识体系进行推理。

三、在解题过程中，灵活运用矩阵运算、线性变换、特征值与特征向量等工具，以及适当的代数或几

何方法。

四、注重验证结果的正确性，确保解题步骤和答案无误。

总结时，应强调新定义在解题中的关键作用，回顾解题过程中用到的关键知识点和技巧。同时，总结

新定义问题的常见类型和解题思路，以便在遇到类似问题时能迅速找到解决方法。通过不断练习和总结，

可以逐渐提高解决线性代数新定义问题的能力，加深对线性代数学科的理解和掌握。

题型一：行列式背景

【典例1-1】（2024•河北保定•三模）对于任意给定的四个实数知，牝，«21,%2,我们定义方阵

方阵A对应的行列式记为det（A）,且（^（4）=%生2-生生1，方阵A与任意方阵

“22J

8=匕"的乘法运算定义如下：AXB=C,其中方阵C"],且*=£a“也（见"€{1,2}）.设

<”21。22）。22）«=1

M(coscr-sincrA(cos夕sin6]610

(sinacosaJ'(一sin尸cos夕/(01

⑴证明：det（MxN）=det（E）.

⑵若方阵A,与满足Ax5=石，且det（A）,det（3）£Z,证明：|det（A）+det（B）|=det（A/）+det（N）.

左]1

【解析】（1）设方阵K=MxN=

人21

贝|Jku=coscrcos/?+(-sina)(-sin0=cos(a-£),

船=coscrsin/7+(-sincr)cos/?=sin(/?-cr),

k2l=sinacos夕+cosa(-sin/?)=sin(cr-/?),

k22=sinasin^+cosacos尸=cos(a一尸),

固K=k°s(a-0sin(6一0、

、卜in(a-Q)cos(a_p),，

所以det(MxN)=det(K)=cos2(a_/7)—sin(a_/?)sin(p_a)=cos2(cr-/?)+sin2(cr-/?)=1.

因为det(£)=lxl—OxO=l,所以det(MxN)=det(E),证毕.

可得“1141+%2b21=1，①

+。12”22=。，②

。2向1+。22b21=°，③

Cl21bl2+42”22=1，④

由①X(J),得6]+%]伪]%2匕22+。12“21。2142+%2“21%2"22=1，⑤

由②X③，得011bl2a21bli+%b[2a22b21+q2b22。21bli+%力22a2力21=0,⑥

由⑤一⑥，可得4141。22b22+al2b2la2lbi2-011bl2a22b21-%2b22a21bli=1,

整理得(％i/2-%2%i)(4也一42b2i)=1,BPdet(A)xdet(B)=1.

案二;或：：£二;:则阿AMt⑻=2.

由det（A）,det（3）£Z,可得

又det（M）=cos2a+sin2a=1,det（N）=cos213+sin2/?=1,

所以辰4田+（1匕43）|二€1匕＜〃）+（1匕4"）,证毕.

【典例1-2】（2024.江苏南通.模拟预测）解二元一次方程组是数学学习的必备技能.设有满足条件

fa.x.+dL9x9=b,

an%2的二元一次方程组｛*■,.

巴西+a22x2=b2

（1）用消元法解此方程组，直接写出该方程组的两个解；

（2）通过求解，不难发现两个解的分母是由方程组中占,多的系数为、出2、％2、%所唯一确定的一个数，按

照它们在方程组中的位置，把它们排成一个数表4%,由此可以看出勺%-牝％是这个数表中左上到

^^21^^22

右下对角线上两个数的乘积减去右上到左下对角线上两个数的乘积的差，称勺的2-④％1为该数表的二阶

行列式，记为加时，二元一次方程组有唯一一组解.同样的，行列式

d?]a??^^21^^22

abcabc

Im

川称为三阶行列式，且Imn=amz+bnx+cly-cmx—biz-any.

zxyz

%自+%2%2=4

(i)用二阶行列式表示方程组的两个解;

〃21菁+〃22,2=b]

石+〃12“2+〃13*3=b]

(ii)对于三元一次方程组％心+%2々+%彳3=%,类比二阶行列式，用三阶行列式推导使得该三元一次

“31%+〃32%2+“33*3=03

方程组有唯一一组解的条件(结论不得使用行列式表达)，并用三阶行列式表示该方程组的解.

sin.x—rn

⑶若存在xe[O,兀],使得'>sin2x+2求优的取值范围.

cosxm

“1〃22一02412

【解析】(1)该方程组的两个解为

Z?2ali-

_4〃22—b2a12

X1一

(2)(i)由(1)得・

X”2。11-"1〃21

%1〃22一42〃21

仇。12

Z?2〃22

勺-

2

“21"22

所以该方程组的两个解为＜

«n4

a2ib2

4]]

(ii)类比二元一次方程组，将三元一次方程组中的系数排成一个数表%«22。23,则可以得到

。31。32。33

。1243

二阶仃列式。21。22〃23.

