2025年数学极限试题及答案

2025年数学极限试题及答案

一、单项选择题1.当\(x\to0\)时，\(x^2\)是\(x\)的（）A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.同阶无穷小D.等价无穷小答案：A2.\(\lim_{x\to\infty}\frac{3x+1}{2x-1}\)的值为（）A.\(0\)B.\(\frac{3}{2}\)C.\(\infty\)D.\(1\)答案：B3.已知函数\(f(x)=\begin{cases}x+1,&x\lt0\\2x,&x\geq0\end{cases}\)，则\(\lim_{x\to0}f(x)\)为（）A.\(0\)B.\(1\)C.不存在D.\(2\)答案：C4.极限\(\lim_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}\)的值是（）A.\(0\)B.\(1\)C.\(3\)D.\(\frac{1}{3}\)答案：C5.若\(\lim_{x\toa}f(x)=A\)，\(\lim_{x\toa}g(x)=B\)，且\(B\neq0\)，则\(\lim_{x\toa}\frac{f(x)}{g(x)}\)等于（）A.\(\frac{A}{B}\)B.\(AB\)C.\(A-B\)D.\(A+B\)答案：A6.当\(x\to0\)时，与\(x\)等价无穷小的是（）A.\(\sin2x\)B.\(1-\cosx\)C.\(\ln(1+x)\)D.\(x^2+x\)答案：C7.\(\lim_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^{2n}\)的值为（）A.\(e\)B.\(e^2\)C.\(1\)D.\(2e\)答案：B8.函数\(y=\frac{1}{x-1}\)在\(x\to1\)时的极限是（）A.\(0\)B.\(1\)C.\(\infty\)D.不存在答案：D9.若\(\lim_{x\to\infty}(\frac{x+a}{x-a})^x=4\)，则\(a\)的值为（）A.\(\ln2\)B.\(2\)C.\(\ln4\)D.\(4\)答案：A10.极限\(\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}\)的值为（）A.\(0\)B.\(1\)C.\(e\)D.\(\frac{1}{e}\)答案：B二、多项选择题1.以下关于极限的说法正确的是（）A.若\(\lim_{x\toa}f(x)\)存在，则\(f(x)\)在\(x=a\)处一定有定义B.无穷小量与有界函数的乘积是无穷小量C.若\(\lim_{x\toa}f(x)=A\)，\(\lim_{x\toa}g(x)=B\)，则\(\lim_{x\toa}[f(x)+g(x)]=A+B\)D.两个无穷小量的商一定是无穷小量答案：BC2.当\(x\to0\)时，下列哪些是无穷小量（）A.\(x^3\)B.\(\sinx\)C.\(\cosx-1\)D.\(\frac{1}{x}\)答案：ABC3.下列极限存在的是（）A.\(\lim_{x\to0}\frac{1}{x^2}\)B.\(\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}\)C.\(\lim_{x\to0}\sin\frac{1}{x}\)D.\(\lim_{x\to0}x\sin\frac{1}{x}\)答案：BD4.若函数\(f(x)\)在\(x=x_0\)处极限存在，则（）A.\(f(x)\)在\(x=x_0\)处的左右极限都存在B.\(f(x)\)在\(x=x_0\)处的左右极限相等C.\(f(x)\)在\(x=x_0\)处一定连续D.\(f(x)\)在\(x=x_0\)处有定义答案：AB5.以下哪些是等价无穷小替换（）A.当\(x\to0\)时，\(\sinx\simx\)B.当\(x\to0\)时，\(\tanx\simx\)C.当\(x\to0\)时，\(e^x-1\simx\)D.当\(x\to0\)时，\(1-\cosx\sim\frac{1}{2}x^2\)答案：ABCD6.极限\(\lim_{x\to\infty}f(x)\)存在的充要条件是（）A.\(\lim_{x\to+\infty}f(x)\)存在B.\(\lim_{x\to-\infty}f(x)\)存在C.\(\lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to-\infty}f(x)\)D.\(f(x)\)在\(x\to\infty\)时为有界函数答案：ABC7.对于数列\(\{a_n\}\)，若\(\lim_{n\to\infty}a_n=A\)，则（）A.对于任意给定的\(\varepsilon\gt0\)，存在正整数\(N\)，当\(n\gtN\)时，\(\verta_n-A\vert\lt\varepsilon\)B.数列\(\{a_n\}\)一定有界C.数列\(\{a_n\}\)的极限唯一D.数列\(\{a_n\}\)单调递增答案：ABC8.下列极限运算正确的是（）A.\(\lim_{x\to0}\frac{x^2+3x}{x}=\lim_{x\to0}(x+3)=3\)B.\(\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}=\lim_{x\to1}(x+1)=2\)C.\(\lim_{x\to\infty}\frac{2x^2+1}{3x^2-2x}=\lim_{x\to\infty}\frac{2+\frac{1}{x^2}}{3-\frac{2}{x}}=\frac{2}{3}\)D.