高一数学函数章节练习题及讲解

高一数学函数章节练习题及讲解函数是高中数学的核心内容之一，贯穿整个数学学习的始终。高一阶段的函数学习聚焦于概念理解、性质探究与初步应用，是构建函数思维的关键时期。本文精选函数章节典型练习题，结合详细讲解，帮助同学们深化对函数的认知，掌握解题方法。一、函数的概念与表示：明确对应，精准表达函数的本质是“非空数集上的单值对应”，定义域、对应关系、值域是其三大要素；解析式、列表、图象是常见的表示方法。练习题1：判断函数对应关系判断下列对应关系是否为函数：（1）集合\(A=\{1,2,3\}\)，\(B=\{4,5,6\}\)，对应关系\(f:x\toy=x+3\)；（2）集合\(A=\mathbb{R}\)，\(B=\mathbb{R}\)，对应关系\(f:x\toy=\pm\sqrt{x}\)（\(x\geq0\)）；（3）集合\(A=\{x\midx>0\}\)，\(B=\mathbb{R}\)，对应关系\(f:x\toy=\lnx\)。讲解：函数的核心是“每个输入（\(A\)中元素）对应唯一输出（\(B\)中元素）”。（1）中，\(A\)的每个\(x\)对应唯一的\(y\)（\(1\to4\)，\(2\to5\)，\(3\to6\)），满足“单值对应”，是函数。（2）中，当\(x>0\)时，一个\(x\)对应两个\(y\)（\(\pm\sqrt{x}\)），违背“唯一性”，不是函数。（3）中，\(x>0\)时\(\lnx\)有唯一值，且\(A\)中每个\(x\)都能通过\(\lnx\)对应\(B\)中唯一元素，是函数。练习题2：求函数定义域求函数\(f(x)=\sqrt{x-2}+\frac{1}{x-3}\)的定义域。讲解：定义域是“使解析式有意义的\(x\)的集合”，需同时满足：根号下非负：\(x-2\geq0\impliesx\geq2\)；分母不为零：\(x-3\neq0\impliesx\neq3\)。综上，定义域为\(\boldsymbol{[2,3)\cup(3,+\infty)}\)（区间表示需注意“\(3\)”处的空心点）。练习题3：求函数解析式已知\(f(x+1)=x^2+2x\)，求\(f(x)\)的解析式。讲解：求解析式的核心是“换元或配凑，剥离自变量的‘伪装’”。方法一：配凑法观察右边：\(x^2+2x=(x+1)^2-1\)，因此\(f(x+1)=(x+1)^2-1\)。令\(t=x+1\)（换元的本质是“符号替换”），则\(f(t)=t^2-1\)，故\(f(x)=x^2-1\)。方法二：换元法令\(t=x+1\)，则\(x=t-1\)，代入原式得：\(f(t)=(t-1)^2+2(t-1)=t^2-2t+1+2t-2=t^2-1\)，因此\(f(x)=x^2-1\)。二、函数的单调性：把握变化，分析趋势单调性描述函数“上升或下降的趋势”，定义法是证明单调性的核心工具，图象法、复合函数法则是判断单调性的常用技巧。练习题4：定义法证明单调性用定义证明：函数\(f(x)=x+\frac{1}{x}\)在\((1,+\infty)\)上单调递增。讲解：定义法的步骤是“设元→作差→变形→定号→结论”。1.设元：设\(1<x_1<x_2\)（在区间\((1,+\infty)\)内任取两个自变量）。2.作差：计算\(f(x_1)-f(x_2)\)：\[f(x_1)-f(x_2)=\left(x_1+\frac{1}{x_1}\right)-\left(x_2+\frac{1}{x_2}\right)\]3.变形：通分、因式分解，向“可判断符号”的形式转化：\[f(x_1)-f(x_2)=(x_1-x_2)+\left(\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}\right)=(x_1-x_2)+\frac{x_2-x_1}{x_1x_2}=(x_1-x_2)\cdot\frac{x_1x_2-1}{x_1x_2}\]4.定号：分析各部分符号：\(x_1<x_2\impliesx_1-x_2<0\)；\(x_1,x_2>1\impliesx_1x_2>1\impliesx_1x_2-1>0\)；\(x_1,x_2>0\impliesx_1x_2>0\)。因此，\((x_1-x_2)\cdot\frac{x_1x_2-1}{x_1x_2}<0\impliesf(x_1)-f(x_2)<0\impliesf(x_1)<f(x_2)\)。5.结论：由定义知，\(f(x)\)在\((1,+\infty)\)上单调递增。练习题5：求绝对值函数的单调区间求函数\(f(x)=|x^2-2x-3|\)的单调区间。