数三考研真题及答案

数三考研真题及答案

一、单项选择题1.当\(x\to0\)时，用\(o(x)\)表示比\(x\)高阶的无穷小，则下列式子中错误的是（）A.\(x\cdoto(x^2)=o(x^3)\)B.\(o(x)\cdoto(x^2)=o(x^3)\)C.\(o(x^2)+o(x^2)=o(x^2)\)D.\(o(x)+o(x^2)=o(x^2)\)答案：D2.已知函数\(f(x)=\begin{cases}\frac{\ln(1+ax^3)}{x-\arcsinx},&x\lt0\\6,&x=0\\\frac{e^{ax}+x^2-ax-1}{x\cdot\sin\frac{x}{4}},&x\gt0\end{cases}\)在\(x=0\)处连续，则\(a=\)（）A.-1B.-2C.-3D.-4答案：C3.设函数\(f(x)\)可导，且\(f(x)f'(x)\gt0\)，则（）A.\(f(1)\gtf(-1)\)B.\(f(1)\ltf(-1)\)C.\(|f(1)|\gt|f(-1)|\)D.\(|f(1)|\lt|f(-1)|\)答案：C4.设\(I_1=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{\tanx}{x}dx\)，\(I_2=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{x}{\tanx}dx\)，则（）A.\(I_1\gtI_2\gt1\)B.\(1\gtI_1\gtI_2\)C.\(I_2\gtI_1\gt1\)D.\(1\gtI_2\gtI_1\)答案：B5.设\(A\)，\(B\)为\(n\)阶矩阵，记\(r(X)\)为矩阵\(X\)的秩，\((X,Y)\)表示分块矩阵，则（）A.\(r(A,AB)=r(A)\)B.\(r(A,BA)=r(A)\)C.\(r(A,B)=\max\{r(A),r(B)\}\)D.\(r(A,B)=r(A^T,B^T)\)答案：A6.设\(A\)为\(3\)阶矩阵，将\(A\)的第\(2\)列加到第\(1\)列得矩阵\(B\)，再交换\(B\)的第\(2\)行与第\(3\)行得单位矩阵，记\(P_1=\begin{pmatrix}1&0&0\\1&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\)，\(P_2=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}\)，则\(A=\)（）A.\(P_1P_2\)B.\(P_1^{-1}P_2\)C.\(P_2P_1\)D.\(P_2P_1^{-1}\)答案：D7.设\(A,B,C\)是三个随机事件，且\(A\)与\(C\)相互独立，\(B\)与\(C\)相互独立，则\(A\cupB\)与\(C\)相互独立的充分必要条件是（）A.\(A\)与\(B\)相互独立B.\(A\)与\(B\)互不相容C.\(AB\)与\(C\)相互独立D.\(AB\)与\(C\)互不相容答案：C8.设\(X_1,X_2,\cdots,X_n(n\geqslant2)\)为来自总体\(N(\mu,1)\)的简单随机样本，记\(\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\)，则下列结论中不正确的是（）A.\(\sum_{i=1}^{n}(X_i-\mu)^2\)服从\(\chi^2\)分布B.\(2(X_n-X_1)^2\)服从\(\chi^2\)分布C.\(\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2\)服从\(\chi^2\)分布D.\(n(\overline{X}-\mu)^2\)服从\(\chi^2\)分布答案：B二、多项选择题1.设函数\(f(x)\)在\(x=0\)处连续，且\(\lim\limits_{h\to0}\frac{f(h^2)}{h^2}=1\)，则（）A.\(f(0)=0\)B.\(f_+'(0)=1\)C.\(f_-'(0)=1\)D.\(f'(0)=1\)答案：AB2.设函数\(f(x)\)具有\(2\)阶导数，\(g(x)=f(0)(1-x)+f(1)x\)，则在区间\([0,1]\)上（）A.当\(f'(x)\geqslant0\)时，\(f(x)\geqslantg(x)\)B.当\(f'(x)\geqslant0\)时，\(f(x)\leqslantg(x)\)C.当\(f''(x)\geqslant0\)时，\(f(x)\geqslantg(x)\)D.当\(f''(x)\geqslant0\)时，\(f(x)\leqslantg(x)\)答案：D3.设函数\(y=y(x)\)由方程\(x^3+y^3-3x+3y=2\)确定，则曲线\(y=y(x)\)的拐点是（）A.\((1,1)\)B.\((-1,0)\)C.\((0,1)\)D.\((0,-1)\)答案：AC4.设向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)线性无关，则下列向量组中，线性无关的是（）A.\(\alpha_1+\alpha_2,\alpha_2+\alpha_3,\alpha_3+\alpha_1\)B.\(\alpha_1,\alpha_1+\alpha_2,\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3\)C.\(\alpha_1-\alpha_2,\alpha_2-\alpha_3,\alpha_3-\alpha_1\)D.\(\alpha_1+\alpha_2,2\alpha_2+\alpha_3,3\alpha_3+\alpha_1\)答案：ABD5.设\(A\)为\(n\)阶实对称矩阵，\(P\)为\(n\)阶可逆矩阵，\(Q=(P^T)^{-1}\)，则（）A.\(Q^TAQ\)为实对称矩阵B.