二次根式试卷及答案

二次根式试卷及答案

一、单项选择题1.下列式子一定是二次根式的是（）A.$\sqrt{-2}$B.$\sqrt{x}$C.$\sqrt{x^{2}+1}$D.$\sqrt{x^{2}-1}$答案：C2.若$\sqrt{2x-1}$有意义，则$x$的取值范围是（）A.$x\geq\frac{1}{2}$B.$x\leq\frac{1}{2}$C.$x>\frac{1}{2}$D.$x<\frac{1}{2}$答案：A3.化简$\sqrt{(-5)^{2}}$的结果是（）A.-5B.5C.25D.-25答案：B4.下列二次根式中，最简二次根式是（）A.$\sqrt{12}$B.$\sqrt{0.5}$C.$\sqrt{\frac{1}{3}}$D.$\sqrt{15}$答案：D5.计算$\sqrt{8}-\sqrt{2}$的结果是（）A.$\sqrt{6}$B.$\sqrt{2}$C.3$\sqrt{2}$D.2$\sqrt{2}$答案：B6.若$a=\sqrt{3}+1$，则$a^{2}-2a+1$的值为（）A.2B.$\sqrt{3}$C.$\sqrt{3}-2$D.3答案：A7.已知$\sqrt{18-n}$是整数，则自然数$n$的值不可能是（）A.2B.9C.12D.17答案：C8.下列运算正确的是（）A.$\sqrt{2}+\sqrt{3}=\sqrt{5}$B.$2\sqrt{2}\times3\sqrt{2}=6\sqrt{2}$C.$\sqrt{8}\div\sqrt{2}=2$D.$3\sqrt{2}-\sqrt{2}=3$答案：C9.若$x=\sqrt{5}-3$，则$\sqrt{x^{2}+6x+5}$的值为（）A.1B.-1C.$\pm1$D.5答案：A10.已知$a$，$b$，$c$为三角形三边，则$\sqrt{(a+b-c)^{2}}+\sqrt{(b-c-a)^{2}}+\sqrt{(b+c-a)^{2}}$化简的结果是（）A.$a+b+c$B.$-a-b-c$C.$a-b+c$D.$a+b-c$答案：A二、多项选择题1.以下属于二次根式的有（）A.$\sqrt{4}$B.$\sqrt{-9}$C.$\sqrt{a^{2}+1}$D.$\sqrt[3]{8}$答案：AC2.对于二次根式$\sqrt{x-3}$，以下说法正确的是（）A.当$x\geq3$时，它有意义B.它是一个非负数C.当$x=3$时，它的值为0D.它与$\sqrt{3-x}$能同时有意义答案：ABC3.下列二次根式中，能与$\sqrt{2}$合并的是（）A.$\sqrt{8}$B.$\sqrt{12}$C.$\sqrt{\frac{1}{2}}$D.$\sqrt{27}$答案：AC4.计算下列式子，结果正确的是（）A.$\sqrt{2}\times\sqrt{3}=\sqrt{6}$B.$\sqrt{24}\div\sqrt{3}=2\sqrt{2}$C.$(\sqrt{3})^{2}=3$D.$2\sqrt{3}+3\sqrt{2}=5\sqrt{5}$答案：ABC5.下列根式中，不是最简二次根式的有（）A.$\sqrt{45}$B.$\sqrt{\frac{1}{3}}$C.$\sqrt{14}$D.$\sqrt{26}$答案：AB6.若$\sqrt{(x-2)^{2}}=2-x$，则$x$的取值范围是（）A.$x\leq2$B.$x<2$C.$x\geq2$D.$x>2$答案：AB7.已知$a$，$b$满足$\sqrt{a-1}+\sqrt{(b+3)^{2}}=0$，则$a$，$b$的值分别为（）A.$a=1$B.$a=-1$C.$b=3$D.$b=-3$答案：AD8.下列关于二次根式的运算，正确的有（）A.$\sqrt{5}\times\sqrt{10}=5\sqrt{2}$B.$\sqrt{18}\div\sqrt{2}=3$C.$\sqrt{12}+\sqrt{3}=3\sqrt{3}$D.$\sqrt{5}-\sqrt{3}=\sqrt{2}$答案：ABC9.二次根式$\sqrt{2x-4}$有意义，则$x$可能的取值为（）A.2B.3C.1D.0答案：AB10.化简$\sqrt{12}$的结果可以写成（）A.$2\sqrt{3}$B.$3\sqrt{2}$C.$\sqrt{4\times3}$D.$\sqrt{3\times4}$答案：ACD三、判断题1.当$x=-2$时，二次根式$\sqrt{3-x}$有意义。（）答案：对2.$\sqrt{16}$的平方根是$\pm4$。（）答案：错3.二次根式$\sqrt{-m^{2}}$一定是0。（）答案：对4.最简二次根式的被开方数一定不含有分母。（）答案：对5.$\sqrt{2}+\sqrt{3}=\sqrt{5}$。（）答案：错6.若$\sqrt{(2x-1)^{2}}=1-2x$，则$x\leq\frac{1}{2}$。（）答案：对7.二次根式$\sqrt{a^{2}+4}$是最简二次根式。（）答案：对8.