讲解：绝对值函数的核心是“翻折图象”（将\(x\)轴下方的部分翻折到上方），需先分析内层二次函数的性质。1.分析内层函数：令\(y=x^2-2x-3\)，解方程\(x^2-2x-3=0\)得零点\(x=-1\)或\(x=3\)；开口向上，对称轴为\(x=1\)，顶点为\((1,-4)\)。2.绘制翻折后的图象：当\(x\in(-\infty,-1]\cup[3,+\infty)\)时，\(y=x^2-2x-3\geq0\)，图象与原二次函数一致；当\(x\in(-1,3)\)时，\(y=x^2-2x-3<0\)，图象是原函数关于\(x\)轴的翻折（即\(y=-x^2+2x+3\)，开口向下，对称轴\(x=1\)）。3.分析单调性：递减区间：\((-\infty,-1]\)（原二次函数左支）、\([1,3]\)（翻折后函数的右支）；递增区间：\([-1,1]\)（翻折后函数的左支）、\([3,+\infty)\)（原二次函数右支）。综上，单调递增区间为\(\boldsymbol{[-1,1]\cup[3,+\infty)}\)，单调递减区间为\(\boldsymbol{(-\infty,-1]\cup[1,3]}\)。三、函数的奇偶性：对称分析，简化运算奇偶性描述函数“关于原点或y轴对称的性质”，核心是\(f(-x)\)与\(f(x)\)的关系（奇函数：\(f(-x)=-f(x)\)；偶函数：\(f(-x)=f(x)\)）。练习题6：判断函数奇偶性判断函数\(f(x)=x^3+x\)的奇偶性。讲解：判断奇偶性的步骤是“看定义域是否关于原点对称→计算\(f(-x)\)并与\(f(x)\)比较”。1.定义域为\(\mathbb{R}\)，关于原点对称。2.计算\(f(-x)\)：\[f(-x)=(-x)^3+(-x)=-x^3-x=-(x^3+x)=-f(x)\]3.结论：满足\(f(-x)=-f(x)\)，故\(f(x)\)是奇函数。练习题7：利用奇偶性求解析式已知\(f(x)\)是定义在\(\mathbb{R}\)上的偶函数，当\(x\geq0\)时，\(f(x)=x^2-2x\)，求\(f(x)\)的解析式。讲解：偶函数的核心是“\(f(-x)=f(x)\)”，需分区间（\(x\geq0\)和\(x<0\)）讨论。当\(x<0\)时，\(-x>0\)（将“未知区间”转化为“已知区间”），代入已知解析式得：\[f(-x)=(-x)^2-2(-x)=x^2+2x\]由偶函数性质\(f(-x)=f(x)\)，得\(x<0\)时，\(f(x)=x^2+2x\)。综上，\(f(x)\)的解析式为：\[f(x)=\begin{cases}x^2-2x,&x\geq0\\x^2+2x,&x<0\end{cases}\]（也可简化为\(f(x)=x^2-2|x|\)，利用绝对值的对称性）四、综合应用：函数与方程，二次函数的深度探究函数与方程、二次函数的最值/范围问题，是高一函数的难点，需结合“数形结合”“分类讨论”等思想。练习题8：二次函数的解析式（根与系数）已知二次函数\(f(x)=ax^2+bx+c\)（\(a\neq0\)）满足\(f(1)=0\)，\(f(3)=0\)，且\(f(2)=-1\)，求\(f(x)\)的解析式。讲解：二次函数的零点为\(x=1\)和\(x=3\)，可设“交点式”（根与系数的关系）：\(f(x)=a(x-1)(x-3)\)（\(a\neq0\)）。代入\(x=2\)（已知\(f(2)=-1\)）：\[f(2)=a(2-1)(2-3)=a\cdot1\cdot(-1)=-a\]由\(f(2)=-1\)得\(-a=-1\impliesa=1\)。因此，\(f(x)=(x-1)(x-3)=x^2-4x+3\)。练习题9：二次函数的最值与区间范围已知函数\(f(x)=x^2-2x+3\)在区间\([0,m]\)上的最大值为3，最小值为2，求实数\(m\)的取值范围。讲解：先将二次函数配方，分析对称轴与区间的关系：\[f(x)=(x-1)^2+2\]对称轴为\(x=1\)，顶点为\((1,2)\)（最小值点）。计算区间端点的函数值：\(f(0)=0^2-2\cdot0+3=3\)，\(f(2)=2^2-2\cdot2+3=3\)。分析最值的取得：最小值2在\(x=1\)时取得，因此\(1\in[0,m]\impliesm\geq1\)；最大值3在\(x=0\)或\(x=2\)时取得，若\(m>2\)，则\(f(m)=m^2-2m+3>3\)（因\(m>2\)时，\((m-1)^2>1\impliesf(m)>3\)），违背“最大值为3”的条件，故\(m\leq2