“31^^32^^33

dy।23

令。=。21%2423,当时，该三元一次方程组有唯---组解，

〃31。32。33

即得该三元一次方程组有唯一一组解的条件为

%出243+63。2142~~旬出3《2一42。2143-《3%2%，

用三阶行列式表示该方程组的解为

b、Q]23“114tZj]〃]2b、

1^2^^22^^23

1^3^^32^^33

X

1，元2-，X3一

"12〃13"12”13"12”13

。21。22。23。21“22。23

sinx—m

(3)m(sinx+cosx)>2sinxcosx+2,

cosm

令sinx+cosx=1，贝!Jsinxcosx=----

其中/=sinx+cosx=V2sin

因为xe[0,7t],所以x+;耳，f=0sin[x+；]e[-l,行],

故m(sinx+cosx)>2sinxcosx+2^mt>t2+1,

当/=()时，0〉1无解，不合要求；

当/£倒,0］时，机〉/+；,

其中＞=/+：在，£（0』上单调递减，在，41,&］上单调递增，

故当方=1时，y=/取得最小值，最小值为2,故机＞2；

t

当方£［—1,0）时,lTl＜t+—,

其中y=/+；在上单调递减，

故当/=-1时，y=Z+，取得最大值，最大值为-2,故机＜-2,

t

sinx—in

因为存在龙目。，兀I，使得＞sin2x+2,所以机＞2或;〃＜一2,

cosxm

综上所述，山的取值范围为（-8,-2）“2,+8）.

【变式1-1］（2024.山东荷泽.模拟预测）行列式是代数学中线性代数的重要分支，是一个方阵所对应的一

个标量值.行列式具有简洁、对称、优美的特点,可以用来求直线方程，求三角形的面积，解线性方程组等.

利用行列式进行求解，则可以简化运算步骤,提高做题速度.其中二阶行列式定义为:

“11%2〃13

“22“23

〃

=＜2lla22-fl12a21；三阶行列式定义为:“23anx+13X

〃31。32

12

例如:=lx5-2x3=-l.在平面直角坐标系中，已知VABC的三个顶点坐标为

35

%1

1

B（x,y）,C（x,y）,则VABC的面积公式可表示为：S&ABC—X%1

22332

%1

⑴已知0（0,0）,M（—3,—2）,N（l,-6）,求△。处的面积.

（2）已知点A（—2,0）I（0,2）,若点。是圆2x+y2=。上的动点，求VA5C面积的最小值.

22

（3）已知椭圆,+方=1（〃＞人〉0）,它的左焦点坐标为卜2石,0）,右顶点坐标为（4,0）,设点。的坐标为

（2,1）,过原点。的直线交椭圆于点E,歹，求户面积的最大值.

001

1-21-31-3-2

【解析】（1）由题意得Wow—x-3-21-xOx--xOx+-X1X

22-6121121-6

1-61

=；xlx[(—3)x(—6)—1x(—2)]=10；

设C(l+cose,sin夕),

-201

1一（-2）212

则—X02-ixO+l°

2sin<91221+cos0sin。

1+cos。sin。1

=；x(-2)x(2-sine)+：x(-2-2cos6)=|sin^-cos0-3|

=拒si:

4

所以当si“Tj=l时，S,

因为sin\ABC取得最小值,

4

最小值为|0-3卜3-&；

(3)由题意得a=4,c=2石，故62=〃—C?=]6—12=4,

22

故椭圆方程为工+匕=1,

164

过原点0的直线交椭圆于点瓦尸，设E（4cos，,2sin6）,

由对称性可知F（-4cos^,-2sin夕）,

2sin。

-2sin0

=|4sin^-4cos0\]=4sin]8一：

故当sin（（9-：J=±l时，ADEF面积取得最大值，最大值为4.