计算$(\sqrt{5})^{2}\times\sqrt{\frac{1}{5}}=\sqrt{5}$。（）答案：对9.当$a<0$时，$\sqrt{a^{2}}=-a$。（）答案：对10.两个二次根式相乘，结果一定是二次根式。（）答案：错四、简答题1.简述二次根式有意义的条件，并举例说明。二次根式有意义的条件是被开方数为非负数。即对于二次根式$\sqrt{a}$，当$a\geq0$时，该二次根式有意义。例如$\sqrt{x-1}$，要使其有意义，则$x-1\geq0$，即$x\geq1$。当$x=2$时，$\sqrt{2-1}=\sqrt{1}=1$，此时二次根式有意义；当$x=0$时，$\sqrt{0-1}=\sqrt{-1}$，被开方数为负，二次根式无意义。2.如何判断一个二次根式是否为最简二次根式？判断一个二次根式是否为最简二次根式，需满足两个条件：一是被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；二是被开方数不含分母。例如$\sqrt{12}$不是最简二次根式，因为$12=4\times3$，$4$是能开得尽方的因数，可化简为$2\sqrt{3}$；而$\sqrt{15}$，被开方数$15$不含能开得尽方的因数，也不含分母，所以它是最简二次根式。3.计算$\sqrt{48}-\sqrt{27}+\sqrt{\frac{1}{3}}$，并写出详细过程。先将各项分别化简：$\sqrt{48}=\sqrt{16\times3}=4\sqrt{3}$；$\sqrt{27}=\sqrt{9\times3}=3\sqrt{3}$；$\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$。则原式$=4\sqrt{3}-3\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{3\sqrt{3}}{3}+\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$。4.已知$x=\sqrt{5}+1$，求$x^{2}-2x+3$的值。先对$x^{2}-2x+3$进行变形可得$(x-1)^{2}+2$。把$x=\sqrt{5}+1$代入上式，$x-1=\sqrt{5}+1-1=\sqrt{5}$。则$(x-1)^{2}+2=(\sqrt{5})^{2}+2=5+2=7$。五、讨论题1.讨论在二次根式的运算中，如何避免出现错误？在二次根式运算中，首先要准确把握二次根式有意义的条件，保证运算过程中根式始终有意义。化简时严格按照最简二次根式的标准，将能开方的因数或因式正确化简。对于同类二次根式的合并，要像合并同类项一样，系数相加减，根式部分不变。在进行乘除运算时，遵循相应法则，如$\sqrt{a}\times\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a\geq0,b\geq0)$，$\sqrt{a}\div\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}(a\geq0,b>0)$。运算过程中仔细检查，多做练习以提高熟练度和准确性。2.举例说明二次根式在实际生活中的应用。比如在建筑工程中，计算直角三角形的斜边长度时会用到二次根式。若一个直角三角形的两条直角边分别为$a$和$b$，根据勾股定理，斜边$c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$。例如，一个直角三角形的两条直角边分别为$3$米和$4$米，那么斜边长度$c=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$米。在装修房间计算正方形地面瓷砖对角线长度等实际问题中，都可以借助二次根式来解决。3.当$a$，$b$为实数时，讨论$\sqrt{a^{2}}=\verta\vert$与$(\sqrt{a})^{2}=a(a\geq0)$的区别与联系。区别：$\sqrt{a^{2}}$中$a$可以取任意实数，结果是$a$的绝对值，当$a\geq0$时，$\sqrt{a^{2}}=a$；当$a<0$时，$\sqrt{a^{2}}=-a$。而$(\sqrt{a})^{2}$中$a$必须满足$a\geq0$，结果就是$a$本身。联系：当$a\geq0$时，$\sqrt{a^{2}}=(\sqrt{a})^{2}=a$。例如，当$a=3$时，$\sqrt{3^{2}}=(\sqrt{3})^{2}=3$；当$a=-3$时，$\sqrt{(-3)^{2}}=3$，而$(\sqrt{-3})^{2}$无意义。4.讨论如何对含有二次根式的式子进行分母有理化，并举例说明。分母有理化就是将分母中的根式化为有理数的过程。方法是给分子分母同时乘以分母的有理化因式。如果分母是单项二次根式，如$\frac{1}{\sqrt{a}}