湖南省衡阳市衡阳县第四中学2024-2025学年高三上学期开学摸底考试数学试卷

/衡阳县第四中学2024-2025学年高三上学期开学摸底考试数学试卷注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后.用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号徐照.如需改动，用橡皮擦干净后，再选徐其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结東后，将本试巻和答题卡一并收回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.从0，2，4中任取2个数字，从1，3，5中也任取2个数字，能组成无重复数字的四位数的个数为()A.240 B.216 C.180 D.1082.已知是等差数列的前n项和，，则()A.22 B.33 C.40 D.443.已知双曲线的离心率为，则C的渐近线方程为()A. B. C. D.4.设a，b是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是()A.若，，则 B.若，，，则C.若，，则 D.若，，则5.我们定义一种新函数：形如的函数叫做“鹊桥”函数.小丽同学画出了“鹊桥”函数的图象，如图所示，下列结论错误的是()A.图象具有对称性，对称轴是直线B.当或时，函数值y随x值的增大而增大C.当或时，函数最小值是0D.当时，函数的最大值是46.八卦是中国文化的基本学概念，图1是八卦模型图，其平面图形为图2所示的正八边形，其中.给出下列结论，其中正确的结论为()A.与的夹角为B.C.D.在上投影向量为（其中为与同向的单位向量）7.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的最大值是()A. B. C. D.8.设抛物线的焦点为F，A为抛物线上一点且A在第一象限，，若将直线绕点F逆时针旋转得到直线l，且直线l与抛物线交于C，D两点，则()A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题.每小题6分.共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数，则()A.的最大值为B.的图象关于点对称C.是偶函数D.不等式的解集是10.若复数，则下列正确的是()A.当或时，z为实数B.若z为纯虚数，则或C.若复数z对应的点位于第二象限，则D.若复数z对应的点位于直线上，则或11.已知函数关于x的方程有从小到大排列的四个不同的实数根，，，，若，则()A.B.C.M的最小值为D.M的最大值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知多项式，则___________.13.已知底面为正方形的四棱锥的五个顶点在同一个球面上，，，，，则四棱锥外接球的体积为__________.14.已知函数，其中表示p，q中的最大值，若函数有3个零点，则实数a的取值范围是______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤.15.（13分）在中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，，.（1）若，求的面积；（2）是否存在正整数a，使得为钝角三角形?若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.16.（15分）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为4的菱形，，AC与BD交于点O，平面平面ABCD，，，.（1）求证：平面ABCD；（2）若，点Q为AE的中点，求二面角的余弦值.17.（15分）已知椭圆的右顶点为，离心率为.（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆的左焦点和左顶点分别为F和，过点F的直线与C交于M，N两点，直线与交于点P，证明：点P在定直线上.18.（17分）已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）设，，是函数的两个极值点，证明：恒成立.19.（17分）每年6月中旬到7月中旬，长江中下游区域内会出现一段连续阴雨天气，俗称“梅雨期”.依据某地河流“梅雨期”的水文观测点的历史统计数据，所绘制的频率分布直方图如图甲所示；依据当地的地质构造，得到水位与灾害等级的频率分布条形图如图乙所示.（1）以频率作为概率，试求A河流在“梅雨期”水位的第80百分位数并估计该地在今年“梅雨期”发生1级灾害的概率；（2）该地河流域某企业，在今年“梅雨期”，若没受1，2级灾害影响，利润为1000万元；若受1级灾害影响，则亏损200万元；若受2级灾害影响则亏损2000万元.现此企业有如下三种应对方案：方案防控等级费用（单位：万元）方案一无措施0方案二防控1级灾害80方案三防控2级灾害200试问，若仅从利润考虑，该企业应选择这三种方案中的哪种方案?并说明理由.

答案1.答案：C2.答案：B3.答案：C4.答案：B5.答案：D6.答案：D7.答案：D8.答案：A故选：A.9.答案：ACD10.答案：ACD11.答案：AC12.答案：7413.答案：14.答案：15.答案：（1）（2）存在，且16.解析：（1）证明：如图，取BC中点G，连接FG，OG，因为，所以，又因为平面平面ABCD，平面平面，平面，所以平面ABCD，O，G分别为AC，BC中点，所以，.因为，，，，所以四边形EFGO为平行四边形，所以，所以平面ABCD.（2）如图，以AC所在直线为x轴，BD所在直线为y轴，OE所在直线为z轴建立空间坐标系，设，，，，，，，，，，设平面QBC的法向量，，，则即，则.设平面ABC的法向量，设二面角的平面角为，为锐角，所以.二面角的余弦值.17.解析：（1）依题意可得.又，则，所以，所以，所以椭圆C的标准方程为.（2）由（1）得，所以直线l的方程为，由，可得，设，，显然，所以，，故.由题意可得，，则直线的方程为，直线的方程为.设直线与的交点坐标为，则，故，解得，故直线与的交点在直线上.18.解析：（1）的定义域为，，①当时，令，得，令，得，所以在上单调递增，在上单调递减；②当时，令，得或，令，得，所以在，上单调递增，在上单调递减；③当时，则，所以在上单调递增；④当时，令，得或，令，得，所以在，上单调递增，在上单调递减；综上，当时，在上单调递增，在上单调递减；在时，在，上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增；当时