题型二：矩阵背景

【典例2-1】（2024・广东•一模）数值线性代数又称矩阵计算，是计算数学的一个重要分支，其主要研究对

象包括向量和矩阵.对于平面向量4=（x,y）,其模定义为|词="77•类似地，对于〃行〃列的矩阵

(znn\\—2

,其模可由向量模拓展为A=（其中均为矩阵中第i行第/列的数,

<i=lJ=1>

Z为求和符号），记作我们称这样的矩阵模为弗罗贝尼乌斯范数，例如对于矩阵

（a,,%、，24、fnn>2______________

：J=Q5）其矩阵模=也?+42+32+52=3』•弗罗贝尼乌斯范数在机器学

习等前沿领域有重要的应用.

’100...0"

0V20...0

(1)VneN*,n>3,矩阵纥〃=00^3••e0,求使%>34的”的最小值.

、ooo…G,

(2)VneN*,n>3,,矩阵C””=

n

>

3〃+9

因式分解得("一9)(w+10)>0.因为〃eN*,所以">9.

所以使HBllF>3小的”的最小值是10.

(2)由题得第1对角线上的平方和为1+sin?6+sin"6+…+sin上国二

l-sin26>

第2对角线上的平方和为

cos20(\+sin20+••■+sin2n_46)=cos20'--；--=1-sin2"-20,

'7l-sin26>

L

第左对角线上的平方和为

i_左+2n

cos2e(1+sin2e+••・+sin2%2左=os25,--=1-sin2"-2^20,

')Cl-sin26>

L

第n对角线上的平方和为cos?9,

2,,

l-sin6>224

所以IICll^+(l-sin"-6)+…+(1-sin2'5+26»)+...+(l-sin6»)+

l-sin26>

cos20=1+sin20+sin40-\-----Fsin2"-26+(〃-2)-sin2"-20sin2r+2e

sin40+cos20=1+(7?-2)+sin20+cos20=l+(n—2)+l=n.

所以HCllF=y/n.

n

(3)由题意知，证明

3H+9

等价于证明帝：+1!12金+…+时学>

23n+L3n+9

注意到左侧求和式力2雪=帝|+Y+…+"1，

将右侧含有”的表达式表示为求和式有

二+P---M

"占-曰…+后-〃+2)[〃+2〃+3)

11_n

3H+33〃+9

一~।2〃+21111*

故只需证In------>---------T>----------------=-------——-,Vn>l,neN成立,

〃+15+2产("+2)5+3)n+2n+3

即证In"二>---,\/〃之1,〃£?4*成立，令％=1+^—,

〃+1n+2n+1

1(31

则需证In%>1—,xe1,—成立，

xv2

则小)—在向上恒成立,所以/⑺在向上单调递

记/(x)=lnxd-----1,XG

增,

所以/(x)>/(D=lnl+l-l=O,

所以lnx>l-,在(1，!上恒成立，即历9>—L,\/〃21,心z成立，

%I2」H+1n+2

所以原不等式成立.

【典例2-2】行列式是线性代数的一个重要研究对象，本质上，行列式描述的是〃维空间中，一个线性变

换所形成的平行多面体的体积，它被广泛应用于解线性方程组，矩阵运算，计算微积分等.在数学中，我

144-231

们把形如.，°一，?<:这样的矩形数字(或字母)阵列称作矩阵.我们将二阶矩阵

32/33—3

「ab

两边的“［『改为"II”，得到二阶行列式cd，它的运算结果是一个数值(或多项式)，记为

ab

-ad-be.

cd

35

(1)求二阶行列式的值；

—2—1

1

(2)求不等式-J'3>1的解集;

cosxsmx

sinx—rn

⑶若存在无可。,兀I，使得>sin2x+2,求小的取值范围.