\(Q^TAQ\)与\(A\)合同C.\(Q^TAQ\)与\(A\)相似D.\(Q^TAQ\)的特征值与\(A\)的特征值相同答案：AB6.设\(X\)和\(Y\)是两个随机变量，则下列命题中正确的是（）A.若\(E(XY)=E(X)E(Y)\)，则\(X\)和\(Y\)相互独立B.若\(E(X^2Y^2)=E(X^2)E(Y^2)\)，则\(X^2\)和\(Y^2\)相互独立C.若\(X\)和\(Y\)相互独立，则\(X^2\)和\(Y^2\)也相互独立D.若\(|X|\)和\(|Y|\)相互独立，则\(X\)和\(Y\)也相互独立答案：C7.设总体\(X\)的概率密度为\(f(x;\theta)=\begin{cases}\frac{1}{2\theta},&-\theta\ltx\lt\theta\\0,&\text{其他}\end{cases}\)，其中\(\theta\gt0\)为未知参数，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)为来自总体\(X\)的简单随机样本，\(\hat{\theta}=\max\{|X_1|,|X_2|,\cdots,|X_n|\}\)，则（）A.\(\hat{\theta}\)是\(\theta\)的无偏估计量B.\(\hat{\theta}\)是\(\theta\)的最大似然估计量C.\(\hat{\theta}\)是\(\theta\)的相合估计量（一致估计量）D.\(\frac{n+1}{n}\hat{\theta}\)是\(\theta\)的无偏估计量答案：BCD三、判断题1.若函数\(f(x)\)在区间\((a,b)\)内可导，且\(f'(x)\gt0\)，则\(f(x)\)在\((a,b)\)内单调递增。（）答案：对2.若\(\sum_{n=1}^{\infty}a_n\)收敛，则\(\sum_{n=1}^{\infty}a_n^2\)一定收敛。（）答案：错3.设\(A\)为\(n\)阶矩阵，若\(|A|=0\)，则\(A\)的列向量组线性相关。（）答案：对4.若\(A\)，\(B\)为\(n\)阶矩阵，且\(AB=0\)，则\(r(A)+r(B)\leqslantn\)。（）答案：对5.设\(X\)是一个随机变量，若\(E(X^2)=[E(X)]^2\)，则\(D(X)=0\)。（）答案：对6.若\(X\)和\(Y\)相互独立且都服从正态分布\(N(0,1)\)，则\(X+Y\)服从正态分布\(N(0,2)\)。（）答案：对7.设总体\(X\)服从参数为\(\lambda\)的泊松分布，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)为来自总体\(X\)的简单随机样本，则样本均值\(\overline{X}\)是\(\lambda\)的无偏估计量。（）答案：对四、简答题1.求函数\(f(x)=(x-1)^2(x+1)^3\)的单调区间与极值。答案：先对\(f(x)\)求导，\(f'(x)=2(x-1)(x+1)^3+3(x-1)^2(x+1)^2=(x-1)(x+1)^2(5x-1)\)。令\(f'(x)=0\)，得\(x=1\)，\(x=-1\)，\(x=\frac{1}{5}\)。当\(x\lt\frac{1}{5}\)且\(x\neq-1\)时，\(f'(x)\lt0\)，\(f(x)\)单调递减；当\(x\gt\frac{1}{5}\)时，\(f'(x)\gt0\)，\(f(x)\)单调递增。所以\(f(x)\)在\(x=\frac{1}{5}\)处取得极小值\(f(\frac{1}{5})=-\frac{3456}{3125}\)，在\(x=1\)处无极值。2.计算二重积分\(\iint_{D}e^{x^2}dxdy\)，其中\(D\)是由直线\(y=x\)，\(y=0\)，\(x=1\)所围成的闭区域。答案：根据积分区域\(D\)的特点，先对\(y\)积分再对\(x\)积分。\(\iint_{D}e^{x^2}dxdy=\int_{0}^{1}dx\int_{0}^{x}e^{x^2}dy=\int_{0}^{1}xe^{x^2}dx\)。令\(t=x^2\)，则\(dt=2xdx\)，当\(x=0\)时，\(t=0\)；当\(x=1\)时，\(t=1\)。原式变为\(\frac{1}{2}\int_{0}^{1}e^{t}dt=\frac{1}{2}(e-1)\)。3.设\(A=\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}\)，求\(A\)的秩\(r(A)\)。答案：对\(A\)进行初等行变换，\(A=\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}\)，第二行减去第一行的\(4\)倍，第三行减去第一行的\(7\)倍，得\(\begin{pmatrix}1&2&3\\0&-3&-6\\0&-6&-12\end{pmatrix}\)，再第三行减去第二行的\(2\)倍，得\(\begin{pmatrix}1&2&3\\0&-3&-6\\0&0&0\end{pmatrix}\)，非零行有\(2\)行，所以\(r(A)=2\)。4.设随机变量\(X\)的概率密度为\(f(x)=\begin{cases}ax+b,&0\ltx\lt1\\0,&\text{其他}\end{cases}\)，且\(E(X)=\frac{1}{3}\)，求\(a\)，\(b\)的值。答案：由概率密度的性质\(\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx=1\)，即\(\int_{0}^{1}(ax+b)dx=1\)，可得\([\frac{1}{2}ax^2+bx]_0^1=1\)，即\(\frac{1}{2}a+b=1\)。又\(E(X)=\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)dx=\int_{0}^{1}x(ax+