\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x^2}=\lim_{x\to0}\frac{1}{x}\cdot\sinx=\infty\)答案：ABC9.已知\(\lim_{x\toa}f(x)=A\)，则（）A.对于任意数列\(\{x_n\}\)，当\(\lim_{n\to\infty}x_n=a\)时，\(\lim_{n\to\infty}f(x_n)=A\)B.存在数列\(\{x_n\}\)，当\(\lim_{n\to\infty}x_n=a\)时，\(\lim_{n\to\infty}f(x_n)=A\)C.\(f(x)\)在\(x=a\)附近有界D.若\(A\gt0\)，则在\(x=a\)的某去心邻域内，\(f(x)\gt0\)答案：ABD10.下列关于无穷大量的说法正确的是（）A.无穷大量与无穷小量互为倒数B.两个无穷大量的和一定是无穷大量C.无穷大量与有界量的和是无穷大量D.若\(y=f(x)\)是无穷大量，则\(\frac{1}{y}\)是无穷小量（\(y\neq0\)）答案：CD三、判断题1.若\(\lim_{x\toa}f(x)\)和\(\lim_{x\toa}g(x)\)都不存在，则\(\lim_{x\toa}[f(x)+g(x)]\)一定不存在。（）答案：错误2.无穷小量是一个很小很小的数。（）答案：错误3.当\(x\to0\)时，\(x\)与\(x+x^2\)是等价无穷小。（）答案：正确4.若\(\lim_{x\to\infty}f(x)=A\)，则\(f(x)\)在\(x\to\infty\)时是有界的。（）答案：正确5.函数\(y=\frac{1}{x}\)在定义域内是单调递减函数。（）答案：错误6.极限\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x^2}\)存在。（）答案：错误7.若\(\lim_{x\toa}f(x)=0\)，\(\lim_{x\toa}g(x)=\infty\)，则\(\lim_{x\toa}f(x)g(x)\)一定为\(0\)。（）答案：错误8.数列\(\{(-1)^n\}\)的极限不存在。（）答案：正确9.当\(x\to0\)时，\(1-\cosx\)是\(x\)的高阶无穷小。（）答案：正确10.若函数\(f(x)\)在\(x=a\)处连续，则\(\lim_{x\toa}f(x)\)一定存在。（）答案：正确四、简答题1.简述无穷小量与无穷大量的关系。答案：在自变量的同一变化过程中，若\(y=f(x)\)为无穷大量，则\(\frac{1}{y}\)（\(y\neq0\)）为无穷小量；反之，若\(y=f(x)\)为无穷小量且\(y\neq0\)，则\(\frac{1}{y}\)为无穷大量。例如当\(x\to0\)时，\(\frac{1}{x}\)是无穷大量，那么\(x\)就是无穷小量。2.说明极限\(\lim_{x\to\infty}\frac{\sinx}{x}\)的求解思路。答案：当\(x\to\infty\)时，\(\vert\sinx\vert\leq1\)，即\(\sinx\)是有界函数，而\(\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=0\)，根据无穷小量与有界函数的乘积是无穷小量这一性质，可知\(\lim_{x\to\infty}\frac{\sinx}{x}=\lim_{x\to\infty}(\sinx\cdot\frac{1}{x})=0\)。3.什么是函数在某点处极限存在的充要条件？答案：函数\(y=f(x)\)在\(x=x_0\)处极限存在的充要条件是函数在该点处的左极限和右极限都存在且相等。即\(\lim_{x\tox_0^{-}}f(x)=\lim_{x\tox_0^{+}}f(x)\)。比如函数\(f(x)=\begin{cases}x+1,&x\lt0\\2x,&x\geq0\end{cases}\)在\(x=0\)处，左极限为\(1\)，右极限为\(0\)，左右极限不相等，所以在\(x=0\)处极限不存在。4.简述等价无穷小替换在求极限中的应用条件。答案：等价无穷小替换在求极限中，一般应用于乘除运算。当\(x\to0\)时，若\(f(x)\)与\(g(x)\)为等价无穷小，即\(f(x)\simg(x)\)，在求极限\(\lim_{x\to0}\frac{f(x)h(x)}{k(x)}\)时，可将\(f(x)\)用\(g(x)\)替换进行简化计算。但在加减运算中一般不能随意使用，除非满足一定条件。例如\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}\)，\(\sinx\simx\)，可直接得极限为\(1\)。五、讨论题1.讨论函数\(f(x)=\begin{cases}x^2+1,&x\lt0\\2x,&0\leqx\lt1\\\frac{1}{x},&x\geq1\end{cases}\)在\(x=0\)和\(x=1\)处的极限情况。答案：在\(x=0\)处，左极限\(\lim_{x\to0^{-}}f(x)=\lim_{x\to0^{-}}(x^2+1)=1\)，右极限\(\lim_{x\to0^{+}}f(x)=\lim_{x\to0^{+}}2x=0\)，左右极限不相等，所以\(\lim_{x\to0}f(x)\)不存在。在\(x=1\)处，左极限\(\lim_{x\to1^{-}}f(x)=\lim_{x\to1^{-}}2x=2\)，右极限\(\lim_{x\to1^{+}}f(x)=\lim_{x\to1^{+}}\frac{1}{x}=1\)，左右极限不相等，所以\(\lim_{x\to1}f(x)\)不存在。2.举例说明如何利用两个重要极限求复杂函数的极限。答案：两个重要极限为\(\lim