cosxm

35

【解析】(1)c।=3x(—1)—(—2)x5=—3+10=7；

—2.—1

(2)=sinx+y/3cosx=2sin|x+—j>l,

cos尤sinxI3J

|71|1,,7171571_T-

故sin%+一>一，故一+2TE<%+—<一+2TE,左cZ,

V3J2636

jrIT

角犁得——+2hi<x<—+2hi,左£Z,

62

不等式1一近>1的解集为1x]-3+2E<x<g+2E/ez]；

cosxsinxI62J

sinx—m,、

(3)=m(sinx+cosx)>2sinxcosx+2,

cosxm

令sinx+cosx=£，贝Usinxcosx=------，

2

其中/=sinx+cosx=^2sin[%+：)，

因为xe[0,7i],所以x+1e:耳，"虎sin[x+：[e[-l,@,

故Msinx+cosx)>2sinxcosx+2=>m/>/+l,

当，=0时，0>1无解，不合要求，

当.w(0,后]时，m>t+^,

其中y+；在.w(0,1]上单调递减，在/£(1,上单调递增，

故当才=1时，,=/取得最小值，最小值为2,故机>2；

t

当方«—1,0)时，m<t+^,

其中y=r+；在/4TO)上单调递减，

故当，=-1时，y=r+1取得最大值，最大值为-2,故加<-2,

t

sinx—TTI

因为存在xe[0,兀I，使得'>sin2x+2,所以加>2或加<一2,

cosxm

m的取值范围为u（2,+oo）.

【变式2-1]（2024•辽宁沈阳•模拟预测）在平面直角坐标系x0y中，利用公式①（其中b,

[y—ex+ay

c,d为常数），将点尸（x,y）变换为点尸的坐标，我们称该变换为线性变换，也称①为坐标变换公式,

„（ab\（ab\

该变换公式①可由a,b,c,d组成的正方形数表/唯一确定，我们将,称为二阶矩阵，矩阵

a）a）

通常用大写英文字母A,3,…表示.

（1）如图，在平面直角坐标系X。〉中，将点玖尤,y）绕原点0按逆时针旋转a角得到点P（KV）（到原点距离

不变），求坐标变换公式及对应的二阶矩阵A；

7T

⑵在平面直角坐标系xoy中,求双曲线冲=1绕原点。按逆时针旋转7（到原点距离不变）得到的双曲线

方程C；

（3）已知由（2）得到的双曲线C,上顶点为。，直线/与双曲线C的两支分别交于A,3两点（8在第一象

限），与x轴交于点T.设直线ZM,的倾斜角分别为a,P，求证：a+6为定值.

【解析】(1)设OP=OP=r,ZPOx=0,则％=rcos。，y=rsin。，Z.POx=0+a,

故乂=rcos(9+a)=rcos^cosa-rsm3sma=xcosa-ysma,

y'=rsin(6+a)=rsin9coscr+rcos8sina=xsina+ycosa,

fy=xcosa-ysina

所以坐标变换公式为

[y'=xsina+ycoscr

cosa-sma

该变换所对应的二阶矩阵为A=

sinacosa

（2）设曲线孙=1上任意一点（X,y）在旋转角是?的旋转变换下所得点坐标为（X',y）.

71.兀

xr=xcos----ysin——

44

则V

.7171

y=xsin—+ycos—

44

w'2丫，222

得（行9-（/）9-=2孙=2,则，一”1,所求曲线方程为5_-3=1：

(3)

①直线43斜率存在时，可设直线的方程为y=4IX-3----J----

设4(/,%),B(,x2,y2)

由^一I'3),得3,2_i)f_2痘、+2/_6=0,

…孑=2''

2y/6k2_2k~—63

所以占+々=，占*2=3仇2_])，且A>o=>4K—3>0n《>],

当士=0时，取A（0,-0）,T半,0,砧=石，所以直线7X方程为：y=6x-正,

直线TA方程与双曲线C方程联立可得V-=0,解得x=0或x=&,

所以网而2忘），D（0,V2）.

所以如8=走，所以尸=B，可得C+£=M；

363

当占#0时，设ZM,DB的斜率分别为心片,

所以tan(c+;?)==Y.

•LAvirv^

因为3在第一象限，所以0〈方<y]r,所以0<a+方〈三37r，所以&+/=宁27r.

②直线A3斜率不存在时，可得人［乎,-平］,^［乎，半

可得K=—2—6,k2=2—百，

所以tan(c+,)=M^=_6,同理可得々+£=§.

］一/化23

综上可得，a+夕为定值2奇兀，得证.

a\\42…a\n

【变式2-2］有"("I)个正数，排成“X”矩阵(〃行凡列的数表)：的":,劭表示位于第

、%%•••

，行，第/列的数.其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有的公比都相等，己知

,13

⑴求公比.

(2)用左表示

(3)求"11+。22+…+。〃〃的值.

【解析】(1)由题可知第4行公差为d=々43-。42=7Z，由此可知。44=。43+2=J

16164

由第四列数据可知公比为：

(2)即=%.=」，时是首项为工公差为J的等差数列，故&L刍

(3)因为每一列的数成等比数列，并且所有的公比都相等，所以由(2)可知。欣内，故

~=出皿

设〃｝的前几项和为S”

Sn=61+〃22+...+%〃

3=唱）+2*直+3x0+.♦.+"><出②

一一党

【变式2-3](2024•山东泰安•模拟预测)在数学中，由小"个数为[=1,2,…,m;/=1,2,…川排列成的桃行

a\\ana\n

〃列的数表":"加称为〃zx〃矩阵，其中均称为矩阵A的第i行第j列的元素.矩阵乘法是指对于两

atn\a2mamn

个矩阵A和反如果4的列数等于8的行数，则可以把A和8相乘，具体来说：若

/、

,,,C11...........................%

A…bu…九、

瓦1…b2P

A=ailai2…册,B=贝|C=A5=ci\,,,cij,•Cin，其中

昌…4…b秋?

ac

ym\am2…amn/yCmli,••Cny•,,mn/

(1xVin;]=D，函数F(x)=

J=1,2,

3j=a也+%%+…+4〃.，九…,〃.已知i0-2JIaxq+c2.

(1)讨论f(x)的单调性;

⑵若%,%(%<%2)是/(%)的两个极值点，证明：D%O£(H%2)，〃%0)+/(%2)+6%+%lnl6Vo.

【解析】(1)由矩阵乘法定义知〃%)=111%+加-2双，XG(0,+OO),

lax-lax+1

*.*=—+2ax-2a=

x

.•.当。=0时，f'(x]=->0,〃x)单调递增，

X

。片0时，方程2办2-2办+1=0的判另1」式4=4。(。一2),

当0<aV2时，A<0,r(x)>0,单调递增，

当a<0或。>2时，△>(),令/'(x)=0,方程两根记为a,P,

mria-cr-2a-ci+Ja"-2a

a=。B=------------,

则----------，

2a2a

当a〈0时，a>0,P<0,

当x«0,a)时，尸(x)>0,/(%)单调递增，时，/f(x)<0,/(%)单调递减,

当〃〉2时，(3>a>Q,

当xe(0,a)和(£,+oo)时,1(x)>0,/(x)单调递增,

当xe(a,6)时，/(%)<0,〃x)单调递减，

综上，当0VaV2时，/(x)单调递增，

当。<0时，在0,巴二-----上单调递增，在幺二_-,+«上单调递减，

2a2a

\7\7

〜X，/""2-2”工(〃+J/-2a].1v,、卬、乂_1_1vt/.(a—d/—2aa+Ja2-2i).

当a>2时，/(%)在0,一三-----和一士-----,+8上单调递增，在一三------,一七------上

2a2a2a2a

\7\7\7

单调递减.

(2)・・,〃%)有两个极值点，由(1)知a>2,

设尸(司=勺(0<.£|,

.../XInx+ax2-2axlux_

•r(xj=-------------------=-----Fax-2〃，

XX

・•.P(x)=="+a,

*.*0<x<—,a>2,

2

/.P'(x)>0,

.•.尸(x)单调递增，

・..尸=—21n2—

由(1)知不£[o,,〃>2,

/\3/(x)

P(x1)<-21n2一一a<—3—21n2,gp±_L_LZ<_3_2^2,

2X]

/./(^)<-3%-2百ln2,

又由(1)知“天)在(％,*2)上单调递减且与«石,尤2)，

/./(^))+/(x,)+6jq+^lnl6<0.

题型三：向量组背景

【典例3-1】（2024•贵州黔东南•二模）一般地，〃个有序实数q，电，L,乙组成的数组，称为"维向量,

记为万…，见）.类似二维向量，对于"维向量，也可以定义向量的加法运算、减法运算、数乘运算、

数量积运算、向量的长度（模）、两点间的距离等，如花=（q,生,…,为），则同=也;+d+…+a；；若存在

不全为零的r个实数L，k2,L,心使得勺1+左2%+…则向量组%,%,L,7是线性相关

的向量组，否则，说向量组I，%,L,7是线性无关的.

⑴判断向量组）=（L3,1）,Z=（-M，3），%=（—5,-7,3）是否线性相关？

⑵若2=（卬,。2,…,a“），+,当“22且wwN*时，证明：./"<|a|<^^-.

kKJy2n+4113

【解析】（1）设存在不全为零的3个实数*k2,勺使得匕7+

kt-k2-5k3=0①

则区（1,3,1）+及（-1,1,3）+匕（-5,-7,3）=6,即<3匕+匕-7网=0②,

K+3k、+3k3=0③

由①+②消去k2得:《=3k3,由①-③消去&得:k2=-2k.,

则该方程有无数组解，所以不妨取％=1,则勺=3,%=-2,

二3用一2@+a=。，即向量组I，%,Z是线性相关的•

=ln

（2）证明：a”），akP4,左=1,2,3,…，〃，

.•.同=12+；[+后+；)+…+11211+J_

先证：141+小>贵，〃N"

则/'（x）=」T1x

设/(%)=如(％+1)--+>0,

x>0,(x+l)2(x+l)2

••40）在（0,+8）上单调递增，，当"eN*时，

即--^-=ln|1+-|--—>0,

In)1+1InJn+1

n

lnfl+—>]>-^―,〃£N*.

InJn+1

同理可证：ln|1+-|<-,HGN\

1n)n

1111

------>------------=-----------

(〃+1)?++n+1〃+2'

/.ln2|1+-j+ln211+—|+---+ln2|1+—+——--万

11JI2；In)2232(n+1)2

1]_1_1_n

n+2)2〃+22〃+4

n

/.\a\>

2n+4

.,.当“22且“eN*时，

1，二」<3

2"+12n+lJ32〃+13

综上可得，当“22且〃N*时，水”

【典例3-2】对于一组向量入点点，L点(»eN+,且“23),令3“+化+i,+L+)“，如果存在

Z(%e{l,2,3,L川)，使得|6闫1-'|,那么称％是该向量组的“〃向量”.

⑴设句=(x+",〃)(〃eN+),若玛是向量组4也,《的向量”，求实数x的取值范围；

rrjjrrjTriiii

⑵若a.=(cos万,sinfX“eN+),向量组,如是否存在“"向量”？若存在求出所有的“"向量”，

若不存在说明理由；

⑶已知4,玛,4均是向量组4,4,4的‘7/向量"，其中4=(sinx,cosx),a2=(3cosx,3sinx),设在平面直角

uuur

坐标系中有一点列匕2，A，L,%L(〃eN+)满足片为坐标原点，且与%关于点4对称，

号+1与鸟口小©N)关于点八对称，求-023取24的最小值.

【解析】⑴由题意可得：同2国-q=,+可，

因为=(%+〃,〃)，所以4+4=(%+1/)+(冗+2,2)=(2%+3,3),%=(Q+3,3),

则(X+3,3)242X+3,3)2=(X+3)2+9“2X+3)2+9=X(3X+6)W0,

解得：-2<x<0；

(2)假设存在“H向量”4"，因为同=|coSf,snifbJcos-3+sm~3=1,

--->(〃+4.几+4(n.几)一

a

且n+4=cos----7i,sm----7i=cos—K,sin—71=an,

则由题意得：只需要使得瓦k同=1,

又因为1+Z+Z+Z=（o,i）+（-i,o）+（o,-i）+（1,o）=（o,o）,

所以S”=q+%+/■*---!■4］=%+%+%=（0,1）+（—1,0）+（0,—1）=（—1,0）,

2+2cos-^-<!<=>cos-^<--,又因为相£1%£?4*|%011},

22211）

所以机=2,6,10满足上式，故存在““向量”为踵；

（3）由题意得：同2,2+431Q匐2,2+q|=Q：2（〃2+〃3）0%2N42+2〃2.4+42，

I——qhe—p/日—»2—»2—►—►—«2—»2—»2—>—»—»2

I可埋口」将：a2>（\+2a1-a3+a39a3>a[+2a[-a2+a2,

上面三个式子相加得：02%+。2+。3+2q•%+2q•〃3+2〃2=（〃1+%+。3）V0，

工。，所以％+d2+a3=0,

u二一sinx—3cos九

设%=（〃,v）,贝！J由,+Z+Z=d得:

v=-cosx-3sinx

（&+i，%+i）=2（可，%）一（积，为J

设£=(%,%)，则依题意得:

.（*2上+2,％&+2）=2（々，%A（丹+1,％+1）